Theorem 10nn 11837

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 11823	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 11455	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 11364	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2903	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2166  (class class class)co 6905  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255  ℕcn 11350  9c9 11413  ;cdc 11821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-ltxr 10396  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-dec 11822

This theorem is referenced by:  10pos  11838  10reOLD  11841  decnncl2  11846  declt  11850  decltc  11851  declti  11860  dec10p  11865  3dvds  15429  163prm  16197  631prm  16199  plendx  16406  pleid  16407  otpsstr  16408  ressle  16412  odrngstr  16419  imasvalstr  16465  isposix  17310  ipostr  17506  cnfldstr  20108  bclbnd  25418  ex-prmo  27874  rpdp2cl  30135  dp2ltsuc  30139  dpmul10  30148  decdiv10  30149  dpmul100  30150  dp3mul10  30151  dpadd2  30163  dpadd  30164  dpadd3  30165  dpmul  30166  dpmul4  30167  oppgle  30198  hgt750lem  31278  tgoldbachgt  31290  rmydioph  38424  1t10e1p1e11  42208  257prm  42303  127prm  42345  3exp4mod41  42363  41prothprmlem1  42364  bgoldbtbndlem1  42523  bgoldbachlt  42531  tgblthelfgott  42533  tgoldbachlt  42534