Theorem 341fppr2 47659

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12649	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12542	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12543	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12746	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12275	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12751	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12639	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12347	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12751	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12540	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12348	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12363	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12467	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11382	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12767	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12882	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1340	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12647	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12751	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12639	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12541	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12338	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12469	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11382	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12767	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12882	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1340	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12751	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12639	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12343	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12767	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12882	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1340	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16722	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 692	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3045	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 47657	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2744	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2830	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 334	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 231	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12336	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12794	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7442	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7441	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 47658	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2763	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12337	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 47653	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1340	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3044   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕcn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  9c9 12326  ℤcz 12611  ;cdc 12731  ℤ_≥cuz 12876   mod cmo 13906  ↑cexp 14099  ℙcprime 16705   FPPr cfppr 47649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-prm 16706  df-fppr 47650

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  47668