MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fac0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fac0 14001
Description: The factorial of 0. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
fac0 (!‘0) = 1

Proof of Theorem fac0
StepHypRef Expression
1 c0ex 10980 . . . 4 0 ∈ V
21a1i 11 . . 3 (⊤ → 0 ∈ V)
3 1ex 10982 . . . 4 1 ∈ V
43a1i 11 . . 3 (⊤ → 1 ∈ V)
5 df-fac 13999 . . . 4 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
6 nnuz 12632 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
7 dfn2 12257 . . . . . . . 8 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
86, 7eqtr3i 2770 . . . . . . 7 (ℤ‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
98reseq2i 5887 . . . . . 6 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
10 1z 12361 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
11 seqfn 13744 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1))
12 fnresdm 6549 . . . . . . 7 (seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1) → (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I ))
1310, 11, 12mp2b 10 . . . . . 6 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I )
149, 13eqtr3i 2770 . . . . 5 (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I )
1514uneq2i 4099 . . . 4 ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
165, 15eqtr4i 2771 . . 3 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
172, 4, 16fvsnun1 7051 . 2 (⊤ → (!‘0) = 1)
1817mptru 1549 1 (!‘0) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2110  Vcvv 3431  cdif 3889  cun 3890  {csn 4567  cop 4573   I cid 5489  cres 5592   Fn wfn 6427  cfv 6432  0cc0 10882  1c1 10883   · cmul 10887  cn 11984  0cn0 12244  cz 12330  cuz 12593  seqcseq 13732  !cfa 13998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-n0 12245  df-z 12331  df-uz 12594  df-seq 13733  df-fac 13999
This theorem is referenced by:  facp1  14003  faccl  14008  facwordi  14014  faclbnd  14015  faclbnd4lem3  14020  facubnd  14025  bcn0  14035  bcval5  14043  hashf1  14182  fprodfac  15694  fallfacfac  15766  ef0lem  15799  ege2le3  15810  eft0val  15832  prmfac1  16437  pcfac  16611  tayl0  25532  logfac  25767  advlogexp  25821  facgam  26226  logexprlim  26384  subfacval2  33158  faclim  33721  bccn0  41943  mccl  43121  dvnxpaek  43465  dvnprodlem3  43471  etransclem14  43771  etransclem24  43781  etransclem25  43782  etransclem35  43792
  Copyright terms: Public domain W3C validator