Theorem recosf1o 26870

Description: The cosine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
recosf1o	⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→( -1[,]1)

Proof of Theorem recosf1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosf 16300	. . . . . 6 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
2		ffn 6712	. . . . . 6 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ cos Fn ℂ
4		0re 11315	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		pire 26790	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
6		iccssre 13565	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℝ
8		ax-resscn 11262	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9	7, 8	sstri 3918	. . . . 5 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℂ
10		fnssres 6665	. . . . 5 ⊢ ((cos Fn ℂ ∧ (0[,]π) ⊆ ℂ) → (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π))
11	3, 9, 10	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π)
12		fvres 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = (cos‘𝑥))
13	7	sseli 3905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		cosbnd2 16358	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘𝑥) ∈ ( -1[,]1))
15	13, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑥) ∈ ( -1[,]1))
16	12, 15	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ ( -1[,]1))
17	16	rgen 3078	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ ( -1[,]1)
18		ffnfv 7122	. . . 4 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶( -1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ ( -1[,]1)))
19	11, 17, 18	mpbir2an 724	. . 3 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶( -1[,]1)
20		fvres 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = (cos‘𝑦))
21	12, 20	eqeqan12d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
22		cos11 26868	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
23	22	biimprd 251	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝑥) = (cos‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
24	21, 23	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
25	24	rgen2 3202	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)∀𝑦 ∈ (0[,]π)(((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
26		dff13 7260	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→( -1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶( -1[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)∀𝑦 ∈ (0[,]π)(((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
27	19, 25, 26	mpbir2an 724	. 2 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→( -1[,]1)
28	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1[,]1) → 0 ∈ ℝ)
29	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1[,]1) → π ∈ ℝ)
30		neg1rr 12311	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
31		1re 11313	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
32	30, 31	elicc2i 13548	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))
33	32	simp1bi 1163	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1[,]1) → 𝑥 ∈ ℝ)
34		pipos 26794	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1[,]1) → 0 < π)
36	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1[,]1) → (0[,]π) ⊆ ℂ)
37		coscn 26779	. . . . . . 7 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1[,]1) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
39	7	sseli 3905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]π) → 𝑧 ∈ ℝ)
40	39	recoscld 16319	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
41	40	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ( -1[,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
42		cospi 26808	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘π) = -1
43	32	simp2bi 1164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1[,]1) → -1 ≤ 𝑥)
44	42, 43	eqbrtrid 5139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1[,]1) → (cos‘π) ≤ 𝑥)
45	32	simp3bi 1165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1[,]1) → 𝑥 ≤ 1)
46		cos0 16325	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘0) = 1
47	45, 46	breqtrrdi 5146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1[,]1) → 𝑥 ≤ (cos‘0))
48	44, 47	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1[,]1) → ((cos‘π) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (cos‘0)))
49	28, 29, 33, 35, 36, 38, 41, 48	ivthle2 25785	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1[,]1) → ∃𝑦 ∈ (0[,]π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
50		eqcom 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = 𝑥)
51	20	eqeq1d 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = 𝑥 ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
52	50, 51	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]π) → (𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
53	52	rexbiia 3107	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (0[,]π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
54	49, 53	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1[,]1) → ∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦))
55	54	rgen 3078	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ( -1[,]1)∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦)
56		dffo3 7105	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→( -1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶( -1[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ ( -1[,]1)∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦)))
57	19, 55, 56	mpbir2an 724	. 2 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→( -1[,]1)
58		df-f1o 6548	. 2 ⊢ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→( -1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→( -1[,]1) ∧ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→( -1[,]1)))
59	27, 57, 58	mpbir2an 724	1 ⊢ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→( -1[,]1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3896   class class class wbr 5102   ↾ cres 5652   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537  –1-1→wf1 6538  –onto→wfo 6539  –1-1-onto→wf1o 6540  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℂcc 11203  ℝcr 11204  0cc0 11205  1c1 11206   < clt 11348   ≤ cle 11349   -cneg 11547  [,]cicc 13484  cosccos 16237  πcpi 16239  –cn→ccncf 25204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283  ax-addf 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-of 7695  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8182  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8722  df-map 8854  df-pm 8855  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9359  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9509  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-q 13081  df-rp 13126  df-xneg 13246  df-xadd 13247  df-xmul 13248  df-ioo 13485  df-ioc 13486  df-ico 13487  df-icc 13488  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-fl 13937  df-seq 14150  df-exp 14210  df-fac 14423  df-bc 14452  df-hash 14480  df-shft 15227  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-limsup 15645  df-clim 15662  df-rlim 15663  df-sum 15861  df-ef 16240  df-sin 16242  df-cos 16243  df-pi 16245  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-starv 17450  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ds 17457  df-unif 17458  df-hom 17459  df-cco 17460  df-rest 17600  df-topn 17601  df-0g 17619  df-gsum 17620  df-topgen 17621  df-pt 17622  df-prds 17625  df-xrs 17681  df-qtop 17686  df-imas 17687  df-xps 17689  df-mre 17763  df-mrc 17764  df-acs 17766  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-submnd 18986  df-mulg 19285  df-cntz 19538  df-cmn 20003  df-psmet 21677  df-xmet 21678  df-met 21679  df-bl 21680  df-mopn 21681  df-fbas 21682  df-fg 21683  df-cnfld 21686  df-top 23219  df-topon 23236  df-topsp 23258  df-bases 23271  df-cld 23344  df-ntr 23345  df-cls 23346  df-nei 23423  df-lp 23461  df-perf 23462  df-cn 23552  df-cnp 23553  df-haus 23640  df-tx 23888  df-hmeo 24081  df-fil 24172  df-fm 24264  df-flim 24265  df-flf 24266  df-xms 24646  df-ms 24647  df-tms 24648  df-cncf 25206  df-limc 26193  df-dv 26194

This theorem is used by:  resinf1o  26871