Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  341fppr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 341fppr2 43728
 Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
341fppr2 341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2
StepHypRef Expression
1 4z 12008 . . 3 4 ∈ ℤ
2 3nn0 11907 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
3 4nn0 11908 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12105 . . . . 5 34 ∈ ℕ0
5 1nn 11641 . . . . 5 1 ∈ ℕ
64, 5decnncl 12110 . . . 4 341 ∈ ℕ
76nnzi 11998 . . 3 341 ∈ ℤ
8 4nn 11712 . . . . 5 4 ∈ ℕ
92, 8decnncl 12110 . . . 4 34 ∈ ℕ
10 1nn0 11905 . . . 4 1 ∈ ℕ0
11 4re 11713 . . . . 5 4 ∈ ℝ
12 9re 11728 . . . . 5 9 ∈ ℝ
13 4lt9 11832 . . . . 5 4 < 9
1411, 12, 13ltleii 10755 . . . 4 4 ≤ 9
159, 10, 3, 14declei 12126 . . 3 4 ≤ 341
16 eluz2 12241 . . 3 (341 ∈ (ℤ‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 341))
171, 7, 15, 16mpbir3an 1335 . 2 341 ∈ (ℤ‘4)
18 2z 12006 . . . . 5 2 ∈ ℤ
1910, 5decnncl 12110 . . . . . 6 11 ∈ ℕ
2019nnzi 11998 . . . . 5 11 ∈ ℤ
21 2nn0 11906 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
22 2re 11703 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
23 2lt9 11834 . . . . . . 7 2 < 9
2422, 12, 23ltleii 10755 . . . . . 6 2 ≤ 9
255, 10, 21, 24declei 12126 . . . . 5 2 ≤ 11
26 eluz2 12241 . . . . 5 (11 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 11))
2718, 20, 25, 26mpbir3an 1335 . . . 4 11 ∈ (ℤ‘2)
282, 5decnncl 12110 . . . . . 6 31 ∈ ℕ
2928nnzi 11998 . . . . 5 31 ∈ ℤ
30 3nn 11708 . . . . . 6 3 ∈ ℕ
3130, 10, 21, 24declei 12126 . . . . 5 2 ≤ 31
32 eluz2 12241 . . . . 5 (31 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 31))
3318, 29, 31, 32mpbir3an 1335 . . . 4 31 ∈ (ℤ‘2)
34 nprm 16024 . . . 4 ((11 ∈ (ℤ‘2) ∧ 31 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (11 · 31) ∈ ℙ)
3527, 33, 34mp2an 688 . . 3 ¬ (11 · 31) ∈ ℙ
36 df-nel 3128 . . . 4 (341 ∉ ℙ ↔ ¬ 341 ∈ ℙ)
37 11t31e341 43726 . . . . . 6 (11 · 31) = 341
3837eqcomi 2833 . . . . 5 341 = (11 · 31)
3938eleq1i 2907 . . . 4 (341 ∈ ℙ ↔ (11 · 31) ∈ ℙ)
4036, 39xchbinx 335 . . 3 (341 ∉ ℙ ↔ ¬ (11 · 31) ∈ ℙ)
4135, 40mpbir 232 . 2 341 ∉ ℙ
42 eqid 2824 . . . . . 6 341 = 341
43 eqid 2824 . . . . . 6 (34 + 1) = (34 + 1)
44 1m1e0 11701 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
454, 10, 10, 42, 43, 44decsubi 12153 . . . . 5 (341 − 1) = 340
4645oveq2i 7162 . . . 4 (2↑(341 − 1)) = (2↑340)
4746oveq1i 7161 . . 3 ((2↑(341 − 1)) mod 341) = ((2↑340) mod 341)
48 2exp340mod341 43727 . . 3 ((2↑340) mod 341) = 1
4947, 48eqtri 2848 . 2 ((2↑(341 − 1)) mod 341) = 1
50 2nn 11702 . . 3 2 ∈ ℕ
51 fpprel 43722 . . 3 (2 ∈ ℕ → (341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (341 ∈ (ℤ‘4) ∧ 341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(341 − 1)) mod 341) = 1)))
5250, 51ax-mp 5 . 2 (341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (341 ∈ (ℤ‘4) ∧ 341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(341 − 1)) mod 341) = 1))
5317, 41, 49, 52mpbir3an 1335 1 341 ∈ ( FPPr ‘2)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 207   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3127   class class class wbr 5062  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   ≤ cle 10668   − cmin 10862  ℕcn 11630  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  9c9 11691  ℤcz 11973  ;cdc 12090  ℤ≥cuz 12235   mod cmo 13230  ↑cexp 13422  ℙcprime 16007   FPPr cfppr 43718 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-dvds 15600  df-prm 16008  df-fppr 43719 This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  43737
 Copyright terms: Public domain W3C validator