Theorem 10nn 12745

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 12731	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 12362	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12276	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2823	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7424  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161  ℕcn 12264  9c9 12326  ;cdc 12729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-ltxr 11303  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-dec 12730

This theorem is referenced by:  10pos  12746  decnncl2  12753  declt  12757  decltc  12758  declti  12767  dec10p  12772  3dec  14283  3dvds  16333  163prm  17127  631prm  17129  plendx  17380  pleid  17381  plendxnn  17382  otpsstr  17390  odrngstr  17417  imasvalstr  17466  isposixOLD  18351  ipostr  18554  cnfldstr  21345  cnfldstrOLD  21360  bclbnd  27309  ex-prmo  30392  rpdp2cl  32743  dp2ltsuc  32747  dpmul10  32756  decdiv10  32757  dpmul100  32758  dp3mul10  32759  dpadd2  32771  dpadd  32772  dpadd3  32773  dpmul  32774  dpmul4  32775  oppgleOLD  32831  idlsrgstr  33377  hgt750lem  34497  tgoldbachgt  34509  60gcd6e6  41703  aks4d1p1p7  41773  rmydioph  42672  1t10e1p1e11  46923  257prm  47133  127prm  47171  3exp4mod41  47188  41prothprmlem1  47189  bgoldbtbndlem1  47377  bgoldbachlt  47385  tgblthelfgott  47387  tgoldbachlt  47388