Theorem domnprodn0 33226

Description: In a domain, a finite product of nonzero terms is nonzero. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnprodn0.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domnprodn0.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
domnprodn0.3	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domnprodn0.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
domnprodn0.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
domnprodn0	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )

Proof of Theorem domnprodn0

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnprodn0.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }))
2		oveq2 7395	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg ∅))
3	2	neeq1d 2984	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ))
4	3	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 → (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 )))
5		oveq2 7395	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg 𝑓))
6	5	neeq1d 2984	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ))
7	6	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 )))
8		oveq2 7395	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩) → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)))
9	8	neeq1d 2984	. . . 4 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩) → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 ))
10	9	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩) → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 )))
11		oveq2 7395	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg 𝐹))
12	11	neeq1d 2984	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 ))
13	12	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )))
14		domnprodn0.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
16	14, 15	ringidval 20092	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
17	16	gsum0 18611	. . . . 5 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑅)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑅))
19		domnprodn0.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
20		domnnzr 20615	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
21		domnprodn0.3	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
22	15, 21	nzrnz 20424	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
23	19, 20, 22	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
24	18, 23	eqnetrd 2992	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 )
25		domnring 20616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
26	14	ringmgp 20148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
27	19, 25, 26	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
28	27	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑀 ∈ Mnd)
29		difssd 4100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵)
30		sswrd 14487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → Word (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ Word 𝐵)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Word (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ Word 𝐵)
32	31	sselda 3946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑓 ∈ Word 𝐵)
33	32	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑓 ∈ Word 𝐵)
34		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
35	34	eldifad 3926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
36		domnprodn0.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
37	14, 36	mgpbas 20054	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
38		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
39	14, 38	mgpplusg 20053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
40	37, 39	gsumccatsn 18770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑓 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑥))
41	28, 33, 35, 40	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑥))
42	19	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
43	37	gsumwcl 18766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑓 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
44	28, 33, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
45		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 )
46		eldifsni 4754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
47	34, 46	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑥 ≠ 0 )
48	36, 38, 21	domnmuln0 20618	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑥) ≠ 0 )
49	42, 44, 45, 35, 47, 48	syl122anc 1381	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑥) ≠ 0 )
50	41, 49	eqnetrd 2992	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 )
51	50	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 ))
52	51	anasss 466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 ))
53	52	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 )))
54	53	a2d 29	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 )))
55	4, 7, 10, 13, 24, 54	wrdind 14687	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 ))
56	1, 55	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  {csn 4589  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Word cword 14478   ++ cconcat 14535  ⟨“cs1 14560  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  Mndcmnd 18661  mulGrpcmgp 20049  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  NzRingcnzr 20421  Domncdomn 20601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-word 14479  df-lsw 14528  df-concat 14536  df-s1 14561  df-substr 14606  df-pfx 14636  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-nzr 20422  df-domn 20604

This theorem is referenced by:  dfufd2lem  33520