Theorem fac0 14286

Description: The factorial of 0. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fac0	⊢ (!‘0) = 1

Proof of Theorem fac0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11170	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ V)
3		1ex 11173	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ V)
5		df-fac 14284	. . . 4 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
6		nnuz 12875	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
7		dfn2 12491	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
8	6, 7	eqtr3i 2786	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
9	8	reseq2i 5960	. . . . . 6 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
10		1z 12598	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
11		seqfn 14023	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1))
12		fnresdm 6636	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1) → (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I ))
13	10, 11, 12	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I )
14	9, 13	eqtr3i 2786	. . . . 5 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I )
15	14	uneq2i 4118	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
16	5, 15	eqtr4i 2787	. . 3 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
17	2, 4, 16	fvsnun1 7162	. 2 ⊢ (⊤ → (!‘0) = 1)
18	17	mptru 1566	1 ⊢ (!‘0) = 1

Syntax hints:   = wceq 1559  ⊤wtru 1560   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902  {csn 4581  ⟨cop 4587   I cid 5539   ↾ cres 5647   Fn wfn 6512  ‘cfv 6517  0cc0 11070  1c1 11071   · cmul 11075  ℕcn 12207  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836  seqcseq 14011  !cfa 14283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-seq 14012  df-fac 14284

This theorem is referenced by:  facp1  14288  faccl  14293  facwordi  14299  faclbnd  14300  faclbnd4lem3  14305  facubnd  14310  bcn0  14320  bcval5  14328  hashf1  14467  fprodfac  15986  fallfacfac  16058  ef0lem  16091  ege2le3  16103  eft0val  16127  prmfac1  16738  pcfac  16918  tayl0  26402  logfac  26643  advlogexp  26697  facgam  27107  logexprlim  27266  subfacval2  35501  faclim  36060  bccn0  44883  mccl  46138  dvnxpaek  46480  dvnprodlem3  46486  etransclem14  46786  etransclem24  46796  etransclem25  46797  etransclem35  46807