Theorem fmtno5 48342

Description: The 5 th Fermat number. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5	⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297

Proof of Theorem fmtno5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12317	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 6888	. . 3 ⊢ (FermatNo‘5) = (FermatNo‘(4 + 1))
3		4nn0 12534	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		fmtnorec1 48322	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(4 + 1)) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (FermatNo‘(4 + 1)) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1)
6	2, 5	eqtri 2788	. 2 ⊢ (FermatNo‘5) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1)
7		2nn0 12532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
8	3, 7	deccl 12737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
9		9nn0 12539	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
11	10, 3	deccl 12737	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
12	11, 9	deccl 12737	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42949 ∈ ℕ0
13		6nn0 12536	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12737	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429496 ∈ ℕ0
15		7nn0 12537	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12737	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4294967 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12737	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42949672 ∈ ℕ0
18	17, 9	deccl 12737	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;429496729 ∈ ℕ0
19		6p1e7 12399	. . 3 ⊢ (6 + 1) = 7
20		5nn0 12535	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
21	13, 20	deccl 12737	. . . . . . . 8 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
22	21, 20	deccl 12737	. . . . . . 7 ⊢ ;;655 ∈ ℕ0
23		3nn0 12533	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24	22, 23	deccl 12737	. . . . . 6 ⊢ ;;;6553 ∈ ℕ0
25		1nn0 12531	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26		fmtno4 48337	. . . . . 6 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
27		3p1e4 12396	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
28		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6553 = ;;;6553
29	22, 23, 27, 28	decsuc 12758	. . . . . 6 ⊢ (;;;6553 + 1) = ;;;6554
30		6cn 12343	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
31		ax-1cn 11169	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
32		df-7 12319	. . . . . . 7 ⊢ 7 = (6 + 1)
33	30, 31, 32	mvrraddi 11485	. . . . . 6 ⊢ (7 − 1) = 6
34	24, 15, 25, 26, 29, 33	decsubi 12790	. . . . 5 ⊢ ((FermatNo‘4) − 1) = ;;;;65536
35	34	oveq1i 7426	. . . 4 ⊢ (((FermatNo‘4) − 1)↑2) = (;;;;65536↑2)
36		fmtno5lem4 48341	. . . 4 ⊢ (;;;;65536↑2) = ;;;;;;;;;4294967296
37	35, 36	eqtri 2788	. . 3 ⊢ (((FermatNo‘4) − 1)↑2) = ;;;;;;;;;4294967296
38	18, 13, 19, 37	decsuc 12758	. 2 ⊢ ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1) = ;;;;;;;;;4294967297
39	6, 38	eqtri 2788	1 ⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  1c1 11112   + caddc 11114   − cmin 11452  2c2 12306  3c3 12307  4c4 12308  5c5 12309  6c6 12310  7c7 12311  9c9 12313  ℕ₀cn0 12515  ;cdc 12722  ↑cexp 14110  FermatNocfmtno 48312

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-seq 14051  df-exp 14111  df-fmtno 48313

This theorem is used by:  fmtno5fac  48367