Theorem facnn 14174

Description: Value of the factorial function for positive integers. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
facnn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))

Proof of Theorem facnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11098	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) → 0 ∈ V)
3		1ex 11100	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) → 1 ∈ V)
5		df-fac 14173	. . . 4 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
6		nnuz 12767	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
7		dfn2 12386	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
8	6, 7	eqtr3i 2755	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
9	8	reseq2i 5922	. . . . . 6 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
10		1z 12494	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
11		seqfn 13912	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1))
12		fnresdm 6596	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1) → (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I ))
13	10, 11, 12	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I )
14	9, 13	eqtr3i 2755	. . . . 5 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I )
15	14	uneq2i 4113	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
16	5, 15	eqtr4i 2756	. . 3 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
17		id 22	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) → 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
18	2, 4, 16, 17	fvsnun2 7112	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
19	18, 7	eleq2s 2847	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  Vcvv 3434   ∖ cdif 3897   ∪ cun 3898  {csn 4574  ⟨cop 4580   I cid 5508   ↾ cres 5616   Fn wfn 6472  ‘cfv 6477  0cc0 10998  1c1 10999   · cmul 11003  ℕcn 12117  ℕ₀cn0 12373  ℤcz 12460  ℤ_≥cuz 12724  seqcseq 13900  !cfa 14172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-seq 13901  df-fac 14173

This theorem is referenced by:  fac1  14176  facp1  14177  bcval5  14217  fprodfac  15872  logfac  26530  wilthlem3  27000