Theorem m11nprm 44587

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11993	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 11991	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12194	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 11995	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12194	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 11999	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 11992	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 16526	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 11862	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12210	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 11849	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12242	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 11994	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12194	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12000	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2738	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 11998	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12294	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 11851	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7182	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 11997	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 11841	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12251	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12241	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12295	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7180	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12194	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 11988	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addid1i 10905	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12232	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12301	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12259	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12241	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12302	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12245	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12244	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2764	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7170  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618   · cmul 10620   − cmin 10948  2c2 11771  3c3 11772  4c4 11773  5c5 11774  6c6 11775  7c7 11776  8c8 11777  9c9 11778  ;cdc 12179  ↑cexp 13521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-seq 13461  df-exp 13522

This theorem is referenced by: (None)