Theorem 10nn 12689

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 12675	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 12306	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12220	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2830	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  ℕcn 12208  9c9 12270  ;cdc 12673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-dec 12674

This theorem is referenced by:  10pos  12690  decnncl2  12697  declt  12701  decltc  12702  declti  12711  dec10p  12716  3dec  14222  3dvds  16270  163prm  17054  631prm  17056  plendx  17307  pleid  17308  plendxnn  17309  otpsstr  17317  odrngstr  17344  imasvalstr  17393  isposixOLD  18275  ipostr  18478  cnfldstr  20938  bclbnd  26772  ex-prmo  29701  rpdp2cl  32035  dp2ltsuc  32039  dpmul10  32048  decdiv10  32049  dpmul100  32050  dp3mul10  32051  dpadd2  32063  dpadd  32064  dpadd3  32065  dpmul  32066  dpmul4  32067  oppgleOLD  32118  idlsrgstr  32604  hgt750lem  33651  tgoldbachgt  33663  60gcd6e6  40857  aks4d1p1p7  40927  rmydioph  41738  1t10e1p1e11  46004  257prm  46215  127prm  46253  3exp4mod41  46270  41prothprmlem1  46271  bgoldbtbndlem1  46459  bgoldbachlt  46467  tgblthelfgott  46469  tgoldbachlt  46470