Theorem recosf1o 26662

Description: The cosine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
recosf1o	⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1)

Proof of Theorem recosf1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosf 16177	. . . . . 6 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
2		ffn 6703	. . . . . 6 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ cos Fn ℂ
4		0re 11206	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		pire 26581	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
6		iccssre 13452	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℝ
8		ax-resscn 11153	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9	7, 8	sstri 3954	. . . . 5 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℂ
10		fnssres 6656	. . . . 5 ⊢ ((cos Fn ℂ ∧ (0[,]π) ⊆ ℂ) → (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π))
11	3, 9, 10	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π)
12		fvres 6898	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = (cos‘𝑥))
13	7	sseli 3941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		cosbnd2 16235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
15	13, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
16	12, 15	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
17	16	rgen 3087	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1)
18		ffnfv 7112	. . . 4 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1)))
19	11, 17, 18	mpbir2an 723	. . 3 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1)
20		fvres 6898	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = (cos‘𝑦))
21	12, 20	eqeqan12d 2783	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
22		cos11 26660	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
23	22	biimprd 251	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝑥) = (cos‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
24	21, 23	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
25	24	rgen2 3211	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)∀𝑦 ∈ (0[,]π)(((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
26		dff13 7250	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)∀𝑦 ∈ (0[,]π)(((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
27	19, 25, 26	mpbir2an 723	. 2 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1)
28	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 0 ∈ ℝ)
29	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → π ∈ ℝ)
30		neg1rr 12200	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
31		1re 11204	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
32	30, 31	elicc2i 13435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))
33	32	simp1bi 1161	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ∈ ℝ)
34		pipos 26585	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 0 < π)
36	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → (0[,]π) ⊆ ℂ)
37		coscn 26570	. . . . . . 7 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
39	7	sseli 3941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]π) → 𝑧 ∈ ℝ)
40	39	recoscld 16196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
41	40	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
42		cospi 26599	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘π) = -1
43	32	simp2bi 1162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → -1 ≤ 𝑥)
44	42, 43	eqbrtrid 5147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → (cos‘π) ≤ 𝑥)
45	32	simp3bi 1163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ≤ 1)
46		cos0 16202	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘0) = 1
47	45, 46	breqtrrdi 5154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ≤ (cos‘0))
48	44, 47	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ((cos‘π) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (cos‘0)))
49	28, 29, 33, 35, 36, 38, 41, 48	ivthle2 25581	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ∃𝑦 ∈ (0[,]π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
50		eqcom 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = 𝑥)
51	20	eqeq1d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = 𝑥 ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
52	50, 51	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → (𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
53	52	rexbiia 3116	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (0[,]π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
54	49, 53	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦))
55	54	rgen 3087	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (-1[,]1)∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦)
56		dffo3 7095	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (-1[,]1)∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦)))
57	19, 55, 56	mpbir2an 723	. 2 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1)
58		df-f1o 6540	. 2 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1) ∧ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1)))
59	27, 57, 58	mpbir2an 723	1 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110   ↾ cres 5661   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  –1-1→wf1 6530  –onto→wfo 6531  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   < clt 11239   ≤ cle 11240  -cneg 11438  [,]cicc 13371  cosccos 16114  πcpi 16116  –cn→ccncf 25000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ioc 13373  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16117  df-sin 16119  df-cos 16120  df-pi 16122  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-mulg 19130  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-lp 23258  df-perf 23259  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-haus 23437  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-cncf 25002  df-limc 25990  df-dv 25991

This theorem is referenced by:  resinf1o  26663