Theorem 341fppr2 48239

Description: 341 is the (smallest) Poulet number (Fermat pseudoprime to the base 2). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
341fppr2	⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Proof of Theorem 341fppr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12556	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		3nn0 12450	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn0 12451	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12654	. . . . 5 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
5		1nn 12180	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12659	. . . 4 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12546	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℤ
8		4nn 12259	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
9	2, 8	decnncl 12659	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
10		1nn0 12448	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		4re 12260	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
12		9re 12275	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		4lt9 12374	. . . . 5 ⊢ 4 < 9
14	11, 12, 13	ltleii 11264	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 9
15	9, 10, 3, 14	declei 12675	. . 3 ⊢ 4 ≤ ;;341
16		eluz2 12789	. . 3 ⊢ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;;341 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;;341))
17	1, 7, 15, 16	mpbir3an 1349	. 2 ⊢ ;;341 ∈ (ℤ≥‘4)
18		2z 12554	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	10, 5	decnncl 12659	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
20	19	nnzi 12546	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℤ
21		2nn0 12449	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2re 12250	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2lt9 12376	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 9
24	22, 12, 23	ltleii 11264	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 9
25	5, 10, 21, 24	declei 12675	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;11
26		eluz2 12789	. . . . 5 ⊢ (;11 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;11 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;11))
27	18, 20, 25, 26	mpbir3an 1349	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ (ℤ≥‘2)
28	2, 5	decnncl 12659	. . . . . 6 ⊢ ;31 ∈ ℕ
29	28	nnzi 12546	. . . . 5 ⊢ ;31 ∈ ℤ
30		3nn 12255	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
31	30, 10, 21, 24	declei 12675	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ ;31
32		eluz2 12789	. . . . 5 ⊢ (;31 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ;31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;31))
33	18, 29, 31, 32	mpbir3an 1349	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)
34		nprm 16652	. . . 4 ⊢ ((;11 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ;31 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
35	27, 33, 34	mp2an 699	. . 3 ⊢ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ
36		df-nel 3041	. . . 4 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ ;;341 ∈ ℙ)
37		11t31e341 48237	. . . . . 6 ⊢ (;11 · ;31) = ;;341
38	37	eqcomi 2750	. . . . 5 ⊢ ;;341 = (;11 · ;31)
39	38	eleq1i 2832	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℙ ↔ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
40	36, 39	xchbinx 336	. . 3 ⊢ (;;341 ∉ ℙ ↔ ¬ (;11 · ;31) ∈ ℙ)
41	35, 40	mpbir 233	. 2 ⊢ ;;341 ∉ ℙ
42		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ ;;341 = ;;341
43		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (;34 + 1) = (;34 + 1)
44		1m1e0 12248	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
45	4, 10, 10, 42, 43, 44	decsubi 12702	. . . . 5 ⊢ (;;341 − 1) = ;;340
46	45	oveq2i 7371	. . . 4 ⊢ (2↑(;;341 − 1)) = (2↑;;340)
47	46	oveq1i 7370	. . 3 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = ((2↑;;340) mod ;;341)
48		2exp340mod341 48238	. . 3 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1
49	47, 48	eqtri 2764	. 2 ⊢ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1
50		2nn 12249	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		fpprel 48233	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. 2 ⊢ (;;341 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (;;341 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ ;;341 ∉ ℙ ∧ ((2↑(;;341 − 1)) mod ;;341) = 1))
53	17, 41, 49, 52	mpbir3an 1349	1 ⊢ ;;341 ∈ ( FPPr ‘2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ∉ wnel 3040   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038   ≤ cle 11175   − cmin 11372  ℕcn 12169  2c2 12231  3c3 12232  4c4 12233  9c9 12238  ℤcz 12519  ;cdc 12639  ℤ_≥cuz 12783   mod cmo 13823  ↑cexp 14018  ℙcprime 16635   FPPr cfppr 48229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-dvds 16217  df-prm 16636  df-fppr 48230

This theorem is referenced by:  nfermltl2rev  48248