Theorem pm2mpfo 22638

Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a function mapping polynomial matrices onto polynomials over matrices. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpfo.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpfo.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpfo.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpfo.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
pm2mpfo.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpfo.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
pm2mpfo.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpfo.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpfo.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
pm2mpfo.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pm2mpfo	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵–onto→𝐿)

Proof of Theorem pm2mpfo

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑓 𝑝 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpfo.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		pm2mpfo.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3		pm2mpfo.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		pm2mpfo.m	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
5		pm2mpfo.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
6		pm2mpfo.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
7		pm2mpfo.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8		pm2mpfo.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
9		pm2mpfo.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
10		pm2mpfo.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pm2mpf 22622	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵⟶𝐿)
12		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
13		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
14		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
15		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))) = (𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))
16	7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 1, 9	mp2pm2mp 22635	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) = 𝑝)
17	16	3expa 1115	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) = 𝑝)
18	7, 8, 10, 1, 12, 13, 14, 15, 2, 3	mply1topmatcl 22629	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝) ∈ 𝐵)
19	18	3expa 1115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝) ∈ 𝐵)
20		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) ∧ 𝑓 = ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → 𝑓 = ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝))
21	20	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) ∧ 𝑓 = ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → (𝑇‘𝑓) = (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)))
22	21	eqeq2d 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) ∧ 𝑓 = ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → (𝑝 = (𝑇‘𝑓) ↔ 𝑝 = (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝))))
23	19, 22	rspcedv 3597	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → (𝑝 = (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓)))
24	23	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓)))
25	24	eqcoms 2732	. . . 4 ⊢ ((𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) = 𝑝 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓)))
26	17, 25	mpcom 38	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓))
27	26	ralrimiva 3138	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓))
28		dffo3 7093	. 2 ⊢ (𝑇:𝐵–onto→𝐿 ↔ (𝑇:𝐵⟶𝐿 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓)))
29	11, 27, 28	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵–onto→𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  ∃wrex 3062   ↦ cmpt 5221  ⟶wf 6529  –onto→wfo 6531  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403  Fincfn 8935  ℕ₀cn0 12469  Basecbs 17143   ·_𝑠 cvsca 17200   Σ_g cgsu 17385  ._gcmg 18985  mulGrpcmgp 20029  Ringcrg 20128  var₁cv1 22018  Poly₁cpl1 22019  coe₁cco1 22020   Mat cmat 22229   pMatToMatPoly cpm2mp 22616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-srg 20082  df-ring 20130  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-sra 21011  df-rgmod 21012  df-dsmm 21595  df-frlm 21610  df-psr 21771  df-mvr 21772  df-mpl 21773  df-opsr 21775  df-psr1 22022  df-vr1 22023  df-ply1 22024  df-coe1 22025  df-mamu 22208  df-mat 22230  df-decpmat 22587  df-pm2mp 22617

This theorem is referenced by:  pm2mpf1o  22639