Theorem recosf1o 26512

Description: The cosine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
recosf1o	⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1)

Proof of Theorem recosf1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosf 16062	. . . . . 6 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
2		ffn 6670	. . . . . 6 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ cos Fn ℂ
4		0re 11146	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		pire 26434	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
6		iccssre 13357	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℝ
8		ax-resscn 11095	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9	7, 8	sstri 3945	. . . . 5 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℂ
10		fnssres 6623	. . . . 5 ⊢ ((cos Fn ℂ ∧ (0[,]π) ⊆ ℂ) → (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π))
11	3, 9, 10	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π)
12		fvres 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = (cos‘𝑥))
13	7	sseli 3931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		cosbnd2 16120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
16	12, 15	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
17	16	rgen 3054	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1)
18		ffnfv 7073	. . . 4 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1)))
19	11, 17, 18	mpbir2an 712	. . 3 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1)
20		fvres 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = (cos‘𝑦))
21	12, 20	eqeqan12d 2751	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
22		cos11 26510	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
23	22	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝑥) = (cos‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
24	21, 23	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
25	24	rgen2 3178	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)∀𝑦 ∈ (0[,]π)(((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
26		dff13 7210	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)∀𝑦 ∈ (0[,]π)(((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
27	19, 25, 26	mpbir2an 712	. 2 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1)
28	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 0 ∈ ℝ)
29	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → π ∈ ℝ)
30		neg1rr 12143	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
31		1re 11144	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
32	30, 31	elicc2i 13340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))
33	32	simp1bi 1146	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ∈ ℝ)
34		pipos 26436	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 0 < π)
36	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → (0[,]π) ⊆ ℂ)
37		coscn 26423	. . . . . . 7 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
39	7	sseli 3931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]π) → 𝑧 ∈ ℝ)
40	39	recoscld 16081	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
41	40	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
42		cospi 26449	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘π) = -1
43	32	simp2bi 1147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → -1 ≤ 𝑥)
44	42, 43	eqbrtrid 5135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → (cos‘π) ≤ 𝑥)
45	32	simp3bi 1148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ≤ 1)
46		cos0 16087	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘0) = 1
47	45, 46	breqtrrdi 5142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ≤ (cos‘0))
48	44, 47	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ((cos‘π) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (cos‘0)))
49	28, 29, 33, 35, 36, 38, 41, 48	ivthle2 25426	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ∃𝑦 ∈ (0[,]π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
50		eqcom 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = 𝑥)
51	20	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = 𝑥 ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
52	50, 51	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → (𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
53	52	rexbiia 3083	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (0[,]π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
54	49, 53	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦))
55	54	rgen 3054	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (-1[,]1)∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦)
56		dffo3 7056	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (-1[,]1)∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦)))
57	19, 55, 56	mpbir2an 712	. 2 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1)
58		df-f1o 6507	. 2 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1) ∧ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1)))
59	27, 57, 58	mpbir2an 712	1 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   ↾ cres 5634   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  –1-1→wf1 6497  –onto→wfo 6498  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11178   ≤ cle 11179  -cneg 11377  [,]cicc 13276  cosccos 15999  πcpi 16001  –cn→ccncf 24837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-pi 16007  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836

This theorem is referenced by:  resinf1o  26513