MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2cpmfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2cpmfo 22249
Description: The matrix transformation is a function from the matrices onto the constant polynomial matrices. (Contributed by AV, 19-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2cpmfo.s 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
m2cpmfo.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
m2cpmfo.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2cpmfo.k 𝐾 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
m2cpmfo ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐾onto𝑆)

Proof of Theorem m2cpmfo
Dummy variables 𝑐 𝑚 𝑥 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 m2cpmfo.s . . 3 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
2 m2cpmfo.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
3 m2cpmfo.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 m2cpmfo.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐴)
51, 2, 3, 4m2cpmf 22235 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐾𝑆)
6 eqid 2732 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7 simplll 773 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑁 ∈ Fin)
8 simpllr 774 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
9 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝑁 Mat (Poly1𝑅)) = (𝑁 Mat (Poly1𝑅))
10 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
11 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))) = (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))
12 simp2 1137 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
13 simp3 1138 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
14 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
151, 14, 9, 11cpmatpmat 22203 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))))
1615ad4ant124 1173 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))))
17163ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))))
189, 10, 11, 12, 13, 17matecld 21919 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑚𝑗) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
19 0nn0 12483 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
20 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (coe1‘(𝑖𝑚𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑚𝑗))
2120, 10, 14, 6coe1fvalcl 21727 . . . . . . . 8 (((𝑖𝑚𝑗) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
2218, 19, 21sylancl 586 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
233, 6, 4, 7, 8, 22matbas2d 21916 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑚𝑆) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)) ∈ 𝐾)
2423fmpttd 7111 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0))):𝑆𝐾)
25 simpr 485 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
2624, 25ffvelcdmd 7084 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥) ∈ 𝐾)
27 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑐 = ((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥) → (𝑇𝑐) = (𝑇‘((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)))
2827eqeq2d 2743 . . . . 5 (𝑐 = ((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥) → (𝑥 = (𝑇𝑐) ↔ 𝑥 = (𝑇‘((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥))))
2928adantl 482 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑐 = ((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)) → (𝑥 = (𝑇𝑐) ↔ 𝑥 = (𝑇‘((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥))))
30 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅) = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
3130, 1cpm2mfval 22242 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅) = (𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0))))
3231fveq1d 6890 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥) = ((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥))
33323adant3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥) = ((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥))
3433eqcomd 2738 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥) = ((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥))
3534fveq2d 6892 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑆) → (𝑇‘((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)) = (𝑇‘((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥)))
361, 30, 2m2cpminvid2 22248 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑆) → (𝑇‘((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥)) = 𝑥)
3735, 36eqtrd 2772 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑆) → (𝑇‘((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)) = 𝑥)
38373expa 1118 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑇‘((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)) = 𝑥)
3938eqcomd 2738 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 = (𝑇‘((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)))
4026, 29, 39rspcedvd 3614 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) → ∃𝑐𝐾 𝑥 = (𝑇𝑐))
4140ralrimiva 3146 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥𝑆𝑐𝐾 𝑥 = (𝑇𝑐))
42 dffo3 7100 . 2 (𝑇:𝐾onto𝑆 ↔ (𝑇:𝐾𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑐𝐾 𝑥 = (𝑇𝑐)))
435, 41, 42sylanbrc 583 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐾onto𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  cmpt 5230  wf 6536  ontowfo 6538  cfv 6540  (class class class)co 7405  cmpo 7407  Fincfn 8935  0cc0 11106  0cn0 12468  Basecbs 17140  Ringcrg 20049  Poly1cpl1 21692  coe1cco1 21693   Mat cmat 21898   ConstPolyMat ccpmat 22196   matToPolyMat cmat2pmat 22197   cPolyMatToMat ccpmat2mat 22198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-coe1 21698  df-mat 21899  df-cpmat 22199  df-mat2pmat 22200  df-cpmat2mat 22201
This theorem is referenced by:  m2cpmf1o  22250
  Copyright terms: Public domain W3C validator