Theorem fmtno5 48460

Description: The 5 th Fermat number. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5	⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297

Proof of Theorem fmtno5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12330	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 6881	. . 3 ⊢ (FermatNo‘5) = (FermatNo‘(4 + 1))
3		4nn0 12547	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		fmtnorec1 48440	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(4 + 1)) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (FermatNo‘(4 + 1)) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1)
6	2, 5	eqtri 2783	. 2 ⊢ (FermatNo‘5) = ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1)
7		2nn0 12545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
8	3, 7	deccl 12751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
9		9nn0 12552	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 12751	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
11	10, 3	deccl 12751	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
12	11, 9	deccl 12751	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42949 ∈ ℕ0
13		6nn0 12549	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12751	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429496 ∈ ℕ0
15		7nn0 12550	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12751	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4294967 ∈ ℕ0
17	16, 7	deccl 12751	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42949672 ∈ ℕ0
18	17, 9	deccl 12751	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;429496729 ∈ ℕ0
19		6p1e7 12412	. . 3 ⊢ (6 + 1) = 7
20		5nn0 12548	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
21	13, 20	deccl 12751	. . . . . . . 8 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
22	21, 20	deccl 12751	. . . . . . 7 ⊢ ;;655 ∈ ℕ0
23		3nn0 12546	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24	22, 23	deccl 12751	. . . . . 6 ⊢ ;;;6553 ∈ ℕ0
25		1nn0 12544	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26		fmtno4 48455	. . . . . 6 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
27		3p1e4 12409	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
28		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6553 = ;;;6553
29	22, 23, 27, 28	decsuc 12772	. . . . . 6 ⊢ (;;;6553 + 1) = ;;;6554
30		6cn 12356	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
31		ax-1cn 11182	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
32		df-7 12332	. . . . . . 7 ⊢ 7 = (6 + 1)
33	30, 31, 32	mvrraddi 11498	. . . . . 6 ⊢ (7 − 1) = 6
34	24, 15, 25, 26, 29, 33	decsubi 12804	. . . . 5 ⊢ ((FermatNo‘4) − 1) = ;;;;65536
35	34	oveq1i 7423	. . . 4 ⊢ (((FermatNo‘4) − 1)↑2) = (;;;;65536↑2)
36		fmtno5lem4 48459	. . . 4 ⊢ (;;;;65536↑2) = ;;;;;;;;;4294967296
37	35, 36	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (((FermatNo‘4) − 1)↑2) = ;;;;;;;;;4294967296
38	18, 13, 19, 37	decsuc 12772	. 2 ⊢ ((((FermatNo‘4) − 1)↑2) + 1) = ;;;;;;;;;4294967297
39	6, 38	eqtri 2783	1 ⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  1c1 11125   + caddc 11127   − cmin 11465  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  9c9 12326  ℕ₀cn0 12528  ;cdc 12736  ↑cexp 14125  FermatNocfmtno 48430

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fmtno 48431

This theorem is used by:  fmtno5fac  48485