Theorem ditgneg 25791

Description: Value of the directed integral in the backward direction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgpos.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ditgneg.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ditgneg.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ditgneg	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ditgneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgpos.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2	1	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
3		ditgneg.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ditgneg.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	3, 4	letri3d 11261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
6	2, 5	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵))
7		ditg0 25787	. . . . 5 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐵]𝐶 d𝑥 = 0
8		neg0 11413	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
9	7, 8	eqtr4i 2757	. . . 4 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐵]𝐶 d𝑥 = -0
10		ditgeq2 25783	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = ⨜[𝐵 → 𝐵]𝐶 d𝑥)
11		oveq1 7359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = (𝐵(,)𝐵))
12		iooid 13279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵(,)𝐵) = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
14		itgeq1 25707	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫∅𝐶 d𝑥)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫∅𝐶 d𝑥)
16		itg0 25714	. . . . . 6 ⊢ ∫∅𝐶 d𝑥 = 0
17	15, 16	eqtrdi 2782	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = 0)
18	17	negeqd 11360	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = -0)
19	9, 10, 18	3eqtr4a 2792	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
20	6, 19	biimtrdi 253	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥))
21		df-ditg 25781	. . 3 ⊢ ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = if(𝐵 ≤ 𝐴, ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
22		iffalse 4483	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → if(𝐵 ≤ 𝐴, ∫(𝐵(,)𝐴)𝐶 d𝑥, -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥) = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
23	21, 22	eqtrid 2778	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)
24	20, 23	pm2.61d1 180	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐵 → 𝐴]𝐶 d𝑥 = -∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∅c0 4282  ifcif 4474   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℝcr 11011  0cc0 11012   ≤ cle 11153  -cneg 11351  (,)cioo 13251  ∫citg 25552  ⨜cdit 25780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9537  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090  ax-addf 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-disj 5061  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-ofr 7617  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9800  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-q 12853  df-rp 12897  df-xadd 13018  df-ioo 13255  df-ico 13257  df-icc 13258  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-fl 13702  df-seq 13915  df-exp 13975  df-hash 14244  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-clim 15401  df-sum 15600  df-xmet 21290  df-met 21291  df-ovol 25398  df-vol 25399  df-mbf 25553  df-itg1 25554  df-itg2 25555  df-itg 25557  df-0p 25604  df-ditg 25781

This theorem is referenced by:  ditgcl  25792  ditgswap  25793