Theorem 341fppr2 48499

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12623	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12517	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12518	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12721	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12239	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12730	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12613	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12319	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12730	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12515	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12320	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12335	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12441	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11328	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12747	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12863	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1360	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12621	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12730	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12613	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12516	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12310	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12443	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11328	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12747	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12863	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12730	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12613	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12315	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12747	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12863	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16741	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 704	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3065	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 48497	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2854	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 337	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 234	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12308	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12774	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7421	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7420	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 48498	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2786	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12309	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 48493	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1360	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∉ wnel 3064   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   ≤ cle 11239   − cmin 11436  ℕcn 12228  2c2 12290  3c3 12291  4c4 12292  9c9 12297  ℤcz 12586  ;cdc 12706  ℤ_≥cuz 12857   mod cmo 13898  ↑cexp 14093  ℙcprime 16724   FPPr cfppr 48489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-prm 16725  df-fppr 48490

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  48508