Theorem 341fppr2 47896

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12516	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12410	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12411	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12613	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12147	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12618	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12506	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12219	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12618	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12408	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12220	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12235	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12334	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11247	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12634	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12748	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1342	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12514	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12618	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12506	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12409	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12210	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12336	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11247	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12634	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12748	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12618	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12506	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12215	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12634	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12748	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16606	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 692	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3034	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 47894	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2742	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2824	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 334	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 231	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12208	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12661	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7366	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7365	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 47895	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2756	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12209	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 47890	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1342	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∉ wnel 3033   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022   ≤ cle 11158   − cmin 11355  ℕcn 12136  2c2 12191  3c3 12192  4c4 12193  9c9 12198  ℤcz 12479  ;cdc 12598  ℤ_≥cuz 12742   mod cmo 13780  ↑cexp 13975  ℙcprime 16589   FPPr cfppr 47886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13916  df-exp 13976  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-dvds 16171  df-prm 16590  df-fppr 47887

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  47905