Theorem 341fppr2 47765

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12501	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12394	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12395	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12598	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12131	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12603	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12491	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12203	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12603	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12392	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12204	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12219	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12318	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11231	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12619	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12733	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1342	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12499	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12603	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12491	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12393	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12194	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12320	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11231	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12619	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12733	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12603	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12491	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12199	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12619	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12733	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16594	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 692	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3033	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 47763	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2740	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2822	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 334	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 231	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12192	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12646	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7352	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7351	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 47764	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2754	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12193	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 47759	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1342	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3032   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004   · cmul 11006   ≤ cle 11142   − cmin 11339  ℕcn 12120  2c2 12175  3c3 12176  4c4 12177  9c9 12182  ℤcz 12463  ;cdc 12583  ℤ_≥cuz 12727   mod cmo 13768  ↑cexp 13963  ℙcprime 16577   FPPr cfppr 47755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fl 13691  df-mod 13769  df-seq 13904  df-exp 13964  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-dvds 16159  df-prm 16578  df-fppr 47756

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  47774