Theorem 10nn 12719

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 12701	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 12327	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12233	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2862	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091  ℕcn 12221  9c9 12290  ;cdc 12699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-dec 12700

This theorem is referenced by:  10pos  12720  decnncl2  12728  declt  12732  decltc  12733  declti  12742  dec10p  12747  3dec  14290  3dvds  16377  163prm  17173  631prm  17175  plendx  17407  pleid  17408  plendxnn  17409  otpsstr  17417  odrngstr  17444  imasvalstr  17492  ipostr  18573  cnfldstr  21481  bclbnd  27398  ex-prmo  30715  rpdp2cl  33109  dp2ltsuc  33113  dpmul10  33122  decdiv10  33123  dpmul100  33124  dp3mul10  33125  dpadd2  33137  dpadd  33138  dpadd3  33139  dpmul  33140  dpmul4  33141  idlsrgstr  33704  hgt750lem  34950  tgoldbachgt  34962  60gcd6e6  42628  aks4d1p1p7  42698  rmydioph  43598  sin5tlem5  47470  1t10e1p1e11  47903  257prm  48169  127prm  48207  3exp4mod41  48224  41prothprmlem1  48225  bgoldbtbndlem1  48426  bgoldbachlt  48434  tgblthelfgott  48436  tgoldbachlt  48437