Theorem m11nprm 47588

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12543	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12541	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12748	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12545	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12748	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12549	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12542	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17127	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12412	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12764	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12399	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12796	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12544	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12748	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12550	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2737	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12548	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12848	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12401	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7443	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12547	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12391	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12805	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12795	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12849	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12748	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12538	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11448	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12786	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12855	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12813	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12795	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12856	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12799	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12798	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2768	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  ;cdc 12733  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by: (None)