Theorem 60lcm7e420 42203

Description: The lcm of 60 and 7 is 420. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60lcm7e420	⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Proof of Theorem 60lcm7e420

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12232	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	decnncl2 12629	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
3		7nn 12235	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
4		1nn 12154	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		4nn0 12418	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		2nn 12216	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12625	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
8	7	decnncl2 12629	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
9		60gcd7e1 42198	. 2 ⊢ (;60 gcd 7) = 1
10		2nn0 12416	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	5, 10	deccl 12620	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
12		0nn0 12414	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	11, 12	deccl 12620	. . . 4 ⊢ ;;420 ∈ ℕ0
14	13	nn0cni 12411	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℂ
15	14	mullidi 11135	. 2 ⊢ (1 · ;;420) = ;;420
16		7nn0 12421	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
17		6nn0 12420	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
18		eqid 2734	. . 3 ⊢ ;60 = ;60
19		7cn 12237	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
20		6cn 12234	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		7t6e42 12718	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
22	19, 20, 21	mulcomli 11139	. . . 4 ⊢ (6 · 7) = ;42
23		2cn 12218	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
24	23	addridi 11318	. . . 4 ⊢ (2 + 0) = 2
25	5, 10, 12, 22, 24	decaddi 12665	. . 3 ⊢ ((6 · 7) + 0) = ;42
26		0cn 11122	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
27	19	mul01i 11321	. . . . 5 ⊢ (7 · 0) = 0
28	12	dec0h 12627	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
29	28	eqcomi 2743	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
30	27, 29	eqtr4i 2760	. . . 4 ⊢ (7 · 0) = ;00
31	19, 26, 30	mulcomli 11139	. . 3 ⊢ (0 · 7) = ;00
32	16, 17, 12, 18, 12, 12, 25, 31	decmul1c 12670	. 2 ⊢ (;60 · 7) = ;;420
33	2, 3, 4, 8, 9, 15, 32	lcmeprodgcdi 42200	1 ⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7356  0cc0 11024  1c1 11025   · cmul 11029  2c2 12198  4c4 12200  6c6 12202  7c7 12203  ;cdc 12605   lcm clcm 16513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-dvds 16178  df-gcd 16420  df-lcm 16515  df-prm 16597

This theorem is referenced by:  lcm7un  42212