Theorem m2cpmfo 22762

Description: The matrix transformation is a function from the matrices onto the constant polynomial matrices. (Contributed by AV, 19-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2cpmfo.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
m2cpmfo.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
m2cpmfo.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2cpmfo.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
m2cpmfo	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐾–onto→𝑆)

Proof of Theorem m2cpmfo

Dummy variables 𝑐 𝑚 𝑥 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m2cpmfo.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
2		m2cpmfo.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
3		m2cpmfo.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		m2cpmfo.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
5	1, 2, 3, 4	m2cpmf 22748	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐾⟶𝑆)
6		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		simplll 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ Fin)
8		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
9		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)) = (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))
10		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
11		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))) = (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅)))
12		simp2 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
13		simp3 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
14		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
15	1, 14, 9, 11	cpmatpmat 22716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
16	15	ad4ant124 1174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
17	16	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))))
18	9, 10, 11, 12, 13, 17	matecld 22432	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑚𝑗) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
19		0nn0 12541	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘(𝑖𝑚𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑚𝑗))
21	20, 10, 14, 6	coe1fvalcl 22214	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑖𝑚𝑗) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
22	18, 19, 21	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0) ∈ (Base‘𝑅))
23	3, 6, 4, 7, 8, 22	matbas2d 22429	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)) ∈ 𝐾)
24	23	fmpttd 7135	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0))):𝑆⟶𝐾)
25		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
26	24, 25	ffvelcdmd 7105	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥) ∈ 𝐾)
27		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥) → (𝑇‘𝑐) = (𝑇‘((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)))
28	27	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥) → (𝑥 = (𝑇‘𝑐) ↔ 𝑥 = (𝑇‘((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥))))
29	28	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 = ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)) → (𝑥 = (𝑇‘𝑐) ↔ 𝑥 = (𝑇‘((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥))))
30		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅) = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
31	30, 1	cpm2mfval 22755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅) = (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0))))
32	31	fveq1d 6908	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥) = ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥))
33	32	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥) = ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥))
34	33	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥) = ((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥))
35	34	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑇‘((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)) = (𝑇‘((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥)))
36	1, 30, 2	m2cpminvid2 22761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑇‘((𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)‘𝑥)) = 𝑥)
37	35, 36	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑇‘((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)) = 𝑥)
38	37	3expa 1119	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑇‘((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)) = 𝑥)
39	38	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 = (𝑇‘((𝑚 ∈ 𝑆 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘0)))‘𝑥)))
40	26, 29, 39	rspcedvd 3624	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑇‘𝑐))
41	40	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑇‘𝑐))
42		dffo3 7122	. 2 ⊢ (𝑇:𝐾–onto→𝑆 ↔ (𝑇:𝐾⟶𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑇‘𝑐)))
43	5, 41, 42	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐾–onto→𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  –onto→wfo 6559  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  Fincfn 8985  0cc0 11155  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247  Ringcrg 20230  Poly₁cpl1 22178  coe₁cco1 22179   Mat cmat 22411   ConstPolyMat ccpmat 22709   matToPolyMat cmat2pmat 22710   cPolyMatToMat ccpmat2mat 22711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-mat 22412  df-cpmat 22712  df-mat2pmat 22713  df-cpmat2mat 22714

This theorem is referenced by:  m2cpmf1o  22763