Theorem 341fppr2 48383

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12624	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12518	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12519	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12722	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12240	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12731	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12614	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12320	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12731	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12516	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12321	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12336	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12442	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11329	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12748	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12864	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1358	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12622	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12731	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12614	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12517	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12311	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12444	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11329	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12748	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12864	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1358	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12731	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12614	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12316	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12748	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12864	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1358	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16742	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 704	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3071	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 48381	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2778	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2860	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 337	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 234	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12309	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12775	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7419	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7418	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 48382	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2792	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12310	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 48377	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1358	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∉ wnel 3070   class class class wbr 5110  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101   ≤ cle 11240   − cmin 11437  ℕcn 12229  2c2 12291  3c3 12292  4c4 12293  9c9 12298  ℤcz 12587  ;cdc 12707  ℤ_≥cuz 12858   mod cmo 13898  ↑cexp 14093  ℙcprime 16725   FPPr cfppr 48373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16307  df-prm 16726  df-fppr 48374

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  48392