MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkswwlksf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkswwlksf1o 29133
Description: The mapping of (ordinary) walks to their sequences of vertices is a bijection in a simple pseudograph. (Contributed by AV, 6-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wlkswwlksf1o.f ๐น = (๐‘ค โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โ†ฆ (2nd โ€˜๐‘ค))
Assertion
Ref Expression
wlkswwlksf1o (๐บ โˆˆ USPGraph โ†’ ๐น:(Walksโ€˜๐บ)โ€“1-1-ontoโ†’(WWalksโ€˜๐บ))
Distinct variable group:   ๐‘ค,๐บ
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘ค)

Proof of Theorem wlkswwlksf1o
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘“ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6905 . . . . . 6 (1st โ€˜๐‘ค) โˆˆ V
2 breq1 5152 . . . . . 6 (๐‘“ = (1st โ€˜๐‘ค) โ†’ (๐‘“(Walksโ€˜๐บ)(2nd โ€˜๐‘ค) โ†” (1st โ€˜๐‘ค)(Walksโ€˜๐บ)(2nd โ€˜๐‘ค)))
31, 2spcev 3597 . . . . 5 ((1st โ€˜๐‘ค)(Walksโ€˜๐บ)(2nd โ€˜๐‘ค) โ†’ โˆƒ๐‘“ ๐‘“(Walksโ€˜๐บ)(2nd โ€˜๐‘ค))
4 wlkiswwlks 29130 . . . . 5 (๐บ โˆˆ USPGraph โ†’ (โˆƒ๐‘“ ๐‘“(Walksโ€˜๐บ)(2nd โ€˜๐‘ค) โ†” (2nd โ€˜๐‘ค) โˆˆ (WWalksโ€˜๐บ)))
53, 4imbitrid 243 . . . 4 (๐บ โˆˆ USPGraph โ†’ ((1st โ€˜๐‘ค)(Walksโ€˜๐บ)(2nd โ€˜๐‘ค) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ค) โˆˆ (WWalksโ€˜๐บ)))
6 wlkcpr 28886 . . . . 5 (๐‘ค โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โ†” (1st โ€˜๐‘ค)(Walksโ€˜๐บ)(2nd โ€˜๐‘ค))
76biimpi 215 . . . 4 (๐‘ค โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โ†’ (1st โ€˜๐‘ค)(Walksโ€˜๐บ)(2nd โ€˜๐‘ค))
85, 7impel 507 . . 3 ((๐บ โˆˆ USPGraph โˆง ๐‘ค โˆˆ (Walksโ€˜๐บ)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ค) โˆˆ (WWalksโ€˜๐บ))
9 wlkswwlksf1o.f . . 3 ๐น = (๐‘ค โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โ†ฆ (2nd โ€˜๐‘ค))
108, 9fmptd 7114 . 2 (๐บ โˆˆ USPGraph โ†’ ๐น:(Walksโ€˜๐บ)โŸถ(WWalksโ€˜๐บ))
11 simpr 486 . . . 4 ((๐บ โˆˆ USPGraph โˆง ๐น:(Walksโ€˜๐บ)โŸถ(WWalksโ€˜๐บ)) โ†’ ๐น:(Walksโ€˜๐บ)โŸถ(WWalksโ€˜๐บ))
12 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (๐‘ค = ๐‘ฅ โ†’ (2nd โ€˜๐‘ค) = (2nd โ€˜๐‘ฅ))
13 id 22 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ))
14 fvexd 6907 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V)
159, 12, 13, 14fvmptd3 7022 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜๐‘ฅ))
16 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ (2nd โ€˜๐‘ค) = (2nd โ€˜๐‘ฆ))
17 id 22 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ))
18 fvexd 6907 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ V)
199, 16, 17, 18fvmptd3 7022 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = (2nd โ€˜๐‘ฆ))
2015, 19eqeqan12d 2747 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ฆ) โ†” (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
2120adantl 483 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ USPGraph โˆง ๐น:(Walksโ€˜๐บ)โŸถ(WWalksโ€˜๐บ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ฆ) โ†” (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
22 uspgr2wlkeqi 28905 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ USPGraph โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ)) โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
2322ad4ant134 1175 . . . . . . 7 ((((๐บ โˆˆ USPGraph โˆง ๐น:(Walksโ€˜๐บ)โŸถ(WWalksโ€˜๐บ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ))) โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
2423ex 414 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ USPGraph โˆง ๐น:(Walksโ€˜๐บ)โŸถ(WWalksโ€˜๐บ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ))) โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
2521, 24sylbid 239 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ USPGraph โˆง ๐น:(Walksโ€˜๐บ)โŸถ(WWalksโ€˜๐บ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
2625ralrimivva 3201 . . . 4 ((๐บ โˆˆ USPGraph โˆง ๐น:(Walksโ€˜๐บ)โŸถ(WWalksโ€˜๐บ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ)((๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
27 dff13 7254 . . . 4 (๐น:(Walksโ€˜๐บ)โ€“1-1โ†’(WWalksโ€˜๐บ) โ†” (๐น:(Walksโ€˜๐บ)โŸถ(WWalksโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ)((๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
2811, 26, 27sylanbrc 584 . . 3 ((๐บ โˆˆ USPGraph โˆง ๐น:(Walksโ€˜๐บ)โŸถ(WWalksโ€˜๐บ)) โ†’ ๐น:(Walksโ€˜๐บ)โ€“1-1โ†’(WWalksโ€˜๐บ))
29 wlkiswwlks 29130 . . . . . . . . . 10 (๐บ โˆˆ USPGraph โ†’ (โˆƒ๐‘“ ๐‘“(Walksโ€˜๐บ)๐‘ฆ โ†” ๐‘ฆ โˆˆ (WWalksโ€˜๐บ)))
3029adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ USPGraph โˆง ๐น:(Walksโ€˜๐บ)โŸถ(WWalksโ€˜๐บ)) โ†’ (โˆƒ๐‘“ ๐‘“(Walksโ€˜๐บ)๐‘ฆ โ†” ๐‘ฆ โˆˆ (WWalksโ€˜๐บ)))
31 df-br 5150 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“(Walksโ€˜๐บ)๐‘ฆ โ†” โŸจ๐‘“, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ))
32 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘“ โˆˆ V
33 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘ฆ โˆˆ V
3432, 33op2nd 7984 . . . . . . . . . . . . 13 (2nd โ€˜โŸจ๐‘“, ๐‘ฆโŸฉ) = ๐‘ฆ
3534eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘ฆ = (2nd โ€˜โŸจ๐‘“, ๐‘ฆโŸฉ)
36 opex 5465 . . . . . . . . . . . . 13 โŸจ๐‘“, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ V
37 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = โŸจ๐‘“, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โ†” โŸจ๐‘“, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ)))
38 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = โŸจ๐‘“, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜โŸจ๐‘“, ๐‘ฆโŸฉ))
3938eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = โŸจ๐‘“, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐‘ฆ = (2nd โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐‘ฆ = (2nd โ€˜โŸจ๐‘“, ๐‘ฆโŸฉ)))
4037, 39anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = โŸจ๐‘“, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ = (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โ†” (โŸจ๐‘“, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ = (2nd โ€˜โŸจ๐‘“, ๐‘ฆโŸฉ))))
4136, 40spcev 3597 . . . . . . . . . . . 12 ((โŸจ๐‘“, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ = (2nd โ€˜โŸจ๐‘“, ๐‘ฆโŸฉ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ = (2nd โ€˜๐‘ฅ)))
4235, 41mpan2 690 . . . . . . . . . . 11 (โŸจ๐‘“, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ = (2nd โ€˜๐‘ฅ)))
4331, 42sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (๐‘“(Walksโ€˜๐บ)๐‘ฆ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ = (2nd โ€˜๐‘ฅ)))
4443exlimiv 1934 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘“ ๐‘“(Walksโ€˜๐บ)๐‘ฆ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ = (2nd โ€˜๐‘ฅ)))
4530, 44syl6bir 254 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ USPGraph โˆง ๐น:(Walksโ€˜๐บ)โŸถ(WWalksโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (WWalksโ€˜๐บ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ = (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
4645imp 408 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ USPGraph โˆง ๐น:(Walksโ€˜๐บ)โŸถ(WWalksโ€˜๐บ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (WWalksโ€˜๐บ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ = (2nd โ€˜๐‘ฅ)))
47 df-rex 3072 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ)๐‘ฆ = (2nd โ€˜๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ = (2nd โ€˜๐‘ฅ)))
4846, 47sylibr 233 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ USPGraph โˆง ๐น:(Walksโ€˜๐บ)โŸถ(WWalksโ€˜๐บ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (WWalksโ€˜๐บ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ)๐‘ฆ = (2nd โ€˜๐‘ฅ))
4915eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ) โ†’ (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐‘ฆ = (2nd โ€˜๐‘ฅ)))
5049rexbiia 3093 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ)๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ)๐‘ฆ = (2nd โ€˜๐‘ฅ))
5148, 50sylibr 233 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ USPGraph โˆง ๐น:(Walksโ€˜๐บ)โŸถ(WWalksโ€˜๐บ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (WWalksโ€˜๐บ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ)๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
5251ralrimiva 3147 . . . 4 ((๐บ โˆˆ USPGraph โˆง ๐น:(Walksโ€˜๐บ)โŸถ(WWalksโ€˜๐บ)) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (WWalksโ€˜๐บ)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ)๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
53 dffo3 7104 . . . 4 (๐น:(Walksโ€˜๐บ)โ€“ontoโ†’(WWalksโ€˜๐บ) โ†” (๐น:(Walksโ€˜๐บ)โŸถ(WWalksโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (WWalksโ€˜๐บ)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Walksโ€˜๐บ)๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘ฅ)))
5411, 52, 53sylanbrc 584 . . 3 ((๐บ โˆˆ USPGraph โˆง ๐น:(Walksโ€˜๐บ)โŸถ(WWalksโ€˜๐บ)) โ†’ ๐น:(Walksโ€˜๐บ)โ€“ontoโ†’(WWalksโ€˜๐บ))
55 df-f1o 6551 . . 3 (๐น:(Walksโ€˜๐บ)โ€“1-1-ontoโ†’(WWalksโ€˜๐บ) โ†” (๐น:(Walksโ€˜๐บ)โ€“1-1โ†’(WWalksโ€˜๐บ) โˆง ๐น:(Walksโ€˜๐บ)โ€“ontoโ†’(WWalksโ€˜๐บ)))
5628, 54, 55sylanbrc 584 . 2 ((๐บ โˆˆ USPGraph โˆง ๐น:(Walksโ€˜๐บ)โŸถ(WWalksโ€˜๐บ)) โ†’ ๐น:(Walksโ€˜๐บ)โ€“1-1-ontoโ†’(WWalksโ€˜๐บ))
5710, 56mpdan 686 1 (๐บ โˆˆ USPGraph โ†’ ๐น:(Walksโ€˜๐บ)โ€“1-1-ontoโ†’(WWalksโ€˜๐บ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071  Vcvv 3475  โŸจcop 4635   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โŸถwf 6540  โ€“1-1โ†’wf1 6541  โ€“ontoโ†’wfo 6542  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6543  โ€˜cfv 6544  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974  USPGraphcuspgr 28408  Walkscwlks 28853  WWalkscwwlks 29079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-edg 28308  df-uhgr 28318  df-upgr 28342  df-uspgr 28410  df-wlks 28856  df-wwlks 29084
This theorem is referenced by:  wlkswwlksen  29134  wlknwwlksnbij  29142
  Copyright terms: Public domain W3C validator