Theorem 60lcm7e420 42005

Description: The lcm of 60 and 7 is 420. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60lcm7e420	⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Proof of Theorem 60lcm7e420

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12282	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	decnncl2 12680	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
3		7nn 12285	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
4		1nn 12204	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		4nn0 12468	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		2nn 12266	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12676	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
8	7	decnncl2 12680	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
9		60gcd7e1 42000	. 2 ⊢ (;60 gcd 7) = 1
10		2nn0 12466	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	5, 10	deccl 12671	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
12		0nn0 12464	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	11, 12	deccl 12671	. . . 4 ⊢ ;;420 ∈ ℕ0
14	13	nn0cni 12461	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℂ
15	14	mullidi 11186	. 2 ⊢ (1 · ;;420) = ;;420
16		7nn0 12471	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
17		6nn0 12470	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
18		eqid 2730	. . 3 ⊢ ;60 = ;60
19		7cn 12287	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
20		6cn 12284	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		7t6e42 12769	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
22	19, 20, 21	mulcomli 11190	. . . 4 ⊢ (6 · 7) = ;42
23		2cn 12268	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
24	23	addridi 11368	. . . 4 ⊢ (2 + 0) = 2
25	5, 10, 12, 22, 24	decaddi 12716	. . 3 ⊢ ((6 · 7) + 0) = ;42
26		0cn 11173	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
27	19	mul01i 11371	. . . . 5 ⊢ (7 · 0) = 0
28	12	dec0h 12678	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
29	28	eqcomi 2739	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
30	27, 29	eqtr4i 2756	. . . 4 ⊢ (7 · 0) = ;00
31	19, 26, 30	mulcomli 11190	. . 3 ⊢ (0 · 7) = ;00
32	16, 17, 12, 18, 12, 12, 25, 31	decmul1c 12721	. 2 ⊢ (;60 · 7) = ;;420
33	2, 3, 4, 8, 9, 15, 32	lcmeprodgcdi 42002	1 ⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080  2c2 12248  4c4 12250  6c6 12252  7c7 12253  ;cdc 12656   lcm clcm 16565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-lcm 16567  df-prm 16649

This theorem is referenced by:  lcm7un  42014