Theorem 341fppr2 43948

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12017	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 11916	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 11917	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12114	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 11649	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12119	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12007	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 11721	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12119	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 11914	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 11722	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 11737	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 11841	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 10763	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12135	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12250	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1337	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12015	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12119	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12007	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 11915	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 11712	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 11843	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 10763	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12135	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12250	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1337	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12119	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12007	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 11717	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12135	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12250	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1337	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16032	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 690	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3124	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 43946	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2830	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2903	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 336	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 233	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 11710	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12162	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7167	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7166	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 43947	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2844	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 11711	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 43942	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1337	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3123   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   ≤ cle 10676   − cmin 10870  ℕcn 11638  2c2 11693  3c3 11694  4c4 11695  9c9 11700  ℤcz 11982  ;cdc 12099  ℤ_≥cuz 12244   mod cmo 13238  ↑cexp 13430  ℙcprime 16015   FPPr cfppr 43938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-prm 16016  df-fppr 43939

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  43957