Theorem 341fppr2 45074

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12284	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12181	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12182	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12381	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 11914	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12386	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12274	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 11986	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12386	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12179	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 11987	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12002	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12106	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11028	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12402	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12517	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1339	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12282	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12386	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12274	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12180	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 11977	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12108	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11028	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12402	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12517	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1339	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12386	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12274	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 11982	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12402	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12517	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1339	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16321	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 688	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3049	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 45072	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2747	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2829	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 333	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 230	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 11975	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12429	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7266	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7265	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 45073	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2766	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 11976	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 45068	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1339	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3048   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  9c9 11965  ℤcz 12249  ;cdc 12366  ℤ_≥cuz 12511   mod cmo 13517  ↑cexp 13710  ℙcprime 16304   FPPr cfppr 45064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-prm 16305  df-fppr 45065

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  45083