MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ditgneg 24458
Description: Value of the directed integral in the backward direction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgpos.1 (𝜑𝐴𝐵)
ditgneg.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ditgneg.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ditgneg (𝜑 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ditgneg
StepHypRef Expression
1 ditgpos.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
21biantrurd 536 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
3 ditgneg.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 ditgneg.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
53, 4letri3d 10771 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
62, 5bitr4d 285 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐴𝐴 = 𝐵))
7 ditg0 24454 . . . . 5 ⨜[𝐵𝐵]𝐶 d𝑥 = 0
8 neg0 10921 . . . . 5 -0 = 0
97, 8eqtr4i 2848 . . . 4 ⨜[𝐵𝐵]𝐶 d𝑥 = -0
10 ditgeq2 24450 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = ⨜[𝐵𝐵]𝐶 d𝑥)
11 oveq1 7147 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = (𝐵(,)𝐵))
12 iooid 12754 . . . . . . . 8 (𝐵(,)𝐵) = ∅
1311, 12syl6eq 2873 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
14 itgeq1 24374 . . . . . . 7 ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫∅𝐶 d𝑥)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫∅𝐶 d𝑥)
16 itg0 24381 . . . . . 6 ∫∅𝐶 d𝑥 = 0
1715, 16syl6eq 2873 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = 0)
1817negeqd 10869 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = -0)
199, 10, 183eqtr4a 2883 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
206, 19syl6bi 256 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥))
21 df-ditg 24448 . . 3 ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = if(𝐵𝐴, ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
22 iffalse 4448 . . 3 𝐵𝐴 → if(𝐵𝐴, ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥) = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
2321, 22syl5eq 2869 . 2 𝐵𝐴 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
2420, 23pm2.61d1 183 1 (𝜑 → ⨜[𝐵𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  c0 4265  ifcif 4439   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  cr 10525  0cc0 10526  cle 10665  -cneg 10860  (,)cioo 12726  citg 24220  cdit 24447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-disj 5008  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-ofr 7395  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-sum 15034  df-xmet 20082  df-met 20083  df-ovol 24066  df-vol 24067  df-mbf 24221  df-itg1 24222  df-itg2 24223  df-itg 24225  df-0p 24272  df-ditg 24448
This theorem is referenced by:  ditgcl  24459  ditgswap  24460
  Copyright terms: Public domain W3C validator