Theorem pm2mpfo 22666

Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a function mapping polynomial matrices onto polynomials over matrices. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpfo.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpfo.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpfo.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpfo.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
pm2mpfo.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpfo.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
pm2mpfo.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpfo.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpfo.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
pm2mpfo.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pm2mpfo	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵–onto→𝐿)

Proof of Theorem pm2mpfo

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑓 𝑝 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpfo.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		pm2mpfo.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3		pm2mpfo.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		pm2mpfo.m	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
5		pm2mpfo.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
6		pm2mpfo.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
7		pm2mpfo.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8		pm2mpfo.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
9		pm2mpfo.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
10		pm2mpfo.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pm2mpf 22650	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵⟶𝐿)
12		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
13		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
14		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
15		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))) = (𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))
16	7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 1, 9	mp2pm2mp 22663	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) = 𝑝)
17	16	3expa 1115	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) = 𝑝)
18	7, 8, 10, 1, 12, 13, 14, 15, 2, 3	mply1topmatcl 22657	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝) ∈ 𝐵)
19	18	3expa 1115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝) ∈ 𝐵)
20		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) ∧ 𝑓 = ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → 𝑓 = ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝))
21	20	fveq2d 6888	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) ∧ 𝑓 = ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → (𝑇‘𝑓) = (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)))
22	21	eqeq2d 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) ∧ 𝑓 = ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → (𝑝 = (𝑇‘𝑓) ↔ 𝑝 = (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝))))
23	19, 22	rspcedv 3599	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → (𝑝 = (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓)))
24	23	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓)))
25	24	eqcoms 2734	. . . 4 ⊢ ((𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) = 𝑝 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓)))
26	17, 25	mpcom 38	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓))
27	26	ralrimiva 3140	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓))
28		dffo3 7096	. 2 ⊢ (𝑇:𝐵–onto→𝐿 ↔ (𝑇:𝐵⟶𝐿 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓)))
29	11, 27, 28	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵–onto→𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∃wrex 3064   ↦ cmpt 5224  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  Fincfn 8938  ℕ₀cn0 12473  Basecbs 17150   ·_𝑠 cvsca 17207   Σ_g cgsu 17392  ._gcmg 18992  mulGrpcmgp 20036  Ringcrg 20135  var₁cv1 22045  Poly₁cpl1 22046  coe₁cco1 22047   Mat cmat 22257   pMatToMatPoly cpm2mp 22644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-srg 20089  df-ring 20137  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-dsmm 21622  df-frlm 21637  df-psr 21798  df-mvr 21799  df-mpl 21800  df-opsr 21802  df-psr1 22049  df-vr1 22050  df-ply1 22051  df-coe1 22052  df-mamu 22236  df-mat 22258  df-decpmat 22615  df-pm2mp 22645

This theorem is referenced by:  pm2mpf1o  22667