Theorem 341fppr2 47739

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12574	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12467	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12468	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12671	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12204	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12676	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12564	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12276	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12676	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12465	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12277	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12292	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12391	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11304	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12692	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12806	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1342	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12572	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12676	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12564	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12466	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12267	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12393	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11304	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12692	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12806	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12676	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12564	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12272	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12692	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12806	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16665	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 692	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3031	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 47737	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2739	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2820	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 334	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 231	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12265	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12719	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7401	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7400	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 47738	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2753	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12266	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 47733	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1342	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3030   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℕcn 12193  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  9c9 12255  ℤcz 12536  ;cdc 12656  ℤ_≥cuz 12800   mod cmo 13838  ↑cexp 14033  ℙcprime 16648   FPPr cfppr 47729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-prm 16649  df-fppr 47730

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  47748