Theorem 60lcm7e420 43060

Description: The lcm of 60 and 7 is 420. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60lcm7e420	⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Proof of Theorem 60lcm7e420

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12432	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	decnncl2 12843	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
3		7nn 12435	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
4		1nn 12346	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		4nn0 12625	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		2nn 12416	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12838	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
8	7	decnncl2 12843	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
9		60gcd7e1 43055	. 2 ⊢ (;60 gcd 7) = 1
10		2nn0 12623	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	5, 10	deccl 12829	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
12		0nn0 12621	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	11, 12	deccl 12829	. . . 4 ⊢ ;;420 ∈ ℕ0
14	13	nn0cni 12618	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℂ
15	14	mullidi 11314	. 2 ⊢ (1 · ;;420) = ;;420
16		7nn0 12628	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
17		6nn0 12627	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
18		eqid 2761	. . 3 ⊢ ;60 = ;60
19		7cn 12437	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
20		6cn 12434	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		7t6e42 12932	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
22	19, 20, 21	mulcomli 11318	. . . 4 ⊢ (6 · 7) = ;42
23		2cn 12418	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
24	23	addridi 11497	. . . 4 ⊢ (2 + 0) = 2
25	5, 10, 12, 22, 24	decaddi 12879	. . 3 ⊢ ((6 · 7) + 0) = ;42
26		0cn 11298	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
27	19	mul01i 11500	. . . . 5 ⊢ (7 · 0) = 0
28	12	dec0h 12841	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
29	28	eqcomi 2770	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
30	27, 29	eqtr4i 2787	. . . 4 ⊢ (7 · 0) = ;00
31	19, 26, 30	mulcomli 11318	. . 3 ⊢ (0 · 7) = ;00
32	16, 17, 12, 18, 12, 12, 25, 31	decmul1c 12884	. 2 ⊢ (;60 · 7) = ;;420
33	2, 3, 4, 8, 9, 15, 32	lcmeprodgcdi 43057	1 ⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205  2c2 12397  4c4 12399  6c6 12401  7c7 12402  ;cdc 12814   lcm clcm 16763

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-lcm 16765  df-prm 16847

This theorem is used by:  lcm7un  43069