MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recosf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recosf1o 26577
Description: The cosine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
recosf1o (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1)

Proof of Theorem recosf1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cosf 16161 . . . . . 6 cos:ℂ⟶ℂ
2 ffn 6736 . . . . . 6 (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 cos Fn ℂ
4 0re 11263 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
5 pire 26500 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
6 iccssre 13469 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
74, 5, 6mp2an 692 . . . . . 6 (0[,]π) ⊆ ℝ
8 ax-resscn 11212 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
97, 8sstri 3993 . . . . 5 (0[,]π) ⊆ ℂ
10 fnssres 6691 . . . . 5 ((cos Fn ℂ ∧ (0[,]π) ⊆ ℂ) → (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π))
113, 9, 10mp2an 692 . . . 4 (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π)
12 fvres 6925 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = (cos‘𝑥))
137sseli 3979 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
14 cosbnd2 16219 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
1612, 15eqeltrd 2841 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
1716rgen 3063 . . . 4 𝑥 ∈ (0[,]π)((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1)
18 ffnfv 7139 . . . 4 ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1)))
1911, 17, 18mpbir2an 711 . . 3 (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1)
20 fvres 6925 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = (cos‘𝑦))
2112, 20eqeqan12d 2751 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
22 cos11 26575 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
2322biimprd 248 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝑥) = (cos‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
2421, 23sylbid 240 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
2524rgen2 3199 . . 3 𝑥 ∈ (0[,]π)∀𝑦 ∈ (0[,]π)(((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
26 dff13 7275 . . 3 ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)∀𝑦 ∈ (0[,]π)(((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
2719, 25, 26mpbir2an 711 . 2 (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1)
284a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 0 ∈ ℝ)
295a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → π ∈ ℝ)
30 neg1rr 12381 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
31 1re 11261 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
3230, 31elicc2i 13453 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-1[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))
3332simp1bi 1146 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ∈ ℝ)
34 pipos 26502 . . . . . . 7 0 < π
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 0 < π)
369a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → (0[,]π) ⊆ ℂ)
37 coscn 26489 . . . . . . 7 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
3837a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
397sseli 3979 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (0[,]π) → 𝑧 ∈ ℝ)
4039recoscld 16180 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
4140adantl 481 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
42 cospi 26514 . . . . . . . 8 (cos‘π) = -1
4332simp2bi 1147 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → -1 ≤ 𝑥)
4442, 43eqbrtrid 5178 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → (cos‘π) ≤ 𝑥)
4532simp3bi 1148 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ≤ 1)
46 cos0 16186 . . . . . . . 8 (cos‘0) = 1
4745, 46breqtrrdi 5185 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ≤ (cos‘0))
4844, 47jca 511 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ((cos‘π) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (cos‘0)))
4928, 29, 33, 35, 36, 38, 41, 48ivthle2 25492 . . . . 5 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ∃𝑦 ∈ (0[,]π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
50 eqcom 2744 . . . . . . 7 (𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = 𝑥)
5120eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]π) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = 𝑥 ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
5250, 51bitrid 283 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]π) → (𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
5352rexbiia 3092 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (0[,]π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
5449, 53sylibr 234 . . . 4 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦))
5554rgen 3063 . . 3 𝑥 ∈ (-1[,]1)∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦)
56 dffo3 7122 . . 3 ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (-1[,]1)∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦)))
5719, 55, 56mpbir2an 711 . 2 (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1)
58 df-f1o 6568 . 2 ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1) ∧ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1)))
5927, 57, 58mpbir2an 711 1 (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  wss 3951   class class class wbr 5143  cres 5687   Fn wfn 6556  wf 6557  1-1wf1 6558  ontowfo 6559  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295  cle 11296  -cneg 11493  [,]cicc 13390  cosccos 16100  πcpi 16102  cnccncf 24902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  resinf1o  26578
  Copyright terms: Public domain W3C validator