MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recosf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recosf1o 26497
Description: The cosine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
recosf1o (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1)

Proof of Theorem recosf1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cosf 16111 . . . . . 6 cos:ℂ⟶ℂ
2 ffn 6727 . . . . . 6 (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 cos Fn ℂ
4 0re 11256 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
5 pire 26421 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
6 iccssre 13448 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
74, 5, 6mp2an 690 . . . . . 6 (0[,]π) ⊆ ℝ
8 ax-resscn 11205 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
97, 8sstri 3991 . . . . 5 (0[,]π) ⊆ ℂ
10 fnssres 6683 . . . . 5 ((cos Fn ℂ ∧ (0[,]π) ⊆ ℂ) → (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π))
113, 9, 10mp2an 690 . . . 4 (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π)
12 fvres 6921 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = (cos‘𝑥))
137sseli 3978 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
14 cosbnd2 16169 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
1612, 15eqeltrd 2829 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
1716rgen 3060 . . . 4 𝑥 ∈ (0[,]π)((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1)
18 ffnfv 7134 . . . 4 ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1)))
1911, 17, 18mpbir2an 709 . . 3 (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1)
20 fvres 6921 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = (cos‘𝑦))
2112, 20eqeqan12d 2742 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
22 cos11 26495 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
2322biimprd 247 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝑥) = (cos‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
2421, 23sylbid 239 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
2524rgen2 3195 . . 3 𝑥 ∈ (0[,]π)∀𝑦 ∈ (0[,]π)(((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
26 dff13 7271 . . 3 ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)∀𝑦 ∈ (0[,]π)(((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
2719, 25, 26mpbir2an 709 . 2 (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1)
284a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 0 ∈ ℝ)
295a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → π ∈ ℝ)
30 neg1rr 12367 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
31 1re 11254 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
3230, 31elicc2i 13432 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-1[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))
3332simp1bi 1142 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ∈ ℝ)
34 pipos 26423 . . . . . . 7 0 < π
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 0 < π)
369a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → (0[,]π) ⊆ ℂ)
37 coscn 26410 . . . . . . 7 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
3837a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
397sseli 3978 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (0[,]π) → 𝑧 ∈ ℝ)
4039recoscld 16130 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
4140adantl 480 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
42 cospi 26435 . . . . . . . 8 (cos‘π) = -1
4332simp2bi 1143 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → -1 ≤ 𝑥)
4442, 43eqbrtrid 5187 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → (cos‘π) ≤ 𝑥)
4532simp3bi 1144 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ≤ 1)
46 cos0 16136 . . . . . . . 8 (cos‘0) = 1
4745, 46breqtrrdi 5194 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ≤ (cos‘0))
4844, 47jca 510 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ((cos‘π) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (cos‘0)))
4928, 29, 33, 35, 36, 38, 41, 48ivthle2 25414 . . . . 5 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ∃𝑦 ∈ (0[,]π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
50 eqcom 2735 . . . . . . 7 (𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = 𝑥)
5120eqeq1d 2730 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]π) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = 𝑥 ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
5250, 51bitrid 282 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]π) → (𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
5352rexbiia 3089 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (0[,]π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
5449, 53sylibr 233 . . . 4 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦))
5554rgen 3060 . . 3 𝑥 ∈ (-1[,]1)∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦)
56 dffo3 7117 . . 3 ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (-1[,]1)∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦)))
5719, 55, 56mpbir2an 709 . 2 (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1)
58 df-f1o 6560 . 2 ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1) ∧ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1)))
5927, 57, 58mpbir2an 709 1 (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058  wrex 3067  wss 3949   class class class wbr 5152  cres 5684   Fn wfn 6548  wf 6549  1-1wf1 6550  ontowfo 6551  1-1-ontowf1o 6552  cfv 6553  (class class class)co 7426  cc 11146  cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   < clt 11288  cle 11289  -cneg 11485  [,]cicc 13369  cosccos 16050  πcpi 16052  cnccncf 24824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ioc 13371  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14275  df-bc 14304  df-hash 14332  df-shft 15056  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-limsup 15457  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-ef 16053  df-sin 16055  df-cos 16056  df-pi 16058  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-mulg 19038  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-nei 23030  df-lp 23068  df-perf 23069  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-haus 23247  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-fil 23778  df-fm 23870  df-flim 23871  df-flf 23872  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-cncf 24826  df-limc 25823  df-dv 25824
This theorem is referenced by:  resinf1o  26498
  Copyright terms: Public domain W3C validator