MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlkfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlkfo 29570
Description: Lemma 4 for clwwlkf1o 29571: F is an onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-Apr-2021.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlkf1o.d 𝐷 = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0)}
clwwlkf1o.f 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (𝑑 prefix 𝑁))
Assertion
Ref Expression
clwwlkfo (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐹:𝐷–ontoβ†’(𝑁 ClWWalksN 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐺   𝑀,𝑁   𝑑,𝐷   𝑑,𝐺,𝑀   𝑑,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑀)   𝐹(𝑀,𝑑)

Proof of Theorem clwwlkfo
Dummy variables 𝑖 π‘₯ 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlkf1o.d . . 3 𝐷 = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0)}
2 clwwlkf1o.f . . 3 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (𝑑 prefix 𝑁))
31, 2clwwlkf 29567 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐹:𝐷⟢(𝑁 ClWWalksN 𝐺))
4 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
5 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
64, 5clwwlknp 29557 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ ((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
7 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
8 simpl1 1189 . . . . . . . . . 10 ((((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁))
9 3simpc 1148 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
109adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
111clwwlkel 29566 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) ∈ 𝐷)
127, 8, 10, 11syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) ∈ 𝐷)
13 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = (β™―β€˜π‘) β†’ ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘)))
1413eqcoms 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜π‘) = 𝑁 β†’ ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘)))
1514adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) β†’ ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘)))
16153ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘)))
1716adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘)))
18 simpll 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
19 fstwrdne0 14510 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁)) β†’ (π‘β€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
2019ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
2120s1cld 14557 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
2218, 21jca 510 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)))
23223ad2antl1 1183 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)))
24 pfxccat1 14656 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ© ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘)) = 𝑝)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix (β™―β€˜π‘)) = 𝑝)
2617, 25eqtr2d 2771 . . . . . . . . 9 ((((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑝 = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁))
2712, 26jca 510 . . . . . . . 8 ((((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁)))
2827ex 411 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘β€˜π‘–), (π‘β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘), (π‘β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁))))
296, 28syl 17 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁))))
3029impcom 406 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁)))
31 oveq1 7418 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) β†’ (π‘₯ prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁))
3231rspceeqv 3632 . . . . 5 (((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ βŸ¨β€œ(π‘β€˜0)β€βŸ©) prefix 𝑁)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 𝑝 = (π‘₯ prefix 𝑁))
3330, 32syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 𝑝 = (π‘₯ prefix 𝑁))
341, 2clwwlkfv 29568 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (π‘₯ prefix 𝑁))
3534eqeq2d 2741 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (𝑝 = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 𝑝 = (π‘₯ prefix 𝑁)))
3635adantl 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝑝 = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 𝑝 = (π‘₯ prefix 𝑁)))
3736rexbidva 3174 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 𝑝 = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 𝑝 = (π‘₯ prefix 𝑁)))
3833, 37mpbird 256 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 𝑝 = (πΉβ€˜π‘₯))
3938ralrimiva 3144 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘ ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 𝑝 = (πΉβ€˜π‘₯))
40 dffo3 7102 . 2 (𝐹:𝐷–ontoβ†’(𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝐹:𝐷⟢(𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 𝑝 = (πΉβ€˜π‘₯)))
413, 39, 40sylanbrc 581 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐹:𝐷–ontoβ†’(𝑁 ClWWalksN 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  {cpr 4629   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  ..^cfzo 13631  β™―chash 14294  Word cword 14468  lastSclsw 14516   ++ cconcat 14524  βŸ¨β€œcs1 14549   prefix cpfx 14624  Vtxcvtx 28523  Edgcedg 28574   WWalksN cwwlksn 29347   ClWWalksN cclwwlkn 29544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-wwlks 29351  df-wwlksn 29352  df-clwwlk 29502  df-clwwlkn 29545
This theorem is referenced by:  clwwlkf1o  29571
  Copyright terms: Public domain W3C validator