Theorem 10nn 12747

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 12733	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 12362	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12276	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2836	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  ℕcn 12264  9c9 12326  ;cdc 12731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-dec 12732

This theorem is referenced by:  10pos  12748  decnncl2  12755  declt  12759  decltc  12760  declti  12769  dec10p  12774  3dec  14302  3dvds  16365  163prm  17159  631prm  17161  plendx  17412  pleid  17413  plendxnn  17414  otpsstr  17422  odrngstr  17449  imasvalstr  17498  isposixOLD  18384  ipostr  18587  cnfldstr  21384  cnfldstrOLD  21399  bclbnd  27339  ex-prmo  30488  rpdp2cl  32849  dp2ltsuc  32853  dpmul10  32862  decdiv10  32863  dpmul100  32864  dp3mul10  32865  dpadd2  32877  dpadd  32878  dpadd3  32879  dpmul  32880  dpmul4  32881  oppgleOLD  32937  idlsrgstr  33510  hgt750lem  34645  tgoldbachgt  34657  60gcd6e6  41986  aks4d1p1p7  42056  rmydioph  43003  1t10e1p1e11  47260  257prm  47486  127prm  47524  3exp4mod41  47541  41prothprmlem1  47542  bgoldbtbndlem1  47730  bgoldbachlt  47738  tgblthelfgott  47740  tgoldbachlt  47741