Theorem m11nprm 48208

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12512	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12510	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12717	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12514	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12717	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12518	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12511	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17139	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12377	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12738	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12364	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12770	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12513	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12717	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12519	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2765	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12517	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12822	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12366	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7412	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12516	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12355	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12779	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12769	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12823	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7410	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12717	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12507	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11385	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12760	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12829	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12787	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12769	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12830	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12773	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12772	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2791	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1563  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   − cmin 11429  2c2 12286  3c3 12287  4c4 12288  5c5 12289  6c6 12290  7c7 12291  8c8 12292  9c9 12293  ;cdc 12702  ↑cexp 14088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-seq 14029  df-exp 14089

This theorem is referenced by: (None)