Theorem 10nn 12838

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 12820	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 12445	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12351	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2857	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207  ℕcn 12339  9c9 12408  ;cdc 12818

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-ltxr 11352  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-dec 12819

This theorem is used by:  10pos  12839  decnncl2  12847  declt  12851  decltc  12852  declti  12861  dec10p  12866  3dec  14414  3dvds  16507  163prm  17309  631prm  17311  plendx  17543  pleid  17544  plendxnn  17545  otpsstr  17553  odrngstr  17580  imasvalstr  17628  ipostr  18709  cnfldstr  21686  bclbnd  27613  angmgmlem  29401  angmgmbas  29404  ex-prmo  31066  rpdp2cl  33495  dp2ltsuc  33499  dpmul10  33508  decdiv10  33509  dpmul100  33510  dp3mul10  33511  dpadd2  33523  dpadd  33524  dpadd3  33525  dpmul  33526  dpmul4  33527  idlsrgstr  34081  hgt750lem  35327  tgoldbachgt  35339  60gcd6e6  43148  aks4d1p1p7  43218  rmydioph  44115  sin5tlem5  48017  1t10e1p1e11  48474  257prm  48740  127prm  48778  3exp4mod41  48795  41prothprmlem1  48796  bgoldbtbndlem1  48997  bgoldbachlt  49005  tgblthelfgott  49007  tgoldbachlt  49008