Theorem recosf1o 26512

Description: The cosine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
recosf1o	⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1)

Proof of Theorem recosf1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosf 16083	. . . . . 6 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
2		ffn 6662	. . . . . 6 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ cos Fn ℂ
4		0re 11137	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		pire 26434	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
6		iccssre 13373	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℝ
8		ax-resscn 11086	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9	7, 8	sstri 3932	. . . . 5 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℂ
10		fnssres 6615	. . . . 5 ⊢ ((cos Fn ℂ ∧ (0[,]π) ⊆ ℂ) → (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π))
11	3, 9, 10	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π)
12		fvres 6853	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = (cos‘𝑥))
13	7	sseli 3918	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		cosbnd2 16141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
16	12, 15	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
17	16	rgen 3054	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1)
18		ffnfv 7065	. . . 4 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1)))
19	11, 17, 18	mpbir2an 712	. . 3 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1)
20		fvres 6853	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = (cos‘𝑦))
21	12, 20	eqeqan12d 2751	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
22		cos11 26510	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
23	22	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝑥) = (cos‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
24	21, 23	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
25	24	rgen2 3178	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)∀𝑦 ∈ (0[,]π)(((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
26		dff13 7202	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)∀𝑦 ∈ (0[,]π)(((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
27	19, 25, 26	mpbir2an 712	. 2 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1)
28	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 0 ∈ ℝ)
29	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → π ∈ ℝ)
30		neg1rr 12136	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
31		1re 11135	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
32	30, 31	elicc2i 13356	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))
33	32	simp1bi 1146	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ∈ ℝ)
34		pipos 26436	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 0 < π)
36	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → (0[,]π) ⊆ ℂ)
37		coscn 26423	. . . . . . 7 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
39	7	sseli 3918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]π) → 𝑧 ∈ ℝ)
40	39	recoscld 16102	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
41	40	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
42		cospi 26449	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘π) = -1
43	32	simp2bi 1147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → -1 ≤ 𝑥)
44	42, 43	eqbrtrid 5121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → (cos‘π) ≤ 𝑥)
45	32	simp3bi 1148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ≤ 1)
46		cos0 16108	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘0) = 1
47	45, 46	breqtrrdi 5128	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ≤ (cos‘0))
48	44, 47	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ((cos‘π) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (cos‘0)))
49	28, 29, 33, 35, 36, 38, 41, 48	ivthle2 25434	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ∃𝑦 ∈ (0[,]π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
50		eqcom 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = 𝑥)
51	20	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = 𝑥 ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
52	50, 51	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → (𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
53	52	rexbiia 3083	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (0[,]π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
54	49, 53	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦))
55	54	rgen 3054	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (-1[,]1)∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦)
56		dffo3 7048	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (-1[,]1)∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦)))
57	19, 55, 56	mpbir2an 712	. 2 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1)
58		df-f1o 6499	. 2 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1) ∧ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1)))
59	27, 57, 58	mpbir2an 712	1 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↾ cres 5626   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  –1-1→wf1 6489  –onto→wfo 6490  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   < clt 11170   ≤ cle 11171  -cneg 11369  [,]cicc 13292  cosccos 16020  πcpi 16022  –cn→ccncf 24853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844

This theorem is referenced by:  resinf1o  26513