Theorem 341fppr2 47121

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12636	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12530	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12531	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12732	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12263	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12737	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12626	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12335	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12737	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12528	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12336	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12351	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12455	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11377	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12753	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12868	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1338	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12634	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12737	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12626	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12529	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12326	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12457	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11377	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12753	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12868	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1338	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12737	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12626	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12331	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12753	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12868	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1338	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16668	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 690	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3044	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 47119	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2737	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2820	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 333	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 230	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12324	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12780	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7437	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7436	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 47120	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2756	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12325	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 47115	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1338	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∉ wnel 3043   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   · cmul 11153   ≤ cle 11289   − cmin 11484  ℕcn 12252  2c2 12307  3c3 12308  4c4 12309  9c9 12314  ℤcz 12598  ;cdc 12717  ℤ_≥cuz 12862   mod cmo 13876  ↑cexp 14068  ℙcprime 16651   FPPr cfppr 47111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-dvds 16241  df-prm 16652  df-fppr 47112

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  47130