Theorem ditgeq3 25835

Description: Equality theorem for the directed integral. (The domain of the equality here is very rough; for more precise bounds one should decompose it with ditgpos 25841 first and use the equality theorems for df-itg 25608.) (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ditgeq3	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐸 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem ditgeq3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossre 13351	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
2		ssralv 3983	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐷 = 𝐸))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐷 = 𝐸)
4		itgeq2 25763	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐷 = 𝐸 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐸 d𝑥)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐸 d𝑥)
6		ioossre 13351	. . . . . 6 ⊢ (𝐵(,)𝐴) ⊆ ℝ
7		ssralv 3983	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵(,)𝐴) ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴)𝐷 = 𝐸))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴)𝐷 = 𝐸)
9		itgeq2 25763	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴)𝐷 = 𝐸 → ∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
11	10	negeqd 11378	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → -∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = -∫(𝐵(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
12	5, 11	ifeq12d 4476	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑥) = if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐸 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐸 d𝑥))
13		df-ditg 25832	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑥)
14		df-ditg 25832	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐸 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐸 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
15	12, 13, 14	3eqtr4g 2799	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐸 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547  ∀wral 3053   ⊆ wss 3883  ifcif 4454   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356  ℝcr 11028   ≤ cle 11171  -cneg 11369  (,)cioo 13289  ∫citg 25603  ⨜cdit 25831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-ioo 13293  df-fz 13453  df-seq 13955  df-sum 15640  df-itg 25608  df-ditg 25832

This theorem is referenced by:  ditgeq3dv  25836