Theorem m11nprm 45053

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12250	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12248	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12452	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12252	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12452	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12256	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12249	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 16791	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12119	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12468	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12106	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12500	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12251	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12452	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12257	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2738	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12255	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12552	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12108	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7287	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12254	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12098	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12509	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12499	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12553	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7285	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12452	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12245	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addid1i 11162	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12490	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12559	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12517	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12499	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12560	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12503	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12502	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2769	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1539  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  5c5 12031  6c6 12032  7c7 12033  8c8 12034  9c9 12035  ;cdc 12437  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by: (None)