Theorem ackval41 48700

Description: The Ackermann function at (4,1). (Contributed by AV, 9-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval41	⊢ ((Ack‘4)‘1) = ;;;;65533

Proof of Theorem ackval41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval41a 48699	. 2 ⊢ ((Ack‘4)‘1) = ((2↑;16) − 3)
2		6nn0 12424	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		5nn0 12423	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12625	. . . . 5 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
5	4, 3	deccl 12625	. . . 4 ⊢ ;;655 ∈ ℕ0
6		3nn0 12421	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12625	. . 3 ⊢ ;;;6553 ∈ ℕ0
8		2exp16 17021	. . 3 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536
9		3p1e4 12287	. . . 4 ⊢ (3 + 1) = 4
10		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;;;6553 = ;;;6553
11	5, 6, 9, 10	decsuc 12641	. . 3 ⊢ (;;;6553 + 1) = ;;;6554
12		3cn 12228	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
13		gbpart6 47770	. . . 4 ⊢ 6 = (3 + 3)
14	12, 12, 13	mvrraddi 11399	. . 3 ⊢ (6 − 3) = 3
15	7, 2, 6, 8, 11, 14	decsubi 12673	. 2 ⊢ ((2↑;16) − 3) = ;;;;65533
16	1, 15	eqtri 2752	1 ⊢ ((Ack‘4)‘1) = ;;;;65533

Syntax hints:   = wceq 1540  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  1c1 11029   − cmin 11366  2c2 12202  3c3 12203  4c4 12204  5c5 12205  6c6 12206  ;cdc 12610  ↑cexp 13987  Ackcack 48663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-seq 13928  df-exp 13988  df-itco 48664  df-ack 48665

This theorem is referenced by:  ackval50  48703