Theorem decsubi 12776

Description: Difference between a numeral 𝑀 and a nonnegative integer 𝑁 (no underflow). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decaddi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decaddi.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decaddi.4	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decaddci.5	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐷
decsubi.5	⊢ (𝐵 − 𝑁) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
decsubi	⊢ (𝑀 − 𝑁) = ;𝐴𝐶

Proof of Theorem decsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12731	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decaddi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3	1, 2	nn0mulcli 12546	. . . 4 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12520	. . 3 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
5		decaddi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 12520	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
7		decaddi.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12520	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
9	4, 6, 8	addsubassi 11587	. 2 ⊢ (((;10 · 𝐴) + 𝐵) − 𝑁) = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 − 𝑁))
10		decaddi.4	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
11		dfdec10 12716	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
12	10, 11	eqtri 2755	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
13	12	oveq1i 7434	. 2 ⊢ (𝑀 − 𝑁) = (((;10 · 𝐴) + 𝐵) − 𝑁)
14		dfdec10 12716	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
15		decsubi.5	. . . . 5 ⊢ (𝐵 − 𝑁) = 𝐶
16	15	eqcomi 2736	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐵 − 𝑁)
17	16	oveq2i 7435	. . 3 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐶) = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 − 𝑁))
18	14, 17	eqtri 2755	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 − 𝑁))
19	9, 13, 18	3eqtr4i 2765	1 ⊢ (𝑀 − 𝑁) = ;𝐴𝐶

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7424  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147   · cmul 11149   − cmin 11480  ℕ₀cn0 12508  ;cdc 12713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-ltxr 11289  df-sub 11482  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-dec 12714

This theorem is referenced by:  fmtno5  46899  m5prm  46940  m7prm  46942  m11nprm  46943  341fppr2  47076  ackval41  47819