Theorem m11nprm 47602

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12459	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12457	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12664	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12461	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12664	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12465	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12458	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17060	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12327	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12680	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12314	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12712	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12460	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12664	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12466	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2729	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12464	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12764	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12316	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7399	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12463	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12306	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12721	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12711	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12765	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7397	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12664	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12454	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11361	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12702	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12771	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12729	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12711	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12772	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12715	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12714	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2755	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  5c5 12244  6c6 12245  7c7 12246  8c8 12247  9c9 12248  ;cdc 12649  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-seq 13967  df-exp 14027

This theorem is referenced by: (None)