MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgeq3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ditgeq3 25358
Description: Equality theorem for the directed integral. (The domain of the equality here is very rough; for more precise bounds one should decompose it with ditgpos 25364 first and use the equality theorems for df-itg 25131.) (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
ditgeq3 (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 = ⨜[𝐴𝐵]𝐸 d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem ditgeq3
StepHypRef Expression
1 ioossre 13381 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
2 ssralv 4049 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐷 = 𝐸))
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐷 = 𝐸)
4 itgeq2 25286 . . . 4 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐷 = 𝐸 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐸 d𝑥)
53, 4syl 17 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐸 d𝑥)
6 ioossre 13381 . . . . . 6 (𝐵(,)𝐴) ⊆ ℝ
7 ssralv 4049 . . . . . 6 ((𝐵(,)𝐴) ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴)𝐷 = 𝐸))
86, 7ax-mp 5 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴)𝐷 = 𝐸)
9 itgeq2 25286 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴)𝐷 = 𝐸 → ∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
108, 9syl 17 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
1110negeqd 11450 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → -∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = -∫(𝐵(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
125, 11ifeq12d 4548 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → if(𝐴𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑥) = if(𝐴𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐸 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐸 d𝑥))
13 df-ditg 25355 . 2 ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 = if(𝐴𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑥)
14 df-ditg 25355 . 2 ⨜[𝐴𝐵]𝐸 d𝑥 = if(𝐴𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐸 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
1512, 13, 143eqtr4g 2797 1 (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 = ⨜[𝐴𝐵]𝐸 d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wral 3061  wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  cr 11105  cle 11245  -cneg 11441  (,)cioo 13320  citg 25126  cdit 25354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-ioo 13324  df-fz 13481  df-seq 13963  df-sum 15629  df-itg 25131  df-ditg 25355
This theorem is referenced by:  ditgeq3dv  25359
  Copyright terms: Public domain W3C validator