MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fac0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fac0 14261
Description: The factorial of 0. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
fac0 (!‘0) = 1

Proof of Theorem fac0
StepHypRef Expression
1 c0ex 11232 . . . 4 0 ∈ V
21a1i 11 . . 3 (⊤ → 0 ∈ V)
3 1ex 11234 . . . 4 1 ∈ V
43a1i 11 . . 3 (⊤ → 1 ∈ V)
5 df-fac 14259 . . . 4 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
6 nnuz 12889 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
7 dfn2 12509 . . . . . . . 8 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
86, 7eqtr3i 2758 . . . . . . 7 (ℤ‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
98reseq2i 5976 . . . . . 6 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
10 1z 12616 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
11 seqfn 14004 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1))
12 fnresdm 6668 . . . . . . 7 (seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1) → (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I ))
1310, 11, 12mp2b 10 . . . . . 6 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I )
149, 13eqtr3i 2758 . . . . 5 (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I )
1514uneq2i 4156 . . . 4 ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
165, 15eqtr4i 2759 . . 3 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
172, 4, 16fvsnun1 7185 . 2 (⊤ → (!‘0) = 1)
1817mptru 1541 1 (!‘0) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534  wtru 1535  wcel 2099  Vcvv 3470  cdif 3942  cun 3943  {csn 4624  cop 4630   I cid 5569  cres 5674   Fn wfn 6537  cfv 6542  0cc0 11132  1c1 11133   · cmul 11137  cn 12236  0cn0 12496  cz 12582  cuz 12846  seqcseq 13992  !cfa 14258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-seq 13993  df-fac 14259
This theorem is referenced by:  facp1  14263  faccl  14268  facwordi  14274  faclbnd  14275  faclbnd4lem3  14280  facubnd  14285  bcn0  14295  bcval5  14303  hashf1  14444  fprodfac  15943  fallfacfac  16015  ef0lem  16048  ege2le3  16060  eft0val  16082  prmfac1  16685  pcfac  16861  tayl0  26289  logfac  26528  advlogexp  26582  facgam  26991  logexprlim  27151  subfacval2  34791  faclim  35334  bccn0  43774  mccl  44980  dvnxpaek  45324  dvnprodlem3  45330  etransclem14  45630  etransclem24  45640  etransclem25  45641  etransclem35  45651
  Copyright terms: Public domain W3C validator