Theorem m11nprm 47595

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12435	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12433	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12640	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12437	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12640	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12441	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12434	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17036	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12303	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12656	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12290	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12688	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12436	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12640	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12442	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2729	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12440	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12740	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12292	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7381	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12439	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12282	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12697	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12687	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12741	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7379	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12640	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12430	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11337	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12678	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12747	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12705	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12687	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12748	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12691	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12690	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2755	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   − cmin 11381  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  5c5 12220  6c6 12221  7c7 12222  8c8 12223  9c9 12224  ;cdc 12625  ↑cexp 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-seq 13943  df-exp 14003

This theorem is referenced by: (None)