Theorem 10nn 12732

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 12714	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 12340	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12246	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2860	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104  ℕcn 12234  9c9 12303  ;cdc 12712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-dec 12713

This theorem is referenced by:  10pos  12733  decnncl2  12741  declt  12745  decltc  12746  declti  12755  dec10p  12760  3dec  14304  3dvds  16390  163prm  17186  631prm  17188  plendx  17420  pleid  17421  plendxnn  17422  otpsstr  17430  odrngstr  17457  imasvalstr  17505  ipostr  18586  cnfldstr  21505  bclbnd  27425  ex-prmo  30791  rpdp2cl  33182  dp2ltsuc  33186  dpmul10  33195  decdiv10  33196  dpmul100  33197  dp3mul10  33198  dpadd2  33210  dpadd  33211  dpadd3  33212  dpmul  33213  dpmul4  33214  idlsrgstr  33773  hgt750lem  35019  tgoldbachgt  35031  60gcd6e6  42752  aks4d1p1p7  42822  rmydioph  43724  sin5tlem5  47597  1t10e1p1e11  48030  257prm  48296  127prm  48334  3exp4mod41  48351  41prothprmlem1  48352  bgoldbtbndlem1  48553  bgoldbachlt  48561  tgblthelfgott  48563  tgoldbachlt  48564