Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno5 47544
Description: The 5 th Fermat number. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno5 (FermatNo‘5) = 4294967297

Proof of Theorem fmtno5
StepHypRef Expression
1 df-5 12332 . . . 4 5 = (4 + 1)
21fveq2i 6909 . . 3 (FermatNo‘5) = (FermatNo‘(4 + 1))
3 4nn0 12545 . . . 4 4 ∈ ℕ0
4 fmtnorec1 47524 . . . 4 (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(4 + 1)) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1))
53, 4ax-mp 5 . . 3 (FermatNo‘(4 + 1)) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1)
62, 5eqtri 2765 . 2 (FermatNo‘5) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1)
7 2nn0 12543 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
83, 7deccl 12748 . . . . . . . . . 10 42 ∈ ℕ0
9 9nn0 12550 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℕ0
108, 9deccl 12748 . . . . . . . . 9 429 ∈ ℕ0
1110, 3deccl 12748 . . . . . . . 8 4294 ∈ ℕ0
1211, 9deccl 12748 . . . . . . 7 42949 ∈ ℕ0
13 6nn0 12547 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 12748 . . . . . 6 429496 ∈ ℕ0
15 7nn0 12548 . . . . . 6 7 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 12748 . . . . 5 4294967 ∈ ℕ0
1716, 7deccl 12748 . . . 4 42949672 ∈ ℕ0
1817, 9deccl 12748 . . 3 429496729 ∈ ℕ0
19 6p1e7 12414 . . 3 (6 + 1) = 7
20 5nn0 12546 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
2113, 20deccl 12748 . . . . . . . 8 65 ∈ ℕ0
2221, 20deccl 12748 . . . . . . 7 655 ∈ ℕ0
23 3nn0 12544 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
2422, 23deccl 12748 . . . . . 6 6553 ∈ ℕ0
25 1nn0 12542 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
26 fmtno4 47539 . . . . . 6 (FermatNo‘4) = 65537
27 3p1e4 12411 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
28 eqid 2737 . . . . . . 7 6553 = 6553
2922, 23, 27, 28decsuc 12764 . . . . . 6 (6553 + 1) = 6554
30 6cn 12357 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
31 ax-1cn 11213 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
32 df-7 12334 . . . . . . 7 7 = (6 + 1)
3330, 31, 32mvrraddi 11525 . . . . . 6 (7 − 1) = 6
3424, 15, 25, 26, 29, 33decsubi 12796 . . . . 5 ((FermatNo‘4) − 1) = 65536
3534oveq1i 7441 . . . 4 (((FermatNo‘4) − 1)↑2) = (65536↑2)
36 fmtno5lem4 47543 . . . 4 (65536↑2) = 4294967296
3735, 36eqtri 2765 . . 3 (((FermatNo‘4) − 1)↑2) = 4294967296
3818, 13, 19, 37decsuc 12764 . 2 ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1) = 4294967297
396, 38eqtri 2765 1 (FermatNo‘5) = 4294967297
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158  cmin 11492  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  9c9 12328  0cn0 12526  cdc 12733  cexp 14102  FermatNocfmtno 47514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fmtno 47515
This theorem is referenced by:  fmtno5fac  47569
  Copyright terms: Public domain W3C validator