Theorem m11nprm 47615

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12518	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12516	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12723	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12520	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12723	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12524	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12517	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17109	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12386	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12739	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12373	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12771	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12519	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12723	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12525	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2735	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12523	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12823	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12375	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7417	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12522	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12365	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12780	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12770	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12824	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7415	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12723	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12513	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11422	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12761	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12830	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12788	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12770	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12831	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12774	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12773	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2761	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   − cmin 11466  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  5c5 12298  6c6 12299  7c7 12300  8c8 12301  9c9 12302  ;cdc 12708  ↑cexp 14079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-seq 14020  df-exp 14080

This theorem is referenced by: (None)