Theorem decsubi 12429

Description: Difference between a numeral 𝑀 and a nonnegative integer 𝑁 (no underflow). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decaddi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decaddi.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decaddi.4	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decaddci.5	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐷
decsubi.5	⊢ (𝐵 − 𝑁) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
decsubi	⊢ (𝑀 − 𝑁) = ;𝐴𝐶

Proof of Theorem decsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12384	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decaddi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3	1, 2	nn0mulcli 12201	. . . 4 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12175	. . 3 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
5		decaddi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 12175	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
7		decaddi.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12175	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
9	4, 6, 8	addsubassi 11242	. 2 ⊢ (((;10 · 𝐴) + 𝐵) − 𝑁) = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 − 𝑁))
10		decaddi.4	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
11		dfdec10 12369	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
12	10, 11	eqtri 2766	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
13	12	oveq1i 7265	. 2 ⊢ (𝑀 − 𝑁) = (((;10 · 𝐴) + 𝐵) − 𝑁)
14		dfdec10 12369	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
15		decsubi.5	. . . . 5 ⊢ (𝐵 − 𝑁) = 𝐶
16	15	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐵 − 𝑁)
17	16	oveq2i 7266	. . 3 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐶) = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 − 𝑁))
18	14, 17	eqtri 2766	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 − 𝑁))
19	9, 13, 18	3eqtr4i 2776	1 ⊢ (𝑀 − 𝑁) = ;𝐴𝐶

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135  ℕ₀cn0 12163  ;cdc 12366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-dec 12367

This theorem is referenced by:  fmtno5  44897  m5prm  44938  m7prm  44940  m11nprm  44941  341fppr2  45074  ackval41  45929