Theorem 341fppr2 48222

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12552	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12446	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12447	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12650	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12176	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12655	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12542	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12255	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12655	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12444	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12256	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12271	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12370	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11260	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12671	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12785	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1343	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12550	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12655	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12542	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12445	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12246	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12372	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11260	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12671	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12785	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1343	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12655	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12542	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12251	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12671	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12785	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1343	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16648	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 693	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3038	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 48220	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2828	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 334	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 231	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12244	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12698	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7371	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7370	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 48221	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2760	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12245	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 48216	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1343	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12165  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  9c9 12234  ℤcz 12515  ;cdc 12635  ℤ_≥cuz 12779   mod cmo 13819  ↑cexp 14014  ℙcprime 16631   FPPr cfppr 48212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-prm 16632  df-fppr 48213

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  48231