Theorem 341fppr2 47721

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12651	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12544	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12545	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12748	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12277	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12753	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12641	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12349	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12753	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12542	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12350	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12365	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12469	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11384	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12769	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12884	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1342	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12649	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12753	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12641	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12543	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12340	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12471	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11384	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12769	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12884	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12753	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12641	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12345	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12769	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12884	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16725	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 692	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3047	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 47719	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2832	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 334	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 231	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12338	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12796	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7442	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7441	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 47720	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2765	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12339	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 47715	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1342	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3046   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  9c9 12328  ℤcz 12613  ;cdc 12733  ℤ_≥cuz 12878   mod cmo 13909  ↑cexp 14102  ℙcprime 16708   FPPr cfppr 47711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-prm 16709  df-fppr 47712

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  47730