Theorem m11nprm 48630

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12604	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12602	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12810	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12606	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12810	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12610	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12603	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17247	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12469	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12831	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12456	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12863	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12605	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12810	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12611	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2761	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12609	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12915	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12458	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7424	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12608	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12447	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12872	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12862	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12916	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7422	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12810	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12599	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11478	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12853	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12922	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12880	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12862	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12923	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12866	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12865	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2787	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7412  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   − cmin 11522  2c2 12378  3c3 12379  4c4 12380  5c5 12381  6c6 12382  7c7 12383  8c8 12384  9c9 12385  ;cdc 12795  ↑cexp 14184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-seq 14125  df-exp 14185

This theorem is used by: (None)