Theorem m11nprm 47526

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12541	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12539	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12746	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12543	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12547	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12540	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17124	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12410	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12762	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12397	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12794	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12542	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12548	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2735	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12546	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12846	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12399	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7443	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12545	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12389	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12803	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12793	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12847	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12746	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12536	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11446	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12784	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12853	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12811	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12793	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12854	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12797	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12796	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2766	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   − cmin 11490  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  ;cdc 12731  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by: (None)