Theorem pm2mpfo 23021

Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a function mapping polynomial matrices onto polynomials over matrices. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpfo.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpfo.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpfo.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpfo.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
pm2mpfo.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpfo.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
pm2mpfo.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpfo.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpfo.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
pm2mpfo.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pm2mpfo	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵–onto→𝐿)

Proof of Theorem pm2mpfo

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑓 𝑝 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpfo.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		pm2mpfo.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3		pm2mpfo.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		pm2mpfo.m	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
5		pm2mpfo.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
6		pm2mpfo.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
7		pm2mpfo.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8		pm2mpfo.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
9		pm2mpfo.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
10		pm2mpfo.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pm2mpf 23005	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵⟶𝐿)
12		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
13		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
14		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
15		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))) = (𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))
16	7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 1, 9	mp2pm2mp 23018	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) = 𝑝)
17	16	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) = 𝑝)
18	7, 8, 10, 1, 12, 13, 14, 15, 2, 3	mply1topmatcl 23012	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝) ∈ 𝐵)
19	18	3expa 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝) ∈ 𝐵)
20		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) ∧ 𝑓 = ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → 𝑓 = ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝))
21	20	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) ∧ 𝑓 = ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → (𝑇‘𝑓) = (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)))
22	21	eqeq2d 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) ∧ 𝑓 = ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → (𝑝 = (𝑇‘𝑓) ↔ 𝑝 = (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝))))
23	19, 22	rspcedv 3576	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → (𝑝 = (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓)))
24	23	com12 33	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓)))
25	24	eqcoms 2773	. . . 4 ⊢ ((𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) = 𝑝 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓)))
26	17, 25	mpcom 39	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓))
27	26	ralrimiva 3159	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓))
28		dffo3 7101	. 2 ⊢ (𝑇:𝐵–onto→𝐿 ↔ (𝑇:𝐵⟶𝐿 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓)))
29	11, 27, 28	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵–onto→𝐿)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6536  –onto→wfo 6538  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421  Fincfn 8949  ℕ₀cn0 12519  Basecbs 17291   ·_𝑠 cvsca 17336   Σ_g cgsu 17515  ._gcmg 19177  mulGrpcmgp 20260  Ringcrg 20359  var₁cv1 22386  Poly₁cpl1 22387  coe₁cco1 22388   Mat cmat 22614   pMatToMatPoly cpm2mp 22999

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-hash 14385  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-hom 17356  df-cco 17357  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-prds 17522  df-pws 17524  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-mhm 18878  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-mulg 19178  df-subg 19233  df-ghm 19328  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-srg 20313  df-ring 20361  df-subrng 20695  df-subrg 20719  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-sra 21344  df-rgmod 21345  df-dsmm 21932  df-frlm 21947  df-psr 22109  df-mvr 22110  df-mpl 22111  df-opsr 22113  df-psr1 22390  df-vr1 22391  df-ply1 22392  df-coe1 22393  df-mamu 22598  df-mat 22615  df-decpmat 22970  df-pm2mp 23000

This theorem is used by:  pm2mpf1o  23022