Theorem m11nprm 48064

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12454	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12452	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12659	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12456	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12659	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12460	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12453	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17060	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12322	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12675	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12309	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12707	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12455	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12659	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12461	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2736	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12459	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12759	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12311	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7379	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12458	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12301	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12716	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12706	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12760	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7377	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12659	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12449	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11333	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12697	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12766	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12724	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12706	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12767	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12710	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12709	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2762	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11377  2c2 12236  3c3 12237  4c4 12238  5c5 12239  6c6 12240  7c7 12241  8c8 12242  9c9 12243  ;cdc 12644  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by: (None)