Theorem 341fppr2 49105

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12770	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12664	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12665	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12869	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12386	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12878	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12760	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12466	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12878	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12662	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12467	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12482	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12588	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11472	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12895	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 13011	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1360	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12768	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12878	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12760	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12663	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12457	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12590	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11472	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12895	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 13011	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12878	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12760	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12462	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12895	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 13011	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16907	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 705	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3066	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 49103	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2855	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 337	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 234	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12455	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12922	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7462	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7461	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 49104	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2786	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12456	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 49099	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1360	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∉ wnel 3065   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   ≤ cle 11383   − cmin 11580  ℕcn 12375  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  9c9 12444  ℤcz 12733  ;cdc 12854  ℤ_≥cuz 13005   mod cmo 14049  ↑cexp 14244  ℙcprime 16890   FPPr cfppr 49095

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-prm 16891  df-fppr 49096

This theorem is used by:  nfermltl2rev  49114