Theorem pm2mpfo 22736

Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a function mapping polynomial matrices onto polynomials over matrices. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpfo.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpfo.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpfo.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpfo.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
pm2mpfo.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpfo.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
pm2mpfo.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpfo.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpfo.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
pm2mpfo.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pm2mpfo	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵–onto→𝐿)

Proof of Theorem pm2mpfo

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑓 𝑝 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpfo.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		pm2mpfo.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3		pm2mpfo.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		pm2mpfo.m	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
5		pm2mpfo.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
6		pm2mpfo.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
7		pm2mpfo.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8		pm2mpfo.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
9		pm2mpfo.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
10		pm2mpfo.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pm2mpf 22720	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵⟶𝐿)
12		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
13		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
14		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
15		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))) = (𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))
16	7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 1, 9	mp2pm2mp 22733	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) = 𝑝)
17	16	3expa 1115	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) = 𝑝)
18	7, 8, 10, 1, 12, 13, 14, 15, 2, 3	mply1topmatcl 22727	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝) ∈ 𝐵)
19	18	3expa 1115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝) ∈ 𝐵)
20		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) ∧ 𝑓 = ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → 𝑓 = ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝))
21	20	fveq2d 6906	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) ∧ 𝑓 = ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → (𝑇‘𝑓) = (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)))
22	21	eqeq2d 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) ∧ 𝑓 = ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → (𝑝 = (𝑇‘𝑓) ↔ 𝑝 = (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝))))
23	19, 22	rspcedv 3604	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → (𝑝 = (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓)))
24	23	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓)))
25	24	eqcoms 2736	. . . 4 ⊢ ((𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) = 𝑝 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓)))
26	17, 25	mpcom 38	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓))
27	26	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓))
28		dffo3 7117	. 2 ⊢ (𝑇:𝐵–onto→𝐿 ↔ (𝑇:𝐵⟶𝐿 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓)))
29	11, 27, 28	sylanbrc 581	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵–onto→𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ↦ cmpt 5235  ⟶wf 6549  –onto→wfo 6551  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  Fincfn 8970  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17187   ·_𝑠 cvsca 17244   Σ_g cgsu 17429  ._gcmg 19030  mulGrpcmgp 20081  Ringcrg 20180  var₁cv1 22102  Poly₁cpl1 22103  coe₁cco1 22104   Mat cmat 22327   pMatToMatPoly cpm2mp 22714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-srg 20134  df-ring 20182  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-psr 21849  df-mvr 21850  df-mpl 21851  df-opsr 21853  df-psr1 22106  df-vr1 22107  df-ply1 22108  df-coe1 22109  df-mamu 22306  df-mat 22328  df-decpmat 22685  df-pm2mp 22715

This theorem is referenced by:  pm2mpf1o  22737