![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > facnn | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of the factorial function for positive integers. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
facnn | โข (๐ โ โ โ (!โ๐) = (seq1( ยท , I )โ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | c0ex 11154 | . . . 4 โข 0 โ V | |
2 | 1 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ (โ0 โ {0}) โ 0 โ V) |
3 | 1ex 11156 | . . . 4 โข 1 โ V | |
4 | 3 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ (โ0 โ {0}) โ 1 โ V) |
5 | df-fac 14180 | . . . 4 โข ! = ({โจ0, 1โฉ} โช seq1( ยท , I )) | |
6 | nnuz 12811 | . . . . . . . 8 โข โ = (โคโฅโ1) | |
7 | dfn2 12431 | . . . . . . . 8 โข โ = (โ0 โ {0}) | |
8 | 6, 7 | eqtr3i 2763 | . . . . . . 7 โข (โคโฅโ1) = (โ0 โ {0}) |
9 | 8 | reseq2i 5935 | . . . . . 6 โข (seq1( ยท , I ) โพ (โคโฅโ1)) = (seq1( ยท , I ) โพ (โ0 โ {0})) |
10 | 1z 12538 | . . . . . . 7 โข 1 โ โค | |
11 | seqfn 13924 | . . . . . . 7 โข (1 โ โค โ seq1( ยท , I ) Fn (โคโฅโ1)) | |
12 | fnresdm 6621 | . . . . . . 7 โข (seq1( ยท , I ) Fn (โคโฅโ1) โ (seq1( ยท , I ) โพ (โคโฅโ1)) = seq1( ยท , I )) | |
13 | 10, 11, 12 | mp2b 10 | . . . . . 6 โข (seq1( ยท , I ) โพ (โคโฅโ1)) = seq1( ยท , I ) |
14 | 9, 13 | eqtr3i 2763 | . . . . 5 โข (seq1( ยท , I ) โพ (โ0 โ {0})) = seq1( ยท , I ) |
15 | 14 | uneq2i 4121 | . . . 4 โข ({โจ0, 1โฉ} โช (seq1( ยท , I ) โพ (โ0 โ {0}))) = ({โจ0, 1โฉ} โช seq1( ยท , I )) |
16 | 5, 15 | eqtr4i 2764 | . . 3 โข ! = ({โจ0, 1โฉ} โช (seq1( ยท , I ) โพ (โ0 โ {0}))) |
17 | id 22 | . . 3 โข (๐ โ (โ0 โ {0}) โ ๐ โ (โ0 โ {0})) | |
18 | 2, 4, 16, 17 | fvsnun2 7130 | . 2 โข (๐ โ (โ0 โ {0}) โ (!โ๐) = (seq1( ยท , I )โ๐)) |
19 | 18, 7 | eleq2s 2852 | 1 โข (๐ โ โ โ (!โ๐) = (seq1( ยท , I )โ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1542 โ wcel 2107 Vcvv 3444 โ cdif 3908 โช cun 3909 {csn 4587 โจcop 4593 I cid 5531 โพ cres 5636 Fn wfn 6492 โcfv 6497 0cc0 11056 1c1 11057 ยท cmul 11061 โcn 12158 โ0cn0 12418 โคcz 12504 โคโฅcuz 12768 seqcseq 13912 !cfa 14179 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11112 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-pre-mulgt0 11133 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-er 8651 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-sub 11392 df-neg 11393 df-nn 12159 df-n0 12419 df-z 12505 df-uz 12769 df-seq 13913 df-fac 14180 |
This theorem is referenced by: fac1 14183 facp1 14184 bcval5 14224 fprodfac 15861 logfac 25972 wilthlem3 26435 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |