Theorem 341fppr2 44252

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12004	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 11903	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 11904	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12101	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 11636	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12106	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 11994	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 11708	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12106	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 11901	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 11709	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 11724	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 11828	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 10752	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12122	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12237	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1338	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12002	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12106	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 11994	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 11902	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 11699	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 11830	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 10752	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12122	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12237	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1338	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12106	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 11994	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 11704	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12122	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12237	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1338	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16022	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 691	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3092	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 44250	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2807	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2880	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 337	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 234	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 11697	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12149	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7146	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7145	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 44251	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2821	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 11698	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 44246	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1338	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3091   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕcn 11625  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  9c9 11687  ℤcz 11969  ;cdc 12086  ℤ_≥cuz 12231   mod cmo 13232  ↑cexp 13425  ℙcprime 16005   FPPr cfppr 44242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-prm 16006  df-fppr 44243

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  44261