Theorem 60lcm7e420 41998

Description: The lcm of 60 and 7 is 420. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60lcm7e420	⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Proof of Theorem 60lcm7e420

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12275	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	decnncl2 12673	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
3		7nn 12278	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
4		1nn 12197	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		4nn0 12461	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		2nn 12259	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12669	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
8	7	decnncl2 12673	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
9		60gcd7e1 41993	. 2 ⊢ (;60 gcd 7) = 1
10		2nn0 12459	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	5, 10	deccl 12664	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
12		0nn0 12457	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	11, 12	deccl 12664	. . . 4 ⊢ ;;420 ∈ ℕ0
14	13	nn0cni 12454	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℂ
15	14	mullidi 11179	. 2 ⊢ (1 · ;;420) = ;;420
16		7nn0 12464	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
17		6nn0 12463	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
18		eqid 2729	. . 3 ⊢ ;60 = ;60
19		7cn 12280	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
20		6cn 12277	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		7t6e42 12762	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
22	19, 20, 21	mulcomli 11183	. . . 4 ⊢ (6 · 7) = ;42
23		2cn 12261	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
24	23	addridi 11361	. . . 4 ⊢ (2 + 0) = 2
25	5, 10, 12, 22, 24	decaddi 12709	. . 3 ⊢ ((6 · 7) + 0) = ;42
26		0cn 11166	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
27	19	mul01i 11364	. . . . 5 ⊢ (7 · 0) = 0
28	12	dec0h 12671	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
29	28	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
30	27, 29	eqtr4i 2755	. . . 4 ⊢ (7 · 0) = ;00
31	19, 26, 30	mulcomli 11183	. . 3 ⊢ (0 · 7) = ;00
32	16, 17, 12, 18, 12, 12, 25, 31	decmul1c 12714	. 2 ⊢ (;60 · 7) = ;;420
33	2, 3, 4, 8, 9, 15, 32	lcmeprodgcdi 41995	1 ⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073  2c2 12241  4c4 12243  6c6 12245  7c7 12246  ;cdc 12649   lcm clcm 16558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-lcm 16560  df-prm 16642

This theorem is referenced by:  lcm7un  42007