Theorem m11nprm 48076

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12445	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12443	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12650	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12447	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12650	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12451	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12444	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17051	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12313	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12666	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12300	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12698	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12446	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12650	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12452	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2737	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12450	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12750	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12302	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7372	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12449	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12292	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12707	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12697	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12751	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7370	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12650	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12440	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11324	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12688	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12757	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12715	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12697	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12758	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12701	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12700	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2763	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  5c5 12230  6c6 12231  7c7 12232  8c8 12233  9c9 12234  ;cdc 12635  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by: (None)