Theorem fmtno5 48736

Description: The 5 th Fermat number. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5	⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297

Proof of Theorem fmtno5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12412	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 6889	. . 3 ⊢ (FermatNo‘5) = (FermatNo‘(4 + 1))
3		4nn0 12629	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		fmtnorec1 48716	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(4 + 1)) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (FermatNo‘(4 + 1)) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1)
6	2, 5	eqtri 2783	. 2 ⊢ (FermatNo‘5) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1)
7		2nn0 12627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
8	3, 7	deccl 12833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
9		9nn0 12634	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12833	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
11	10, 3	deccl 12833	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
12	11, 9	deccl 12833	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42949 ∈ ℕ0
13		6nn0 12631	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12833	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429496 ∈ ℕ0
15		7nn0 12632	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12833	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4294967 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12833	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42949672 ∈ ℕ0
18	17, 9	deccl 12833	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;429496729 ∈ ℕ0
19		6p1e7 12494	. . 3 ⊢ (6 + 1) = 7
20		5nn0 12630	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
21	13, 20	deccl 12833	. . . . . . . 8 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
22	21, 20	deccl 12833	. . . . . . 7 ⊢ ;;655 ∈ ℕ0
23		3nn0 12628	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24	22, 23	deccl 12833	. . . . . 6 ⊢ ;;;6553 ∈ ℕ0
25		1nn0 12626	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26		fmtno4 48731	. . . . . 6 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
27		3p1e4 12491	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
28		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6553 = ;;;6553
29	22, 23, 27, 28	decsuc 12854	. . . . . 6 ⊢ (;;;6553 + 1) = ;;;6554
30		6cn 12438	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
31		ax-1cn 11262	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
32		df-7 12414	. . . . . . 7 ⊢ 7 = (6 + 1)
33	30, 31, 32	mvrraddi 11578	. . . . . 6 ⊢ (7 − 1) = 6
34	24, 15, 25, 26, 29, 33	decsubi 12886	. . . . 5 ⊢ ((FermatNo‘4) − 1) = ;;;;65536
35	34	oveq1i 7431	. . . 4 ⊢ (((FermatNo‘4) − 1)↑2) = (;;;;65536↑2)
36		fmtno5lem4 48735	. . . 4 ⊢ (;;;;65536↑2) = ;;;;;;;;;4294967296
37	35, 36	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (((FermatNo‘4) − 1)↑2) = ;;;;;;;;;4294967296
38	18, 13, 19, 37	decsuc 12854	. 2 ⊢ ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1) = ;;;;;;;;;4294967297
39	6, 38	eqtri 2783	1 ⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  1c1 11205   + caddc 11207   − cmin 11545  2c2 12401  3c3 12402  4c4 12403  5c5 12404  6c6 12405  7c7 12406  9c9 12408  ℕ₀cn0 12610  ;cdc 12818  ↑cexp 14208  FermatNocfmtno 48706

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fmtno 48707

This theorem is used by:  fmtno5fac  48761