Theorem 341fppr2 48225

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12552	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12446	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12447	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12650	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12176	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12655	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12542	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12255	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12655	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12444	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12256	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12271	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12370	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11260	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12671	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12785	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1348	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12550	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12655	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12542	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12445	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12246	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12372	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11260	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12671	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12785	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1348	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12655	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12542	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12251	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12671	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12785	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1348	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16648	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 698	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3039	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 48223	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2748	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2830	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 335	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 232	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12244	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12698	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7367	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7366	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 48224	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2762	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12245	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 48219	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1348	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 207   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∉ wnel 3038   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12165  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  9c9 12234  ℤcz 12515  ;cdc 12635  ℤ_≥cuz 12779   mod cmo 13819  ↑cexp 14014  ℙcprime 16631   FPPr cfppr 48215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-prm 16632  df-fppr 48216

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  48234