Theorem idompropd 33344

Description: If two structures have the same components (properties), one is a integral domain iff the other one is. See also domnpropd 33343. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
domnpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
domnpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
domnpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
idompropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ IDomn ↔ 𝐿 ∈ IDomn))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem idompropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		domnpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		domnpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		domnpropd.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	crngpropd 20228	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ CRing ↔ 𝐿 ∈ CRing))
6	1, 2, 3, 4	domnpropd 33343	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Domn ↔ 𝐿 ∈ Domn))
7	5, 6	anbi12d 633	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ CRing ∧ 𝐾 ∈ Domn) ↔ (𝐿 ∈ CRing ∧ 𝐿 ∈ Domn)))
8		isidom 20660	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ IDomn ↔ (𝐾 ∈ CRing ∧ 𝐾 ∈ Domn))
9		isidom 20660	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ IDomn ↔ (𝐿 ∈ CRing ∧ 𝐿 ∈ Domn))
10	7, 8, 9	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ IDomn ↔ 𝐿 ∈ IDomn))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17137  +_gcplusg 17178  ._rcmulr 17179  CRingccrg 20173  Domncdomn 20627  IDomncidom 20628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-plusg 17191  df-0g 17362  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18870  df-cmn 19715  df-mgp 20080  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-nzr 20448  df-domn 20630  df-idom 20631

This theorem is referenced by:  sraidom  33732