Theorem fac0 13363

Description: The factorial of 0. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fac0	⊢ (!‘0) = 1

Proof of Theorem fac0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 10357	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ V)
3		1ex 10359	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ V)
5		df-fac 13361	. . . 4 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
6		nnuz 12012	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
7		dfn2 11640	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
8	6, 7	eqtr3i 2851	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
9	8	reseq2i 5630	. . . . . 6 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
10		1z 11742	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
11		seqfn 13114	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1))
12		fnresdm 6237	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1) → (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I ))
13	10, 11, 12	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I )
14	9, 13	eqtr3i 2851	. . . . 5 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I )
15	14	uneq2i 3993	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
16	5, 15	eqtr4i 2852	. . 3 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
17	2, 4, 16	fvsnun1 6707	. 2 ⊢ (⊤ → (!‘0) = 1)
18	17	mptru 1664	1 ⊢ (!‘0) = 1

Syntax hints:   = wceq 1656  ⊤wtru 1657   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414   ∖ cdif 3795   ∪ cun 3796  {csn 4399  ⟨cop 4405   I cid 5251   ↾ cres 5348   Fn wfn 6122  ‘cfv 6127  0cc0 10259  1c1 10260   · cmul 10264  ℕcn 11357  ℕ₀cn0 11625  ℤcz 11711  ℤ_≥cuz 11975  seqcseq 13102  !cfa 13360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-seq 13103  df-fac 13361

This theorem is referenced by:  facp1  13365  faccl  13370  facwordi  13376  faclbnd  13377  faclbnd4lem3  13382  facubnd  13387  bcn0  13397  bcval5  13405  hashf1  13537  fprodfac  15083  fallfacfac  15155  ef0lem  15188  ege2le3  15199  eft0val  15221  prmfac1  15809  pcfac  15981  tayl0  24522  logfac  24753  advlogexp  24807  facgam  25212  logexprlim  25370  subfacval2  31711  faclim  32170  bccn0  39377  mccl  40619  dvnxpaek  40946  dvnprodlem3  40952  etransclem14  41253  etransclem24  41263  etransclem25  41264  etransclem35  41274