MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facnn 14181
Description: Value of the factorial function for positive integers. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
facnn (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘) = (seq1( ยท , I )โ€˜๐‘))

Proof of Theorem facnn
StepHypRef Expression
1 c0ex 11154 . . . 4 0 โˆˆ V
21a1i 11 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„•0 โˆ– {0}) โ†’ 0 โˆˆ V)
3 1ex 11156 . . . 4 1 โˆˆ V
43a1i 11 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„•0 โˆ– {0}) โ†’ 1 โˆˆ V)
5 df-fac 14180 . . . 4 ! = ({โŸจ0, 1โŸฉ} โˆช seq1( ยท , I ))
6 nnuz 12811 . . . . . . . 8 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
7 dfn2 12431 . . . . . . . 8 โ„• = (โ„•0 โˆ– {0})
86, 7eqtr3i 2763 . . . . . . 7 (โ„คโ‰ฅโ€˜1) = (โ„•0 โˆ– {0})
98reseq2i 5935 . . . . . 6 (seq1( ยท , I ) โ†พ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) = (seq1( ยท , I ) โ†พ (โ„•0 โˆ– {0}))
10 1z 12538 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„ค
11 seqfn 13924 . . . . . . 7 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ seq1( ยท , I ) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
12 fnresdm 6621 . . . . . . 7 (seq1( ยท , I ) Fn (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (seq1( ยท , I ) โ†พ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) = seq1( ยท , I ))
1310, 11, 12mp2b 10 . . . . . 6 (seq1( ยท , I ) โ†พ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) = seq1( ยท , I )
149, 13eqtr3i 2763 . . . . 5 (seq1( ยท , I ) โ†พ (โ„•0 โˆ– {0})) = seq1( ยท , I )
1514uneq2i 4121 . . . 4 ({โŸจ0, 1โŸฉ} โˆช (seq1( ยท , I ) โ†พ (โ„•0 โˆ– {0}))) = ({โŸจ0, 1โŸฉ} โˆช seq1( ยท , I ))
165, 15eqtr4i 2764 . . 3 ! = ({โŸจ0, 1โŸฉ} โˆช (seq1( ยท , I ) โ†พ (โ„•0 โˆ– {0})))
17 id 22 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„•0 โˆ– {0}) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„•0 โˆ– {0}))
182, 4, 16, 17fvsnun2 7130 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„•0 โˆ– {0}) โ†’ (!โ€˜๐‘) = (seq1( ยท , I )โ€˜๐‘))
1918, 7eleq2s 2852 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘) = (seq1( ยท , I )โ€˜๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3444   โˆ– cdif 3908   โˆช cun 3909  {csn 4587  โŸจcop 4593   I cid 5531   โ†พ cres 5636   Fn wfn 6492  โ€˜cfv 6497  0cc0 11056  1c1 11057   ยท cmul 11061  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  seqcseq 13912  !cfa 14179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-seq 13913  df-fac 14180
This theorem is referenced by:  fac1  14183  facp1  14184  bcval5  14224  fprodfac  15861  logfac  25972  wilthlem3  26435
  Copyright terms: Public domain W3C validator