Theorem 60lcm7e420 42113

Description: The lcm of 60 and 7 is 420. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60lcm7e420	⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Proof of Theorem 60lcm7e420

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12214	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	decnncl2 12612	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
3		7nn 12217	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
4		1nn 12136	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		4nn0 12400	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		2nn 12198	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12608	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
8	7	decnncl2 12612	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
9		60gcd7e1 42108	. 2 ⊢ (;60 gcd 7) = 1
10		2nn0 12398	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	5, 10	deccl 12603	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
12		0nn0 12396	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	11, 12	deccl 12603	. . . 4 ⊢ ;;420 ∈ ℕ0
14	13	nn0cni 12393	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℂ
15	14	mullidi 11117	. 2 ⊢ (1 · ;;420) = ;;420
16		7nn0 12403	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
17		6nn0 12402	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
18		eqid 2731	. . 3 ⊢ ;60 = ;60
19		7cn 12219	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
20		6cn 12216	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		7t6e42 12701	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
22	19, 20, 21	mulcomli 11121	. . . 4 ⊢ (6 · 7) = ;42
23		2cn 12200	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
24	23	addridi 11300	. . . 4 ⊢ (2 + 0) = 2
25	5, 10, 12, 22, 24	decaddi 12648	. . 3 ⊢ ((6 · 7) + 0) = ;42
26		0cn 11104	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
27	19	mul01i 11303	. . . . 5 ⊢ (7 · 0) = 0
28	12	dec0h 12610	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
29	28	eqcomi 2740	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
30	27, 29	eqtr4i 2757	. . . 4 ⊢ (7 · 0) = ;00
31	19, 26, 30	mulcomli 11121	. . 3 ⊢ (0 · 7) = ;00
32	16, 17, 12, 18, 12, 12, 25, 31	decmul1c 12653	. 2 ⊢ (;60 · 7) = ;;420
33	2, 3, 4, 8, 9, 15, 32	lcmeprodgcdi 42110	1 ⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   · cmul 11011  2c2 12180  4c4 12182  6c6 12184  7c7 12185  ;cdc 12588   lcm clcm 16499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-lcm 16501  df-prm 16583

This theorem is referenced by:  lcm7un  42122