Theorem m11nprm 46846

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12493	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12491	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12696	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12495	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12696	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12499	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12492	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17032	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12362	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12712	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12349	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12744	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12494	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12696	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12500	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2726	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12498	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12796	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12351	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7417	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12497	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12341	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12753	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12743	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12797	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7415	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12696	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12488	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11405	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12734	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12803	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12761	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12743	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12804	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12747	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12746	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2757	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1533  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   − cmin 11448  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  5c5 12274  6c6 12275  7c7 12276  8c8 12277  9c9 12278  ;cdc 12681  ↑cexp 14032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-seq 13973  df-exp 14033

This theorem is referenced by: (None)