Theorem m2cpmfo 21905

Description: The matrix transformation is a function from the matrices onto the constant polynomial matrices. (Contributed by AV, 19-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2cpmfo.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
m2cpmfo.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
m2cpmfo.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2cpmfo.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
m2cpmfo	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐾–onto→𝑆)

Proof of Theorem m2cpmfo

Dummy variables 𝑐 𝑚 𝑥 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m2cpmfo.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
2		m2cpmfo.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
3		m2cpmfo.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		m2cpmfo.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
5	1, 2, 3, 4	m2cpmf 21891	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐾⟶𝑆)
6		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		simplll 772	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ Fin)
8		simpllr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
9		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)) = (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))
10		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
11		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))) = (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))
12		simp2 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
13		simp3 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
14		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
15	1, 14, 9, 11	cpmatpmat 21859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
16	15	ad4ant124 1172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
17	16	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
18	9, 10, 11, 12, 13, 17	matecld 21575	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑚𝑗) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
19		0nn0 12248	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘(𝑖𝑚𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑚𝑗))
21	20, 10, 14, 6	coe1fvalcl 21383	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑖𝑚𝑗) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
22	18, 19, 21	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
23	3, 6, 4, 7, 8, 22	matbas2d 21572	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)) ∈ 𝐾)
24	23	fmpttd 6989	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0))):𝑆⟶𝐾)
25		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
26	24, 25	ffvelrnd 6962	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥) ∈ 𝐾)
27		fveq2 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥) → (𝑇‘𝑐) = (𝑇‘((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)))
28	27	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥) → (𝑥 = (𝑇‘𝑐) ↔ 𝑥 = (𝑇‘((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥))))
29	28	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 = ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)) → (𝑥 = (𝑇‘𝑐) ↔ 𝑥 = (𝑇‘((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥))))
30		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅) = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
31	30, 1	cpm2mfval 21898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅) = (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0))))
32	31	fveq1d 6776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥) = ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥))
33	32	3adant3 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥) = ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥))
34	33	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥) = ((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥))
35	34	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑇‘((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)) = (𝑇‘((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥)))
36	1, 30, 2	m2cpminvid2 21904	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑇‘((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥)) = 𝑥)
37	35, 36	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑇‘((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)) = 𝑥)
38	37	3expa 1117	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑇‘((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)) = 𝑥)
39	38	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 = (𝑇‘((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)))
40	26, 29, 39	rspcedvd 3563	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑇‘𝑐))
41	40	ralrimiva 3103	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑇‘𝑐))
42		dffo3 6978	. 2 ⊢ (𝑇:𝐾–onto→𝑆 ↔ (𝑇:𝐾⟶𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑇‘𝑐)))
43	5, 41, 42	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐾–onto→𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6429  –onto→wfo 6431  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  Fincfn 8733  0cc0 10871  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912  Ringcrg 19783  Poly₁cpl1 21348  coe₁cco1 21349   Mat cmat 21554   ConstPolyMat ccpmat 21852   matToPolyMat cmat2pmat 21853   cPolyMatToMat ccpmat2mat 21854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-srg 19742  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-ascl 21062  df-psr 21112  df-mvr 21113  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-psr1 21351  df-vr1 21352  df-ply1 21353  df-coe1 21354  df-mat 21555  df-cpmat 21855  df-mat2pmat 21856  df-cpmat2mat 21857

This theorem is referenced by:  m2cpmf1o  21906