Theorem 60lcm7e420 40781

Description: The lcm of 60 and 7 is 420. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60lcm7e420	⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Proof of Theorem 60lcm7e420

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12288	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	decnncl2 12688	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
3		7nn 12291	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
4		1nn 12210	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		4nn0 12478	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		2nn 12272	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12684	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
8	7	decnncl2 12688	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
9		60gcd7e1 40776	. 2 ⊢ (;60 gcd 7) = 1
10		2nn0 12476	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	5, 10	deccl 12679	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
12		0nn0 12474	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	11, 12	deccl 12679	. . . 4 ⊢ ;;420 ∈ ℕ0
14	13	nn0cni 12471	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℂ
15	14	mullidi 11206	. 2 ⊢ (1 · ;;420) = ;;420
16		7nn0 12481	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
17		6nn0 12480	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
18		eqid 2733	. . 3 ⊢ ;60 = ;60
19		7cn 12293	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
20		6cn 12290	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		7t6e42 12777	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
22	19, 20, 21	mulcomli 11210	. . . 4 ⊢ (6 · 7) = ;42
23		2cn 12274	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
24	23	addridi 11388	. . . 4 ⊢ (2 + 0) = 2
25	5, 10, 12, 22, 24	decaddi 12724	. . 3 ⊢ ((6 · 7) + 0) = ;42
26		0cn 11193	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
27	19	mul01i 11391	. . . . 5 ⊢ (7 · 0) = 0
28	12	dec0h 12686	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
29	28	eqcomi 2742	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
30	27, 29	eqtr4i 2764	. . . 4 ⊢ (7 · 0) = ;00
31	19, 26, 30	mulcomli 11210	. . 3 ⊢ (0 · 7) = ;00
32	16, 17, 12, 18, 12, 12, 25, 31	decmul1c 12729	. 2 ⊢ (;60 · 7) = ;;420
33	2, 3, 4, 8, 9, 15, 32	lcmeprodgcdi 40778	1 ⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7396  0cc0 11097  1c1 11098   · cmul 11102  2c2 12254  4c4 12256  6c6 12258  7c7 12259  ;cdc 12664   lcm clcm 16512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9424  df-inf 9425  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-rp 12962  df-fz 13472  df-fl 13744  df-mod 13822  df-seq 13954  df-exp 14015  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-dvds 16185  df-gcd 16423  df-lcm 16514  df-prm 16596

This theorem is referenced by:  lcm7un  40790