Theorem m11nprm 48504

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12545	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12543	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12751	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12547	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12751	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12551	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12544	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17181	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12410	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12772	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12397	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12804	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12546	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12751	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12552	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2760	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12550	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12856	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12399	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7425	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12549	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12388	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12813	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12803	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12857	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7423	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12751	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12540	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11421	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12794	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12863	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12821	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12803	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12864	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12807	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12806	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2786	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7413  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   − cmin 11465  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  ;cdc 12736  ↑cexp 14125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-seq 14066  df-exp 14126

This theorem is used by: (None)