Theorem 341fppr2 48939

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12735	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12629	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12630	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12834	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12351	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12843	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12725	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12431	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12843	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12627	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12432	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12447	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12553	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11438	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12860	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12976	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1360	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12733	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12843	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12725	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12628	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12422	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12555	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11438	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12860	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12976	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12843	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12725	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12427	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12860	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12976	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16870	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 705	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3062	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 48937	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2851	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 337	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 234	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12420	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12887	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7433	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7432	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 48938	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2783	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12421	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 48933	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1360	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∉ wnel 3061   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  0cc0 11205  1c1 11206   + caddc 11208   · cmul 11210   ≤ cle 11349   − cmin 11546  ℕcn 12340  2c2 12402  3c3 12403  4c4 12404  9c9 12409  ℤcz 12698  ;cdc 12819  ℤ_≥cuz 12970   mod cmo 14014  ↑cexp 14209  ℙcprime 16853   FPPr cfppr 48929

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-rp 13126  df-fl 13937  df-mod 14015  df-seq 14150  df-exp 14210  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-dvds 16430  df-prm 16854  df-fppr 48930

This theorem is used by:  nfermltl2rev  48948