Theorem decsubi 12796

Description: Difference between a numeral 𝑀 and a nonnegative integer 𝑁 (no underflow). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decaddi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decaddi.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decaddi.4	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decaddci.5	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐷
decsubi.5	⊢ (𝐵 − 𝑁) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
decsubi	⊢ (𝑀 − 𝑁) = ;𝐴𝐶

Proof of Theorem decsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12751	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decaddi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3	1, 2	nn0mulcli 12564	. . . 4 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12538	. . 3 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
5		decaddi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 12538	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
7		decaddi.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12538	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
9	4, 6, 8	addsubassi 11600	. 2 ⊢ (((;10 · 𝐴) + 𝐵) − 𝑁) = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 − 𝑁))
10		decaddi.4	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
11		dfdec10 12736	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
12	10, 11	eqtri 2765	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
13	12	oveq1i 7441	. 2 ⊢ (𝑀 − 𝑁) = (((;10 · 𝐴) + 𝐵) − 𝑁)
14		dfdec10 12736	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
15		decsubi.5	. . . . 5 ⊢ (𝐵 − 𝑁) = 𝐶
16	15	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐵 − 𝑁)
17	16	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐶) = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 − 𝑁))
18	14, 17	eqtri 2765	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 − 𝑁))
19	9, 13, 18	3eqtr4i 2775	1 ⊢ (𝑀 − 𝑁) = ;𝐴𝐶

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492  ℕ₀cn0 12526  ;cdc 12733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-dec 12734

This theorem is referenced by:  fmtno5  47544  m5prm  47585  m7prm  47587  m11nprm  47588  341fppr2  47721  ackval41  48616