Theorem 341fppr2 46402

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12596	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12490	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12491	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12692	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12223	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12697	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12586	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12295	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12697	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12488	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12296	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12311	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12415	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11337	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12713	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12828	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1342	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12594	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12697	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12586	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12489	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12286	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12417	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11337	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12713	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12828	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12697	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12586	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12291	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12713	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12828	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16625	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 691	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3048	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 46400	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2742	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2825	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 334	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 230	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12284	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12740	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7420	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7419	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 46401	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2761	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12285	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 46396	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1342	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∉ wnel 3047   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   ≤ cle 11249   − cmin 11444  ℕcn 12212  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  9c9 12274  ℤcz 12558  ;cdc 12677  ℤ_≥cuz 12822   mod cmo 13834  ↑cexp 14027  ℙcprime 16608   FPPr cfppr 46392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-prm 16609  df-fppr 46393

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  46411