Theorem 60lcm7e420 42877

Description: The lcm of 60 and 7 is 420. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60lcm7e420	⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Proof of Theorem 60lcm7e420

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12355	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	decnncl2 12766	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
3		7nn 12358	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
4		1nn 12269	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		4nn0 12548	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		2nn 12339	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12761	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
8	7	decnncl2 12766	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
9		60gcd7e1 42872	. 2 ⊢ (;60 gcd 7) = 1
10		2nn0 12546	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	5, 10	deccl 12752	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
12		0nn0 12544	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	11, 12	deccl 12752	. . . 4 ⊢ ;;420 ∈ ℕ0
14	13	nn0cni 12541	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℂ
15	14	mullidi 11239	. 2 ⊢ (1 · ;;420) = ;;420
16		7nn0 12551	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
17		6nn0 12550	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
18		eqid 2760	. . 3 ⊢ ;60 = ;60
19		7cn 12360	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
20		6cn 12357	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		7t6e42 12855	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
22	19, 20, 21	mulcomli 11243	. . . 4 ⊢ (6 · 7) = ;42
23		2cn 12341	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
24	23	addridi 11422	. . . 4 ⊢ (2 + 0) = 2
25	5, 10, 12, 22, 24	decaddi 12802	. . 3 ⊢ ((6 · 7) + 0) = ;42
26		0cn 11223	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
27	19	mul01i 11425	. . . . 5 ⊢ (7 · 0) = 0
28	12	dec0h 12764	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
29	28	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
30	27, 29	eqtr4i 2786	. . . 4 ⊢ (7 · 0) = ;00
31	19, 26, 30	mulcomli 11243	. . 3 ⊢ (0 · 7) = ;00
32	16, 17, 12, 18, 12, 12, 25, 31	decmul1c 12807	. 2 ⊢ (;60 · 7) = ;;420
33	2, 3, 4, 8, 9, 15, 32	lcmeprodgcdi 42874	1 ⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7414  0cc0 11125  1c1 11126   · cmul 11130  2c2 12320  4c4 12322  6c6 12324  7c7 12325  ;cdc 12737   lcm clcm 16679

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-rp 13044  df-fz 13563  df-fl 13854  df-mod 13932  df-seq 14067  df-exp 14127  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-dvds 16344  df-gcd 16586  df-lcm 16681  df-prm 16763

This theorem is used by:  lcm7un  42886