MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo0dvdseq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzo0dvdseq 15330
Description: Zero is the only one of the first 𝐴 nonnegative integers that is divisible by 𝐴. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzo0dvdseq (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴𝐵𝐵 = 0))

Proof of Theorem fzo0dvdseq
StepHypRef Expression
1 elfzolt2 12687 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
2 elfzoelz 12678 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
32zred 11729 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 elfzoel2 12677 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
54zred 11729 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
63, 5ltnled 10438 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
71, 6mpbid 223 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
87adantr 472 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ¬ 𝐴𝐵)
94adantr 472 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
10 elfzonn0 12721 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
1110adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
12 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
13 eldifsn 4472 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ≠ 0))
1411, 12, 13sylanbrc 578 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
15 dfn2 11553 . . . . . . 7 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
1614, 15syl6eleqr 2855 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℕ)
17 dvdsle 15317 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
189, 16, 17syl2anc 579 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
198, 18mtod 189 . . . 4 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ¬ 𝐴𝐵)
2019ex 401 . . 3 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 ≠ 0 → ¬ 𝐴𝐵))
2120necon4ad 2956 . 2 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴𝐵𝐵 = 0))
22 dvds0 15282 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 0)
234, 22syl 17 . . 3 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∥ 0)
24 breq2 4813 . . 3 (𝐵 = 0 → (𝐴𝐵𝐴 ∥ 0))
2523, 24syl5ibrcom 238 . 2 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 = 0 → 𝐴𝐵))
2621, 25impbid 203 1 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴𝐵𝐵 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  cdif 3729  {csn 4334   class class class wbr 4809  (class class class)co 6842  0cc0 10189   < clt 10328  cle 10329  cn 11274  0cn0 11538  cz 11624  ..^cfzo 12673  cdvds 15265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-dvds 15266
This theorem is referenced by:  fzocongeq  15331
  Copyright terms: Public domain W3C validator