Theorem m11nprm 48330

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12522	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12520	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12727	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12524	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12727	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12528	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12521	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17150	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12387	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12748	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12374	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12780	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12523	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12727	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12529	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2763	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12527	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12832	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12376	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7424	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12526	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12365	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12789	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12779	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12833	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7422	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12727	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12517	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11398	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12770	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12839	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12797	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12779	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12840	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12783	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12782	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2789	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1570  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   − cmin 11442  2c2 12296  3c3 12297  4c4 12298  5c5 12299  6c6 12300  7c7 12301  8c8 12302  9c9 12303  ;cdc 12712  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by: (None)