Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  341fppr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 341fppr2 43728
Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
341fppr2 341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2
StepHypRef Expression
1 4z 12008 . . 3 4 ∈ ℤ
2 3nn0 11907 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
3 4nn0 11908 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12105 . . . . 5 34 ∈ ℕ0
5 1nn 11641 . . . . 5 1 ∈ ℕ
64, 5decnncl 12110 . . . 4 341 ∈ ℕ
76nnzi 11998 . . 3 341 ∈ ℤ
8 4nn 11712 . . . . 5 4 ∈ ℕ
92, 8decnncl 12110 . . . 4 34 ∈ ℕ
10 1nn0 11905 . . . 4 1 ∈ ℕ0
11 4re 11713 . . . . 5 4 ∈ ℝ
12 9re 11728 . . . . 5 9 ∈ ℝ
13 4lt9 11832 . . . . 5 4 < 9
1411, 12, 13ltleii 10755 . . . 4 4 ≤ 9
159, 10, 3, 14declei 12126 . . 3 4 ≤ 341
16 eluz2 12241 . . 3 (341 ∈ (ℤ‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 341))
171, 7, 15, 16mpbir3an 1335 . 2 341 ∈ (ℤ‘4)
18 2z 12006 . . . . 5 2 ∈ ℤ
1910, 5decnncl 12110 . . . . . 6 11 ∈ ℕ
2019nnzi 11998 . . . . 5 11 ∈ ℤ
21 2nn0 11906 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
22 2re 11703 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
23 2lt9 11834 . . . . . . 7 2 < 9
2422, 12, 23ltleii 10755 . . . . . 6 2 ≤ 9
255, 10, 21, 24declei 12126 . . . . 5 2 ≤ 11
26 eluz2 12241 . . . . 5 (11 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 11))
2718, 20, 25, 26mpbir3an 1335 . . . 4 11 ∈ (ℤ‘2)
282, 5decnncl 12110 . . . . . 6 31 ∈ ℕ
2928nnzi 11998 . . . . 5 31 ∈ ℤ
30 3nn 11708 . . . . . 6 3 ∈ ℕ
3130, 10, 21, 24declei 12126 . . . . 5 2 ≤ 31
32 eluz2 12241 . . . . 5 (31 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 31))
3318, 29, 31, 32mpbir3an 1335 . . . 4 31 ∈ (ℤ‘2)
34 nprm 16024 . . . 4 ((11 ∈ (ℤ‘2) ∧ 31 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (11 · 31) ∈ ℙ)
3527, 33, 34mp2an 688 . . 3 ¬ (11 · 31) ∈ ℙ
36 df-nel 3128 . . . 4 (341 ∉ ℙ ↔ ¬ 341 ∈ ℙ)
37 11t31e341 43726 . . . . . 6 (11 · 31) = 341
3837eqcomi 2833 . . . . 5 341 = (11 · 31)
3938eleq1i 2907 . . . 4 (341 ∈ ℙ ↔ (11 · 31) ∈ ℙ)
4036, 39xchbinx 335 . . 3 (341 ∉ ℙ ↔ ¬ (11 · 31) ∈ ℙ)
4135, 40mpbir 232 . 2 341 ∉ ℙ
42 eqid 2824 . . . . . 6 341 = 341
43 eqid 2824 . . . . . 6 (34 + 1) = (34 + 1)
44 1m1e0 11701 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
454, 10, 10, 42, 43, 44decsubi 12153 . . . . 5 (341 − 1) = 340
4645oveq2i 7162 . . . 4 (2↑(341 − 1)) = (2↑340)
4746oveq1i 7161 . . 3 ((2↑(341 − 1)) mod 341) = ((2↑340) mod 341)
48 2exp340mod341 43727 . . 3 ((2↑340) mod 341) = 1
4947, 48eqtri 2848 . 2 ((2↑(341 − 1)) mod 341) = 1
50 2nn 11702 . . 3 2 ∈ ℕ
51 fpprel 43722 . . 3 (2 ∈ ℕ → (341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (341 ∈ (ℤ‘4) ∧ 341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(341 − 1)) mod 341) = 1)))
5250, 51ax-mp 5 . 2 (341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (341 ∈ (ℤ‘4) ∧ 341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(341 − 1)) mod 341) = 1))
5317, 41, 49, 52mpbir3an 1335 1 341 ∈ ( FPPr ‘2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 207  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2106  wnel 3127   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  cle 10668  cmin 10862  cn 11630  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  9c9 11691  cz 11973  cdc 12090  cuz 12235   mod cmo 13230  cexp 13422  cprime 16007   FPPr cfppr 43718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-dvds 15600  df-prm 16008  df-fppr 43719
This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  43737
  Copyright terms: Public domain W3C validator