Theorem clwwlkfo 29979

Description: Lemma 4 for clwwlkf1o 29980: F is an onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-Apr-2021.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlkf1o.d	⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)}
clwwlkf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝑡 prefix 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
clwwlkfo	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐷–onto→(𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑡,𝐷   𝑡,𝐺,𝑤   𝑡,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤)   𝐹(𝑤,𝑡)

Proof of Theorem clwwlkfo

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlkf1o.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)}
2		clwwlkf1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝑡 prefix 𝑁))
3	1, 2	clwwlkf 29976	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐷⟶(𝑁 ClWWalksN 𝐺))
4		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
6	4, 5	clwwlknp 29966	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
7		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
8		simpl1 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁))
9		3simpc 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
11	1	clwwlkel 29975	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) ∈ 𝐷)
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) ∈ 𝐷)
13		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝑝) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑝)))
14	13	eqcoms 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑝) = 𝑁 → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑝)))
15	14	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑝)))
16	15	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑝)))
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑝)))
18		simpll 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
19		fstwrdne0 14521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁)) → (𝑝‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
20	19	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
21	20	s1cld 14568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ⟨“(𝑝‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
22	18, 21	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑝‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
23	22	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑝‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
24		pfxccat1 14667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑝‘0)”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑝)) = 𝑝)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix (♯‘𝑝)) = 𝑝)
26	17, 25	eqtr2d 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑝 = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁))
27	12, 26	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁)))
28	27	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑝‘𝑖), (𝑝‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑝), (𝑝‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁))))
29	6, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁))))
30	29	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁)))
31		oveq1 7394	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) → (𝑥 prefix 𝑁) = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁))
32	31	rspceeqv 3611	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) ∈ 𝐷 ∧ 𝑝 = ((𝑝 ++ ⟨“(𝑝‘0)”⟩) prefix 𝑁)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝑥 prefix 𝑁))
33	30, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝑥 prefix 𝑁))
34	1, 2	clwwlkfv 29977	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝑥) = (𝑥 prefix 𝑁))
35	34	eqeq2d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑝 = (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑝 = (𝑥 prefix 𝑁)))
36	35	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑝 = (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑝 = (𝑥 prefix 𝑁)))
37	36	rexbidva 3155	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝑥 prefix 𝑁)))
38	33, 37	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝐹‘𝑥))
39	38	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝐹‘𝑥))
40		dffo3 7074	. 2 ⊢ (𝐹:𝐷–onto→(𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝐹:𝐷⟶(𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∀𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)∃𝑥 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝐹‘𝑥)))
41	3, 39, 40	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐷–onto→(𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3405  {cpr 4591   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6507  –onto→wfo 6509  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   − cmin 11405  ℕcn 12186  ..^cfzo 13615  ♯chash 14295  Word cword 14478  lastSclsw 14527   ++ cconcat 14535  ⟨“cs1 14560   prefix cpfx 14635  Vtxcvtx 28923  Edgcedg 28974   WWalksN cwwlksn 29756   ClWWalksN cclwwlkn 29953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-lsw 14528  df-concat 14536  df-s1 14561  df-substr 14606  df-pfx 14636  df-wwlks 29760  df-wwlksn 29761  df-clwwlk 29911  df-clwwlkn 29954

This theorem is referenced by:  clwwlkf1o  29980