Theorem scmatfo 22474

Description: There is a function from a ring onto any ring of scalar matrices over this ring. (Contributed by AV, 26-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatrhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
scmatrhmval.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
scmatrhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
scmatrhmval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatfo	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾–onto→𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥, ∗   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem scmatfo

Dummy variables 𝑐 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatrhmval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		scmatrhmval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		scmatrhmval.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
4		scmatrhmval.t	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
5		scmatrhmval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
6		scmatrhmval.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatf 22473	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
9	1, 2, 8, 3, 4, 6	scmatscmid 22450	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑦 = (𝑐 ∗ 1 ))
10	9	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑦 = (𝑐 ∗ 1 ))
11	1, 2, 3, 4, 5	scmatrhmval 22471	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑐) = (𝑐 ∗ 1 ))
12	11	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑐) = (𝑐 ∗ 1 ))
13	12	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝑐 ∗ 1 ) = (𝐹‘𝑐))
14	13	eqeq2d 2747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝑦 = (𝑐 ∗ 1 ) ↔ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)))
15	14	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝑦 = (𝑐 ∗ 1 ) → 𝑦 = (𝐹‘𝑐)))
16	15	reximdva 3149	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑦 = (𝑐 ∗ 1 ) → ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑦 = (𝐹‘𝑐)))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑦 = (𝑐 ∗ 1 ) → ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑦 = (𝐹‘𝑐)))
18	10, 17	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑦 = (𝐹‘𝑐))
19	18	ralrimiva 3128	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑦 ∈ 𝐶 ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑦 = (𝐹‘𝑐))
20		dffo3 7047	. 2 ⊢ (𝐹:𝐾–onto→𝐶 ↔ (𝐹:𝐾⟶𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑦 = (𝐹‘𝑐)))
21	7, 19, 20	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾–onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ↦ cmpt 5179  ⟶wf 6488  –onto→wfo 6490  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Fincfn 8883  Basecbs 17136   ·_𝑠 cvsca 17181  1_rcur 20116  Ringcrg 20168   Mat cmat 22351   ScMat cscmat 22433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-dsmm 21687  df-frlm 21702  df-mamu 22335  df-mat 22352  df-scmat 22435

This theorem is referenced by:  scmatf1o  22476