Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno5 46897
Description: The 5 th Fermat number. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno5 (FermatNo‘5) = 4294967297

Proof of Theorem fmtno5
StepHypRef Expression
1 df-5 12309 . . . 4 5 = (4 + 1)
21fveq2i 6900 . . 3 (FermatNo‘5) = (FermatNo‘(4 + 1))
3 4nn0 12522 . . . 4 4 ∈ ℕ0
4 fmtnorec1 46877 . . . 4 (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(4 + 1)) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1))
53, 4ax-mp 5 . . 3 (FermatNo‘(4 + 1)) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1)
62, 5eqtri 2756 . 2 (FermatNo‘5) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1)
7 2nn0 12520 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
83, 7deccl 12723 . . . . . . . . . 10 42 ∈ ℕ0
9 9nn0 12527 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℕ0
108, 9deccl 12723 . . . . . . . . 9 429 ∈ ℕ0
1110, 3deccl 12723 . . . . . . . 8 4294 ∈ ℕ0
1211, 9deccl 12723 . . . . . . 7 42949 ∈ ℕ0
13 6nn0 12524 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 12723 . . . . . 6 429496 ∈ ℕ0
15 7nn0 12525 . . . . . 6 7 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 12723 . . . . 5 4294967 ∈ ℕ0
1716, 7deccl 12723 . . . 4 42949672 ∈ ℕ0
1817, 9deccl 12723 . . 3 429496729 ∈ ℕ0
19 6p1e7 12391 . . 3 (6 + 1) = 7
20 5nn0 12523 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
2113, 20deccl 12723 . . . . . . . 8 65 ∈ ℕ0
2221, 20deccl 12723 . . . . . . 7 655 ∈ ℕ0
23 3nn0 12521 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
2422, 23deccl 12723 . . . . . 6 6553 ∈ ℕ0
25 1nn0 12519 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
26 fmtno4 46892 . . . . . 6 (FermatNo‘4) = 65537
27 3p1e4 12388 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
28 eqid 2728 . . . . . . 7 6553 = 6553
2922, 23, 27, 28decsuc 12739 . . . . . 6 (6553 + 1) = 6554
30 6cn 12334 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
31 ax-1cn 11197 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
32 df-7 12311 . . . . . . 7 7 = (6 + 1)
3330, 31, 32mvrraddi 11508 . . . . . 6 (7 − 1) = 6
3424, 15, 25, 26, 29, 33decsubi 12771 . . . . 5 ((FermatNo‘4) − 1) = 65536
3534oveq1i 7430 . . . 4 (((FermatNo‘4) − 1)↑2) = (65536↑2)
36 fmtno5lem4 46896 . . . 4 (65536↑2) = 4294967296
3735, 36eqtri 2756 . . 3 (((FermatNo‘4) − 1)↑2) = 4294967296
3818, 13, 19, 37decsuc 12739 . 2 ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1) = 4294967297
396, 38eqtri 2756 1 (FermatNo‘5) = 4294967297
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6548  (class class class)co 7420  1c1 11140   + caddc 11142  cmin 11475  2c2 12298  3c3 12299  4c4 12300  5c5 12301  6c6 12302  7c7 12303  9c9 12305  0cn0 12503  cdc 12708  cexp 14059  FermatNocfmtno 46867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fmtno 46868
This theorem is referenced by:  fmtno5fac  46922
  Copyright terms: Public domain W3C validator