MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2cpmfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2cpmfo 21500
Description: The matrix transformation is a function from the matrices onto the constant polynomial matrices. (Contributed by AV, 19-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2cpmfo.s 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
m2cpmfo.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
m2cpmfo.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2cpmfo.k 𝐾 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
m2cpmfo ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐾onto𝑆)

Proof of Theorem m2cpmfo
Dummy variables 𝑐 𝑚 𝑥 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 m2cpmfo.s . . 3 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
2 m2cpmfo.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
3 m2cpmfo.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 m2cpmfo.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐴)
51, 2, 3, 4m2cpmf 21486 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐾𝑆)
6 eqid 2738 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7 simplll 775 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑁 ∈ Fin)
8 simpllr 776 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
9 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (𝑁 Mat (Poly1𝑅)) = (𝑁 Mat (Poly1𝑅))
10 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
11 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))) = (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅)))
12 simp2 1138 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
13 simp3 1139 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
14 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
151, 14, 9, 11cpmatpmat 21454 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))))
1615ad4ant124 1174 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑚𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))))
17163ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1𝑅))))
189, 10, 11, 12, 13, 17matecld 21170 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑚𝑗) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
19 0nn0 11984 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
20 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (coe1‘(𝑖𝑚𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑚𝑗))
2120, 10, 14, 6coe1fvalcl 20980 . . . . . . . 8 (((𝑖𝑚𝑗) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
2218, 19, 21sylancl 589 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑚𝑆) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
233, 6, 4, 7, 8, 22matbas2d 21167 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑚𝑆) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)) ∈ 𝐾)
2423fmpttd 6883 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0))):𝑆𝐾)
25 simpr 488 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
2624, 25ffvelrnd 6856 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥) ∈ 𝐾)
27 fveq2 6668 . . . . . 6 (𝑐 = ((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥) → (𝑇𝑐) = (𝑇‘((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)))
2827eqeq2d 2749 . . . . 5 (𝑐 = ((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥) → (𝑥 = (𝑇𝑐) ↔ 𝑥 = (𝑇‘((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥))))
2928adantl 485 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑐 = ((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)) → (𝑥 = (𝑇𝑐) ↔ 𝑥 = (𝑇‘((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥))))
30 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅) = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
3130, 1cpm2mfval 21493 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅) = (𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0))))
3231fveq1d 6670 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥) = ((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥))
33323adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥) = ((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥))
3433eqcomd 2744 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥) = ((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥))
3534fveq2d 6672 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑆) → (𝑇‘((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)) = (𝑇‘((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥)))
361, 30, 2m2cpminvid2 21499 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑆) → (𝑇‘((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥)) = 𝑥)
3735, 36eqtrd 2773 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑆) → (𝑇‘((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)) = 𝑥)
38373expa 1119 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑇‘((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)) = 𝑥)
3938eqcomd 2744 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 = (𝑇‘((𝑚𝑆 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)))
4026, 29, 39rspcedvd 3527 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝑆) → ∃𝑐𝐾 𝑥 = (𝑇𝑐))
4140ralrimiva 3096 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥𝑆𝑐𝐾 𝑥 = (𝑇𝑐))
42 dffo3 6872 . 2 (𝑇:𝐾onto𝑆 ↔ (𝑇:𝐾𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑐𝐾 𝑥 = (𝑇𝑐)))
435, 41, 42sylanbrc 586 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐾onto𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wral 3053  wrex 3054  cmpt 5107  wf 6329  ontowfo 6331  cfv 6333  (class class class)co 7164  cmpo 7166  Fincfn 8548  0cc0 10608  0cn0 11969  Basecbs 16579  Ringcrg 19409  Poly1cpl1 20945  coe1cco1 20946   Mat cmat 21151   ConstPolyMat ccpmat 21447   matToPolyMat cmat2pmat 21448   cPolyMatToMat ccpmat2mat 21449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-ot 4522  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-ofr 7420  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-sup 8972  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-seq 13454  df-hash 13776  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-hom 16685  df-cco 16686  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-prds 16817  df-pws 16819  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-mhm 18065  df-submnd 18066  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-mulg 18336  df-subg 18387  df-ghm 18467  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-srg 19368  df-ring 19411  df-subrg 19645  df-lmod 19748  df-lss 19816  df-sra 20056  df-rgmod 20057  df-dsmm 20541  df-frlm 20556  df-ascl 20664  df-psr 20715  df-mvr 20716  df-mpl 20717  df-opsr 20719  df-psr1 20948  df-vr1 20949  df-ply1 20950  df-coe1 20951  df-mat 21152  df-cpmat 21450  df-mat2pmat 21451  df-cpmat2mat 21452
This theorem is referenced by:  m2cpmf1o  21501
  Copyright terms: Public domain W3C validator