Theorem m11nprm 42098

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11583	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 11581	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11781	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 11585	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 11781	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 11589	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 11582	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 42097	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 11444	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2817	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 11797	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 11432	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 11829	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 11584	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 11781	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 11590	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2817	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 11588	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2817	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2817	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 11881	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 11434	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 6893	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 11587	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2817	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 11424	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 11838	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 11828	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2839	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 11882	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 6891	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 11781	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 11578	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addid1i 10515	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2839	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 11819	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 11888	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 11846	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 11828	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 11889	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 11832	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 11831	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2842	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1637  (class class class)co 6881  0cc0 10228  1c1 10229   + caddc 10231   · cmul 10233   − cmin 10558  2c2 11363  3c3 11364  4c4 11365  5c5 11366  6c6 11367  7c7 11368  8c8 11369  9c9 11370  ;cdc 11766  ↑cexp 13090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-pred 5904  df-ord 5950  df-on 5951  df-lim 5952  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-riota 6842  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-om 7303  df-2nd 7406  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-er 7986  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-xr 10370  df-ltxr 10371  df-le 10372  df-sub 10560  df-neg 10561  df-nn 11313  df-2 11371  df-3 11372  df-4 11373  df-5 11374  df-6 11375  df-7 11376  df-8 11377  df-9 11378  df-n0 11567  df-z 11651  df-dec 11767  df-uz 11912  df-seq 13032  df-exp 13091

This theorem is referenced by: (None)