MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fac0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fac0 13620
Description: The factorial of 0. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
fac0 (!‘0) = 1

Proof of Theorem fac0
StepHypRef Expression
1 c0ex 10612 . . . 4 0 ∈ V
21a1i 11 . . 3 (⊤ → 0 ∈ V)
3 1ex 10614 . . . 4 1 ∈ V
43a1i 11 . . 3 (⊤ → 1 ∈ V)
5 df-fac 13618 . . . 4 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
6 nnuz 12259 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
7 dfn2 11888 . . . . . . . 8 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
86, 7eqtr3i 2846 . . . . . . 7 (ℤ‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
98reseq2i 5823 . . . . . 6 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
10 1z 11990 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
11 seqfn 13364 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1))
12 fnresdm 6439 . . . . . . 7 (seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1) → (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I ))
1310, 11, 12mp2b 10 . . . . . 6 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I )
149, 13eqtr3i 2846 . . . . 5 (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I )
1514uneq2i 4112 . . . 4 ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
165, 15eqtr4i 2847 . . 3 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
172, 4, 16fvsnun1 6917 . 2 (⊤ → (!‘0) = 1)
1817mptru 1545 1 (!‘0) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wtru 1539  wcel 2115  Vcvv 3471  cdif 3907  cun 3908  {csn 4540  cop 4546   I cid 5432  cres 5530   Fn wfn 6323  cfv 6328  0cc0 10514  1c1 10515   · cmul 10519  cn 11615  0cn0 11875  cz 11959  cuz 12221  seqcseq 13352  !cfa 13617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-seq 13353  df-fac 13618
This theorem is referenced by:  facp1  13622  faccl  13627  facwordi  13633  faclbnd  13634  faclbnd4lem3  13639  facubnd  13644  bcn0  13654  bcval5  13662  hashf1  13799  fprodfac  15306  fallfacfac  15378  ef0lem  15411  ege2le3  15422  eft0val  15444  prmfac1  16040  pcfac  16212  tayl0  24935  logfac  25170  advlogexp  25224  facgam  25629  logexprlim  25787  subfacval2  32441  faclim  32985  bccn0  40830  mccl  42031  dvnxpaek  42375  dvnprodlem3  42381  etransclem14  42681  etransclem24  42691  etransclem25  42692  etransclem35  42702
  Copyright terms: Public domain W3C validator