MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  10nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 10nn 12108
Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
10nn 10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn
StepHypRef Expression
1 9p1e10 12094 . 2 (9 + 1) = 10
2 9nn 11729 . . 3 9 ∈ ℕ
3 peano2nn 11644 . . 3 (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
42, 3ax-mp 5 . 2 (9 + 1) ∈ ℕ
51, 4eqeltrri 2915 1 10 ∈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  (class class class)co 7150  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534  cn 11632  9c9 11693  cdc 12092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7153  df-om 7574  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-dec 12093
This theorem is referenced by:  10pos  12109  decnncl2  12116  declt  12120  decltc  12121  declti  12130  dec10p  12135  3dec  13621  3dvds  15675  163prm  16453  631prm  16455  plendx  16661  pleid  16662  otpsstr  16663  ressle  16667  odrngstr  16674  imasvalstr  16720  isposix  17562  ipostr  17758  cnfldstr  20482  bclbnd  25789  ex-prmo  28171  rpdp2cl  30491  dp2ltsuc  30495  dpmul10  30504  decdiv10  30505  dpmul100  30506  dp3mul10  30507  dpadd2  30519  dpadd  30520  dpadd3  30521  dpmul  30522  dpmul4  30523  oppgle  30573  hgt750lem  31827  tgoldbachgt  31839  rmydioph  39495  1t10e1p1e11  43395  257prm  43574  127prm  43614  3exp4mod41  43632  41prothprmlem1  43633  bgoldbtbndlem1  43821  bgoldbachlt  43829  tgblthelfgott  43831  tgoldbachlt  43832
  Copyright terms: Public domain W3C validator