Theorem m11nprm 46269

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12489	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12487	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12692	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12491	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12692	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12495	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12488	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17023	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12358	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12708	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12345	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12740	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12490	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12692	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12496	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2733	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12494	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12792	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12347	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7421	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12493	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12337	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12749	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12739	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12793	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7419	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12692	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12484	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11401	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12730	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12799	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12757	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12739	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12800	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12743	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12742	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2764	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   − cmin 11444  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  6c6 12271  7c7 12272  8c8 12273  9c9 12274  ;cdc 12677  ↑cexp 14027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028

This theorem is referenced by: (None)