Theorem 60lcm7e420 42837

Description: The lcm of 60 and 7 is 420. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60lcm7e420	⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Proof of Theorem 60lcm7e420

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12347	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	decnncl2 12758	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
3		7nn 12350	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
4		1nn 12261	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		4nn0 12540	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		2nn 12331	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12753	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
8	7	decnncl2 12758	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
9		60gcd7e1 42832	. 2 ⊢ (;60 gcd 7) = 1
10		2nn0 12538	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	5, 10	deccl 12744	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
12		0nn0 12536	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	11, 12	deccl 12744	. . . 4 ⊢ ;;420 ∈ ℕ0
14	13	nn0cni 12533	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℂ
15	14	mullidi 11231	. 2 ⊢ (1 · ;;420) = ;;420
16		7nn0 12543	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
17		6nn0 12542	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
18		eqid 2765	. . 3 ⊢ ;60 = ;60
19		7cn 12352	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
20		6cn 12349	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		7t6e42 12847	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
22	19, 20, 21	mulcomli 11235	. . . 4 ⊢ (6 · 7) = ;42
23		2cn 12333	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
24	23	addridi 11414	. . . 4 ⊢ (2 + 0) = 2
25	5, 10, 12, 22, 24	decaddi 12794	. . 3 ⊢ ((6 · 7) + 0) = ;42
26		0cn 11215	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
27	19	mul01i 11417	. . . . 5 ⊢ (7 · 0) = 0
28	12	dec0h 12756	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
29	28	eqcomi 2774	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
30	27, 29	eqtr4i 2791	. . . 4 ⊢ (7 · 0) = ;00
31	19, 26, 30	mulcomli 11235	. . 3 ⊢ (0 · 7) = ;00
32	16, 17, 12, 18, 12, 12, 25, 31	decmul1c 12799	. 2 ⊢ (;60 · 7) = ;;420
33	2, 3, 4, 8, 9, 15, 32	lcmeprodgcdi 42834	1 ⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7419  0cc0 11117  1c1 11118   · cmul 11122  2c2 12312  4c4 12314  6c6 12316  7c7 12317  ;cdc 12729   lcm clcm 16670

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16335  df-gcd 16577  df-lcm 16672  df-prm 16754

This theorem is used by:  lcm7un  42846