Theorem 10nn 12691

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 12677	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 12308	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12222	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2822	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110  ℕcn 12210  9c9 12272  ;cdc 12675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-ltxr 11251  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-dec 12676

This theorem is referenced by:  10pos  12692  decnncl2  12699  declt  12703  decltc  12704  declti  12713  dec10p  12718  3dec  14224  3dvds  16273  163prm  17059  631prm  17061  plendx  17312  pleid  17313  plendxnn  17314  otpsstr  17322  odrngstr  17349  imasvalstr  17398  isposixOLD  18283  ipostr  18486  cnfldstr  21232  bclbnd  27132  ex-prmo  30184  rpdp2cl  32518  dp2ltsuc  32522  dpmul10  32531  decdiv10  32532  dpmul100  32533  dp3mul10  32534  dpadd2  32546  dpadd  32547  dpadd3  32548  dpmul  32549  dpmul4  32550  oppgleOLD  32601  idlsrgstr  33088  hgt750lem  34154  tgoldbachgt  34166  gg-cnfldstr  35662  60gcd6e6  41366  aks4d1p1p7  41436  rmydioph  42267  1t10e1p1e11  46528  257prm  46739  127prm  46777  3exp4mod41  46794  41prothprmlem1  46795  bgoldbtbndlem1  46983  bgoldbachlt  46991  tgblthelfgott  46993  tgoldbachlt  46994