Theorem 341fppr2 46974

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12600	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12494	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12495	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12696	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12227	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12701	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12590	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12299	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12701	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12492	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12300	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12315	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12419	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11341	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12717	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12832	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1338	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12598	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12701	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12590	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12493	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12290	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12421	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11341	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12717	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12832	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1338	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12701	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12590	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12295	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12717	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12832	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1338	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16632	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 689	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3041	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 46972	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2735	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2818	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 334	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 230	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12288	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12744	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7416	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7415	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 46973	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2754	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12289	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 46968	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1338	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∉ wnel 3040   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   ≤ cle 11253   − cmin 11448  ℕcn 12216  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  9c9 12278  ℤcz 12562  ;cdc 12681  ℤ_≥cuz 12826   mod cmo 13840  ↑cexp 14032  ℙcprime 16615   FPPr cfppr 46964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-prm 16616  df-fppr 46965

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  46983