Theorem 10nn 12102

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 12088	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 11723	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 11637	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2887	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  ℕcn 11625  9c9 11687  ;cdc 12086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-dec 12087

This theorem is referenced by:  10pos  12103  decnncl2  12110  declt  12114  decltc  12115  declti  12124  dec10p  12129  3dec  13622  3dvds  15672  163prm  16450  631prm  16452  plendx  16658  pleid  16659  otpsstr  16660  ressle  16664  odrngstr  16671  imasvalstr  16717  isposix  17559  ipostr  17755  cnfldstr  20093  bclbnd  25864  ex-prmo  28244  rpdp2cl  30584  dp2ltsuc  30588  dpmul10  30597  decdiv10  30598  dpmul100  30599  dp3mul10  30600  dpadd2  30612  dpadd  30613  dpadd3  30614  dpmul  30615  dpmul4  30616  oppgle  30666  idlsrgstr  31055  hgt750lem  32032  tgoldbachgt  32044  60gcd6e6  39292  rmydioph  39955  1t10e1p1e11  43867  257prm  44078  127prm  44116  3exp4mod41  44134  41prothprmlem1  44135  bgoldbtbndlem1  44323  bgoldbachlt  44331  tgblthelfgott  44333  tgoldbachlt  44334