Theorem 60lcm7e420 42380

Description: The lcm of 60 and 7 is 420. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60lcm7e420	⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Proof of Theorem 60lcm7e420

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12246	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	decnncl2 12643	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
3		7nn 12249	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
4		1nn 12168	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		4nn0 12432	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		2nn 12230	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12639	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
8	7	decnncl2 12643	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
9		60gcd7e1 42375	. 2 ⊢ (;60 gcd 7) = 1
10		2nn0 12430	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	5, 10	deccl 12634	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
12		0nn0 12428	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	11, 12	deccl 12634	. . . 4 ⊢ ;;420 ∈ ℕ0
14	13	nn0cni 12425	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℂ
15	14	mullidi 11149	. 2 ⊢ (1 · ;;420) = ;;420
16		7nn0 12435	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
17		6nn0 12434	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
18		eqid 2737	. . 3 ⊢ ;60 = ;60
19		7cn 12251	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
20		6cn 12248	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		7t6e42 12732	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
22	19, 20, 21	mulcomli 11153	. . . 4 ⊢ (6 · 7) = ;42
23		2cn 12232	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
24	23	addridi 11332	. . . 4 ⊢ (2 + 0) = 2
25	5, 10, 12, 22, 24	decaddi 12679	. . 3 ⊢ ((6 · 7) + 0) = ;42
26		0cn 11136	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
27	19	mul01i 11335	. . . . 5 ⊢ (7 · 0) = 0
28	12	dec0h 12641	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
29	28	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
30	27, 29	eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ (7 · 0) = ;00
31	19, 26, 30	mulcomli 11153	. . 3 ⊢ (0 · 7) = ;00
32	16, 17, 12, 18, 12, 12, 25, 31	decmul1c 12684	. 2 ⊢ (;60 · 7) = ;;420
33	2, 3, 4, 8, 9, 15, 32	lcmeprodgcdi 42377	1 ⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043  2c2 12212  4c4 12214  6c6 12216  7c7 12217  ;cdc 12619   lcm clcm 16527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-lcm 16529  df-prm 16611

This theorem is referenced by:  lcm7un  42389