Theorem 341fppr2 48801

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12723	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12617	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12618	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12822	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12339	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12831	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12713	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12419	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12831	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12615	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12420	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12435	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12541	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11426	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12848	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12964	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1360	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12721	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12831	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12713	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12616	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12410	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12543	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11426	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12848	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12964	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12831	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12713	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12415	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12848	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12964	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16856	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 705	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3063	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 48799	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2770	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2852	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 337	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 234	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12408	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12875	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7429	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7428	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 48800	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2784	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12409	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 48795	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1360	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3062   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198   ≤ cle 11337   − cmin 11534  ℕcn 12328  2c2 12390  3c3 12391  4c4 12392  9c9 12397  ℤcz 12686  ;cdc 12807  ℤ_≥cuz 12958   mod cmo 14002  ↑cexp 14197  ℙcprime 16839   FPPr cfppr 48791

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-dvds 16416  df-prm 16840  df-fppr 48792

This theorem is used by:  nfermltl2rev  48810