Theorem clwwlkfo 29303

Description: Lemma 4 for clwwlkf1o 29304: F is an onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-Apr-2021.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlkf1o.d	⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)}
clwwlkf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝑡 prefix 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
clwwlkfo	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐷–onto→(𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑡,𝐷   𝑡,𝐺,𝑤   𝑡,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤)   𝐹(𝑤,𝑡)

Proof of Theorem clwwlkfo

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlkf1o.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)}
2		clwwlkf1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝑡 prefix 𝑁))
3	1, 2	clwwlkf 29300	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐷⟶(𝑁 ClWWalksN 𝐺))
4		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
6	4, 5	clwwlknp 29290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
7		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
8		simpl1 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁))
9		3simpc 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
10	9	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
11	1	clwwlkel 29299	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) ∈ 𝐷)
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) ∈ 𝐷)
13		oveq2 7417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝑝) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑝)))
14	13	eqcoms 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑝) = 𝑁 → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑝)))
15	14	adantl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑝)))
16	15	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑝)))
17	16	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑝)))
18		simpll 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
19		fstwrdne0 14506	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁)) → (𝑝‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
20	19	ancoms 460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
21	20	s1cld 14553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ⟨“(𝑝‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
22	18, 21	jca 513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑝‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
23	22	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑝‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
24		pfxccat1 14652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑝‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑝)) = 𝑝)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑝)) = 𝑝)
26	17, 25	eqtr2d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑝 = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁))
27	12, 26	jca 513	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁)))
28	27	ex 414	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁))))
29	6, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁))))
30	29	impcom 409	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁)))
31		oveq1 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) → (𝑥 prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁))
32	31	rspceeqv 3634	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝑥 prefix 𝑁))
33	30, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝑥 prefix 𝑁))
34	1, 2	clwwlkfv 29301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝑥) = (𝑥 prefix 𝑁))
35	34	eqeq2d 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑝 = (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑝 = (𝑥 prefix 𝑁)))
36	35	adantl 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑝 = (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑝 = (𝑥 prefix 𝑁)))
37	36	rexbidva 3177	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝑥 prefix 𝑁)))
38	33, 37	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝐹‘𝑥))
39	38	ralrimiva 3147	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝐹‘𝑥))
40		dffo3 7104	. 2 ⊢ (𝐹:𝐷–onto→(𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝐹:𝐷⟶(𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∀𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝐹‘𝑥)))
41	3, 39, 40	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐷–onto→(𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3433  {cpr 4631   ↦ cmpt 5232  ⟶wf 6540  –onto→wfo 6542  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   − cmin 11444  ℕcn 12212  ..^cfzo 13627  ♯chash 14290  Word cword 14464  lastSclsw 14512   ++ cconcat 14520  ⟨“cs1 14545   prefix cpfx 14620  Vtxcvtx 28256  Edgcedg 28307   WWalksN cwwlksn 29080   ClWWalksN cclwwlkn 29277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-s1 14546  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-wwlks 29084  df-wwlksn 29085  df-clwwlk 29235  df-clwwlkn 29278

This theorem is referenced by:  clwwlkf1o  29304