Theorem 60lcm7e420 42777

Description: The lcm of 60 and 7 is 420. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60lcm7e420	⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Proof of Theorem 60lcm7e420

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12325	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	decnncl2 12735	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
3		7nn 12328	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
4		1nn 12239	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		4nn0 12518	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		2nn 12309	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12730	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
8	7	decnncl2 12735	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
9		60gcd7e1 42772	. 2 ⊢ (;60 gcd 7) = 1
10		2nn0 12516	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	5, 10	deccl 12721	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
12		0nn0 12514	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	11, 12	deccl 12721	. . . 4 ⊢ ;;420 ∈ ℕ0
14	13	nn0cni 12511	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℂ
15	14	mullidi 11209	. 2 ⊢ (1 · ;;420) = ;;420
16		7nn0 12521	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
17		6nn0 12520	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
18		eqid 2763	. . 3 ⊢ ;60 = ;60
19		7cn 12330	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
20		6cn 12327	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		7t6e42 12824	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
22	19, 20, 21	mulcomli 11213	. . . 4 ⊢ (6 · 7) = ;42
23		2cn 12311	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
24	23	addridi 11392	. . . 4 ⊢ (2 + 0) = 2
25	5, 10, 12, 22, 24	decaddi 12771	. . 3 ⊢ ((6 · 7) + 0) = ;42
26		0cn 11193	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
27	19	mul01i 11395	. . . . 5 ⊢ (7 · 0) = 0
28	12	dec0h 12733	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
29	28	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
30	27, 29	eqtr4i 2789	. . . 4 ⊢ (7 · 0) = ;00
31	19, 26, 30	mulcomli 11213	. . 3 ⊢ (0 · 7) = ;00
32	16, 17, 12, 18, 12, 12, 25, 31	decmul1c 12776	. 2 ⊢ (;60 · 7) = ;;420
33	2, 3, 4, 8, 9, 15, 32	lcmeprodgcdi 42774	1 ⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Syntax hints:   = wceq 1570  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   · cmul 11100  2c2 12290  4c4 12292  6c6 12294  7c7 12295  ;cdc 12706   lcm clcm 16641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-lcm 16643  df-prm 16725

This theorem is referenced by:  lcm7un  42786