Theorem ditgneg 26177

Description: Value of the directed integral in the backward direction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgpos.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ditgneg.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ditgneg.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ditgneg	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ditgneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgpos.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2	1	biantrurd 542	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
3		ditgneg.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ditgneg.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	3, 4	letri3d 11452	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
6	2, 5	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵))
7		ditg0 26173	. . . . 5 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐵]𝐶 d𝑥 = 0
8		neg0 11604	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
9	7, 8	eqtr4i 2786	. . . 4 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐵]𝐶 d𝑥 = -0
10		ditgeq2 26169	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐵]𝐶 d𝑥)
11		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = (𝐵(,)𝐵))
12		iooid 13504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵(,)𝐵) = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
14		itgeq1 26093	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫∅𝐶 d𝑥)
15	13, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫∅𝐶 d𝑥)
16		itg0 26100	. . . . . 6 ⊢ ∫∅𝐶 d𝑥 = 0
17	15, 16	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = 0)
18	17	negeqd 11551	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = -0)
19	9, 10, 18	3eqtr4a 2821	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
20	6, 19	biimtrdi 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥))
21		df-ditg 26167	. . 3 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = if(𝐵 ≤ 𝐴, ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
22		iffalse 4490	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → if(𝐵 ≤ 𝐴, ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥) = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
23	21, 22	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
24	20, 23	pm2.61d1 182	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∅c0 4278  ifcif 4481   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200   ≤ cle 11344   -cneg 11542  (,)cioo 13476  ∫citg 25939  ⨜cdit 26166

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xadd 13242  df-ioo 13480  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854  df-xmet 21671  df-met 21672  df-ovol 25785  df-vol 25786  df-mbf 25940  df-itg1 25941  df-itg2 25942  df-itg 25944  df-0p 25991  df-ditg 26167

This theorem is used by:  ditgcl  26178  ditgswap  26179