Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pm2mpfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pm2mpfo 21398
 Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a function mapping polynomial matrices onto polynomials over matrices. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpfo.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pm2mpfo.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpfo.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpfo.m = ( ·𝑠𝑄)
pm2mpfo.e = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpfo.x 𝑋 = (var1𝐴)
pm2mpfo.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpfo.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
pm2mpfo.l 𝐿 = (Base‘𝑄)
pm2mpfo.t 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
Assertion
Ref Expression
pm2mpfo ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵onto𝐿)

Proof of Theorem pm2mpfo
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑓 𝑝 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2mpfo.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 pm2mpfo.c . . 3 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3 pm2mpfo.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
4 pm2mpfo.m . . 3 = ( ·𝑠𝑄)
5 pm2mpfo.e . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
6 pm2mpfo.x . . 3 𝑋 = (var1𝐴)
7 pm2mpfo.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8 pm2mpfo.q . . 3 𝑄 = (Poly1𝐴)
9 pm2mpfo.t . . 3 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
10 pm2mpfo.l . . 3 𝐿 = (Base‘𝑄)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pm2mpf 21382 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵𝐿)
12 eqid 2821 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
13 eqid 2821 . . . . . 6 (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
14 eqid 2821 . . . . . 6 (var1𝑅) = (var1𝑅)
15 eqid 2821 . . . . . 6 (𝑙𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))) = (𝑙𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))
167, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 1, 9mp2pm2mp 21395 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝𝐿) → (𝑇‘((𝑙𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))‘𝑝)) = 𝑝)
17163expa 1115 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝𝐿) → (𝑇‘((𝑙𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))‘𝑝)) = 𝑝)
187, 8, 10, 1, 12, 13, 14, 15, 2, 3mply1topmatcl 21389 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝𝐿) → ((𝑙𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))‘𝑝) ∈ 𝐵)
19183expa 1115 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝𝐿) → ((𝑙𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))‘𝑝) ∈ 𝐵)
20 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝𝐿) ∧ 𝑓 = ((𝑙𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))‘𝑝)) → 𝑓 = ((𝑙𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))‘𝑝))
2120fveq2d 6647 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝𝐿) ∧ 𝑓 = ((𝑙𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))‘𝑝)) → (𝑇𝑓) = (𝑇‘((𝑙𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))‘𝑝)))
2221eqeq2d 2832 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝𝐿) ∧ 𝑓 = ((𝑙𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))‘𝑝)) → (𝑝 = (𝑇𝑓) ↔ 𝑝 = (𝑇‘((𝑙𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))‘𝑝))))
2319, 22rspcedv 3593 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝𝐿) → (𝑝 = (𝑇‘((𝑙𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))‘𝑝)) → ∃𝑓𝐵 𝑝 = (𝑇𝑓)))
2423com12 32 . . . . 5 (𝑝 = (𝑇‘((𝑙𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))‘𝑝)) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝𝐿) → ∃𝑓𝐵 𝑝 = (𝑇𝑓)))
2524eqcoms 2829 . . . 4 ((𝑇‘((𝑙𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑙)‘𝑘)𝑗)( ·𝑠𝑃)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))))‘𝑝)) = 𝑝 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝𝐿) → ∃𝑓𝐵 𝑝 = (𝑇𝑓)))
2617, 25mpcom 38 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑝𝐿) → ∃𝑓𝐵 𝑝 = (𝑇𝑓))
2726ralrimiva 3170 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑝𝐿𝑓𝐵 𝑝 = (𝑇𝑓))
28 dffo3 6841 . 2 (𝑇:𝐵onto𝐿 ↔ (𝑇:𝐵𝐿 ∧ ∀𝑝𝐿𝑓𝐵 𝑝 = (𝑇𝑓)))
2911, 27, 28sylanbrc 586 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵onto𝐿)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3126  ∃wrex 3127   ↦ cmpt 5119  ⟶wf 6324  –onto→wfo 6326  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   ∈ cmpo 7132  Fincfn 8484  ℕ0cn0 11875  Basecbs 16462   ·𝑠 cvsca 16548   Σg cgsu 16693  .gcmg 18203  mulGrpcmgp 19218  Ringcrg 19276  var1cv1 20320  Poly1cpl1 20321  coe1cco1 20322   Mat cmat 20992   pMatToMatPoly cpm2mp 21376 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-ot 4549  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-ofr 7385  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-sup 8882  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-hash 13675  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-hom 16568  df-cco 16569  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-prds 16700  df-pws 16702  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-mhm 17935  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-mulg 18204  df-subg 18255  df-ghm 18335  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-srg 19235  df-ring 19278  df-subrg 19509  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-sra 19920  df-rgmod 19921  df-psr 20112  df-mvr 20113  df-mpl 20114  df-opsr 20116  df-psr1 20324  df-vr1 20325  df-ply1 20326  df-coe1 20327  df-dsmm 20852  df-frlm 20867  df-mamu 20971  df-mat 20993  df-decpmat 21347  df-pm2mp 21377 This theorem is referenced by:  pm2mpf1o  21399
 Copyright terms: Public domain W3C validator