MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fac0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fac0 14234
Description: The factorial of 0. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
fac0 (!‘0) = 1

Proof of Theorem fac0
StepHypRef Expression
1 c0ex 11206 . . . 4 0 ∈ V
21a1i 11 . . 3 (⊤ → 0 ∈ V)
3 1ex 11208 . . . 4 1 ∈ V
43a1i 11 . . 3 (⊤ → 1 ∈ V)
5 df-fac 14232 . . . 4 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
6 nnuz 12863 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
7 dfn2 12483 . . . . . . . 8 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
86, 7eqtr3i 2754 . . . . . . 7 (ℤ‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
98reseq2i 5969 . . . . . 6 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
10 1z 12590 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
11 seqfn 13976 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1))
12 fnresdm 6660 . . . . . . 7 (seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1) → (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I ))
1310, 11, 12mp2b 10 . . . . . 6 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I )
149, 13eqtr3i 2754 . . . . 5 (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I )
1514uneq2i 4153 . . . 4 ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
165, 15eqtr4i 2755 . . 3 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
172, 4, 16fvsnun1 7173 . 2 (⊤ → (!‘0) = 1)
1817mptru 1540 1 (!‘0) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  Vcvv 3466  cdif 3938  cun 3939  {csn 4621  cop 4627   I cid 5564  cres 5669   Fn wfn 6529  cfv 6534  0cc0 11107  1c1 11108   · cmul 11112  cn 12210  0cn0 12470  cz 12556  cuz 12820  seqcseq 13964  !cfa 14231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-seq 13965  df-fac 14232
This theorem is referenced by:  facp1  14236  faccl  14241  facwordi  14247  faclbnd  14248  faclbnd4lem3  14253  facubnd  14258  bcn0  14268  bcval5  14276  hashf1  14416  fprodfac  15915  fallfacfac  15987  ef0lem  16020  ege2le3  16032  eft0val  16054  prmfac1  16657  pcfac  16833  tayl0  26217  logfac  26454  advlogexp  26508  facgam  26917  logexprlim  27077  subfacval2  34669  faclim  35212  bccn0  43616  mccl  44824  dvnxpaek  45168  dvnprodlem3  45174  etransclem14  45474  etransclem24  45484  etransclem25  45485  etransclem35  45495
  Copyright terms: Public domain W3C validator