Theorem 10nn 12623

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 12609	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 12243	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12157	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2833	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029  ℕcn 12145  9c9 12207  ;cdc 12607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-dec 12608

This theorem is referenced by:  10pos  12624  decnncl2  12631  declt  12635  decltc  12636  declti  12645  dec10p  12650  3dec  14189  3dvds  16258  163prm  17052  631prm  17054  plendx  17286  pleid  17287  plendxnn  17288  otpsstr  17296  odrngstr  17323  imasvalstr  17371  ipostr  18452  cnfldstr  21311  cnfldstrOLD  21326  bclbnd  27247  ex-prmo  30534  rpdp2cl  32963  dp2ltsuc  32967  dpmul10  32976  decdiv10  32977  dpmul100  32978  dp3mul10  32979  dpadd2  32991  dpadd  32992  dpadd3  32993  dpmul  32994  dpmul4  32995  idlsrgstr  33583  hgt750lem  34808  tgoldbachgt  34820  60gcd6e6  42258  aks4d1p1p7  42328  rmydioph  43256  1t10e1p1e11  47556  257prm  47807  127prm  47845  3exp4mod41  47862  41prothprmlem1  47863  bgoldbtbndlem1  48051  bgoldbachlt  48059  tgblthelfgott  48061  tgoldbachlt  48062