Theorem m11nprm 48174

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12495	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12493	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12700	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12497	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12700	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12501	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12494	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17108	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12360	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12721	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12347	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12753	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12496	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12700	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12502	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2761	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12500	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12805	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12349	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7404	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12499	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12338	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12762	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12752	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12806	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7402	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12700	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12490	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11367	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12743	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12812	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12770	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12752	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12813	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12756	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12755	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2787	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1559  (class class class)co 7392  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075   − cmin 11411  2c2 12269  3c3 12270  4c4 12271  5c5 12272  6c6 12273  7c7 12274  8c8 12275  9c9 12276  ;cdc 12685  ↑cexp 14071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-seq 14012  df-exp 14072

This theorem is referenced by: (None)