Theorem 10nn 12612

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 12598	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 12232	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12146	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2830	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7354  0cc0 11015  1c1 11016   + caddc 11018  ℕcn 12134  9c9 12196  ;cdc 12596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7357  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-ltxr 11160  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-dec 12597

This theorem is referenced by:  10pos  12613  decnncl2  12620  declt  12624  decltc  12625  declti  12634  dec10p  12639  3dec  14177  3dvds  16246  163prm  17040  631prm  17042  plendx  17274  pleid  17275  plendxnn  17276  otpsstr  17284  odrngstr  17311  imasvalstr  17359  ipostr  18439  cnfldstr  21297  cnfldstrOLD  21312  bclbnd  27221  ex-prmo  30443  rpdp2cl  32871  dp2ltsuc  32875  dpmul10  32884  decdiv10  32885  dpmul100  32886  dp3mul10  32887  dpadd2  32899  dpadd  32900  dpadd3  32901  dpmul  32902  dpmul4  32903  idlsrgstr  33476  hgt750lem  34687  tgoldbachgt  34699  60gcd6e6  42120  aks4d1p1p7  42190  rmydioph  43134  1t10e1p1e11  47437  257prm  47688  127prm  47726  3exp4mod41  47743  41prothprmlem1  47744  bgoldbtbndlem1  47932  bgoldbachlt  47940  tgblthelfgott  47942  tgoldbachlt  47943