Theorem 60lcm7e420 41991

Description: The lcm of 60 and 7 is 420. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60lcm7e420	⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Proof of Theorem 60lcm7e420

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12352	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	decnncl2 12754	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
3		7nn 12355	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
4		1nn 12274	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		4nn0 12542	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		2nn 12336	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12750	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
8	7	decnncl2 12754	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
9		60gcd7e1 41986	. 2 ⊢ (;60 gcd 7) = 1
10		2nn0 12540	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	5, 10	deccl 12745	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
12		0nn0 12538	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	11, 12	deccl 12745	. . . 4 ⊢ ;;420 ∈ ℕ0
14	13	nn0cni 12535	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℂ
15	14	mullidi 11263	. 2 ⊢ (1 · ;;420) = ;;420
16		7nn0 12545	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
17		6nn0 12544	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
18		eqid 2734	. . 3 ⊢ ;60 = ;60
19		7cn 12357	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
20		6cn 12354	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		7t6e42 12843	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
22	19, 20, 21	mulcomli 11267	. . . 4 ⊢ (6 · 7) = ;42
23		2cn 12338	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
24	23	addridi 11445	. . . 4 ⊢ (2 + 0) = 2
25	5, 10, 12, 22, 24	decaddi 12790	. . 3 ⊢ ((6 · 7) + 0) = ;42
26		0cn 11250	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
27	19	mul01i 11448	. . . . 5 ⊢ (7 · 0) = 0
28	12	dec0h 12752	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
29	28	eqcomi 2743	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
30	27, 29	eqtr4i 2765	. . . 4 ⊢ (7 · 0) = ;00
31	19, 26, 30	mulcomli 11267	. . 3 ⊢ (0 · 7) = ;00
32	16, 17, 12, 18, 12, 12, 25, 31	decmul1c 12795	. 2 ⊢ (;60 · 7) = ;;420
33	2, 3, 4, 8, 9, 15, 32	lcmeprodgcdi 41988	1 ⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Syntax hints:   = wceq 1536  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157  2c2 12318  4c4 12320  6c6 12322  7c7 12323  ;cdc 12730   lcm clcm 16621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-lcm 16623  df-prm 16705

This theorem is referenced by:  lcm7un  42000