Theorem 60lcm7e420 42666

Description: The lcm of 60 and 7 is 420. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60lcm7e420	⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Proof of Theorem 60lcm7e420

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12329	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	decnncl2 12739	. 2 ⊢ ;60 ∈ ℕ
3		7nn 12332	. 2 ⊢ 7 ∈ ℕ
4		1nn 12243	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		4nn0 12522	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		2nn 12313	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12734	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
8	7	decnncl2 12739	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
9		60gcd7e1 42661	. 2 ⊢ (;60 gcd 7) = 1
10		2nn0 12520	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	5, 10	deccl 12725	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
12		0nn0 12518	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	11, 12	deccl 12725	. . . 4 ⊢ ;;420 ∈ ℕ0
14	13	nn0cni 12515	. . 3 ⊢ ;;420 ∈ ℂ
15	14	mullidi 11213	. 2 ⊢ (1 · ;;420) = ;;420
16		7nn0 12525	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
17		6nn0 12524	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
18		eqid 2769	. . 3 ⊢ ;60 = ;60
19		7cn 12334	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
20		6cn 12331	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
21		7t6e42 12828	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
22	19, 20, 21	mulcomli 11217	. . . 4 ⊢ (6 · 7) = ;42
23		2cn 12315	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
24	23	addridi 11396	. . . 4 ⊢ (2 + 0) = 2
25	5, 10, 12, 22, 24	decaddi 12775	. . 3 ⊢ ((6 · 7) + 0) = ;42
26		0cn 11197	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
27	19	mul01i 11399	. . . . 5 ⊢ (7 · 0) = 0
28	12	dec0h 12737	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
29	28	eqcomi 2778	. . . . 5 ⊢ ;00 = 0
30	27, 29	eqtr4i 2795	. . . 4 ⊢ (7 · 0) = ;00
31	19, 26, 30	mulcomli 11217	. . 3 ⊢ (0 · 7) = ;00
32	16, 17, 12, 18, 12, 12, 25, 31	decmul1c 12780	. 2 ⊢ (;60 · 7) = ;;420
33	2, 3, 4, 8, 9, 15, 32	lcmeprodgcdi 42663	1 ⊢ (;60 lcm 7) = ;;420

Syntax hints:   = wceq 1567  (class class class)co 7411  0cc0 11099  1c1 11100   · cmul 11104  2c2 12294  4c4 12296  6c6 12298  7c7 12299  ;cdc 12710   lcm clcm 16645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-lcm 16647  df-prm 16729

This theorem is referenced by:  lcm7un  42675