Theorem fmtno5 47571

Description: The 5 th Fermat number. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5	⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297

Proof of Theorem fmtno5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12306	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 6879	. . 3 ⊢ (FermatNo‘5) = (FermatNo‘(4 + 1))
3		4nn0 12520	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		fmtnorec1 47551	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(4 + 1)) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (FermatNo‘(4 + 1)) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1)
6	2, 5	eqtri 2758	. 2 ⊢ (FermatNo‘5) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1)
7		2nn0 12518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
8	3, 7	deccl 12723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
9		9nn0 12525	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12723	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
11	10, 3	deccl 12723	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
12	11, 9	deccl 12723	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42949 ∈ ℕ0
13		6nn0 12522	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12723	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429496 ∈ ℕ0
15		7nn0 12523	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12723	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4294967 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12723	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42949672 ∈ ℕ0
18	17, 9	deccl 12723	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;429496729 ∈ ℕ0
19		6p1e7 12388	. . 3 ⊢ (6 + 1) = 7
20		5nn0 12521	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
21	13, 20	deccl 12723	. . . . . . . 8 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
22	21, 20	deccl 12723	. . . . . . 7 ⊢ ;;655 ∈ ℕ0
23		3nn0 12519	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24	22, 23	deccl 12723	. . . . . 6 ⊢ ;;;6553 ∈ ℕ0
25		1nn0 12517	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26		fmtno4 47566	. . . . . 6 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
27		3p1e4 12385	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
28		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6553 = ;;;6553
29	22, 23, 27, 28	decsuc 12739	. . . . . 6 ⊢ (;;;6553 + 1) = ;;;6554
30		6cn 12331	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
31		ax-1cn 11187	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
32		df-7 12308	. . . . . . 7 ⊢ 7 = (6 + 1)
33	30, 31, 32	mvrraddi 11499	. . . . . 6 ⊢ (7 − 1) = 6
34	24, 15, 25, 26, 29, 33	decsubi 12771	. . . . 5 ⊢ ((FermatNo‘4) − 1) = ;;;;65536
35	34	oveq1i 7415	. . . 4 ⊢ (((FermatNo‘4) − 1)↑2) = (;;;;65536↑2)
36		fmtno5lem4 47570	. . . 4 ⊢ (;;;;65536↑2) = ;;;;;;;;;4294967296
37	35, 36	eqtri 2758	. . 3 ⊢ (((FermatNo‘4) − 1)↑2) = ;;;;;;;;;4294967296
38	18, 13, 19, 37	decsuc 12739	. 2 ⊢ ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1) = ;;;;;;;;;4294967297
39	6, 38	eqtri 2758	1 ⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  1c1 11130   + caddc 11132   − cmin 11466  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  5c5 12298  6c6 12299  7c7 12300  9c9 12302  ℕ₀cn0 12501  ;cdc 12708  ↑cexp 14079  FermatNocfmtno 47541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fmtno 47542

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  47596