MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatfo 22382
Description: There is a function from a ring onto any ring of scalar matrices over this ring. (Contributed by AV, 26-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatrhmval.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
scmatrhmval.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
scmatrhmval.o 1 = (1rโ€˜๐ด)
scmatrhmval.t โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
scmatrhmval.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆ— 1 ))
scmatrhmval.c ๐ถ = (๐‘ ScMat ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
scmatfo ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐น:๐พโ€“ontoโ†’๐ถ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐พ   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ, 1   ๐‘ฅ, โˆ—   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ)

Proof of Theorem scmatfo
Dummy variables ๐‘ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatrhmval.k . . 3 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
2 scmatrhmval.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 scmatrhmval.o . . 3 1 = (1rโ€˜๐ด)
4 scmatrhmval.t . . 3 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
5 scmatrhmval.f . . 3 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆ— 1 ))
6 scmatrhmval.c . . 3 ๐ถ = (๐‘ ScMat ๐‘…)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatf 22381 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐น:๐พโŸถ๐ถ)
8 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜๐ด)
91, 2, 8, 3, 4, 6scmatscmid 22358 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘ฆ = (๐‘ โˆ— 1 ))
1093expa 1115 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘ฆ = (๐‘ โˆ— 1 ))
111, 2, 3, 4, 5scmatrhmval 22379 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐‘ โˆ— 1 ))
1211adantll 711 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐‘ โˆ— 1 ))
1312eqcomd 2732 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ โˆ— 1 ) = (๐นโ€˜๐‘))
1413eqeq2d 2737 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘ โˆ— 1 ) โ†” ๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘)))
1514biimpd 228 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘ โˆ— 1 ) โ†’ ๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘)))
1615reximdva 3162 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘ฆ = (๐‘ โˆ— 1 ) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘)))
1716adantr 480 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘ฆ = (๐‘ โˆ— 1 ) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘)))
1810, 17mpd 15 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘))
1918ralrimiva 3140 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘))
20 dffo3 7096 . 2 (๐น:๐พโ€“ontoโ†’๐ถ โ†” (๐น:๐พโŸถ๐ถ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘)))
217, 19, 20sylanbrc 582 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐น:๐พโ€“ontoโ†’๐ถ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064   โ†ฆ cmpt 5224  โŸถwf 6532  โ€“ontoโ†’wfo 6534  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  Basecbs 17150   ยท๐‘  cvsca 17207  1rcur 20083  Ringcrg 20135   Mat cmat 22257   ScMat cscmat 22341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-subrg 20468  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-dsmm 21622  df-frlm 21637  df-mamu 22236  df-mat 22258  df-scmat 22343
This theorem is referenced by:  scmatf1o  22384
  Copyright terms: Public domain W3C validator