Theorem 60lcm7e420 42449

Description: The lcm of 60 and 7 is 420. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60lcm7e420	⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Proof of Theorem 60lcm7e420

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12270	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	decnncl2 12668	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
3		7nn 12273	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
4		1nn 12185	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		4nn0 12456	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		2nn 12254	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12664	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
8	7	decnncl2 12668	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
9		60gcd7e1 42444	. 2 ⊢ (;60 gcd 7) = 1
10		2nn0 12454	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	5, 10	deccl 12659	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
12		0nn0 12452	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	11, 12	deccl 12659	. . . 4 ⊢ ;;420 ∈ ℕ0
14	13	nn0cni 12449	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℂ
15	14	mullidi 11150	. 2 ⊢ (1 · ;;420) = ;;420
16		7nn0 12459	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
17		6nn0 12458	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
18		eqid 2736	. . 3 ⊢ ;60 = ;60
19		7cn 12275	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
20		6cn 12272	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		7t6e42 12757	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
22	19, 20, 21	mulcomli 11154	. . . 4 ⊢ (6 · 7) = ;42
23		2cn 12256	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
24	23	addridi 11333	. . . 4 ⊢ (2 + 0) = 2
25	5, 10, 12, 22, 24	decaddi 12704	. . 3 ⊢ ((6 · 7) + 0) = ;42
26		0cn 11136	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
27	19	mul01i 11336	. . . . 5 ⊢ (7 · 0) = 0
28	12	dec0h 12666	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
29	28	eqcomi 2745	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
30	27, 29	eqtr4i 2762	. . . 4 ⊢ (7 · 0) = ;00
31	19, 26, 30	mulcomli 11154	. . 3 ⊢ (0 · 7) = ;00
32	16, 17, 12, 18, 12, 12, 25, 31	decmul1c 12709	. 2 ⊢ (;60 · 7) = ;;420
33	2, 3, 4, 8, 9, 15, 32	lcmeprodgcdi 42446	1 ⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043  2c2 12236  4c4 12238  6c6 12240  7c7 12241  ;cdc 12644   lcm clcm 16557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-lcm 16559  df-prm 16641

This theorem is referenced by:  lcm7un  42458