Theorem 60lcm7e420 43197

Description: The lcm of 60 and 7 is 420. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60lcm7e420	⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Proof of Theorem 60lcm7e420

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12439	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	decnncl2 12850	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
3		7nn 12442	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
4		1nn 12353	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		4nn0 12632	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		2nn 12423	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12845	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
8	7	decnncl2 12850	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
9		60gcd7e1 43192	. 2 ⊢ (;60 gcd 7) = 1
10		2nn0 12630	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	5, 10	deccl 12836	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
12		0nn0 12628	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	11, 12	deccl 12836	. . . 4 ⊢ ;;420 ∈ ℕ0
14	13	nn0cni 12625	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℂ
15	14	mullidi 11321	. 2 ⊢ (1 · ;;420) = ;;420
16		7nn0 12635	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
17		6nn0 12634	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
18		eqid 2760	. . 3 ⊢ ;60 = ;60
19		7cn 12444	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
20		6cn 12441	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		7t6e42 12939	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
22	19, 20, 21	mulcomli 11325	. . . 4 ⊢ (6 · 7) = ;42
23		2cn 12425	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
24	23	addridi 11504	. . . 4 ⊢ (2 + 0) = 2
25	5, 10, 12, 22, 24	decaddi 12886	. . 3 ⊢ ((6 · 7) + 0) = ;42
26		0cn 11305	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
27	19	mul01i 11507	. . . . 5 ⊢ (7 · 0) = 0
28	12	dec0h 12848	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
29	28	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
30	27, 29	eqtr4i 2786	. . . 4 ⊢ (7 · 0) = ;00
31	19, 26, 30	mulcomli 11325	. . 3 ⊢ (0 · 7) = ;00
32	16, 17, 12, 18, 12, 12, 25, 31	decmul1c 12891	. 2 ⊢ (;60 · 7) = ;;420
33	2, 3, 4, 8, 9, 15, 32	lcmeprodgcdi 43194	1 ⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  (class class class)co 7424  0cc0 11207  1c1 11208   · cmul 11212  2c2 12404  4c4 12406  6c6 12408  7c7 12409  ;cdc 12821   lcm clcm 16772

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-dvds 16432  df-gcd 16674  df-lcm 16774  df-prm 16856

This theorem is used by:  lcm7un  43206