Theorem 10nn 12604

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 12590	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 12223	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12137	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2828	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009  ℕcn 12125  9c9 12187  ;cdc 12588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-dec 12589

This theorem is referenced by:  10pos  12605  decnncl2  12612  declt  12616  decltc  12617  declti  12626  dec10p  12631  3dec  14173  3dvds  16242  163prm  17036  631prm  17038  plendx  17270  pleid  17271  plendxnn  17272  otpsstr  17280  odrngstr  17307  imasvalstr  17355  ipostr  18435  cnfldstr  21294  cnfldstrOLD  21309  bclbnd  27219  ex-prmo  30437  rpdp2cl  32860  dp2ltsuc  32864  dpmul10  32873  decdiv10  32874  dpmul100  32875  dp3mul10  32876  dpadd2  32888  dpadd  32889  dpadd3  32890  dpmul  32891  dpmul4  32892  idlsrgstr  33465  hgt750lem  34662  tgoldbachgt  34674  60gcd6e6  42043  aks4d1p1p7  42113  rmydioph  43053  1t10e1p1e11  47347  257prm  47598  127prm  47636  3exp4mod41  47653  41prothprmlem1  47654  bgoldbtbndlem1  47842  bgoldbachlt  47850  tgblthelfgott  47852  tgoldbachlt  47853