MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo0dvdseq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzo0dvdseq 16197
Description: Zero is the only one of the first 𝐴 nonnegative integers that is divisible by 𝐴. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzo0dvdseq (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴𝐵𝐵 = 0))

Proof of Theorem fzo0dvdseq
StepHypRef Expression
1 elfzolt2 13573 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
2 elfzoelz 13564 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
32zred 12603 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 elfzoel2 13563 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
54zred 12603 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
63, 5ltnled 11298 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
71, 6mpbid 231 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
87adantr 481 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ¬ 𝐴𝐵)
9 elfzonn0 13609 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
109adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
11 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
12 eldifsn 4745 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ≠ 0))
1310, 11, 12sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
14 dfn2 12422 . . . . . . 7 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
1513, 14eleqtrrdi 2849 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℕ)
16 dvdsle 16184 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
174, 15, 16syl2an2r 683 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
188, 17mtod 197 . . . 4 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ¬ 𝐴𝐵)
1918ex 413 . . 3 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 ≠ 0 → ¬ 𝐴𝐵))
2019necon4ad 2960 . 2 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴𝐵𝐵 = 0))
21 dvds0 16146 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 0)
224, 21syl 17 . . 3 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∥ 0)
23 breq2 5107 . . 3 (𝐵 = 0 → (𝐴𝐵𝐴 ∥ 0))
2422, 23syl5ibrcom 246 . 2 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 = 0 → 𝐴𝐵))
2520, 24impbid 211 1 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴𝐵𝐵 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  cdif 3905  {csn 4584   class class class wbr 5103  (class class class)co 7353  0cc0 11047   < clt 11185  cle 11186  cn 12149  0cn0 12409  cz 12495  ..^cfzo 13559  cdvds 16128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-dvds 16129
This theorem is referenced by:  fzocongeq  16198
  Copyright terms: Public domain W3C validator