Theorem fmtno5 48165

Description: The 5 th Fermat number. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5	⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297

Proof of Theorem fmtno5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12294	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 6874	. . 3 ⊢ (FermatNo‘5) = (FermatNo‘(4 + 1))
3		4nn0 12511	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		fmtnorec1 48145	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(4 + 1)) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (FermatNo‘(4 + 1)) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1)
6	2, 5	eqtri 2788	. 2 ⊢ (FermatNo‘5) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1)
7		2nn0 12509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
8	3, 7	deccl 12714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
9		9nn0 12516	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12714	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
11	10, 3	deccl 12714	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
12	11, 9	deccl 12714	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42949 ∈ ℕ0
13		6nn0 12513	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12714	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429496 ∈ ℕ0
15		7nn0 12514	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12714	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4294967 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12714	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42949672 ∈ ℕ0
18	17, 9	deccl 12714	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;429496729 ∈ ℕ0
19		6p1e7 12376	. . 3 ⊢ (6 + 1) = 7
20		5nn0 12512	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
21	13, 20	deccl 12714	. . . . . . . 8 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
22	21, 20	deccl 12714	. . . . . . 7 ⊢ ;;655 ∈ ℕ0
23		3nn0 12510	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24	22, 23	deccl 12714	. . . . . 6 ⊢ ;;;6553 ∈ ℕ0
25		1nn0 12508	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26		fmtno4 48160	. . . . . 6 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
27		3p1e4 12373	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
28		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6553 = ;;;6553
29	22, 23, 27, 28	decsuc 12735	. . . . . 6 ⊢ (;;;6553 + 1) = ;;;6554
30		6cn 12320	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
31		ax-1cn 11146	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
32		df-7 12296	. . . . . . 7 ⊢ 7 = (6 + 1)
33	30, 31, 32	mvrraddi 11462	. . . . . 6 ⊢ (7 − 1) = 6
34	24, 15, 25, 26, 29, 33	decsubi 12767	. . . . 5 ⊢ ((FermatNo‘4) − 1) = ;;;;65536
35	34	oveq1i 7410	. . . 4 ⊢ (((FermatNo‘4) − 1)↑2) = (;;;;65536↑2)
36		fmtno5lem4 48164	. . . 4 ⊢ (;;;;65536↑2) = ;;;;;;;;;4294967296
37	35, 36	eqtri 2788	. . 3 ⊢ (((FermatNo‘4) − 1)↑2) = ;;;;;;;;;4294967296
38	18, 13, 19, 37	decsuc 12735	. 2 ⊢ ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1) = ;;;;;;;;;4294967297
39	6, 38	eqtri 2788	1 ⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  1c1 11089   + caddc 11091   − cmin 11429  2c2 12283  3c3 12284  4c4 12285  5c5 12286  6c6 12287  7c7 12288  9c9 12290  ℕ₀cn0 12492  ;cdc 12699  ↑cexp 14085  FermatNocfmtno 48135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-seq 14026  df-exp 14086  df-fmtno 48136

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  48190