Theorem 10nn 11838

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 11824	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 11456	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 11365	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2904	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2166  (class class class)co 6906  0cc0 10253  1c1 10254   + caddc 10256  ℕcn 11351  9c9 11414  ;cdc 11822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-ov 6909  df-om 7328  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-ltxr 10397  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-dec 11823

This theorem is referenced by:  10pos  11839  10reOLD  11842  decnncl2  11847  declt  11851  decltc  11852  declti  11861  dec10p  11866  3dvds  15430  163prm  16198  631prm  16200  plendx  16407  pleid  16408  otpsstr  16409  ressle  16413  odrngstr  16420  imasvalstr  16466  isposix  17311  ipostr  17507  cnfldstr  20109  bclbnd  25419  ex-prmo  27875  rpdp2cl  30136  dp2ltsuc  30140  dpmul10  30149  decdiv10  30150  dpmul100  30151  dp3mul10  30152  dpadd2  30164  dpadd  30165  dpadd3  30166  dpmul  30167  dpmul4  30168  oppgle  30199  hgt750lem  31279  tgoldbachgt  31291  rmydioph  38425  1t10e1p1e11  42209  257prm  42304  127prm  42346  3exp4mod41  42364  41prothprmlem1  42365  bgoldbtbndlem1  42524  bgoldbachlt  42532  tgblthelfgott  42534  tgoldbachlt  42535