Theorem 341fppr2 47208

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12629	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12523	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12524	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12725	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12256	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12730	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12619	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12328	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12730	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12521	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12329	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12344	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12448	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11369	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12746	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12861	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1338	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12627	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12730	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12619	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12522	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12319	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12450	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11369	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12746	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12861	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1338	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12730	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12619	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12324	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12746	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12861	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1338	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16662	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 690	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3036	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 47206	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2734	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2816	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 333	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 230	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12317	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12773	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7430	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7429	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 47207	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2753	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12318	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 47202	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1338	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∉ wnel 3035   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   ≤ cle 11281   − cmin 11476  ℕcn 12245  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  9c9 12307  ℤcz 12591  ;cdc 12710  ℤ_≥cuz 12855   mod cmo 13870  ↑cexp 14062  ℙcprime 16645   FPPr cfppr 47198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-dvds 16235  df-prm 16646  df-fppr 47199

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  47217