Theorem fmtno5 44897

Description: The 5 th Fermat number. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5	⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297

Proof of Theorem fmtno5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 11969	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 6759	. . 3 ⊢ (FermatNo‘5) = (FermatNo‘(4 + 1))
3		4nn0 12182	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		fmtnorec1 44877	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(4 + 1)) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (FermatNo‘(4 + 1)) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1)
6	2, 5	eqtri 2766	. 2 ⊢ (FermatNo‘5) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1)
7		2nn0 12180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
8	3, 7	deccl 12381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
9		9nn0 12187	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12381	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
11	10, 3	deccl 12381	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
12	11, 9	deccl 12381	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42949 ∈ ℕ0
13		6nn0 12184	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12381	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429496 ∈ ℕ0
15		7nn0 12185	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12381	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4294967 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12381	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42949672 ∈ ℕ0
18	17, 9	deccl 12381	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;429496729 ∈ ℕ0
19		6p1e7 12051	. . 3 ⊢ (6 + 1) = 7
20		5nn0 12183	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
21	13, 20	deccl 12381	. . . . . . . 8 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
22	21, 20	deccl 12381	. . . . . . 7 ⊢ ;;655 ∈ ℕ0
23		3nn0 12181	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24	22, 23	deccl 12381	. . . . . 6 ⊢ ;;;6553 ∈ ℕ0
25		1nn0 12179	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26		fmtno4 44892	. . . . . 6 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
27		3p1e4 12048	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
28		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6553 = ;;;6553
29	22, 23, 27, 28	decsuc 12397	. . . . . 6 ⊢ (;;;6553 + 1) = ;;;6554
30		6cn 11994	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
31		ax-1cn 10860	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
32		df-7 11971	. . . . . . 7 ⊢ 7 = (6 + 1)
33	30, 31, 32	mvrraddi 11168	. . . . . 6 ⊢ (7 − 1) = 6
34	24, 15, 25, 26, 29, 33	decsubi 12429	. . . . 5 ⊢ ((FermatNo‘4) − 1) = ;;;;65536
35	34	oveq1i 7265	. . . 4 ⊢ (((FermatNo‘4) − 1)↑2) = (;;;;65536↑2)
36		fmtno5lem4 44896	. . . 4 ⊢ (;;;;65536↑2) = ;;;;;;;;;4294967296
37	35, 36	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (((FermatNo‘4) − 1)↑2) = ;;;;;;;;;4294967296
38	18, 13, 19, 37	decsuc 12397	. 2 ⊢ ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1) = ;;;;;;;;;4294967297
39	6, 38	eqtri 2766	1 ⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803   + caddc 10805   − cmin 11135  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  5c5 11961  6c6 11962  7c7 11963  9c9 11965  ℕ₀cn0 12163  ;cdc 12366  ↑cexp 13710  FermatNocfmtno 44867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fmtno 44868

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  44922