Theorem m11nprm 44119

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11902	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 11900	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12101	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 11904	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12101	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 11908	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 11901	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 44118	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 11771	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12117	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 11758	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12149	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 11903	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12101	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 11909	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2798	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 11907	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12201	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 11760	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7147	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 11906	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 11750	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12158	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12148	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2821	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12202	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7145	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12101	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 11897	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addid1i 10816	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2821	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12139	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12208	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12166	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12148	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12209	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12152	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12151	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2824	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1538  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   − cmin 10859  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  7c7 11685  8c8 11686  9c9 11687  ;cdc 12086  ↑cexp 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-seq 13365  df-exp 13426

This theorem is referenced by: (None)