MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facnn 14000
Description: Value of the factorial function for positive integers. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
facnn (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))

Proof of Theorem facnn
StepHypRef Expression
1 c0ex 10980 . . . 4 0 ∈ V
21a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) → 0 ∈ V)
3 1ex 10982 . . . 4 1 ∈ V
43a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) → 1 ∈ V)
5 df-fac 13999 . . . 4 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
6 nnuz 12632 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
7 dfn2 12257 . . . . . . . 8 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
86, 7eqtr3i 2770 . . . . . . 7 (ℤ‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
98reseq2i 5887 . . . . . 6 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
10 1z 12361 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
11 seqfn 13744 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1))
12 fnresdm 6549 . . . . . . 7 (seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1) → (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I ))
1310, 11, 12mp2b 10 . . . . . 6 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I )
149, 13eqtr3i 2770 . . . . 5 (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I )
1514uneq2i 4099 . . . 4 ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
165, 15eqtr4i 2771 . . 3 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
17 id 22 . . 3 (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) → 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
182, 4, 16, 17fvsnun2 7052 . 2 (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
1918, 7eleq2s 2859 1 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2110  Vcvv 3431  cdif 3889  cun 3890  {csn 4567  cop 4573   I cid 5489  cres 5592   Fn wfn 6427  cfv 6432  0cc0 10882  1c1 10883   · cmul 10887  cn 11984  0cn0 12244  cz 12330  cuz 12593  seqcseq 13732  !cfa 13998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-n0 12245  df-z 12331  df-uz 12594  df-seq 13733  df-fac 13999
This theorem is referenced by:  fac1  14002  facp1  14003  bcval5  14043  fprodfac  15694  logfac  25767  wilthlem3  26230
  Copyright terms: Public domain W3C validator