Theorem domnprodn0 33249

Description: In a domain, a finite product of nonzero terms is nonzero. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnprodn0.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domnprodn0.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
domnprodn0.3	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domnprodn0.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
domnprodn0.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
domnprodn0	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )

Proof of Theorem domnprodn0

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnprodn0.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }))
2		oveq2 7360	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg ∅))
3	2	neeq1d 2988	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ))
4	3	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 → (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 )))
5		oveq2 7360	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg 𝑓))
6	5	neeq1d 2988	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ))
7	6	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 )))
8		oveq2 7360	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩) → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)))
9	8	neeq1d 2988	. . . 4 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩) → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 ))
10	9	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩) → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 )))
11		oveq2 7360	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg 𝐹))
12	11	neeq1d 2988	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 ))
13	12	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )))
14		domnprodn0.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
15		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
16	14, 15	ringidval 20103	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
17	16	gsum0 18594	. . . . 5 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑅)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑅))
19		domnprodn0.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
20		domnnzr 20623	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
21		domnprodn0.3	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
22	15, 21	nzrnz 20432	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
23	19, 20, 22	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
24	18, 23	eqnetrd 2996	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 )
25		domnring 20624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
26	14	ringmgp 20159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
27	19, 25, 26	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
28	27	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑀 ∈ Mnd)
29		difssd 4086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵)
30		sswrd 14431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → Word (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ Word 𝐵)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Word (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ Word 𝐵)
32	31	sselda 3930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑓 ∈ Word 𝐵)
33	32	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑓 ∈ Word 𝐵)
34		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
35	34	eldifad 3910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
36		domnprodn0.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
37	14, 36	mgpbas 20065	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
38		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
39	14, 38	mgpplusg 20064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
40	37, 39	gsumccatsn 18753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑓 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑥))
41	28, 33, 35, 40	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑥))
42	19	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
43	37	gsumwcl 18749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑓 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
44	28, 33, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
45		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 )
46		eldifsni 4741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
47	34, 46	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑥 ≠ 0 )
48	36, 38, 21	domnmuln0 20626	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑥) ≠ 0 )
49	42, 44, 45, 35, 47, 48	syl122anc 1381	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑥) ≠ 0 )
50	41, 49	eqnetrd 2996	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 )
51	50	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 ))
52	51	anasss 466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 ))
53	52	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 )))
54	53	a2d 29	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 )))
55	4, 7, 10, 13, 24, 54	wrdind 14631	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 ))
56	1, 55	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  {csn 4575  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Word cword 14422   ++ cconcat 14479  ⟨“cs1 14505  Basecbs 17122  ._rcmulr 17164  0_gc0g 17345   Σ_g cgsu 17346  Mndcmnd 18644  mulGrpcmgp 20060  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  NzRingcnzr 20429  Domncdomn 20609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-n0 12389  df-xnn0 12462  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-hash 14240  df-word 14423  df-lsw 14472  df-concat 14480  df-s1 14506  df-substr 14551  df-pfx 14581  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-nzr 20430  df-domn 20612

This theorem is referenced by:  dfufd2lem  33521