Theorem 10nn 12658

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 12644	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 12277	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12184	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2837	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039  ℕcn 12172  9c9 12241  ;cdc 12642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-dec 12643

This theorem is referenced by:  10pos  12659  decnncl2  12666  declt  12670  decltc  12671  declti  12680  dec10p  12685  3dec  14226  3dvds  16298  163prm  17093  631prm  17095  plendx  17327  pleid  17328  plendxnn  17329  otpsstr  17337  odrngstr  17364  imasvalstr  17412  ipostr  18493  cnfldstr  21356  bclbnd  27268  ex-prmo  30554  rpdp2cl  32967  dp2ltsuc  32971  dpmul10  32980  decdiv10  32981  dpmul100  32982  dp3mul10  32983  dpadd2  32995  dpadd  32996  dpadd3  32997  dpmul  32998  dpmul4  32999  idlsrgstr  33592  hgt750lem  34842  tgoldbachgt  34854  60gcd6e6  42496  aks4d1p1p7  42566  rmydioph  43466  sin5tlem5  47347  1t10e1p1e11  47780  257prm  48046  127prm  48084  3exp4mod41  48101  41prothprmlem1  48102  bgoldbtbndlem1  48303  bgoldbachlt  48311  tgblthelfgott  48313  tgoldbachlt  48314