Theorem 60lcm7e420 41967

Description: The lcm of 60 and 7 is 420. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60lcm7e420	⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Proof of Theorem 60lcm7e420

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12382	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	decnncl2 12782	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
3		7nn 12385	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
4		1nn 12304	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		4nn0 12572	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		2nn 12366	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
8	7	decnncl2 12782	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
9		60gcd7e1 41962	. 2 ⊢ (;60 gcd 7) = 1
10		2nn0 12570	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	5, 10	deccl 12773	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
12		0nn0 12568	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	11, 12	deccl 12773	. . . 4 ⊢ ;;420 ∈ ℕ0
14	13	nn0cni 12565	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℂ
15	14	mullidi 11295	. 2 ⊢ (1 · ;;420) = ;;420
16		7nn0 12575	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
17		6nn0 12574	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
18		eqid 2740	. . 3 ⊢ ;60 = ;60
19		7cn 12387	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
20		6cn 12384	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		7t6e42 12871	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
22	19, 20, 21	mulcomli 11299	. . . 4 ⊢ (6 · 7) = ;42
23		2cn 12368	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
24	23	addridi 11477	. . . 4 ⊢ (2 + 0) = 2
25	5, 10, 12, 22, 24	decaddi 12818	. . 3 ⊢ ((6 · 7) + 0) = ;42
26		0cn 11282	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
27	19	mul01i 11480	. . . . 5 ⊢ (7 · 0) = 0
28	12	dec0h 12780	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
29	28	eqcomi 2749	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
30	27, 29	eqtr4i 2771	. . . 4 ⊢ (7 · 0) = ;00
31	19, 26, 30	mulcomli 11299	. . 3 ⊢ (0 · 7) = ;00
32	16, 17, 12, 18, 12, 12, 25, 31	decmul1c 12823	. 2 ⊢ (;60 · 7) = ;;420
33	2, 3, 4, 8, 9, 15, 32	lcmeprodgcdi 41964	1 ⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189  2c2 12348  4c4 12350  6c6 12352  7c7 12353  ;cdc 12758   lcm clcm 16635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-lcm 16637  df-prm 16719

This theorem is referenced by:  lcm7un  41976