MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fac0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fac0 13267
Description: The factorial of 0. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
fac0 (!‘0) = 1

Proof of Theorem fac0
StepHypRef Expression
1 c0ex 10287 . 2 0 ∈ V
2 1ex 10289 . 2 1 ∈ V
3 df-fac 13265 . . 3 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
4 nnuz 11923 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
5 dfn2 11553 . . . . . . 7 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
64, 5eqtr3i 2789 . . . . . 6 (ℤ‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
76reseq2i 5562 . . . . 5 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
8 1z 11654 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
9 seqfn 13020 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1))
10 fnresdm 6178 . . . . . 6 (seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1) → (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I ))
118, 9, 10mp2b 10 . . . . 5 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I )
127, 11eqtr3i 2789 . . . 4 (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I )
1312uneq2i 3926 . . 3 ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
143, 13eqtr4i 2790 . 2 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
151, 2, 14fvsnun1 6641 1 (!‘0) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1652  wcel 2155  cdif 3729  cun 3730  {csn 4334  cop 4340   I cid 5184  cres 5279   Fn wfn 6063  cfv 6068  0cc0 10189  1c1 10190   · cmul 10194  cn 11274  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  seqcseq 13008  !cfa 13264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-seq 13009  df-fac 13265
This theorem is referenced by:  facp1  13269  faccl  13274  facwordi  13280  faclbnd  13281  faclbnd4lem3  13286  facubnd  13291  bcn0  13301  bcval5  13309  hashf1  13442  fprodfac  14986  fallfacfac  15058  ef0lem  15091  ege2le3  15102  eft0val  15124  prmfac1  15710  pcfac  15882  tayl0  24407  logfac  24638  advlogexp  24692  facgam  25083  logexprlim  25241  subfacval2  31617  faclim  32077  bccn0  39216  mccl  40468  dvnxpaek  40795  dvnprodlem3  40801  etransclem14  41102  etransclem24  41112  etransclem25  41113  etransclem35  41123
  Copyright terms: Public domain W3C validator