Theorem fmtno5 48611

Description: The 5 th Fermat number. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5	⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297

Proof of Theorem fmtno5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12401	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 6886	. . 3 ⊢ (FermatNo‘5) = (FermatNo‘(4 + 1))
3		4nn0 12618	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		fmtnorec1 48591	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(4 + 1)) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (FermatNo‘(4 + 1)) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1)
6	2, 5	eqtri 2784	. 2 ⊢ (FermatNo‘5) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1)
7		2nn0 12616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
8	3, 7	deccl 12822	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
9		9nn0 12623	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12822	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
11	10, 3	deccl 12822	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
12	11, 9	deccl 12822	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42949 ∈ ℕ0
13		6nn0 12620	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12822	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429496 ∈ ℕ0
15		7nn0 12621	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12822	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4294967 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12822	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42949672 ∈ ℕ0
18	17, 9	deccl 12822	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;429496729 ∈ ℕ0
19		6p1e7 12483	. . 3 ⊢ (6 + 1) = 7
20		5nn0 12619	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
21	13, 20	deccl 12822	. . . . . . . 8 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
22	21, 20	deccl 12822	. . . . . . 7 ⊢ ;;655 ∈ ℕ0
23		3nn0 12617	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24	22, 23	deccl 12822	. . . . . 6 ⊢ ;;;6553 ∈ ℕ0
25		1nn0 12615	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26		fmtno4 48606	. . . . . 6 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
27		3p1e4 12480	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
28		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6553 = ;;;6553
29	22, 23, 27, 28	decsuc 12843	. . . . . 6 ⊢ (;;;6553 + 1) = ;;;6554
30		6cn 12427	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
31		ax-1cn 11251	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
32		df-7 12403	. . . . . . 7 ⊢ 7 = (6 + 1)
33	30, 31, 32	mvrraddi 11567	. . . . . 6 ⊢ (7 − 1) = 6
34	24, 15, 25, 26, 29, 33	decsubi 12875	. . . . 5 ⊢ ((FermatNo‘4) − 1) = ;;;;65536
35	34	oveq1i 7428	. . . 4 ⊢ (((FermatNo‘4) − 1)↑2) = (;;;;65536↑2)
36		fmtno5lem4 48610	. . . 4 ⊢ (;;;;65536↑2) = ;;;;;;;;;4294967296
37	35, 36	eqtri 2784	. . 3 ⊢ (((FermatNo‘4) − 1)↑2) = ;;;;;;;;;4294967296
38	18, 13, 19, 37	decsuc 12843	. 2 ⊢ ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1) = ;;;;;;;;;4294967297
39	6, 38	eqtri 2784	1 ⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  1c1 11194   + caddc 11196   − cmin 11534  2c2 12390  3c3 12391  4c4 12392  5c5 12393  6c6 12394  7c7 12395  9c9 12397  ℕ₀cn0 12599  ;cdc 12807  ↑cexp 14197  FermatNocfmtno 48581

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-seq 14138  df-exp 14198  df-fmtno 48582

This theorem is used by:  fmtno5fac  48636