Theorem 341fppr2 47980

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12525	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12419	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12420	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12622	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12156	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12627	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12515	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12228	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12627	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12417	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12229	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12244	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12343	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11256	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12643	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12757	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1342	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12523	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12627	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12515	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12418	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12219	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12345	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11256	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12643	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12757	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12627	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12515	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12224	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12643	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12757	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16615	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 692	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3037	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 47978	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2745	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2827	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 334	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 231	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12217	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12670	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7369	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7368	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 47979	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2759	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12218	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 47974	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1342	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∉ wnel 3036   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   ≤ cle 11167   − cmin 11364  ℕcn 12145  2c2 12200  3c3 12201  4c4 12202  9c9 12207  ℤcz 12488  ;cdc 12607  ℤ_≥cuz 12751   mod cmo 13789  ↑cexp 13984  ℙcprime 16598   FPPr cfppr 47970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-prm 16599  df-fppr 47971

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  47989