Theorem 60lcm7e420 41392

Description: The lcm of 60 and 7 is 420. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60lcm7e420	⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Proof of Theorem 60lcm7e420

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12305	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	decnncl2 12705	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
3		7nn 12308	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
4		1nn 12227	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		4nn0 12495	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		2nn 12289	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12701	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
8	7	decnncl2 12705	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
9		60gcd7e1 41387	. 2 ⊢ (;60 gcd 7) = 1
10		2nn0 12493	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	5, 10	deccl 12696	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
12		0nn0 12491	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	11, 12	deccl 12696	. . . 4 ⊢ ;;420 ∈ ℕ0
14	13	nn0cni 12488	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℂ
15	14	mullidi 11223	. 2 ⊢ (1 · ;;420) = ;;420
16		7nn0 12498	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
17		6nn0 12497	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
18		eqid 2726	. . 3 ⊢ ;60 = ;60
19		7cn 12310	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
20		6cn 12307	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		7t6e42 12794	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
22	19, 20, 21	mulcomli 11227	. . . 4 ⊢ (6 · 7) = ;42
23		2cn 12291	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
24	23	addridi 11405	. . . 4 ⊢ (2 + 0) = 2
25	5, 10, 12, 22, 24	decaddi 12741	. . 3 ⊢ ((6 · 7) + 0) = ;42
26		0cn 11210	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
27	19	mul01i 11408	. . . . 5 ⊢ (7 · 0) = 0
28	12	dec0h 12703	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
29	28	eqcomi 2735	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
30	27, 29	eqtr4i 2757	. . . 4 ⊢ (7 · 0) = ;00
31	19, 26, 30	mulcomli 11227	. . 3 ⊢ (0 · 7) = ;00
32	16, 17, 12, 18, 12, 12, 25, 31	decmul1c 12746	. 2 ⊢ (;60 · 7) = ;;420
33	2, 3, 4, 8, 9, 15, 32	lcmeprodgcdi 41389	1 ⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Syntax hints:   = wceq 1533  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117  2c2 12271  4c4 12273  6c6 12275  7c7 12276  ;cdc 12681   lcm clcm 16532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-lcm 16534  df-prm 16616

This theorem is referenced by:  lcm7un  41401