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Theorem clwlkclwwlkfo 29526
Description: 𝐹 is a function from the nonempty closed walks onto the closed walks as words in a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jun-2018.) (Revised by AV, 2-May-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwlkclwwlkf.c 𝐢 = {𝑀 ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) ∣ 1 ≀ (β™―β€˜(1st β€˜π‘€))}
clwlkclwwlkf.f 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝐢 ↦ ((2nd β€˜π‘) prefix ((β™―β€˜(2nd β€˜π‘)) βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlkfo (𝐺 ∈ USPGraph β†’ 𝐹:𝐢–ontoβ†’(ClWWalksβ€˜πΊ))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐺,𝑐   𝐢,𝑐,𝑀   𝐹,𝑐,𝑀

Proof of Theorem clwlkclwwlkfo
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwlkclwwlkf.c . . 3 𝐢 = {𝑀 ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) ∣ 1 ≀ (β™―β€˜(1st β€˜π‘€))}
2 clwlkclwwlkf.f . . 3 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝐢 ↦ ((2nd β€˜π‘) prefix ((β™―β€˜(2nd β€˜π‘)) βˆ’ 1)))
31, 2clwlkclwwlkf 29525 . 2 (𝐺 ∈ USPGraph β†’ 𝐹:𝐢⟢(ClWWalksβ€˜πΊ))
4 clwwlkgt0 29503 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ 0 < (β™―β€˜π‘€))
5 eqid 2731 . . . . . . . 8 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
65clwwlkbp 29502 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 β‰  βˆ…))
7 lencl 14488 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (β™―β€˜π‘€) ∈ β„•0)
87nn0zd 12589 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (β™―β€˜π‘€) ∈ β„€)
9 zgt0ge1 12621 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘€) ∈ β„€ β†’ (0 < (β™―β€˜π‘€) ↔ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)))
108, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (0 < (β™―β€˜π‘€) ↔ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)))
1110biimpd 228 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (0 < (β™―β€˜π‘€) β†’ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)))
1211anc2li 555 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (0 < (β™―β€˜π‘€) β†’ (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€))))
13123ad2ant2 1133 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 β‰  βˆ…) β†’ (0 < (β™―β€˜π‘€) β†’ (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€))))
146, 13syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (0 < (β™―β€˜π‘€) β†’ (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€))))
154, 14mpd 15 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)))
1615adantl 481 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑀 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)) β†’ (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)))
17 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
185, 17clwlkclwwlk2 29520 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(ClWalksβ€˜πΊ)(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©) ↔ 𝑀 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)))
19 df-br 5150 . . . . . . . . . 10 (𝑓(ClWalksβ€˜πΊ)(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©) ↔ βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ))
20 simpr2 1194 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) ∧ (𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€))) β†’ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
21 simpr3 1195 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) ∧ (𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€))) β†’ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€))
22 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) ∧ (𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€))) β†’ βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ))
231clwlkclwwlkfolem 29524 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€) ∧ βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ)) β†’ βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ 𝐢)
2420, 21, 22, 23syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) ∧ (𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€))) β†’ βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ 𝐢)
25233expa 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)) ∧ βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ)) β†’ βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ 𝐢)
26 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) ∈ V
27 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 = βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ β†’ (2nd β€˜π‘) = (2nd β€˜βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩))
28 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 = βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ β†’ (β™―β€˜(2nd β€˜π‘)) = (β™―β€˜(2nd β€˜βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩)))
2928oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 = βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ β†’ ((β™―β€˜(2nd β€˜π‘)) βˆ’ 1) = ((β™―β€˜(2nd β€˜βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩)) βˆ’ 1))
3027, 29oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ β†’ ((2nd β€˜π‘) prefix ((β™―β€˜(2nd β€˜π‘)) βˆ’ 1)) = ((2nd β€˜βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩) prefix ((β™―β€˜(2nd β€˜βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩)) βˆ’ 1)))
31 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑓 ∈ V
32 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©) ∈ V
3331, 32op2nd 7987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2nd β€˜βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩) = (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)
3433fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (β™―β€˜(2nd β€˜βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩)) = (β™―β€˜(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©))
3534oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((β™―β€˜(2nd β€˜βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩)) βˆ’ 1) = ((β™―β€˜(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)
3633, 35oveq12i 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2nd β€˜βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩) prefix ((β™―β€˜(2nd β€˜βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩)) βˆ’ 1)) = ((𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1))
3730, 36eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ β†’ ((2nd β€˜π‘) prefix ((β™―β€˜(2nd β€˜π‘)) βˆ’ 1)) = ((𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)))
3837, 2fvmptg 6997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ 𝐢 ∧ ((𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) ∈ V) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩) = ((𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)))
3925, 26, 38sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)) ∧ βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ)) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩) = ((𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)))
40 wrdlenccats1lenm1 14577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1) = (β™―β€˜π‘€))
4140ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)) ∧ βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ)) β†’ ((β™―β€˜(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1) = (β™―β€˜π‘€))
4241oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)) ∧ βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©) prefix ((β™―β€˜(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) = ((𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘€)))
43 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)) ∧ βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ)) β†’ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
44 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)) ∧ βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ)) β†’ (𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)))
45 wrdsymb1 14508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)) β†’ (π‘€β€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)) ∧ βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ)) β†’ (π‘€β€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
4746s1cld 14558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)) ∧ βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ)) β†’ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
48 eqidd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)) ∧ βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ)) β†’ (β™―β€˜π‘€) = (β™―β€˜π‘€))
49 pfxccatid 14696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘€) = (β™―β€˜π‘€)) β†’ ((𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘€)) = 𝑀)
5043, 47, 48, 49syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)) ∧ βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘€)) = 𝑀)
5139, 42, 503eqtrrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)) ∧ βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ)) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩))
5251ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)) β†’ (βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩)))
53523adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)) β†’ (βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩)))
5453ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) ∧ (𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€))) ∧ 𝑐 = βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩) β†’ (βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩)))
55 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩))
5655eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ β†’ (𝑀 = (πΉβ€˜π‘) ↔ 𝑀 = (πΉβ€˜βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩)))
5756imbi2d 339 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ β†’ ((βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜π‘)) ↔ (βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩))))
5857adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) ∧ (𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€))) ∧ 𝑐 = βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩) β†’ ((βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜π‘)) ↔ (βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩))))
5954, 58mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) ∧ (𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€))) ∧ 𝑐 = βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩) β†’ (βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜π‘)))
6024, 59rspcimedv 3604 . . . . . . . . . . . 12 ((βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) ∧ (𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€))) β†’ (βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐢 𝑀 = (πΉβ€˜π‘)))
6160ex 412 . . . . . . . . . . 11 (βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)) β†’ (βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐢 𝑀 = (πΉβ€˜π‘))))
6261pm2.43b 55 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)) β†’ (βŸ¨π‘“, (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©)⟩ ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐢 𝑀 = (πΉβ€˜π‘)))
6319, 62biimtrid 241 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)) β†’ (𝑓(ClWalksβ€˜πΊ)(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐢 𝑀 = (πΉβ€˜π‘)))
6463exlimdv 1935 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(ClWalksβ€˜πΊ)(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜0)β€βŸ©) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐢 𝑀 = (πΉβ€˜π‘)))
6518, 64sylbird 259 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)) β†’ (𝑀 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐢 𝑀 = (πΉβ€˜π‘)))
66653expib 1121 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USPGraph β†’ ((𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)) β†’ (𝑀 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐢 𝑀 = (πΉβ€˜π‘))))
6766com23 86 . . . . 5 (𝐺 ∈ USPGraph β†’ (𝑀 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ ((𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐢 𝑀 = (πΉβ€˜π‘))))
6867imp 406 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑀 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 1 ≀ (β™―β€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐢 𝑀 = (πΉβ€˜π‘)))
6916, 68mpd 15 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑀 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐢 𝑀 = (πΉβ€˜π‘))
7069ralrimiva 3145 . 2 (𝐺 ∈ USPGraph β†’ βˆ€π‘€ ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)βˆƒπ‘ ∈ 𝐢 𝑀 = (πΉβ€˜π‘))
71 dffo3 7104 . 2 (𝐹:𝐢–ontoβ†’(ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ (𝐹:𝐢⟢(ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)βˆƒπ‘ ∈ 𝐢 𝑀 = (πΉβ€˜π‘)))
723, 70, 71sylanbrc 582 1 (𝐺 ∈ USPGraph β†’ 𝐹:𝐢–ontoβ†’(ClWWalksβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473  βˆ…c0 4323  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  1st c1st 7976  2nd c2nd 7977  0cc0 11113  1c1 11114   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  β„€cz 12563  β™―chash 14295  Word cword 14469   ++ cconcat 14525  βŸ¨β€œcs1 14550   prefix cpfx 14625  Vtxcvtx 28520  iEdgciedg 28521  USPGraphcuspgr 28672  ClWalkscclwlks 29291  ClWWalkscclwwlk 29498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-lsw 14518  df-concat 14526  df-s1 14551  df-substr 14596  df-pfx 14626  df-edg 28572  df-uhgr 28582  df-upgr 28606  df-uspgr 28674  df-wlks 29120  df-clwlks 29292  df-clwwlk 29499
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlkf1o  29528
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