Theorem ditgneg 25812

Description: Value of the directed integral in the backward direction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgpos.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ditgneg.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ditgneg.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ditgneg	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ditgneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgpos.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2	1	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
3		ditgneg.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ditgneg.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	3, 4	letri3d 11273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
6	2, 5	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵))
7		ditg0 25808	. . . . 5 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐵]𝐶 d𝑥 = 0
8		neg0 11425	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
9	7, 8	eqtr4i 2760	. . . 4 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐵]𝐶 d𝑥 = -0
10		ditgeq2 25804	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐵]𝐶 d𝑥)
11		oveq1 7363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = (𝐵(,)𝐵))
12		iooid 13287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵(,)𝐵) = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2785	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
14		itgeq1 25728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫∅𝐶 d𝑥)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫∅𝐶 d𝑥)
16		itg0 25735	. . . . . 6 ⊢ ∫∅𝐶 d𝑥 = 0
17	15, 16	eqtrdi 2785	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = 0)
18	17	negeqd 11372	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = -0)
19	9, 10, 18	3eqtr4a 2795	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
20	6, 19	biimtrdi 253	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥))
21		df-ditg 25802	. . 3 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = if(𝐵 ≤ 𝐴, ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
22		iffalse 4486	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → if(𝐵 ≤ 𝐴, ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥) = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
23	21, 22	eqtrid 2781	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
24	20, 23	pm2.61d1 180	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4283  ifcif 4477   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024   ≤ cle 11165  -cneg 11363  (,)cioo 13259  ∫citg 25573  ⨜cdit 25801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-disj 5064  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xadd 13025  df-ioo 13263  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-sum 15608  df-xmet 21300  df-met 21301  df-ovol 25419  df-vol 25420  df-mbf 25574  df-itg1 25575  df-itg2 25576  df-itg 25578  df-0p 25625  df-ditg 25802

This theorem is referenced by:  ditgcl  25813  ditgswap  25814