MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pm2mpfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pm2mpfo 22736
Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a function mapping polynomial matrices onto polynomials over matrices. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpfo.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
pm2mpfo.c ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
pm2mpfo.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
pm2mpfo.m โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)
pm2mpfo.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))
pm2mpfo.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐ด)
pm2mpfo.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
pm2mpfo.q ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
pm2mpfo.l ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
pm2mpfo.t ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
pm2mpfo ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘‡:๐ตโ€“ontoโ†’๐ฟ)

Proof of Theorem pm2mpfo
Dummy variables ๐‘– ๐‘— ๐‘˜ ๐‘“ ๐‘ ๐‘™ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2mpfo.p . . 3 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
2 pm2mpfo.c . . 3 ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
3 pm2mpfo.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
4 pm2mpfo.m . . 3 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)
5 pm2mpfo.e . . 3 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))
6 pm2mpfo.x . . 3 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐ด)
7 pm2mpfo.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
8 pm2mpfo.q . . 3 ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
9 pm2mpfo.t . . 3 ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
10 pm2mpfo.l . . 3 ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pm2mpf 22720 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘‡:๐ตโŸถ๐ฟ)
12 eqid 2728 . . . . . 6 ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ) = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
13 eqid 2728 . . . . . 6 (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)) = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
14 eqid 2728 . . . . . 6 (var1โ€˜๐‘…) = (var1โ€˜๐‘…)
15 eqid 2728 . . . . . 6 (๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))))))) = (๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))
167, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 1, 9mp2pm2mp 22733 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘)) = ๐‘)
17163expa 1115 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘)) = ๐‘)
187, 8, 10, 1, 12, 13, 14, 15, 2, 3mply1topmatcl 22727 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต)
19183expa 1115 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต)
20 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘“ = ((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘“ = ((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘))
2120fveq2d 6906 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘“ = ((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘“) = (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘)))
2221eqeq2d 2739 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘“ = ((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘ = (๐‘‡โ€˜๐‘“) โ†” ๐‘ = (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘))))
2319, 22rspcedv 3604 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘ = (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ต ๐‘ = (๐‘‡โ€˜๐‘“)))
2423com12 32 . . . . 5 (๐‘ = (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘)) โ†’ (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ต ๐‘ = (๐‘‡โ€˜๐‘“)))
2524eqcoms 2736 . . . 4 ((๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘™)โ€˜๐‘˜)๐‘—)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))โ€˜๐‘)) = ๐‘ โ†’ (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ต ๐‘ = (๐‘‡โ€˜๐‘“)))
2617, 25mpcom 38 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ต ๐‘ = (๐‘‡โ€˜๐‘“))
2726ralrimiva 3143 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ต ๐‘ = (๐‘‡โ€˜๐‘“))
28 dffo3 7117 . 2 (๐‘‡:๐ตโ€“ontoโ†’๐ฟ โ†” (๐‘‡:๐ตโŸถ๐ฟ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘“ โˆˆ ๐ต ๐‘ = (๐‘‡โ€˜๐‘“)))
2911, 27, 28sylanbrc 581 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘‡:๐ตโ€“ontoโ†’๐ฟ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  โˆƒwrex 3067   โ†ฆ cmpt 5235  โŸถwf 6549  โ€“ontoโ†’wfo 6551  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โˆˆ cmpo 7428  Fincfn 8970  โ„•0cn0 12510  Basecbs 17187   ยท๐‘  cvsca 17244   ฮฃg cgsu 17429  .gcmg 19030  mulGrpcmgp 20081  Ringcrg 20180  var1cv1 22102  Poly1cpl1 22103  coe1cco1 22104   Mat cmat 22327   pMatToMatPoly cpm2mp 22714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-srg 20134  df-ring 20182  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-psr 21849  df-mvr 21850  df-mpl 21851  df-opsr 21853  df-psr1 22106  df-vr1 22107  df-ply1 22108  df-coe1 22109  df-mamu 22306  df-mat 22328  df-decpmat 22685  df-pm2mp 22715
This theorem is referenced by:  pm2mpf1o  22737
  Copyright terms: Public domain W3C validator