MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facnn 13269
Description: Value of the factorial function for positive integers. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
facnn (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))

Proof of Theorem facnn
StepHypRef Expression
1 c0ex 10289 . . 3 0 ∈ V
2 1ex 10291 . . 3 1 ∈ V
3 df-fac 13268 . . . 4 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
4 nnuz 11926 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
5 dfn2 11555 . . . . . . . 8 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
64, 5eqtr3i 2789 . . . . . . 7 (ℤ‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
76reseq2i 5564 . . . . . 6 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
8 1z 11657 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
9 seqfn 13023 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1))
10 fnresdm 6180 . . . . . . 7 (seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1) → (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I ))
118, 9, 10mp2b 10 . . . . . 6 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I )
127, 11eqtr3i 2789 . . . . 5 (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I )
1312uneq2i 3928 . . . 4 ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
143, 13eqtr4i 2790 . . 3 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
151, 2, 14fvsnun2 6644 . 2 (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
1615, 5eleq2s 2862 1 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1652  wcel 2155  cdif 3731  cun 3732  {csn 4336  cop 4342   I cid 5186  cres 5281   Fn wfn 6065  cfv 6070  0cc0 10191  1c1 10192   · cmul 10196  cn 11276  0cn0 11540  cz 11626  cuz 11889  seqcseq 13011  !cfa 13267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-nn 11277  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-seq 13012  df-fac 13268
This theorem is referenced by:  fac1  13271  facp1  13272  bcval5  13312  fprodfac  14989  logfac  24641  wilthlem3  25090
  Copyright terms: Public domain W3C validator