Theorem 60lcm7e420 42627

Description: The lcm of 60 and 7 is 420. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60lcm7e420	⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Proof of Theorem 60lcm7e420

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12307	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	decnncl2 12717	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
3		7nn 12310	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
4		1nn 12221	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		4nn0 12500	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		2nn 12291	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12712	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
8	7	decnncl2 12717	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
9		60gcd7e1 42622	. 2 ⊢ (;60 gcd 7) = 1
10		2nn0 12498	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	5, 10	deccl 12703	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
12		0nn0 12496	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	11, 12	deccl 12703	. . . 4 ⊢ ;;420 ∈ ℕ0
14	13	nn0cni 12493	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℂ
15	14	mullidi 11187	. 2 ⊢ (1 · ;;420) = ;;420
16		7nn0 12503	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
17		6nn0 12502	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
18		eqid 2762	. . 3 ⊢ ;60 = ;60
19		7cn 12312	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
20		6cn 12309	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		7t6e42 12806	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
22	19, 20, 21	mulcomli 11191	. . . 4 ⊢ (6 · 7) = ;42
23		2cn 12293	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
24	23	addridi 11370	. . . 4 ⊢ (2 + 0) = 2
25	5, 10, 12, 22, 24	decaddi 12753	. . 3 ⊢ ((6 · 7) + 0) = ;42
26		0cn 11171	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
27	19	mul01i 11373	. . . . 5 ⊢ (7 · 0) = 0
28	12	dec0h 12715	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
29	28	eqcomi 2771	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
30	27, 29	eqtr4i 2788	. . . 4 ⊢ (7 · 0) = ;00
31	19, 26, 30	mulcomli 11191	. . 3 ⊢ (0 · 7) = ;00
32	16, 17, 12, 18, 12, 12, 25, 31	decmul1c 12758	. 2 ⊢ (;60 · 7) = ;;420
33	2, 3, 4, 8, 9, 15, 32	lcmeprodgcdi 42624	1 ⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Syntax hints:   = wceq 1560  (class class class)co 7396  0cc0 11073  1c1 11074   · cmul 11078  2c2 12272  4c4 12274  6c6 12276  7c7 12277  ;cdc 12688   lcm clcm 16622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fz 13513  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-dvds 16287  df-gcd 16529  df-lcm 16624  df-prm 16706

This theorem is referenced by:  lcm7un  42636