Theorem m11nprm 47475

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12570	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12568	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12773	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12572	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12773	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12576	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12569	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17137	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12439	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12789	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12426	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12821	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12571	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12773	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12577	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2740	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12575	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12873	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12428	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7460	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12574	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12418	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12830	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12820	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12874	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7458	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12773	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12565	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11477	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12811	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12880	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12838	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12820	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12881	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12824	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12823	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2771	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   − cmin 11520  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  5c5 12351  6c6 12352  7c7 12353  8c8 12354  9c9 12355  ;cdc 12758  ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-seq 14053  df-exp 14113

This theorem is referenced by: (None)