MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ditgneg 25173
Description: Value of the directed integral in the backward direction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgpos.1 (𝜑𝐴𝐵)
ditgneg.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ditgneg.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ditgneg (𝜑 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ditgneg
StepHypRef Expression
1 ditgpos.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
21biantrurd 533 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
3 ditgneg.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 ditgneg.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
53, 4letri3d 11255 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
62, 5bitr4d 281 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐴𝐴 = 𝐵))
7 ditg0 25169 . . . . 5 ⨜[𝐵𝐵]𝐶 d𝑥 = 0
8 neg0 11405 . . . . 5 -0 = 0
97, 8eqtr4i 2768 . . . 4 ⨜[𝐵𝐵]𝐶 d𝑥 = -0
10 ditgeq2 25165 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = ⨜[𝐵𝐵]𝐶 d𝑥)
11 oveq1 7358 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = (𝐵(,)𝐵))
12 iooid 13246 . . . . . . . 8 (𝐵(,)𝐵) = ∅
1311, 12eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
14 itgeq1 25089 . . . . . . 7 ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫∅𝐶 d𝑥)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫∅𝐶 d𝑥)
16 itg0 25096 . . . . . 6 ∫∅𝐶 d𝑥 = 0
1715, 16eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = 0)
1817negeqd 11353 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = -0)
199, 10, 183eqtr4a 2803 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
206, 19syl6bi 252 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥))
21 df-ditg 25163 . . 3 ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = if(𝐵𝐴, ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
22 iffalse 4493 . . 3 𝐵𝐴 → if(𝐵𝐴, ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥) = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
2321, 22eqtrid 2789 . 2 𝐵𝐴 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
2420, 23pm2.61d1 180 1 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  c0 4280  ifcif 4484   class class class wbr 5103  (class class class)co 7351  cr 11008  0cc0 11009  cle 11148  -cneg 11344  (,)cioo 13218  citg 24934  cdit 25162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-disj 5069  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-ofr 7610  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-dju 9795  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xadd 12988  df-ioo 13222  df-ico 13224  df-icc 13225  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-fl 13651  df-seq 13861  df-exp 13922  df-hash 14185  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-clim 15330  df-sum 15531  df-xmet 20742  df-met 20743  df-ovol 24780  df-vol 24781  df-mbf 24935  df-itg1 24936  df-itg2 24937  df-itg 24939  df-0p 24986  df-ditg 25163
This theorem is referenced by:  ditgcl  25174  ditgswap  25175
  Copyright terms: Public domain W3C validator