Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  341fppr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 341fppr2 46000
Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
341fppr2 341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2
StepHypRef Expression
1 4z 12544 . . 3 4 ∈ ℤ
2 3nn0 12438 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
3 4nn0 12439 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12640 . . . . 5 34 ∈ ℕ0
5 1nn 12171 . . . . 5 1 ∈ ℕ
64, 5decnncl 12645 . . . 4 341 ∈ ℕ
76nnzi 12534 . . 3 341 ∈ ℤ
8 4nn 12243 . . . . 5 4 ∈ ℕ
92, 8decnncl 12645 . . . 4 34 ∈ ℕ
10 1nn0 12436 . . . 4 1 ∈ ℕ0
11 4re 12244 . . . . 5 4 ∈ ℝ
12 9re 12259 . . . . 5 9 ∈ ℝ
13 4lt9 12363 . . . . 5 4 < 9
1411, 12, 13ltleii 11285 . . . 4 4 ≤ 9
159, 10, 3, 14declei 12661 . . 3 4 ≤ 341
16 eluz2 12776 . . 3 (341 ∈ (ℤ‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 341))
171, 7, 15, 16mpbir3an 1342 . 2 341 ∈ (ℤ‘4)
18 2z 12542 . . . . 5 2 ∈ ℤ
1910, 5decnncl 12645 . . . . . 6 11 ∈ ℕ
2019nnzi 12534 . . . . 5 11 ∈ ℤ
21 2nn0 12437 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
22 2re 12234 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
23 2lt9 12365 . . . . . . 7 2 < 9
2422, 12, 23ltleii 11285 . . . . . 6 2 ≤ 9
255, 10, 21, 24declei 12661 . . . . 5 2 ≤ 11
26 eluz2 12776 . . . . 5 (11 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 11))
2718, 20, 25, 26mpbir3an 1342 . . . 4 11 ∈ (ℤ‘2)
282, 5decnncl 12645 . . . . . 6 31 ∈ ℕ
2928nnzi 12534 . . . . 5 31 ∈ ℤ
30 3nn 12239 . . . . . 6 3 ∈ ℕ
3130, 10, 21, 24declei 12661 . . . . 5 2 ≤ 31
32 eluz2 12776 . . . . 5 (31 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 31))
3318, 29, 31, 32mpbir3an 1342 . . . 4 31 ∈ (ℤ‘2)
34 nprm 16571 . . . 4 ((11 ∈ (ℤ‘2) ∧ 31 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (11 · 31) ∈ ℙ)
3527, 33, 34mp2an 691 . . 3 ¬ (11 · 31) ∈ ℙ
36 df-nel 3051 . . . 4 (341 ∉ ℙ ↔ ¬ 341 ∈ ℙ)
37 11t31e341 45998 . . . . . 6 (11 · 31) = 341
3837eqcomi 2746 . . . . 5 341 = (11 · 31)
3938eleq1i 2829 . . . 4 (341 ∈ ℙ ↔ (11 · 31) ∈ ℙ)
4036, 39xchbinx 334 . . 3 (341 ∉ ℙ ↔ ¬ (11 · 31) ∈ ℙ)
4135, 40mpbir 230 . 2 341 ∉ ℙ
42 eqid 2737 . . . . . 6 341 = 341
43 eqid 2737 . . . . . 6 (34 + 1) = (34 + 1)
44 1m1e0 12232 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
454, 10, 10, 42, 43, 44decsubi 12688 . . . . 5 (341 − 1) = 340
4645oveq2i 7373 . . . 4 (2↑(341 − 1)) = (2↑340)
4746oveq1i 7372 . . 3 ((2↑(341 − 1)) mod 341) = ((2↑340) mod 341)
48 2exp340mod341 45999 . . 3 ((2↑340) mod 341) = 1
4947, 48eqtri 2765 . 2 ((2↑(341 − 1)) mod 341) = 1
50 2nn 12233 . . 3 2 ∈ ℕ
51 fpprel 45994 . . 3 (2 ∈ ℕ → (341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (341 ∈ (ℤ‘4) ∧ 341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(341 − 1)) mod 341) = 1)))
5250, 51ax-mp 5 . 2 (341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (341 ∈ (ℤ‘4) ∧ 341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(341 − 1)) mod 341) = 1))
5317, 41, 49, 52mpbir3an 1342 1 341 ∈ ( FPPr ‘2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wnel 3050   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063  cle 11197  cmin 11392  cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  9c9 12222  cz 12506  cdc 12625  cuz 12770   mod cmo 13781  cexp 13974  cprime 16554   FPPr cfppr 45990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-prm 16555  df-fppr 45991
This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  46009
  Copyright terms: Public domain W3C validator