Theorem 10nn 12730

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 12712	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 12338	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12244	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2866	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102  ℕcn 12232  9c9 12301  ;cdc 12710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-dec 12711

This theorem is referenced by:  10pos  12731  decnncl2  12739  declt  12743  decltc  12744  declti  12753  dec10p  12758  3dec  14301  3dvds  16388  163prm  17184  631prm  17186  plendx  17418  pleid  17419  plendxnn  17420  otpsstr  17428  odrngstr  17455  imasvalstr  17503  ipostr  18584  cnfldstr  21492  bclbnd  27409  ex-prmo  30750  rpdp2cl  33141  dp2ltsuc  33145  dpmul10  33154  decdiv10  33155  dpmul100  33156  dp3mul10  33157  dpadd2  33169  dpadd  33170  dpadd3  33171  dpmul  33172  dpmul4  33173  idlsrgstr  33736  hgt750lem  34982  tgoldbachgt  34994  60gcd6e6  42660  aks4d1p1p7  42730  rmydioph  43632  sin5tlem5  47502  1t10e1p1e11  47935  257prm  48201  127prm  48239  3exp4mod41  48256  41prothprmlem1  48257  bgoldbtbndlem1  48458  bgoldbachlt  48466  tgblthelfgott  48468  tgoldbachlt  48469