Theorem 341fppr2 48317

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12599	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12493	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12494	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12697	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12215	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12706	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12589	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12295	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12706	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12491	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12296	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12311	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12417	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11300	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12723	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12839	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1354	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12597	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12706	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12589	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12492	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12286	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12419	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11300	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12723	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12839	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1354	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12706	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12589	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12291	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12723	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12839	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1354	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16713	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 702	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3061	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 48315	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2770	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2852	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 336	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 233	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12284	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12750	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7402	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7401	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 48316	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2784	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12285	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 48311	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1354	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∉ wnel 3060   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   · cmul 11072   ≤ cle 11211   − cmin 11408  ℕcn 12204  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  9c9 12273  ℤcz 12562  ;cdc 12682  ℤ_≥cuz 12833   mod cmo 13873  ↑cexp 14068  ℙcprime 16696   FPPr cfppr 48307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fl 13796  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-dvds 16278  df-prm 16697  df-fppr 48308

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  48326