Theorem 10nn 12760

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	⊢ ;10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 12742	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
2		9nn 12367	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12273	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltrri 2859	1 ⊢ ;10 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131  ℕcn 12261  9c9 12330  ;cdc 12740

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-dec 12741

This theorem is used by:  10pos  12761  decnncl2  12769  declt  12773  decltc  12774  declti  12783  dec10p  12788  3dec  14334  3dvds  16427  163prm  17223  631prm  17225  plendx  17457  pleid  17458  plendxnn  17459  otpsstr  17467  odrngstr  17494  imasvalstr  17542  ipostr  18623  cnfldstr  21593  bclbnd  27524  angmgmlem  29282  angmgmbas  29285  ex-prmo  30947  rpdp2cl  33335  dp2ltsuc  33339  dpmul10  33348  decdiv10  33349  dpmul100  33350  dp3mul10  33351  dpadd2  33363  dpadd  33364  dpadd3  33365  dpmul  33366  dpmul4  33367  idlsrgstr  33920  hgt750lem  35167  tgoldbachgt  35179  60gcd6e6  42878  aks4d1p1p7  42948  rmydioph  43863  sin5tlem5  47749  1t10e1p1e11  48206  257prm  48472  127prm  48510  3exp4mod41  48527  41prothprmlem1  48528  bgoldbtbndlem1  48729  bgoldbachlt  48737  tgblthelfgott  48739  tgoldbachlt  48740