Theorem ackval41 49475

Description: The Ackermann function at (4,1). (Contributed by AV, 9-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval41	⊢ ((Ack‘4)‘1) = ;;;;65533

Proof of Theorem ackval41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval41a 49474	. 2 ⊢ ((Ack‘4)‘1) = ((2↑;16) − 3)
2		6nn0 12520	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3		5nn0 12519	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12721	. . . . 5 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
5	4, 3	deccl 12721	. . . 4 ⊢ ;;655 ∈ ℕ0
6		3nn0 12517	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12721	. . 3 ⊢ ;;;6553 ∈ ℕ0
8		2exp16 17145	. . 3 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536
9		3p1e4 12380	. . . 4 ⊢ (3 + 1) = 4
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;;;6553 = ;;;6553
11	5, 6, 9, 10	decsuc 12742	. . 3 ⊢ (;;;6553 + 1) = ;;;6554
12		3cn 12317	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
13		gbpart6 48531	. . . 4 ⊢ 6 = (3 + 3)
14	12, 12, 13	mvrraddi 11469	. . 3 ⊢ (6 − 3) = 3
15	7, 2, 6, 8, 11, 14	decsubi 12774	. 2 ⊢ ((2↑;16) − 3) = ;;;;65533
16	1, 15	eqtri 2786	1 ⊢ ((Ack‘4)‘1) = ;;;;65533

Syntax hints:   = wceq 1570  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1c1 11096   − cmin 11436  2c2 12290  3c3 12291  4c4 12292  5c5 12293  6c6 12294  ;cdc 12706  ↑cexp 14093  Ackcack 49438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-seq 14034  df-exp 14094  df-itco 49439  df-ack 49440

This theorem is referenced by:  ackval50  49478