MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlkfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlkfo 29043
Description: Lemma 4 for clwwlkf1o 29044: F is an onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-Apr-2021.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlkf1o.d 𝐷 = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0)}
clwwlkf1o.f 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (𝑑 prefix 𝑁))
Assertion
Ref Expression
clwwlkfo (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐹:𝐷–ontoβ†’(𝑁 ClWWalksN 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐺   𝑀,𝑁   𝑑,𝐷   𝑑,𝐺,𝑀   𝑑,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑀)   𝐹(𝑀,𝑑)

Proof of Theorem clwwlkfo
Dummy variables 𝑖 π‘₯ 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlkf1o.d . . 3 𝐷 = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0)}
2 clwwlkf1o.f . . 3 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (𝑑 prefix 𝑁))
31, 2clwwlkf 29040 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐹:𝐷⟢(𝑁 ClWWalksN 𝐺))
4 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
5 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
64, 5clwwlknp 29030 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ ((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
7 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
8 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 ((((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁))
9 3simpc 1151 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
109adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
111clwwlkel 29039 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) ∈ 𝐷)
127, 8, 10, 11syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) ∈ 𝐷)
13 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = (β™―β€˜π‘) β†’ ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘)))
1413eqcoms 2741 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜π‘) = 𝑁 β†’ ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘)))
1514adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) β†’ ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘)))
16153ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘)))
1716adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘)))
18 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
19 fstwrdne0 14453 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁)) β†’ (π‘β€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
2019ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
2120s1cld 14500 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
2218, 21jca 513 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)))
23223ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)))
24 pfxccat1 14599 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘)) = 𝑝)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘)) = 𝑝)
2617, 25eqtr2d 2774 . . . . . . . . 9 ((((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑝 = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁))
2712, 26jca 513 . . . . . . . 8 ((((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁)))
2827ex 414 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁))))
296, 28syl 17 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁))))
3029impcom 409 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁)))
31 oveq1 7368 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) β†’ (π‘₯ prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁))
3231rspceeqv 3599 . . . . 5 (((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 𝑝 = (π‘₯ prefix 𝑁))
3330, 32syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 𝑝 = (π‘₯ prefix 𝑁))
341, 2clwwlkfv 29041 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (π‘₯ prefix 𝑁))
3534eqeq2d 2744 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (𝑝 = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 𝑝 = (π‘₯ prefix 𝑁)))
3635adantl 483 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝑝 = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 𝑝 = (π‘₯ prefix 𝑁)))
3736rexbidva 3170 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 𝑝 = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 𝑝 = (π‘₯ prefix 𝑁)))
3833, 37mpbird 257 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 𝑝 = (πΉβ€˜π‘₯))
3938ralrimiva 3140 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘ ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 𝑝 = (πΉβ€˜π‘₯))
40 dffo3 7056 . 2 (𝐹:𝐷–ontoβ†’(𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝐹:𝐷⟢(𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 𝑝 = (πΉβ€˜π‘₯)))
413, 39, 40sylanbrc 584 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐹:𝐷–ontoβ†’(𝑁 ClWWalksN 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  {cpr 4592   ↦ cmpt 5192  βŸΆwf 6496  β€“ontoβ†’wfo 6498  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   βˆ’ cmin 11393  β„•cn 12161  ..^cfzo 13576  β™―chash 14239  Word cword 14411  lastSclsw 14459   ++ cconcat 14467  βŸ¨β€œcs1 14492   prefix cpfx 14567  Vtxcvtx 27996  Edgcedg 28047   WWalksN cwwlksn 28820   ClWWalksN cclwwlkn 29017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240  df-word 14412  df-lsw 14460  df-concat 14468  df-s1 14493  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-wwlks 28824  df-wwlksn 28825  df-clwwlk 28975  df-clwwlkn 29018
This theorem is referenced by:  clwwlkf1o  29044
  Copyright terms: Public domain W3C validator