Theorem 341fppr2 47735

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12567	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12460	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12461	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12664	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12197	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12669	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12557	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12269	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12669	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12458	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12270	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12285	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12384	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11297	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12685	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12799	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1342	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12565	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12669	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12557	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12459	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12260	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12386	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11297	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12685	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12799	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12669	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12557	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12265	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12685	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12799	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16658	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 692	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3030	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 47733	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2819	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 334	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 231	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12258	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12712	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7398	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7397	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 47734	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2752	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12259	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 47729	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1342	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3029   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   ≤ cle 11209   − cmin 11405  ℕcn 12186  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  9c9 12248  ℤcz 12529  ;cdc 12649  ℤ_≥cuz 12793   mod cmo 13831  ↑cexp 14026  ℙcprime 16641   FPPr cfppr 47725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-prm 16642  df-fppr 47726

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  47744