Theorem 10nn 12635

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 12621	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 12255	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12169	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2834	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ℕcn 12157  9c9 12219  ;cdc 12619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-dec 12620

This theorem is referenced by:  10pos  12636  decnncl2  12643  declt  12647  decltc  12648  declti  12657  dec10p  12662  3dec  14201  3dvds  16270  163prm  17064  631prm  17066  plendx  17298  pleid  17299  plendxnn  17300  otpsstr  17308  odrngstr  17335  imasvalstr  17383  ipostr  18464  cnfldstr  21323  cnfldstrOLD  21338  bclbnd  27259  ex-prmo  30546  rpdp2cl  32973  dp2ltsuc  32977  dpmul10  32986  decdiv10  32987  dpmul100  32988  dp3mul10  32989  dpadd2  33001  dpadd  33002  dpadd3  33003  dpmul  33004  dpmul4  33005  idlsrgstr  33594  hgt750lem  34828  tgoldbachgt  34840  60gcd6e6  42371  aks4d1p1p7  42441  rmydioph  43368  1t10e1p1e11  47667  257prm  47918  127prm  47956  3exp4mod41  47973  41prothprmlem1  47974  bgoldbtbndlem1  48162  bgoldbachlt  48170  tgblthelfgott  48172  tgoldbachlt  48173