Theorem m2cpmfo 21500

Description: The matrix transformation is a function from the matrices onto the constant polynomial matrices. (Contributed by AV, 19-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2cpmfo.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
m2cpmfo.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
m2cpmfo.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2cpmfo.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
m2cpmfo	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐾–onto→𝑆)

Proof of Theorem m2cpmfo

Dummy variables 𝑐 𝑚 𝑥 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m2cpmfo.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
2		m2cpmfo.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
3		m2cpmfo.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		m2cpmfo.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
5	1, 2, 3, 4	m2cpmf 21486	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐾⟶𝑆)
6		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		simplll 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ Fin)
8		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
9		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)) = (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))
10		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
11		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))) = (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))
12		simp2 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
13		simp3 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
14		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
15	1, 14, 9, 11	cpmatpmat 21454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
16	15	ad4ant124 1174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
17	16	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
18	9, 10, 11, 12, 13, 17	matecld 21170	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑚𝑗) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
19		0nn0 11984	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘(𝑖𝑚𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑚𝑗))
21	20, 10, 14, 6	coe1fvalcl 20980	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑖𝑚𝑗) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
22	18, 19, 21	sylancl 589	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
23	3, 6, 4, 7, 8, 22	matbas2d 21167	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)) ∈ 𝐾)
24	23	fmpttd 6883	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0))):𝑆⟶𝐾)
25		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
26	24, 25	ffvelrnd 6856	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥) ∈ 𝐾)
27		fveq2 6668	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥) → (𝑇‘𝑐) = (𝑇‘((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)))
28	27	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥) → (𝑥 = (𝑇‘𝑐) ↔ 𝑥 = (𝑇‘((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥))))
29	28	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 = ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)) → (𝑥 = (𝑇‘𝑐) ↔ 𝑥 = (𝑇‘((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥))))
30		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅) = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
31	30, 1	cpm2mfval 21493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅) = (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0))))
32	31	fveq1d 6670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥) = ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥))
33	32	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥) = ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥))
34	33	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥) = ((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥))
35	34	fveq2d 6672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑇‘((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)) = (𝑇‘((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥)))
36	1, 30, 2	m2cpminvid2 21499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑇‘((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥)) = 𝑥)
37	35, 36	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑇‘((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)) = 𝑥)
38	37	3expa 1119	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑇‘((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)) = 𝑥)
39	38	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 = (𝑇‘((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)))
40	26, 29, 39	rspcedvd 3527	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑇‘𝑐))
41	40	ralrimiva 3096	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑇‘𝑐))
42		dffo3 6872	. 2 ⊢ (𝑇:𝐾–onto→𝑆 ↔ (𝑇:𝐾⟶𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑇‘𝑐)))
43	5, 41, 42	sylanbrc 586	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐾–onto→𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  ∀wral 3053  ∃wrex 3054   ↦ cmpt 5107  ⟶wf 6329  –onto→wfo 6331  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164   ∈ cmpo 7166  Fincfn 8548  0cc0 10608  ℕ₀cn0 11969  Basecbs 16579  Ringcrg 19409  Poly₁cpl1 20945  coe₁cco1 20946   Mat cmat 21151   ConstPolyMat ccpmat 21447   matToPolyMat cmat2pmat 21448   cPolyMatToMat ccpmat2mat 21449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-ot 4522  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-ofr 7420  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-sup 8972  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-seq 13454  df-hash 13776  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-hom 16685  df-cco 16686  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-prds 16817  df-pws 16819  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-mhm 18065  df-submnd 18066  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-mulg 18336  df-subg 18387  df-ghm 18467  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-srg 19368  df-ring 19411  df-subrg 19645  df-lmod 19748  df-lss 19816  df-sra 20056  df-rgmod 20057  df-dsmm 20541  df-frlm 20556  df-ascl 20664  df-psr 20715  df-mvr 20716  df-mpl 20717  df-opsr 20719  df-psr1 20948  df-vr1 20949  df-ply1 20950  df-coe1 20951  df-mat 21152  df-cpmat 21450  df-mat2pmat 21451  df-cpmat2mat 21452

This theorem is referenced by:  m2cpmf1o  21501