Theorem 341fppr2 47608

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12677	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12571	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12572	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12773	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12304	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12778	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12667	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12376	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12778	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12569	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12377	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12392	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12496	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11413	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12794	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12909	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1341	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12675	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12778	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12667	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12570	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12367	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12498	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11413	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12794	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12909	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1341	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12778	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12667	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12372	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12794	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12909	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1341	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16735	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 691	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3053	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 47606	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2749	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2835	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 334	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 231	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12365	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12821	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7459	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7458	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 47607	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2768	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12366	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 47602	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1341	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3052   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℕcn 12293  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  9c9 12355  ℤcz 12639  ;cdc 12758  ℤ_≥cuz 12903   mod cmo 13920  ↑cexp 14112  ℙcprime 16718   FPPr cfppr 47598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-prm 16719  df-fppr 47599

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  47617