Theorem 341fppr2 48650

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12652	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12546	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12547	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12751	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12268	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12760	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12642	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12348	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12760	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12544	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12349	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12364	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12470	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11357	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12777	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12893	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1360	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12650	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12760	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12642	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12545	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12339	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12472	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11357	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12777	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12893	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12760	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12642	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12344	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12777	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12893	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16778	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 705	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3062	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 48648	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2851	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 337	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 234	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12337	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12804	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7424	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7423	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 48649	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2783	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12338	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 48644	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1360	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3061   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   ≤ cle 11268   − cmin 11465  ℕcn 12257  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  9c9 12326  ℤcz 12615  ;cdc 12736  ℤ_≥cuz 12887   mod cmo 13930  ↑cexp 14125  ℙcprime 16761   FPPr cfppr 48640

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-dvds 16343  df-prm 16762  df-fppr 48641

This theorem is used by:  nfermltl2rev  48659