Theorem 10nn 12864

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 12846	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 12471	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12377	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2861	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7446  0cc0 11230  1c1 11231   + caddc 11233  ℕcn 12365  9c9 12434  ;cdc 12844

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-ltxr 11378  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-dec 12845

This theorem is used by:  10pos  12865  decnncl2  12873  declt  12877  decltc  12878  declti  12887  dec10p  12892  3dec  14440  3dvds  16533  163prm  17335  631prm  17337  plendx  17569  pleid  17570  plendxnn  17571  otpsstr  17579  odrngstr  17606  imasvalstr  17654  ipostr  18735  cnfldstr  21713  bclbnd  27640  angmgmlem  29428  angmgmbas  29431  ex-prmo  31093  rpdp2cl  33521  dp2ltsuc  33525  dpmul10  33534  decdiv10  33535  dpmul100  33536  dp3mul10  33537  dpadd2  33549  dpadd  33550  dpadd3  33551  dpmul  33552  dpmul4  33553  idlsrgstr  34118  hgt750lem  35363  tgoldbachgt  35375  60gcd6e6  43257  aks4d1p1p7  43327  rmydioph  44225  sin5tlem5  48138  1t10e1p1e11  48595  257prm  48861  127prm  48899  3exp4mod41  48916  41prothprmlem1  48917  bgoldbtbndlem1  49118  bgoldbachlt  49126  tgblthelfgott  49128  tgoldbachlt  49129