Theorem clwwlkfo 30623

Description: Lemma 4 for clwwlkf1o 30624: F is an onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-Apr-2021.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlkf1o.d	⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)}
clwwlkf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝑡 prefix 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
clwwlkfo	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐷–onto→(𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑡,𝐷   𝑡,𝐺,𝑤   𝑡,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤)   𝐹(𝑤, 𝑡)

Proof of Theorem clwwlkfo

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlkf1o.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)}
2		clwwlkf1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝑡 prefix 𝑁))
3	1, 2	clwwlkf 30620	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐷⟶(𝑁 ClWWalksN 𝐺))
4		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
6	4, 5	clwwlknp 30610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
7		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
8		simpl1 1210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁))
9		3simpc 1168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
10	9	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
11	1	clwwlkel 30619	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) ∈ 𝐷)
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) ∈ 𝐷)
13		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝑝) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑝)))
14	13	eqcoms 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑝) = 𝑁 → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑝)))
15	14	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑝)))
16	15	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑝)))
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑝)))
18		simpll 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
19		fstwrdne0 14681	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁)) → (𝑝‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
20	19	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
21	20	s1cld 14730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ⟨“(𝑝‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
22	18, 21	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑝‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
23	22	3ad2antl1 1204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑝‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
24		pfxccat1 14831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑝‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑝)) = 𝑝)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑝)) = 𝑝)
26	17, 25	eqtr2d 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑝 = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁))
27	12, 26	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁)))
28	27	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁))))
29	6, 28	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁))))
30	29	impcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁)))
31		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) → (𝑥 prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁))
32	31	rspceeqv 3599	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝑥 prefix 𝑁))
33	30, 32	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝑥 prefix 𝑁))
34	1, 2	clwwlkfv 30621	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝑥) = (𝑥 prefix 𝑁))
35	34	eqeq2d 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑝 = (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑝 = (𝑥 prefix 𝑁)))
36	35	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑝 = (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑝 = (𝑥 prefix 𝑁)))
37	36	rexbidva 3185	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝑥 prefix 𝑁)))
38	33, 37	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝐹‘𝑥))
39	38	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝐹‘𝑥))
40		dffo3 7094	. 2 ⊢ (𝐹:𝐷–onto→(𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝐹:𝐷⟶(𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∀𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝐹‘𝑥)))
41	3, 39, 40	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐷–onto→(𝑁 ClWWalksN 𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413  {cpr 4586   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6527  –onto→wfo 6529  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   − cmin 11522  ℕcn 12316  ..^cfzo 13768  ♯chash 14454  Word cword 14638  lastSclsw 14687   ++ cconcat 14695  ⟨“cs1 14722   prefix cpfx 14800  Vtxcvtx 29556  Edgcedg 29607   WWalksN cwwlksn 30397   ClWWalksN cclwwlkn 30597

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-oadd 8464  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-hash 14455  df-word 14639  df-lsw 14688  df-concat 14696  df-s1 14723  df-substr 14769  df-pfx 14801  df-wwlks 30401  df-wwlksn 30402  df-clwwlk 30555  df-clwwlkn 30598

This theorem is used by:  clwwlkf1o  30624