MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pm2mpfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pm2mpfo 22666
Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a function mapping polynomial matrices onto polynomials over matrices. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpfo.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
pm2mpfo.c ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
pm2mpfo.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
pm2mpfo.m โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)
pm2mpfo.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))
pm2mpfo.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐ด)
pm2mpfo.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
pm2mpfo.q ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
pm2mpfo.l ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
pm2mpfo.t ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
pm2mpfo ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘‡:๐ตโ€“ontoโ†’๐ฟ)

Proof of Theorem pm2mpfo
Dummy variables ๐‘– ๐‘— ๐‘˜ ๐‘“ ๐‘ ๐‘™ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2mpfo.p . . 3 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
2 pm2mpfo.c . . 3 ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
3 pm2mpfo.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
4 pm2mpfo.m . . 3 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)
5 pm2mpfo.e . . 3 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))
6 pm2mpfo.x . . 3 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐ด)
7 pm2mpfo.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
8 pm2mpfo.q . . 3 ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
9 pm2mpfo.t . . 3 ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
10 pm2mpfo.l . . 3 ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pm2mpf 22650 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘‡:๐ตโŸถ๐ฟ)
12 eqid 2726 . . . . . 6 ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ) = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
13 eqid 2726 . . . . . 6 (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)) = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
14 eqid 2726 . . . . . 6 (var1โ€˜๐‘…) = (var1โ€˜๐‘…)
15 eqid 2726 . . . . . 6 (๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))))))) = (๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))
167, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 1, 9mp2pm2mp 22663 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘)) = ๐‘)
17163expa 1115 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘)) = ๐‘)
187, 8, 10, 1, 12, 13, 14, 15, 2, 3mply1topmatcl 22657 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต)
19183expa 1115 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต)
20 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘“ = ((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘“ = ((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘))
2120fveq2d 6888 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘“ = ((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘“) = (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘)))
2221eqeq2d 2737 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘“ = ((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘ = (๐‘‡โ€˜๐‘“) โ†” ๐‘ = (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘))))
2319, 22rspcedv 3599 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘ = (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ต ๐‘ = (๐‘‡โ€˜๐‘“)))
2423com12 32 . . . . 5 (๐‘ = (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘)) โ†’ (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ต ๐‘ = (๐‘‡โ€˜๐‘“)))
2524eqcoms 2734 . . . 4 ((๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘)) = ๐‘ โ†’ (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ต ๐‘ = (๐‘‡โ€˜๐‘“)))
2617, 25mpcom 38 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ต ๐‘ = (๐‘‡โ€˜๐‘“))
2726ralrimiva 3140 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ต ๐‘ = (๐‘‡โ€˜๐‘“))
28 dffo3 7096 . 2 (๐‘‡:๐ตโ€“ontoโ†’๐ฟ โ†” (๐‘‡:๐ตโŸถ๐ฟ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ต ๐‘ = (๐‘‡โ€˜๐‘“)))
2911, 27, 28sylanbrc 582 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘‡:๐ตโ€“ontoโ†’๐ฟ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064   โ†ฆ cmpt 5224  โŸถwf 6532  โ€“ontoโ†’wfo 6534  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   โˆˆ cmpo 7406  Fincfn 8938  โ„•0cn0 12473  Basecbs 17150   ยท๐‘  cvsca 17207   ฮฃg cgsu 17392  .gcmg 18992  mulGrpcmgp 20036  Ringcrg 20135  var1cv1 22045  Poly1cpl1 22046  coe1cco1 22047   Mat cmat 22257   pMatToMatPoly cpm2mp 22644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-srg 20089  df-ring 20137  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-dsmm 21622  df-frlm 21637  df-psr 21798  df-mvr 21799  df-mpl 21800  df-opsr 21802  df-psr1 22049  df-vr1 22050  df-ply1 22051  df-coe1 22052  df-mamu 22236  df-mat 22258  df-decpmat 22615  df-pm2mp 22645
This theorem is referenced by:  pm2mpf1o  22667
  Copyright terms: Public domain W3C validator