Theorem 10nn 12815

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 12797	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 12422	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12328	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2858	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184  ℕcn 12316  9c9 12385  ;cdc 12795

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-dec 12796

This theorem is used by:  10pos  12816  decnncl2  12824  declt  12828  decltc  12829  declti  12838  dec10p  12843  3dec  14390  3dvds  16481  163prm  17283  631prm  17285  plendx  17517  pleid  17518  plendxnn  17519  otpsstr  17527  odrngstr  17554  imasvalstr  17602  ipostr  18683  cnfldstr  21660  bclbnd  27589  angmgmlem  29377  angmgmbas  29380  ex-prmo  31042  rpdp2cl  33430  dp2ltsuc  33434  dpmul10  33443  decdiv10  33444  dpmul100  33445  dp3mul10  33446  dpadd2  33458  dpadd  33459  dpadd3  33460  dpmul  33461  dpmul4  33462  idlsrgstr  34016  hgt750lem  35263  tgoldbachgt  35275  60gcd6e6  43022  aks4d1p1p7  43092  rmydioph  43974  sin5tlem5  47867  1t10e1p1e11  48324  257prm  48590  127prm  48628  3exp4mod41  48645  41prothprmlem1  48646  bgoldbtbndlem1  48847  bgoldbachlt  48855  tgblthelfgott  48857  tgoldbachlt  48858