Theorem facnn 14460

Description: Value of the factorial function for positive integers. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
facnn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))

Proof of Theorem facnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11339	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) → 0 ∈ V)
3		1ex 11342	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) → 1 ∈ V)
5		df-fac 14459	. . . 4 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
6		nnuz 13044	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
7		dfn2 12659	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
8	6, 7	eqtr3i 2788	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
9	8	reseq2i 5983	. . . . . 6 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
10		1z 12766	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
11		seqfn 14196	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1))
12		fnresdm 6688	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1) → (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I ))
13	10, 11, 12	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I )
14	9, 13	eqtr3i 2788	. . . . 5 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I )
15	14	uneq2i 4167	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
16	5, 15	eqtr4i 2789	. . 3 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
17		id 23	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) → 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
18	2, 4, 16, 17	fvsnun2 7219	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
19	18, 7	eleq2s 2882	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048   ∪ cun 4152  {csn 4588  ⟨cop 4840   I cid 5552   ↾ cres 5660   Fn wfn 6561  ‘cfv 6566  0cc0 11239  1c1 11240   · cmul 11244  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  seqcseq 14184  !cfa 14458

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-seq 14185  df-fac 14459

This theorem is used by:  fac1  14462  facp1  14463  bcval5  14503  fprodfac  16184  logfac  26986  wilthlem3  27454