Theorem m11nprm 48891

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12650	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12648	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12856	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12652	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12856	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12656	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12649	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17296	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12515	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12877	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12502	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12909	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12651	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12856	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12657	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2763	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12655	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12961	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12504	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7455	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12654	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12493	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12918	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12908	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12962	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7453	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12856	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12645	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11524	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12899	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12968	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12926	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12908	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12969	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12912	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12911	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2789	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7443  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   − cmin 11568  2c2 12424  3c3 12425  4c4 12426  5c5 12427  6c6 12428  7c7 12429  8c8 12430  9c9 12431  ;cdc 12841  ↑cexp 14231

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-seq 14172  df-exp 14232

This theorem is used by: (None)