Theorem facnn 14216

Description: Value of the factorial function for positive integers. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
facnn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))

Proof of Theorem facnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11144	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) → 0 ∈ V)
3		1ex 11146	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) → 1 ∈ V)
5		df-fac 14215	. . . 4 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
6		nnuz 12812	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
7		dfn2 12431	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
8	6, 7	eqtr3i 2754	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
9	8	reseq2i 5936	. . . . . 6 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
10		1z 12539	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
11		seqfn 13954	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1))
12		fnresdm 6619	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1) → (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I ))
13	10, 11, 12	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I )
14	9, 13	eqtr3i 2754	. . . . 5 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I )
15	14	uneq2i 4124	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
16	5, 15	eqtr4i 2755	. . 3 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
17		id 22	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) → 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
18	2, 4, 16, 17	fvsnun2 7139	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
19	18, 7	eleq2s 2846	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ∖ cdif 3908   ∪ cun 3909  {csn 4585  ⟨cop 4591   I cid 5525   ↾ cres 5633   Fn wfn 6494  ‘cfv 6499  0cc0 11044  1c1 11045   · cmul 11049  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  seqcseq 13942  !cfa 14214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-seq 13943  df-fac 14215

This theorem is referenced by:  fac1  14218  facp1  14219  bcval5  14259  fprodfac  15915  logfac  26486  wilthlem3  26956