Theorem domnprodn0 33726

Description: In a domain, a finite product of nonzero terms is nonzero. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnprodn0.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domnprodn0.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
domnprodn0.3	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domnprodn0.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
domnprodn0.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
domnprodn0	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )

Proof of Theorem domnprodn0

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnprodn0.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }))
2		oveq2 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg ∅))
3	2	neeq1d 3016	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ))
4	3	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 → (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 )))
5		oveq2 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg 𝑓))
6	5	neeq1d 3016	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ))
7	6	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 )))
8		oveq2 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩) → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)))
9	8	neeq1d 3016	. . . 4 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩) → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 ))
10	9	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩) → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 )))
11		oveq2 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg 𝐹))
12	11	neeq1d 3016	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 ))
13	12	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )))
14		domnprodn0.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
15		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
16	14, 15	ringidval 20328	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
17	16	gsum0 18792	. . . . 5 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑅)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑅))
19		domnprodn0.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
20		domnnzr 20874	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
21		domnprodn0.3	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
22	15, 21	nzrnz 20681	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
23	19, 20, 22	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
24	18, 23	eqnetrd 3024	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 )
25		domnring 20875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
26	14	ringmgp 20384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
27	19, 25, 26	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
28	27	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑀 ∈ Mnd)
29		difssd 4087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵)
30		sswrd 14591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → Word (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ Word 𝐵)
31	29, 30	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Word (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ Word 𝐵)
32	31	sselda 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑓 ∈ Word 𝐵)
33	32	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑓 ∈ Word 𝐵)
34		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
35	34	eldifad 3914	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
36		domnprodn0.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
37	14, 36	mgpbas 20284	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
38		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
39	14, 38	mgpplusg 20283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
40	37, 39	gsumccatsn 18958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑓 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑥))
41	28, 33, 35, 40	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑥))
42	19	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
43	37	gsumwcl 18954	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑓 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
44	28, 33, 43	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
45		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 )
46		eldifsni 4756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
47	34, 46	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑥 ≠ 0 )
48	36, 38, 21	domnmuln0 20877	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑥) ≠ 0 )
49	42, 44, 45, 35, 47, 48	syl122anc 1406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑥) ≠ 0 )
50	41, 49	eqnetrd 3024	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 )
51	50	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 ))
52	51	anasss 472	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 ))
53	52	expcom 419	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 )))
54	53	a2d 30	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 )))
55	4, 7, 10, 13, 24, 54	wrdind 14795	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 ))
56	1, 55	mpcom 39	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Word cword 14582   ++ cconcat 14639  ⟨“cs1 14666  Basecbs 17307  ._rcmulr 17349  0_gc0g 17530   Σ_g cgsu 17531  Mndcmnd 18842  mulGrpcmgp 20279  1_rcur 20326  Ringcrg 20378  NzRingcnzr 20678  Domncdomn 20860

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-word 14583  df-lsw 14632  df-concat 14640  df-s1 14667  df-substr 14713  df-pfx 14745  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-nzr 20679  df-domn 20863

This theorem is used by:  dfufd2lem  33967