Theorem ditgneg 24926

Description: Value of the directed integral in the backward direction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgpos.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ditgneg.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ditgneg.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ditgneg	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ditgneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgpos.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2	1	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
3		ditgneg.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ditgneg.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	3, 4	letri3d 11047	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
6	2, 5	bitr4d 281	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵))
7		ditg0 24922	. . . . 5 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐵]𝐶 d𝑥 = 0
8		neg0 11197	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
9	7, 8	eqtr4i 2769	. . . 4 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐵]𝐶 d𝑥 = -0
10		ditgeq2 24918	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐵]𝐶 d𝑥)
11		oveq1 7262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = (𝐵(,)𝐵))
12		iooid 13036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵(,)𝐵) = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
14		itgeq1 24842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫∅𝐶 d𝑥)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫∅𝐶 d𝑥)
16		itg0 24849	. . . . . 6 ⊢ ∫∅𝐶 d𝑥 = 0
17	15, 16	eqtrdi 2795	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = 0)
18	17	negeqd 11145	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = -0)
19	9, 10, 18	3eqtr4a 2805	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
20	6, 19	syl6bi 252	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥))
21		df-ditg 24916	. . 3 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = if(𝐵 ≤ 𝐴, ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
22		iffalse 4465	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → if(𝐵 ≤ 𝐴, ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥) = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
23	21, 22	syl5eq 2791	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
24	20, 23	pm2.61d1 180	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∅c0 4253  ifcif 4456   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802   ≤ cle 10941  -cneg 11136  (,)cioo 13008  ∫citg 24687  ⨜cdit 24915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xadd 12778  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-xmet 20503  df-met 20504  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688  df-itg1 24689  df-itg2 24690  df-itg 24692  df-0p 24739  df-ditg 24916

This theorem is referenced by:  ditgcl  24927  ditgswap  24928