Theorem m11nprm 48086

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12452	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12450	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12657	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12454	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12657	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12458	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12451	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17058	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12320	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12673	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12307	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12705	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12453	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12657	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12459	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2740	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12457	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12757	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12309	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7375	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12456	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12299	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12714	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12704	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12758	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7373	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12657	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12447	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11331	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12695	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12764	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12722	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12704	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12765	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12708	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12707	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2766	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1547  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   − cmin 11375  2c2 12234  3c3 12235  4c4 12236  5c5 12237  6c6 12238  7c7 12239  8c8 12240  9c9 12241  ;cdc 12642  ↑cexp 14021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-seq 13962  df-exp 14022

This theorem is referenced by: (None)