Theorem wwlktovfo 14997

Description: Lemma 3 for wrd2f1tovbij 14999. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlktovf1o.d	⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)}
wwlktovf1o.r	⊢ 𝑅 = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋}
wwlktovf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝑡‘1))

Assertion

Ref	Expression
wwlktovfo	⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝐷–onto→𝑅)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐷   𝑃,𝑛,𝑡,𝑤   𝑡,𝑅   𝑛,𝑉,𝑡,𝑤   𝑛,𝑋,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤,𝑛)   𝑅(𝑤,𝑛)   𝐹(𝑤,𝑡,𝑛)   𝑋(𝑡)

Proof of Theorem wwlktovfo

Dummy variables 𝑝 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlktovf1o.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)}
2		wwlktovf1o.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋}
3		wwlktovf1o.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝑡‘1))
4	1, 2, 3	wwlktovf 14995	. . 3 ⊢ 𝐹:𝐷⟶𝑅
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
6		preq2 4734	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → {𝑃, 𝑛} = {𝑃, 𝑝})
7	6	eleq1d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → ({𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋 ↔ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))
8	7, 2	elrab2 3695	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑅 ↔ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))
9		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝑉)
10	9	anim2i 617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑝 ∈ 𝑉))
11		eqidd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → {⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = {⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩})
12		wrdlen2i 14981	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑝 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = {⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝))))
13	10, 11, 12	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)))
14		prex 5437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → {⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ V)
16		eleq1 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ↔ 𝑢 ∈ Word 𝑉))
17	16	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 → 𝑢 ∈ Word 𝑉))
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 → 𝑢 ∈ Word 𝑉))
19	18	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → 𝑢 ∈ Word 𝑉))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → 𝑢 ∈ Word 𝑉))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → 𝑢 ∈ Word 𝑉))
22	21	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝))) → 𝑢 ∈ Word 𝑉)
23		fveqeq2 6915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ((♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2 ↔ (♯‘𝑢) = 2))
24	23	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ((♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2 → (♯‘𝑢) = 2))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → ((♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2 → (♯‘𝑢) = 2))
26	25	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2 → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → (♯‘𝑢) = 2))
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → (♯‘𝑢) = 2))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → (♯‘𝑢) = 2))
29	28	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝))) → (♯‘𝑢) = 2)
30		fveq1 6905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = (𝑢‘0))
31	30	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ↔ (𝑢‘0) = 𝑃))
32	31	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 → (𝑢‘0) = 𝑃))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 → (𝑢‘0) = 𝑃))
34	33	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → (𝑢‘0) = 𝑃))
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝) → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → (𝑢‘0) = 𝑃))
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → (𝑢‘0) = 𝑃))
37	36	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝))) → (𝑢‘0) = 𝑃)
38		fveq1 6905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = (𝑢‘1))
39	38	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝 ↔ (𝑢‘1) = 𝑝))
40	31, 39	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝) ↔ ((𝑢‘0) = 𝑃 ∧ (𝑢‘1) = 𝑝)))
41		preq12 4735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑢‘0) = 𝑃 ∧ (𝑢‘1) = 𝑝) → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} = {𝑃, 𝑝})
42	41	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑢‘0) = 𝑃 ∧ (𝑢‘1) = 𝑝) → {𝑃, 𝑝} = {(𝑢‘0), (𝑢‘1)})
43	42	eleq1d 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑢‘0) = 𝑃 ∧ (𝑢‘1) = 𝑝) → ({𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋 ↔ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋))
44	43	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑢‘0) = 𝑃 ∧ (𝑢‘1) = 𝑝) → ({𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋 → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋))
45	40, 44	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝) → ({𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋 → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)))
46	45	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝) → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ({𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋 → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)))
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ({𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋 → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)))
48	47	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋 → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)))
49	48	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)))
50	49	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋))
51	50	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝))) → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)
52	29, 37, 51	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝))) → ((♯‘𝑢) = 2 ∧ (𝑢‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋))
53		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝 ↔ 𝑝 = ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1))
54	38	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → (𝑝 = ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) ↔ 𝑝 = (𝑢‘1)))
55	54	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → (𝑝 = ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) → 𝑝 = (𝑢‘1)))
56	53, 55	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝 → 𝑝 = (𝑢‘1)))
57	56	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝 → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → 𝑝 = (𝑢‘1)))
58	57	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → 𝑝 = (𝑢‘1)))
59	58	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → 𝑝 = (𝑢‘1)))
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) → ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → 𝑝 = (𝑢‘1)))
61	60	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝))) → 𝑝 = (𝑢‘1))
62	22, 52, 61	jca31 514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋))) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝))) → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑢) = 2 ∧ (𝑢‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)) ∧ 𝑝 = (𝑢‘1)))
63	62	exp31 419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} = 𝑢 → ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑢) = 2 ∧ (𝑢‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)) ∧ 𝑝 = (𝑢‘1)))))
64	63	eqcoms 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = {⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} → ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑢) = 2 ∧ (𝑢‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)) ∧ 𝑝 = (𝑢‘1)))))
65	64	impcom 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) ∧ 𝑢 = {⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) → ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑢) = 2 ∧ (𝑢‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)) ∧ 𝑝 = (𝑢‘1))))
66	15, 65	spcimedv 3595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → ((({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩} ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘{⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}) = 2) ∧ (({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘0) = 𝑃 ∧ ({⟨0, 𝑃⟩, ⟨1, 𝑝⟩}‘1) = 𝑝)) → ∃𝑢((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑢) = 2 ∧ (𝑢‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)) ∧ 𝑝 = (𝑢‘1))))
67	13, 66	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → ∃𝑢((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑢) = 2 ∧ (𝑢‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)) ∧ 𝑝 = (𝑢‘1)))
68		fveqeq2 6915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((♯‘𝑤) = 2 ↔ (♯‘𝑢) = 2))
69		fveq1 6905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑤‘0) = (𝑢‘0))
70	69	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((𝑤‘0) = 𝑃 ↔ (𝑢‘0) = 𝑃))
71		fveq1 6905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑤‘1) = (𝑢‘1))
72	69, 71	preq12d 4741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} = {(𝑢‘0), (𝑢‘1)})
73	72	eleq1d 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋 ↔ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋))
74	68, 70, 73	3anbi123d 1438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋) ↔ ((♯‘𝑢) = 2 ∧ (𝑢‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)))
75	74	elrab 3692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)} ↔ (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑢) = 2 ∧ (𝑢‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)))
76	75	anbi1i 624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)} ∧ 𝑝 = (𝑢‘1)) ↔ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑢) = 2 ∧ (𝑢‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)) ∧ 𝑝 = (𝑢‘1)))
77	76	exbii 1848	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑢(𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)} ∧ 𝑝 = (𝑢‘1)) ↔ ∃𝑢((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑢) = 2 ∧ (𝑢‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ∈ 𝑋)) ∧ 𝑝 = (𝑢‘1)))
78	67, 77	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → ∃𝑢(𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)} ∧ 𝑝 = (𝑢‘1)))
79		df-rex 3071	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)}𝑝 = (𝑢‘1) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)} ∧ 𝑝 = (𝑢‘1)))
80	78, 79	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → ∃𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)}𝑝 = (𝑢‘1))
81	1	rexeqi 3325	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝑢‘1) ↔ ∃𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)}𝑝 = (𝑢‘1))
82	80, 81	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → ∃𝑢 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝑢‘1))
83		fveq1 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑢 → (𝑡‘1) = (𝑢‘1))
84		fvex 6919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢‘1) ∈ V
85	83, 3, 84	fvmpt 7016	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝑢) = (𝑢‘1))
86	85	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐷 → (𝑝 = (𝐹‘𝑢) ↔ 𝑝 = (𝑢‘1)))
87	86	rexbiia 3092	. . . . 5 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝐹‘𝑢) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝑢‘1))
88	82, 87	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, 𝑝} ∈ 𝑋)) → ∃𝑢 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝐹‘𝑢))
89	8, 88	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑝 ∈ 𝑅) → ∃𝑢 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝐹‘𝑢))
90	89	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ∀𝑝 ∈ 𝑅 ∃𝑢 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝐹‘𝑢))
91		dffo3 7122	. 2 ⊢ (𝐹:𝐷–onto→𝑅 ↔ (𝐹:𝐷⟶𝑅 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑅 ∃𝑢 ∈ 𝐷 𝑝 = (𝐹‘𝑢)))
92	5, 90, 91	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝐷–onto→𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  {cpr 4628  ⟨cop 4632   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  –onto→wfo 6559  ‘cfv 6561  0cc0 11155  1c1 11156  2c2 12321  ♯chash 14369  Word cword 14552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553

This theorem is referenced by:  wwlktovf1o  14998