Theorem ditgneg 25907

Description: Value of the directed integral in the backward direction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgpos.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ditgneg.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ditgneg.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ditgneg	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ditgneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgpos.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2	1	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
3		ditgneg.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ditgneg.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	3, 4	letri3d 11401	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
6	2, 5	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵))
7		ditg0 25903	. . . . 5 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐵]𝐶 d𝑥 = 0
8		neg0 11553	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
9	7, 8	eqtr4i 2766	. . . 4 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐵]𝐶 d𝑥 = -0
10		ditgeq2 25899	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐵]𝐶 d𝑥)
11		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = (𝐵(,)𝐵))
12		iooid 13412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵(,)𝐵) = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2791	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
14		itgeq1 25823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫∅𝐶 d𝑥)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫∅𝐶 d𝑥)
16		itg0 25830	. . . . . 6 ⊢ ∫∅𝐶 d𝑥 = 0
17	15, 16	eqtrdi 2791	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = 0)
18	17	negeqd 11500	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = -0)
19	9, 10, 18	3eqtr4a 2801	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
20	6, 19	biimtrdi 253	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥))
21		df-ditg 25897	. . 3 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = if(𝐵 ≤ 𝐴, ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
22		iffalse 4540	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → if(𝐵 ≤ 𝐴, ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥) = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
23	21, 22	eqtrid 2787	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
24	20, 23	pm2.61d1 180	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∅c0 4339  ifcif 4531   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153   ≤ cle 11294  -cneg 11491  (,)cioo 13384  ∫citg 25667  ⨜cdit 25896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-xmet 21375  df-met 21376  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-itg1 25669  df-itg2 25670  df-itg 25672  df-0p 25719  df-ditg 25897

This theorem is referenced by:  ditgcl  25908  ditgswap  25909