Theorem wwlktovfo 14313

Description: Lemma 3 for wrd2f1tovbij 14315. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
wrd2f1tovbij.d	⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)}
wrd2f1tovbij.r	⊢ 𝑅 = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋}
wrd2f1tovbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝑡‘1))

Assertion

Ref	Expression
wwlktovfo	⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝐷–onto→𝑅)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐷   𝑃,𝑛,𝑡,𝑤   𝑡,𝑅   𝑛,𝑉,𝑡,𝑤   𝑛,𝑋,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤,𝑛)   𝑅(𝑤,𝑛)   𝐹(𝑤,𝑡,𝑛)   𝑋(𝑡)

Proof of Theorem wwlktovfo

Dummy variables 𝑝 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrd2f1tovbij.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)}
2		wrd2f1tovbij.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋}
3		wrd2f1tovbij.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝑡‘1))
4	1, 2, 3	wwlktovf 14311	. . 3 ⊢ 𝐹:𝐷⟶𝑅
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
6		preq2 4630	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → {𝑃, 𝑛} = {𝑃, 𝑝})
7	6	eleq1d 2874	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → ({𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋 ↔ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))
8	7, 2	elrab2 3631	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑅 ↔ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))
9		simpl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝑉)
10	9	anim2i 619	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑝 ∈ 𝑉))
11		eqidd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → {⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = {⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩})
12		wrdlen2i 14295	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑝 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = {⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝))))
13	10, 11, 12	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)))
14		prex 5298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → {⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ V)
16		eleq1 2877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ↔ 𝑢 ∈ Word 𝑉))
17	16	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 → 𝑢 ∈ Word 𝑉))
18	17	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 → 𝑢 ∈ Word 𝑉))
19	18	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → 𝑢 ∈ Word 𝑉))
20	19	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → 𝑢 ∈ Word 𝑉))
21	20	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → 𝑢 ∈ Word 𝑉))
22	21	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝))) → 𝑢 ∈ Word 𝑉)
23		fveqeq2 6654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ((♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2 ↔ (♯‘𝑢) = 2))
24	23	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ((♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2 → (♯‘𝑢) = 2))
25	24	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → ((♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2 → (♯‘𝑢) = 2))
26	25	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2 → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → (♯‘𝑢) = 2))
27	26	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → (♯‘𝑢) = 2))
28	27	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → (♯‘𝑢) = 2))
29	28	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝))) → (♯‘𝑢) = 2)
30		fveq1 6644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = (𝑢‘0))
31	30	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ↔ (𝑢‘0) = 𝑃))
32	31	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 → (𝑢‘0) = 𝑃))
33	32	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 → (𝑢‘0) = 𝑃))
34	33	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → (𝑢‘0) = 𝑃))
35	34	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝) → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → (𝑢‘0) = 𝑃))
36	35	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → (𝑢‘0) = 𝑃))
37	36	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝))) → (𝑢‘0) = 𝑃)
38		fveq1 6644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = (𝑢‘1))
39	38	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝 ↔ (𝑢‘1) = 𝑝))
40	31, 39	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝) ↔ ((𝑢‘0) = 𝑃 ∧ (𝑢‘1) = 𝑝)))
41		preq12 4631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑢‘0) = 𝑃 ∧ (𝑢‘1) = 𝑝) → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} = {𝑃, 𝑝})
42	41	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑢‘0) = 𝑃 ∧ (𝑢‘1) = 𝑝) → {𝑃, 𝑝} = {(𝑢‘0), (𝑢‘1)})
43	42	eleq1d 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑢‘0) = 𝑃 ∧ (𝑢‘1) = 𝑝) → ({𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋 ↔ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋))
44	43	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑢‘0) = 𝑃 ∧ (𝑢‘1) = 𝑝) → ({𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋 → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋))
45	40, 44	syl6bi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝) → ({𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋 → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)))
46	45	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝) → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ({𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋 → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)))
47	46	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ({𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋 → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)))
48	47	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋 → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)))
49	48	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)))
50	49	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋))
51	50	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝))) → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)
52	29, 37, 51	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝))) → ((♯‘𝑢) = 2 ∧ (𝑢‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋))
53		eqcom 2805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝 ↔ 𝑝 = ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1))
54	38	eqeq2d 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → (𝑝 = ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) ↔ 𝑝 = (𝑢‘1)))
55	54	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → (𝑝 = ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) → 𝑝 = (𝑢‘1)))
56	53, 55	syl5bi 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝 → 𝑝 = (𝑢‘1)))
57	56	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝 → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → 𝑝 = (𝑢‘1)))
58	57	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → 𝑝 = (𝑢‘1)))
59	58	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → 𝑝 = (𝑢‘1)))
60	59	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → 𝑝 = (𝑢‘1)))
61	60	imp 410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝))) → 𝑝 = (𝑢‘1))
62	22, 52, 61	jca31 518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝))) → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑢) = 2 ∧ (𝑢‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)) ∧ 𝑝 = (𝑢‘1)))
63	62	exp31 423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑢) = 2 ∧ (𝑢‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)) ∧ 𝑝 = (𝑢‘1)))))
64	63	eqcoms 2806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = {⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} → ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑢) = 2 ∧ (𝑢‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)) ∧ 𝑝 = (𝑢‘1)))))
65	64	impcom 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) ∧ 𝑢 = {⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) → ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑢) = 2 ∧ (𝑢‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)) ∧ 𝑝 = (𝑢‘1))))
66	15, 65	spcimedv 3542	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → ∃𝑢((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑢) = 2 ∧ (𝑢‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)) ∧ 𝑝 = (𝑢‘1))))
67	13, 66	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → ∃𝑢((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑢) = 2 ∧ (𝑢‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)) ∧ 𝑝 = (𝑢‘1)))
68		fveqeq2 6654	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((♯‘𝑤) = 2 ↔ (♯‘𝑢) = 2))
69		fveq1 6644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑤‘0) = (𝑢‘0))
70	69	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((𝑤‘0) = 𝑃 ↔ (𝑢‘0) = 𝑃))
71		fveq1 6644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑤‘1) = (𝑢‘1))
72	69, 71	preq12d 4637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} = {(𝑢‘0), (𝑢‘1)})
73	72	eleq1d 2874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋 ↔ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋))
74	68, 70, 73	3anbi123d 1433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋) ↔ ((♯‘𝑢) = 2 ∧ (𝑢‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)))
75	74	elrab 3628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)} ↔ (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑢) = 2 ∧ (𝑢‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)))
76	75	anbi1i 626	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)} ∧ 𝑝 = (𝑢‘1)) ↔ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑢) = 2 ∧ (𝑢‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)) ∧ 𝑝 = (𝑢‘1)))
77	76	exbii 1849	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑢(𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)} ∧ 𝑝 = (𝑢‘1)) ↔ ∃𝑢((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑢) = 2 ∧ (𝑢‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)) ∧ 𝑝 = (𝑢‘1)))
78	67, 77	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → ∃𝑢(𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)} ∧ 𝑝 = (𝑢‘1)))
79		df-rex 3112	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)}𝑝 = (𝑢‘1) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)} ∧ 𝑝 = (𝑢‘1)))
80	78, 79	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → ∃𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)}𝑝 = (𝑢‘1))
81	1	rexeqi 3363	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝑢‘1) ↔ ∃𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)}𝑝 = (𝑢‘1))
82	80, 81	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → ∃𝑢 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝑢‘1))
83		fveq1 6644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑢 → (𝑡‘1) = (𝑢‘1))
84		fvex 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢‘1) ∈ V
85	83, 3, 84	fvmpt 6745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝑢) = (𝑢‘1))
86	85	eqeq2d 2809	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐷 → (𝑝 = (𝐹‘𝑢) ↔ 𝑝 = (𝑢‘1)))
87	86	rexbiia 3209	. . . . 5 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝐹‘𝑢) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝑢‘1))
88	82, 87	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → ∃𝑢 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝐹‘𝑢))
89	8, 88	sylan2b 596	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑝 ∈ 𝑅) → ∃𝑢 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝐹‘𝑢))
90	89	ralrimiva 3149	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ∀𝑝 ∈ 𝑅 ∃𝑢 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝐹‘𝑢))
91		dffo3 6845	. 2 ⊢ (𝐹:𝐷–onto→𝑅 ↔ (𝐹:𝐷⟶𝑅 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑅 ∃𝑢 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝐹‘𝑢)))
92	5, 90, 91	sylanbrc 586	1 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝐷–onto→𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110  Vcvv 3441  {cpr 4527  ⟨cop 4531   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6320  –onto→wfo 6322  ‘cfv 6324  0cc0 10526  1c1 10527  2c2 11680  ♯chash 13686  Word cword 13857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858

This theorem is referenced by:  wwlktovf1o  14314