Theorem 341fppr2 47708

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12543	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12436	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12437	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12640	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12173	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12645	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12533	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12245	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12645	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12434	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12246	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12261	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12360	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11273	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12661	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12775	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1342	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12541	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12645	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12533	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12435	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12236	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12362	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11273	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12661	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12775	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12645	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12533	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12241	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12661	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12775	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16634	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 692	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3030	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 47706	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2819	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 334	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 231	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12234	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12688	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7380	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7379	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 47707	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2752	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12235	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 47702	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1342	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3029   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   ≤ cle 11185   − cmin 11381  ℕcn 12162  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  9c9 12224  ℤcz 12505  ;cdc 12625  ℤ_≥cuz 12769   mod cmo 13807  ↑cexp 14002  ℙcprime 16617   FPPr cfppr 47698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-prm 16618  df-fppr 47699

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  47717