Theorem ditgeq3 25840

Description: Equality theorem for the directed integral. (The domain of the equality here is very rough; for more precise bounds one should decompose it with ditgpos 25846 first and use the equality theorems for df-itg 25613.) (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ditgeq3	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐸 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem ditgeq3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossre 13431	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
2		ssralv 4034	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐷 = 𝐸))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐷 = 𝐸)
4		itgeq2 25768	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐷 = 𝐸 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐸 d𝑥)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐸 d𝑥)
6		ioossre 13431	. . . . . 6 ⊢ (𝐵(,)𝐴) ⊆ ℝ
7		ssralv 4034	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵(,)𝐴) ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴)𝐷 = 𝐸))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴)𝐷 = 𝐸)
9		itgeq2 25768	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐴)𝐷 = 𝐸 → ∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
11	10	negeqd 11485	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → -∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑥 = -∫(𝐵(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
12	5, 11	ifeq12d 4529	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑥) = if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐸 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐸 d𝑥))
13		df-ditg 25837	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐷 d𝑥)
14		df-ditg 25837	. 2 ⊢ ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐸 d𝑥 = if(𝐴 ≤ 𝐵, ∫(𝐴(,)𝐵)𝐸 d𝑥, -∫(𝐵(,)𝐴)𝐸 d𝑥)
15	12, 13, 14	3eqtr4g 2794	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ 𝐷 = 𝐸 → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐸 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  ∀wral 3050   ⊆ wss 3933  ifcif 4507   class class class wbr 5125  (class class class)co 7414  ℝcr 11137   ≤ cle 11279  -cneg 11476  (,)cioo 13370  ∫citg 25608  ⨜cdit 25836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-ioo 13374  df-fz 13531  df-seq 14026  df-sum 15706  df-itg 25613  df-ditg 25837

This theorem is referenced by:  ditgeq3dv  25841