Theorem scmatfo 22536

Description: There is a function from a ring onto any ring of scalar matrices over this ring. (Contributed by AV, 26-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatrhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
scmatrhmval.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
scmatrhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
scmatrhmval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatfo	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾–onto→𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥, ∗   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem scmatfo

Dummy variables 𝑐 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatrhmval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		scmatrhmval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		scmatrhmval.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
4		scmatrhmval.t	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
5		scmatrhmval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
6		scmatrhmval.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatf 22535	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
9	1, 2, 8, 3, 4, 6	scmatscmid 22512	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑦 = (𝑐 ∗ 1 ))
10	9	3expa 1119	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑦 = (𝑐 ∗ 1 ))
11	1, 2, 3, 4, 5	scmatrhmval 22533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑐) = (𝑐 ∗ 1 ))
12	11	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑐) = (𝑐 ∗ 1 ))
13	12	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝑐 ∗ 1 ) = (𝐹‘𝑐))
14	13	eqeq2d 2748	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝑦 = (𝑐 ∗ 1 ) ↔ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)))
15	14	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝑦 = (𝑐 ∗ 1 ) → 𝑦 = (𝐹‘𝑐)))
16	15	reximdva 3168	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑦 = (𝑐 ∗ 1 ) → ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑦 = (𝐹‘𝑐)))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑦 = (𝑐 ∗ 1 ) → ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑦 = (𝐹‘𝑐)))
18	10, 17	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑦 = (𝐹‘𝑐))
19	18	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑦 ∈ 𝐶 ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑦 = (𝐹‘𝑐))
20		dffo3 7122	. 2 ⊢ (𝐹:𝐾–onto→𝐶 ↔ (𝐹:𝐾⟶𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑦 = (𝐹‘𝑐)))
21	7, 19, 20	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾–onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  –onto→wfo 6559  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  Basecbs 17247   ·_𝑠 cvsca 17301  1_rcur 20178  Ringcrg 20230   Mat cmat 22411   ScMat cscmat 22495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mamu 22395  df-mat 22412  df-scmat 22497

This theorem is referenced by:  scmatf1o  22538