Theorem m11nprm 48512

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12549	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12547	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12755	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12551	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12755	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12555	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12548	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17187	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12414	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12776	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12401	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12808	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12550	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12755	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12556	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2762	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12554	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12860	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12403	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7429	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12553	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12392	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12817	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12807	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12861	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7427	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12755	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12544	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11425	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12798	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12867	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12825	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12807	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12868	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12811	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12810	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2788	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133   − cmin 11469  2c2 12323  3c3 12324  4c4 12325  5c5 12326  6c6 12327  7c7 12328  8c8 12329  9c9 12330  ;cdc 12740  ↑cexp 14129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-seq 14070  df-exp 14130

This theorem is used by: (None)