Theorem 10nn 12651

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 12637	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 12270	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12177	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2834	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032  ℕcn 12165  9c9 12234  ;cdc 12635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-dec 12636

This theorem is referenced by:  10pos  12652  decnncl2  12659  declt  12663  decltc  12664  declti  12673  dec10p  12678  3dec  14219  3dvds  16291  163prm  17086  631prm  17088  plendx  17320  pleid  17321  plendxnn  17322  otpsstr  17330  odrngstr  17357  imasvalstr  17405  ipostr  18486  cnfldstr  21346  cnfldstrOLD  21361  bclbnd  27257  ex-prmo  30544  rpdp2cl  32956  dp2ltsuc  32960  dpmul10  32969  decdiv10  32970  dpmul100  32971  dp3mul10  32972  dpadd2  32984  dpadd  32985  dpadd3  32986  dpmul  32987  dpmul4  32988  idlsrgstr  33577  hgt750lem  34811  tgoldbachgt  34823  60gcd6e6  42457  aks4d1p1p7  42527  rmydioph  43460  sin5tlem5  47341  1t10e1p1e11  47770  257prm  48036  127prm  48074  3exp4mod41  48091  41prothprmlem1  48092  bgoldbtbndlem1  48293  bgoldbachlt  48301  tgblthelfgott  48303  tgoldbachlt  48304