Theorem 341fppr2 47738

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12528	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12421	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12422	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12625	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12158	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12630	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12518	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12230	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12630	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12419	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12231	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12246	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12345	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11258	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12646	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12760	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1342	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12526	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12630	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12518	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12420	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12221	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12347	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11258	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12646	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12760	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12630	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12518	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12226	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12646	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12760	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16618	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 692	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3030	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 47736	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2819	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 334	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 231	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12219	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12673	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7364	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7363	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 47737	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2752	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12220	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 47732	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1342	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3029   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   ≤ cle 11169   − cmin 11366  ℕcn 12147  2c2 12202  3c3 12203  4c4 12204  9c9 12209  ℤcz 12490  ;cdc 12610  ℤ_≥cuz 12754   mod cmo 13792  ↑cexp 13987  ℙcprime 16601   FPPr cfppr 47728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-rp 12913  df-fl 13715  df-mod 13793  df-seq 13928  df-exp 13988  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-dvds 16183  df-prm 16602  df-fppr 47729

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  47747