Theorem m11nprm 47606

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12466	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12464	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12671	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12468	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12671	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12472	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12465	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17067	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12334	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12687	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12321	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12719	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12467	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12671	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12473	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2730	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12471	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12771	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12323	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7402	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12470	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12313	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12728	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12718	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12772	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7400	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12671	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12461	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11368	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12709	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12778	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12736	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12718	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12779	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12722	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12721	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2756	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  5c5 12251  6c6 12252  7c7 12253  8c8 12254  9c9 12255  ;cdc 12656  ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by: (None)