Theorem pm2mpfo 22727

Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a function mapping polynomial matrices onto polynomials over matrices. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpfo.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpfo.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpfo.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpfo.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
pm2mpfo.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpfo.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
pm2mpfo.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpfo.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpfo.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
pm2mpfo.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pm2mpfo	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵–onto→𝐿)

Proof of Theorem pm2mpfo

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑓 𝑝 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpfo.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		pm2mpfo.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3		pm2mpfo.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		pm2mpfo.m	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
5		pm2mpfo.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
6		pm2mpfo.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
7		pm2mpfo.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8		pm2mpfo.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
9		pm2mpfo.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
10		pm2mpfo.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pm2mpf 22711	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵⟶𝐿)
12		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
13		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
14		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
15		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))) = (𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))
16	7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 1, 9	mp2pm2mp 22724	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) = 𝑝)
17	16	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) = 𝑝)
18	7, 8, 10, 1, 12, 13, 14, 15, 2, 3	mply1topmatcl 22718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝) ∈ 𝐵)
19	18	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝) ∈ 𝐵)
20		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) ∧ 𝑓 = ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → 𝑓 = ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝))
21	20	fveq2d 6826	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) ∧ 𝑓 = ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → (𝑇‘𝑓) = (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)))
22	21	eqeq2d 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) ∧ 𝑓 = ((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → (𝑝 = (𝑇‘𝑓) ↔ 𝑝 = (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝))))
23	19, 22	rspcedv 3570	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → (𝑝 = (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓)))
24	23	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓)))
25	24	eqcoms 2739	. . . 4 ⊢ ((𝑇‘((𝑙 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))‘𝑝)) = 𝑝 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓)))
26	17, 25	mpcom 38	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝 ∈ 𝐿) → ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓))
27	26	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓))
28		dffo3 7035	. 2 ⊢ (𝑇:𝐵–onto→𝐿 ↔ (𝑇:𝐵⟶𝐿 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑓 ∈ 𝐵 𝑝 = (𝑇‘𝑓)))
29	11, 27, 28	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵–onto→𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ↦ cmpt 5172  ⟶wf 6477  –onto→wfo 6479  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348  Fincfn 8869  ℕ₀cn0 12378  Basecbs 17117   ·_𝑠 cvsca 17162   Σ_g cgsu 17341  ._gcmg 18977  mulGrpcmgp 20056  Ringcrg 20149  var₁cv1 22086  Poly₁cpl1 22087  coe₁cco1 22088   Mat cmat 22320   pMatToMatPoly cpm2mp 22705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-hash 14235  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-hom 17182  df-cco 17183  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-prds 17348  df-pws 17350  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mhm 18688  df-submnd 18689  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-mulg 18978  df-subg 19033  df-ghm 19123  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-srg 20103  df-ring 20151  df-subrng 20459  df-subrg 20483  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-sra 21105  df-rgmod 21106  df-dsmm 21667  df-frlm 21682  df-psr 21844  df-mvr 21845  df-mpl 21846  df-opsr 21848  df-psr1 22090  df-vr1 22091  df-ply1 22092  df-coe1 22093  df-mamu 22304  df-mat 22321  df-decpmat 22676  df-pm2mp 22706

This theorem is referenced by:  pm2mpf1o  22728