Theorem ackval41 45459

Description: The Ackermann function at (4,1). (Contributed by AV, 9-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval41	⊢ ((Ack‘4)‘1) = ;;;;65533

Proof of Theorem ackval41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval41a 45458	. 2 ⊢ ((Ack‘4)‘1) = ((2↑;16) − 3)
2		6nn0 11940	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		5nn0 11939	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12137	. . . . 5 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
5	4, 3	deccl 12137	. . . 4 ⊢ ;;655 ∈ ℕ0
6		3nn0 11937	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12137	. . 3 ⊢ ;;;6553 ∈ ℕ0
8		2exp16 16467	. . 3 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536
9		3p1e4 11804	. . . 4 ⊢ (3 + 1) = 4
10		eqid 2759	. . . 4 ⊢ ;;;6553 = ;;;6553
11	5, 6, 9, 10	decsuc 12153	. . 3 ⊢ (;;;6553 + 1) = ;;;6554
12		3cn 11740	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
13		gbpart6 44636	. . . 4 ⊢ 6 = (3 + 3)
14	12, 12, 13	mvrraddi 10926	. . 3 ⊢ (6 − 3) = 3
15	7, 2, 6, 8, 11, 14	decsubi 12185	. 2 ⊢ ((2↑;16) − 3) = ;;;;65533
16	1, 15	eqtri 2782	1 ⊢ ((Ack‘4)‘1) = ;;;;65533

Syntax hints:   = wceq 1539  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  1c1 10561   − cmin 10893  2c2 11714  3c3 11715  4c4 11716  5c5 11717  6c6 11718  ;cdc 12122  ↑cexp 13464  Ackcack 45422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-inf2 9122  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-ot 4524  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-6 11726  df-7 11727  df-8 11728  df-9 11729  df-n0 11920  df-z 12006  df-dec 12123  df-uz 12268  df-seq 13404  df-exp 13465  df-itco 45423  df-ack 45424

This theorem is referenced by:  ackval50  45462