Theorem recosf1o 26591

Description: The cosine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
recosf1o	⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1)

Proof of Theorem recosf1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosf 16157	. . . . . 6 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
2		ffn 6736	. . . . . 6 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ cos Fn ℂ
4		0re 11260	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		pire 26514	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
6		iccssre 13465	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℝ
8		ax-resscn 11209	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9	7, 8	sstri 4004	. . . . 5 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℂ
10		fnssres 6691	. . . . 5 ⊢ ((cos Fn ℂ ∧ (0[,]π) ⊆ ℂ) → (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π))
11	3, 9, 10	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π)
12		fvres 6925	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = (cos‘𝑥))
13	7	sseli 3990	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		cosbnd2 16215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
16	12, 15	eqeltrd 2838	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
17	16	rgen 3060	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1)
18		ffnfv 7138	. . . 4 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1)))
19	11, 17, 18	mpbir2an 711	. . 3 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1)
20		fvres 6925	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = (cos‘𝑦))
21	12, 20	eqeqan12d 2748	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
22		cos11 26589	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
23	22	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝑥) = (cos‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
24	21, 23	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
25	24	rgen2 3196	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)∀𝑦 ∈ (0[,]π)(((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
26		dff13 7274	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)∀𝑦 ∈ (0[,]π)(((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
27	19, 25, 26	mpbir2an 711	. 2 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1)
28	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 0 ∈ ℝ)
29	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → π ∈ ℝ)
30		neg1rr 12378	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
31		1re 11258	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
32	30, 31	elicc2i 13449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))
33	32	simp1bi 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ∈ ℝ)
34		pipos 26516	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 0 < π)
36	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → (0[,]π) ⊆ ℂ)
37		coscn 26503	. . . . . . 7 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
39	7	sseli 3990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]π) → 𝑧 ∈ ℝ)
40	39	recoscld 16176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
41	40	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
42		cospi 26528	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘π) = -1
43	32	simp2bi 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → -1 ≤ 𝑥)
44	42, 43	eqbrtrid 5182	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → (cos‘π) ≤ 𝑥)
45	32	simp3bi 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ≤ 1)
46		cos0 16182	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘0) = 1
47	45, 46	breqtrrdi 5189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ≤ (cos‘0))
48	44, 47	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ((cos‘π) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (cos‘0)))
49	28, 29, 33, 35, 36, 38, 41, 48	ivthle2 25505	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ∃𝑦 ∈ (0[,]π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
50		eqcom 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = 𝑥)
51	20	eqeq1d 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = 𝑥 ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
52	50, 51	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → (𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
53	52	rexbiia 3089	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (0[,]π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
54	49, 53	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦))
55	54	rgen 3060	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (-1[,]1)∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦)
56		dffo3 7121	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (-1[,]1)∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦)))
57	19, 55, 56	mpbir2an 711	. 2 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1)
58		df-f1o 6569	. 2 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1) ∧ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1)))
59	27, 57, 58	mpbir2an 711	1 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3962   class class class wbr 5147   ↾ cres 5690   Fn wfn 6557  ⟶wf 6558  –1-1→wf1 6559  –onto→wfo 6560  –1-1-onto→wf1o 6561  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   < clt 11292   ≤ cle 11293  -cneg 11490  [,]cicc 13386  cosccos 16096  πcpi 16098  –cn→ccncf 24915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916

This theorem is referenced by:  resinf1o  26592