![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > facnn | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of the factorial function for positive integers. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
facnn | โข (๐ โ โ โ (!โ๐) = (seq1( ยท , I )โ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | c0ex 11207 | . . . 4 โข 0 โ V | |
2 | 1 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ (โ0 โ {0}) โ 0 โ V) |
3 | 1ex 11209 | . . . 4 โข 1 โ V | |
4 | 3 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ (โ0 โ {0}) โ 1 โ V) |
5 | df-fac 14235 | . . . 4 โข ! = ({โจ0, 1โฉ} โช seq1( ยท , I )) | |
6 | nnuz 12864 | . . . . . . . 8 โข โ = (โคโฅโ1) | |
7 | dfn2 12484 | . . . . . . . 8 โข โ = (โ0 โ {0}) | |
8 | 6, 7 | eqtr3i 2754 | . . . . . . 7 โข (โคโฅโ1) = (โ0 โ {0}) |
9 | 8 | reseq2i 5969 | . . . . . 6 โข (seq1( ยท , I ) โพ (โคโฅโ1)) = (seq1( ยท , I ) โพ (โ0 โ {0})) |
10 | 1z 12591 | . . . . . . 7 โข 1 โ โค | |
11 | seqfn 13979 | . . . . . . 7 โข (1 โ โค โ seq1( ยท , I ) Fn (โคโฅโ1)) | |
12 | fnresdm 6660 | . . . . . . 7 โข (seq1( ยท , I ) Fn (โคโฅโ1) โ (seq1( ยท , I ) โพ (โคโฅโ1)) = seq1( ยท , I )) | |
13 | 10, 11, 12 | mp2b 10 | . . . . . 6 โข (seq1( ยท , I ) โพ (โคโฅโ1)) = seq1( ยท , I ) |
14 | 9, 13 | eqtr3i 2754 | . . . . 5 โข (seq1( ยท , I ) โพ (โ0 โ {0})) = seq1( ยท , I ) |
15 | 14 | uneq2i 4153 | . . . 4 โข ({โจ0, 1โฉ} โช (seq1( ยท , I ) โพ (โ0 โ {0}))) = ({โจ0, 1โฉ} โช seq1( ยท , I )) |
16 | 5, 15 | eqtr4i 2755 | . . 3 โข ! = ({โจ0, 1โฉ} โช (seq1( ยท , I ) โพ (โ0 โ {0}))) |
17 | id 22 | . . 3 โข (๐ โ (โ0 โ {0}) โ ๐ โ (โ0 โ {0})) | |
18 | 2, 4, 16, 17 | fvsnun2 7174 | . 2 โข (๐ โ (โ0 โ {0}) โ (!โ๐) = (seq1( ยท , I )โ๐)) |
19 | 18, 7 | eleq2s 2843 | 1 โข (๐ โ โ โ (!โ๐) = (seq1( ยท , I )โ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3466 โ cdif 3938 โช cun 3939 {csn 4621 โจcop 4627 I cid 5564 โพ cres 5669 Fn wfn 6529 โcfv 6534 0cc0 11107 1c1 11108 ยท cmul 11112 โcn 12211 โ0cn0 12471 โคcz 12557 โคโฅcuz 12821 seqcseq 13967 !cfa 14234 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-iun 4990 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-om 7850 df-2nd 7970 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-er 8700 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-nn 12212 df-n0 12472 df-z 12558 df-uz 12822 df-seq 13968 df-fac 14235 |
This theorem is referenced by: fac1 14238 facp1 14239 bcval5 14279 fprodfac 15919 logfac 26475 wilthlem3 26942 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |