Theorem decsubi 12886

Description: Difference between a numeral 𝑀 and a nonnegative integer 𝑁 (no underflow). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decaddi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decaddi.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decaddi.4	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decaddci.5	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐷
decsubi.5	⊢ (𝐵 − 𝑁) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
decsubi	⊢ (𝑀 − 𝑁) = ;𝐴𝐶

Proof of Theorem decsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12840	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decaddi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3	1, 2	nn0mulcli 12648	. . . 4 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12622	. . 3 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
5		decaddi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 12622	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
7		decaddi.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12622	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
9	4, 6, 8	addsubassi 11653	. 2 ⊢ (((;10 · 𝐴) + 𝐵) − 𝑁) = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 − 𝑁))
10		decaddi.4	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
11		dfdec10 12821	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
12	10, 11	eqtri 2783	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
13	12	oveq1i 7431	. 2 ⊢ (𝑀 − 𝑁) = (((;10 · 𝐴) + 𝐵) − 𝑁)
14		dfdec10 12821	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
15		decsubi.5	. . . . 5 ⊢ (𝐵 − 𝑁) = 𝐶
16	15	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐵 − 𝑁)
17	16	oveq2i 7432	. . 3 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐶) = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 − 𝑁))
18	14, 17	eqtri 2783	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 − 𝑁))
19	9, 13, 18	3eqtr4i 2793	1 ⊢ (𝑀 − 𝑁) = ;𝐴𝐶

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209   − cmin 11545  ℕ₀cn0 12610  ;cdc 12818

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-ltxr 11352  df-sub 11547  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-dec 12819

This theorem is used by:  fmtno5  48736  m5prm  48777  m7prm  48779  m11nprm  48780  341fppr2  48926  ackval41  49901