Theorem 341fppr2 48532

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12639	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12533	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12534	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12738	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12255	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12747	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12629	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12335	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12747	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12531	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12336	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12351	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12457	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11344	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12764	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12880	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1360	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12637	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12747	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12629	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12532	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12326	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12459	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11344	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12764	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12880	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12747	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12629	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12331	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12764	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12880	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16764	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 705	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3067	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 48530	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2774	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2856	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 337	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 234	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12324	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12791	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7427	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7426	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 48531	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2788	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12325	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 48526	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1360	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∉ wnel 3066   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116   ≤ cle 11255   − cmin 11452  ℕcn 12244  2c2 12306  3c3 12307  4c4 12308  9c9 12313  ℤcz 12602  ;cdc 12723  ℤ_≥cuz 12874   mod cmo 13916  ↑cexp 14111  ℙcprime 16747   FPPr cfppr 48522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14052  df-exp 14112  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-dvds 16329  df-prm 16748  df-fppr 48523

This theorem is used by:  nfermltl2rev  48541