Theorem m11nprm 47889

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12422	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12420	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12626	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12424	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12626	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12428	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12421	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17021	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12290	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12642	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12277	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12674	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12423	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12626	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12429	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2737	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12427	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12726	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12279	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7372	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12426	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12269	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12683	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12673	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12727	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7370	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12626	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12417	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11324	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12664	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12733	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12691	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12673	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12734	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12677	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12676	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2763	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7360  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035   − cmin 11368  2c2 12204  3c3 12205  4c4 12206  5c5 12207  6c6 12208  7c7 12209  8c8 12210  9c9 12211  ;cdc 12611  ↑cexp 13988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-seq 13929  df-exp 13989

This theorem is referenced by: (None)