Theorem 10nn 12724

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 12710	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 12338	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12252	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2831	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132  ℕcn 12240  9c9 12302  ;cdc 12708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-dec 12709

This theorem is referenced by:  10pos  12725  decnncl2  12732  declt  12736  decltc  12737  declti  12746  dec10p  12751  3dec  14284  3dvds  16350  163prm  17144  631prm  17146  plendx  17380  pleid  17381  plendxnn  17382  otpsstr  17390  odrngstr  17417  imasvalstr  17465  ipostr  18539  cnfldstr  21317  cnfldstrOLD  21332  bclbnd  27243  ex-prmo  30440  rpdp2cl  32856  dp2ltsuc  32860  dpmul10  32869  decdiv10  32870  dpmul100  32871  dp3mul10  32872  dpadd2  32884  dpadd  32885  dpadd3  32886  dpmul  32887  dpmul4  32888  idlsrgstr  33517  hgt750lem  34683  tgoldbachgt  34695  60gcd6e6  42017  aks4d1p1p7  42087  rmydioph  43038  1t10e1p1e11  47339  257prm  47575  127prm  47613  3exp4mod41  47630  41prothprmlem1  47631  bgoldbtbndlem1  47819  bgoldbachlt  47827  tgblthelfgott  47829  tgoldbachlt  47830