Theorem 60lcm7e420 42466

Description: The lcm of 60 and 7 is 420. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60lcm7e420	⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Proof of Theorem 60lcm7e420

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12264	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	decnncl2 12662	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
3		7nn 12267	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
4		1nn 12179	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		4nn0 12450	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		2nn 12248	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12658	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
8	7	decnncl2 12662	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
9		60gcd7e1 42461	. 2 ⊢ (;60 gcd 7) = 1
10		2nn0 12448	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	5, 10	deccl 12653	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
12		0nn0 12446	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	11, 12	deccl 12653	. . . 4 ⊢ ;;420 ∈ ℕ0
14	13	nn0cni 12443	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℂ
15	14	mullidi 11144	. 2 ⊢ (1 · ;;420) = ;;420
16		7nn0 12453	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
17		6nn0 12452	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
18		eqid 2737	. . 3 ⊢ ;60 = ;60
19		7cn 12269	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
20		6cn 12266	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		7t6e42 12751	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
22	19, 20, 21	mulcomli 11148	. . . 4 ⊢ (6 · 7) = ;42
23		2cn 12250	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
24	23	addridi 11327	. . . 4 ⊢ (2 + 0) = 2
25	5, 10, 12, 22, 24	decaddi 12698	. . 3 ⊢ ((6 · 7) + 0) = ;42
26		0cn 11130	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
27	19	mul01i 11330	. . . . 5 ⊢ (7 · 0) = 0
28	12	dec0h 12660	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
29	28	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
30	27, 29	eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ (7 · 0) = ;00
31	19, 26, 30	mulcomli 11148	. . 3 ⊢ (0 · 7) = ;00
32	16, 17, 12, 18, 12, 12, 25, 31	decmul1c 12703	. 2 ⊢ (;60 · 7) = ;;420
33	2, 3, 4, 8, 9, 15, 32	lcmeprodgcdi 42463	1 ⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7361  0cc0 11032  1c1 11033   · cmul 11037  2c2 12230  4c4 12232  6c6 12234  7c7 12235  ;cdc 12638   lcm clcm 16551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-dvds 16216  df-gcd 16458  df-lcm 16553  df-prm 16635

This theorem is referenced by:  lcm7un  42475