Theorem fzo0dvdseq 16502

Description: Zero is the only one of the first 𝐴 nonnegative integers that is divisible by 𝐴. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0dvdseq	⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))

Proof of Theorem fzo0dvdseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzolt2 13810	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
2		elfzoelz 13800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3	2	zred 12810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		elfzoel2 13799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
5	4	zred 12810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	3, 5	ltnled 11464	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
7	1, 6	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
9		elfzonn0 13849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
10	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
11		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
12		eldifsn 4744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
13	10, 11, 12	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
14		dfn2 12626	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
15	13, 14	eleqtrrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℕ)
16		dvdsle 16489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
17	4, 15, 16	syl2an2r 698	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
18	8, 17	mtod 201	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ¬ 𝐴 ∥ 𝐵)
19	18	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 ≠ 0 → ¬ 𝐴 ∥ 𝐵))
20	19	necon4ad 2974	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐵 = 0))
21		dvds0 16450	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 0)
22	4, 21	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∥ 0)
23		breq2 5106	. . 3 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ 0))
24	22, 23	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 = 0 → 𝐴 ∥ 𝐵))
25	20, 24	impbid 215	1 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∖ cdif 4044  {csn 4584   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  0cc0 11207   < clt 11350   ≤ cle 11351  ℕcn 12342  ℕ₀cn0 12613  ℤcz 12700  ..^cfzo 13795   ∥ cdvds 16431

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-dvds 16432

This theorem is used by:  fzocongeq  16503