MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recosf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recosf1o 25279
Description: The cosine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
recosf1o (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1)

Proof of Theorem recosf1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cosf 15571 . . . . . 6 cos:ℂ⟶ℂ
2 ffn 6505 . . . . . 6 (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 cos Fn ℂ
4 0re 10722 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
5 pire 25203 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
6 iccssre 12904 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
74, 5, 6mp2an 692 . . . . . 6 (0[,]π) ⊆ ℝ
8 ax-resscn 10673 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
97, 8sstri 3887 . . . . 5 (0[,]π) ⊆ ℂ
10 fnssres 6460 . . . . 5 ((cos Fn ℂ ∧ (0[,]π) ⊆ ℂ) → (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π))
113, 9, 10mp2an 692 . . . 4 (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π)
12 fvres 6694 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = (cos‘𝑥))
137sseli 3874 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
14 cosbnd2 15629 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
1612, 15eqeltrd 2833 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
1716rgen 3063 . . . 4 𝑥 ∈ (0[,]π)((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1)
18 ffnfv 6893 . . . 4 ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1)))
1911, 17, 18mpbir2an 711 . . 3 (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1)
20 fvres 6694 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = (cos‘𝑦))
2112, 20eqeqan12d 2755 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
22 cos11 25277 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
2322biimprd 251 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝑥) = (cos‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
2421, 23sylbid 243 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
2524rgen2 3115 . . 3 𝑥 ∈ (0[,]π)∀𝑦 ∈ (0[,]π)(((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
26 dff13 7025 . . 3 ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)∀𝑦 ∈ (0[,]π)(((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
2719, 25, 26mpbir2an 711 . 2 (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1)
284a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 0 ∈ ℝ)
295a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → π ∈ ℝ)
30 neg1rr 11832 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
31 1re 10720 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
3230, 31elicc2i 12888 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-1[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))
3332simp1bi 1146 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ∈ ℝ)
34 pipos 25205 . . . . . . 7 0 < π
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 0 < π)
369a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → (0[,]π) ⊆ ℂ)
37 coscn 25192 . . . . . . 7 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
3837a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
397sseli 3874 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (0[,]π) → 𝑧 ∈ ℝ)
4039recoscld 15590 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
4140adantl 485 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
42 cospi 25217 . . . . . . . 8 (cos‘π) = -1
4332simp2bi 1147 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → -1 ≤ 𝑥)
4442, 43eqbrtrid 5066 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → (cos‘π) ≤ 𝑥)
4532simp3bi 1148 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ≤ 1)
46 cos0 15596 . . . . . . . 8 (cos‘0) = 1
4745, 46breqtrrdi 5073 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ≤ (cos‘0))
4844, 47jca 515 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ((cos‘π) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (cos‘0)))
4928, 29, 33, 35, 36, 38, 41, 48ivthle2 24210 . . . . 5 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ∃𝑦 ∈ (0[,]π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
50 eqcom 2745 . . . . . . 7 (𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = 𝑥)
5120eqeq1d 2740 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]π) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = 𝑥 ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
5250, 51syl5bb 286 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]π) → (𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
5352rexbiia 3160 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (0[,]π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
5449, 53sylibr 237 . . . 4 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦))
5554rgen 3063 . . 3 𝑥 ∈ (-1[,]1)∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦)
56 dffo3 6879 . . 3 ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (-1[,]1)∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦)))
5719, 55, 56mpbir2an 711 . 2 (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1)
58 df-f1o 6347 . 2 ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1) ∧ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1)))
5927, 57, 58mpbir2an 711 1 (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wral 3053  wrex 3054  wss 3844   class class class wbr 5031  cres 5528   Fn wfn 6335  wf 6336  1-1wf1 6337  ontowfo 6338  1-1-ontowf1o 6339  cfv 6340  (class class class)co 7171  cc 10614  cr 10615  0cc0 10616  1c1 10617   < clt 10754  cle 10755  -cneg 10950  [,]cicc 12825  cosccos 15511  πcpi 15513  cnccncf 23629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-inf2 9178  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693  ax-pre-sup 10694  ax-addf 10695  ax-mulf 10696
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-of 7426  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-supp 7858  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-2o 8133  df-er 8321  df-map 8440  df-pm 8441  df-ixp 8509  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-fsupp 8908  df-fi 8949  df-sup 8980  df-inf 8981  df-oi 9048  df-card 9442  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-div 11377  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-4 11782  df-5 11783  df-6 11784  df-7 11785  df-8 11786  df-9 11787  df-n0 11978  df-z 12064  df-dec 12181  df-uz 12326  df-q 12432  df-rp 12474  df-xneg 12591  df-xadd 12592  df-xmul 12593  df-ioo 12826  df-ioc 12827  df-ico 12828  df-icc 12829  df-fz 12983  df-fzo 13126  df-fl 13254  df-seq 13462  df-exp 13523  df-fac 13727  df-bc 13756  df-hash 13784  df-shft 14517  df-cj 14549  df-re 14550  df-im 14551  df-sqrt 14685  df-abs 14686  df-limsup 14919  df-clim 14936  df-rlim 14937  df-sum 15137  df-ef 15514  df-sin 15516  df-cos 15517  df-pi 15519  df-struct 16589  df-ndx 16590  df-slot 16591  df-base 16593  df-sets 16594  df-ress 16595  df-plusg 16682  df-mulr 16683  df-starv 16684  df-sca 16685  df-vsca 16686  df-ip 16687  df-tset 16688  df-ple 16689  df-ds 16691  df-unif 16692  df-hom 16693  df-cco 16694  df-rest 16800  df-topn 16801  df-0g 16819  df-gsum 16820  df-topgen 16821  df-pt 16822  df-prds 16825  df-xrs 16879  df-qtop 16884  df-imas 16885  df-xps 16887  df-mre 16961  df-mrc 16962  df-acs 16964  df-mgm 17969  df-sgrp 18018  df-mnd 18029  df-submnd 18074  df-mulg 18344  df-cntz 18566  df-cmn 19027  df-psmet 20210  df-xmet 20211  df-met 20212  df-bl 20213  df-mopn 20214  df-fbas 20215  df-fg 20216  df-cnfld 20219  df-top 21646  df-topon 21663  df-topsp 21685  df-bases 21698  df-cld 21771  df-ntr 21772  df-cls 21773  df-nei 21850  df-lp 21888  df-perf 21889  df-cn 21979  df-cnp 21980  df-haus 22067  df-tx 22314  df-hmeo 22507  df-fil 22598  df-fm 22690  df-flim 22691  df-flf 22692  df-xms 23074  df-ms 23075  df-tms 23076  df-cncf 23631  df-limc 24618  df-dv 24619
This theorem is referenced by:  resinf1o  25280
  Copyright terms: Public domain W3C validator