Theorem m11nprm 48394

Description: The eleventh Mersenne number M₁₁ = 2047 is not a prime number. (Contributed by AV, 18-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m11nprm	⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

Proof of Theorem m11nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12539	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		0nn0 12537	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12744	. . . 4 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
4		4nn0 12541	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12744	. . 3 ⊢ ;;204 ∈ ℕ0
6		8nn0 12545	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12538	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		2exp11 17174	. . 3 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048
9		4p1e5 12404	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
10		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ;;204 = ;;204
11	3, 4, 9, 10	decsuc 12765	. . 3 ⊢ (;;204 + 1) = ;;205
12		8m1e7 12391	. . 3 ⊢ (8 − 1) = 7
13	5, 6, 7, 8, 11, 12	decsubi 12797	. 2 ⊢ ((2↑;11) − 1) = ;;;2047
14		3nn0 12540	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15	1, 14	deccl 12744	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
16		9nn0 12546	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
17		eqid 2766	. . 3 ⊢ ;89 = ;89
18		7nn0 12544	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
19		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
20		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
21		8t2e16 12849	. . . . . 6 ⊢ (8 · 2) = ;16
22		2p2e4 12393	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
23	21, 22	oveq12i 7435	. . . . 5 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = (;16 + 4)
24		6nn0 12543	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ ;16 = ;16
26		1p1e2 12382	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12806	. . . . . 6 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	7, 24, 4, 25, 26, 27	decaddci2 12796	. . . . 5 ⊢ (;16 + 4) = ;20
29	23, 28	eqtri 2789	. . . 4 ⊢ ((8 · 2) + (2 + 2)) = ;20
30		8t3e24 12850	. . . . . 6 ⊢ (8 · 3) = ;24
31	30	oveq1i 7433	. . . . 5 ⊢ ((8 · 3) + 0) = (;24 + 0)
32	1, 4	deccl 12744	. . . . . . 7 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12534	. . . . . 6 ⊢ ;24 ∈ ℂ
34	33	addridi 11415	. . . . 5 ⊢ (;24 + 0) = ;24
35	31, 34	eqtri 2789	. . . 4 ⊢ ((8 · 3) + 0) = ;24
36	1, 14, 1, 2, 19, 20, 6, 4, 1, 29, 35	decma2c 12787	. . 3 ⊢ ((8 · ;23) + ;20) = ;;204
37		9t2e18 12856	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
38		8p2e10 12814	. . . . 5 ⊢ (8 + 2) = ;10
39	7, 6, 1, 37, 26, 38	decaddci2 12796	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 2) = ;20
40		9t3e27 12857	. . . 4 ⊢ (9 · 3) = ;27
41	16, 1, 14, 19, 18, 1, 39, 40	decmul2c 12800	. . 3 ⊢ (9 · ;23) = ;;207
42	15, 6, 16, 17, 18, 3, 36, 41	decmul1c 12799	. 2 ⊢ (;89 · ;23) = ;;;2047
43	13, 42	eqtr4i 2792	1 ⊢ ((2↑;11) − 1) = (;89 · ;23)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   − cmin 11459  2c2 12313  3c3 12314  4c4 12315  5c5 12316  6c6 12317  7c7 12318  8c8 12319  9c9 12320  ;cdc 12729  ↑cexp 14117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-seq 14058  df-exp 14118

This theorem is used by: (None)