Theorem m11nprm 48779

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12626	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12624	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12832	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12628	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12832	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12632	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12625	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17272	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12491	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12853	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12478	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12885	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12627	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12832	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12633	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2760	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12631	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12937	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12480	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7432	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12630	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12469	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12894	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12884	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12938	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7430	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12832	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12621	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11500	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12875	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12944	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12902	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12884	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12945	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12888	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12887	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2786	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   − cmin 11544  2c2 12400  3c3 12401  4c4 12402  5c5 12403  6c6 12404  7c7 12405  8c8 12406  9c9 12407  ;cdc 12817  ↑cexp 14207

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-seq 14148  df-exp 14208

This theorem is used by: (None)