Theorem m11nprm 44941

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12180	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12178	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12381	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12182	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12381	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12186	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12179	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 16719	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12049	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12397	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12036	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12429	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12181	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12381	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12187	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2738	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12185	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12481	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12038	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7267	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12184	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12028	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12438	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12428	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12482	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7265	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12381	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12175	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addid1i 11092	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12419	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12488	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12446	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12428	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12489	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12432	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12431	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2769	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1539  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  5c5 11961  6c6 11962  7c7 11963  8c8 11964  9c9 11965  ;cdc 12366  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by: (None)