Theorem m11nprm 47843

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12418	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12416	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12622	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12420	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12622	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12424	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12417	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17017	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12286	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12638	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12273	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12670	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12419	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12622	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12425	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2736	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12423	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12722	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12275	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7370	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12422	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12265	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12679	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12669	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12723	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12622	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12413	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11320	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12660	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12729	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12687	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12669	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12730	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12673	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12672	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2762	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   − cmin 11364  2c2 12200  3c3 12201  4c4 12202  5c5 12203  6c6 12204  7c7 12205  8c8 12206  9c9 12207  ;cdc 12607  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by: (None)