Theorem 10nn 12625

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 12611	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 12244	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12158	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2825	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031  ℕcn 12146  9c9 12208  ;cdc 12609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-dec 12610

This theorem is referenced by:  10pos  12626  decnncl2  12633  declt  12637  decltc  12638  declti  12647  dec10p  12652  3dec  14191  3dvds  16260  163prm  17054  631prm  17056  plendx  17288  pleid  17289  plendxnn  17290  otpsstr  17298  odrngstr  17325  imasvalstr  17373  ipostr  18453  cnfldstr  21281  cnfldstrOLD  21296  bclbnd  27207  ex-prmo  30421  rpdp2cl  32835  dp2ltsuc  32839  dpmul10  32848  decdiv10  32849  dpmul100  32850  dp3mul10  32851  dpadd2  32863  dpadd  32864  dpadd3  32865  dpmul  32866  dpmul4  32867  idlsrgstr  33452  hgt750lem  34621  tgoldbachgt  34633  60gcd6e6  41980  aks4d1p1p7  42050  rmydioph  42990  1t10e1p1e11  47298  257prm  47549  127prm  47587  3exp4mod41  47604  41prothprmlem1  47605  bgoldbtbndlem1  47793  bgoldbachlt  47801  tgblthelfgott  47803  tgoldbachlt  47804