Theorem m11nprm 47725

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12405	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12403	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12609	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12407	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12609	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12411	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12404	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17003	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12273	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12625	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12260	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12657	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12406	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12609	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12412	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2733	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12410	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12709	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12262	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7364	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12409	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12252	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12666	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12656	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12710	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7362	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12609	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12400	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11307	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12647	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12716	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12674	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12656	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12717	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12660	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12659	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2759	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7352  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018   − cmin 11351  2c2 12187  3c3 12188  4c4 12189  5c5 12190  6c6 12191  7c7 12192  8c8 12193  9c9 12194  ;cdc 12594  ↑cexp 13970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-seq 13911  df-exp 13971

This theorem is referenced by: (None)