Theorem 341fppr2 45197

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12363	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12260	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12261	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12461	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 11993	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12466	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12353	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12065	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12466	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12258	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12066	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12081	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12185	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11107	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12482	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12597	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1340	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12361	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12466	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12353	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12259	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12056	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12187	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11107	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12482	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12597	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1340	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12466	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12353	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12061	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12482	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12597	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1340	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16402	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 689	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3051	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 45195	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2748	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2830	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 334	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 230	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12054	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12509	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7295	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7294	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 45196	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2767	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12055	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 45191	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1340	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∉ wnel 3050   class class class wbr 5075  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  0cc0 10880  1c1 10881   + caddc 10883   · cmul 10885   ≤ cle 11019   − cmin 11214  ℕcn 11982  2c2 12037  3c3 12038  4c4 12039  9c9 12044  ℤcz 12328  ;cdc 12446  ℤ_≥cuz 12591   mod cmo 13598  ↑cexp 13791  ℙcprime 16385   FPPr cfppr 45187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-2o 8307  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-sup 9210  df-inf 9211  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-rp 12740  df-fl 13521  df-mod 13599  df-seq 13731  df-exp 13792  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-dvds 15973  df-prm 16386  df-fppr 45188

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  45206