Theorem 10nn 12660

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 12646	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 12279	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12186	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2833	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ℕcn 12174  9c9 12243  ;cdc 12644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-dec 12645

This theorem is referenced by:  10pos  12661  decnncl2  12668  declt  12672  decltc  12673  declti  12682  dec10p  12687  3dec  14228  3dvds  16300  163prm  17095  631prm  17097  plendx  17329  pleid  17330  plendxnn  17331  otpsstr  17339  odrngstr  17366  imasvalstr  17414  ipostr  18495  cnfldstr  21354  bclbnd  27243  ex-prmo  30529  rpdp2cl  32941  dp2ltsuc  32945  dpmul10  32954  decdiv10  32955  dpmul100  32956  dp3mul10  32957  dpadd2  32969  dpadd  32970  dpadd3  32971  dpmul  32972  dpmul4  32973  idlsrgstr  33562  hgt750lem  34795  tgoldbachgt  34807  60gcd6e6  42443  aks4d1p1p7  42513  rmydioph  43442  sin5tlem5  47325  1t10e1p1e11  47758  257prm  48024  127prm  48062  3exp4mod41  48079  41prothprmlem1  48080  bgoldbtbndlem1  48281  bgoldbachlt  48289  tgblthelfgott  48291  tgoldbachlt  48292