MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo0dvdseq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzo0dvdseq 16357
Description: Zero is the only one of the first 𝐴 nonnegative integers that is divisible by 𝐴. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzo0dvdseq (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴𝐵𝐵 = 0))

Proof of Theorem fzo0dvdseq
StepHypRef Expression
1 elfzolt2 13705 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
2 elfzoelz 13696 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
32zred 12720 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 elfzoel2 13695 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
54zred 12720 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
63, 5ltnled 11406 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
71, 6mpbid 232 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
87adantr 480 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ¬ 𝐴𝐵)
9 elfzonn0 13744 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
109adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
11 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
12 eldifsn 4791 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ≠ 0))
1310, 11, 12sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
14 dfn2 12537 . . . . . . 7 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
1513, 14eleqtrrdi 2850 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℕ)
16 dvdsle 16344 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
174, 15, 16syl2an2r 685 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
188, 17mtod 198 . . . 4 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ¬ 𝐴𝐵)
1918ex 412 . . 3 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 ≠ 0 → ¬ 𝐴𝐵))
2019necon4ad 2957 . 2 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴𝐵𝐵 = 0))
21 dvds0 16306 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 0)
224, 21syl 17 . . 3 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∥ 0)
23 breq2 5152 . . 3 (𝐵 = 0 → (𝐴𝐵𝐴 ∥ 0))
2422, 23syl5ibrcom 247 . 2 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 = 0 → 𝐴𝐵))
2520, 24impbid 212 1 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴𝐵𝐵 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  {csn 4631   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  0cc0 11153   < clt 11293  cle 11294  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  ..^cfzo 13691  cdvds 16287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-dvds 16288
This theorem is referenced by:  fzocongeq  16358
  Copyright terms: Public domain W3C validator