Theorem 10nn 12774

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 12760	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 12391	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12305	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2841	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187  ℕcn 12293  9c9 12355  ;cdc 12758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-dec 12759

This theorem is referenced by:  10pos  12775  decnncl2  12782  declt  12786  decltc  12787  declti  12796  dec10p  12801  3dec  14315  3dvds  16379  163prm  17172  631prm  17174  plendx  17425  pleid  17426  plendxnn  17427  otpsstr  17435  odrngstr  17462  imasvalstr  17511  isposixOLD  18396  ipostr  18599  cnfldstr  21389  cnfldstrOLD  21404  bclbnd  27342  ex-prmo  30491  rpdp2cl  32846  dp2ltsuc  32850  dpmul10  32859  decdiv10  32860  dpmul100  32861  dp3mul10  32862  dpadd2  32874  dpadd  32875  dpadd3  32876  dpmul  32877  dpmul4  32878  oppgleOLD  32934  idlsrgstr  33495  hgt750lem  34628  tgoldbachgt  34640  60gcd6e6  41961  aks4d1p1p7  42031  rmydioph  42971  1t10e1p1e11  47225  257prm  47435  127prm  47473  3exp4mod41  47490  41prothprmlem1  47491  bgoldbtbndlem1  47679  bgoldbachlt  47687  tgblthelfgott  47689  tgoldbachlt  47690