Theorem 10nn 12716

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 12702	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 12330	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12244	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2830	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7399  0cc0 11121  1c1 11122   + caddc 11124  ℕcn 12232  9c9 12294  ;cdc 12700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7402  df-om 7856  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302  df-dec 12701

This theorem is referenced by:  10pos  12717  decnncl2  12724  declt  12728  decltc  12729  declti  12738  dec10p  12743  3dec  14272  3dvds  16335  163prm  17129  631prm  17131  plendx  17365  pleid  17366  plendxnn  17367  otpsstr  17375  odrngstr  17402  imasvalstr  17450  ipostr  18524  cnfldstr  21302  cnfldstrOLD  21317  bclbnd  27227  ex-prmo  30372  rpdp2cl  32774  dp2ltsuc  32778  dpmul10  32787  decdiv10  32788  dpmul100  32789  dp3mul10  32790  dpadd2  32802  dpadd  32803  dpadd3  32804  dpmul  32805  dpmul4  32806  idlsrgstr  33435  hgt750lem  34604  tgoldbachgt  34616  60gcd6e6  41939  aks4d1p1p7  42009  rmydioph  42963  1t10e1p1e11  47267  257prm  47493  127prm  47531  3exp4mod41  47548  41prothprmlem1  47549  bgoldbtbndlem1  47737  bgoldbachlt  47745  tgblthelfgott  47747  tgoldbachlt  47748