Theorem domnprodn0 33357

Description: In a domain, a finite product of nonzero terms is nonzero. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnprodn0.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domnprodn0.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
domnprodn0.3	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domnprodn0.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
domnprodn0.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
domnprodn0	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )

Proof of Theorem domnprodn0

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnprodn0.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }))
2		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg ∅))
3	2	neeq1d 2991	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ))
4	3	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 → (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 )))
5		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg 𝑓))
6	5	neeq1d 2991	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ))
7	6	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 )))
8		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩) → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)))
9	8	neeq1d 2991	. . . 4 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩) → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 ))
10	9	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩) → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 )))
11		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg 𝐹))
12	11	neeq1d 2991	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 ))
13	12	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )))
14		domnprodn0.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
15		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
16	14, 15	ringidval 20118	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
17	16	gsum0 18609	. . . . 5 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑅)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑅))
19		domnprodn0.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
20		domnnzr 20639	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
21		domnprodn0.3	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
22	15, 21	nzrnz 20448	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
23	19, 20, 22	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
24	18, 23	eqnetrd 2999	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 )
25		domnring 20640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
26	14	ringmgp 20174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
27	19, 25, 26	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
28	27	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑀 ∈ Mnd)
29		difssd 4089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵)
30		sswrd 14445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → Word (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ Word 𝐵)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Word (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ Word 𝐵)
32	31	sselda 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑓 ∈ Word 𝐵)
33	32	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑓 ∈ Word 𝐵)
34		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
35	34	eldifad 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
36		domnprodn0.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
37	14, 36	mgpbas 20080	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
38		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
39	14, 38	mgpplusg 20079	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
40	37, 39	gsumccatsn 18768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑓 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑥))
41	28, 33, 35, 40	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑥))
42	19	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
43	37	gsumwcl 18764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑓 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
44	28, 33, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
45		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 )
46		eldifsni 4746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
47	34, 46	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑥 ≠ 0 )
48	36, 38, 21	domnmuln0 20642	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑥) ≠ 0 )
49	42, 44, 45, 35, 47, 48	syl122anc 1381	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑥) ≠ 0 )
50	41, 49	eqnetrd 2999	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 )
51	50	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 ))
52	51	anasss 466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 ))
53	52	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 )))
54	53	a2d 29	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 )))
55	4, 7, 10, 13, 24, 54	wrdind 14645	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 ))
56	1, 55	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  {csn 4580  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Word cword 14436   ++ cconcat 14493  ⟨“cs1 14519  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359   Σ_g cgsu 17360  Mndcmnd 18659  mulGrpcmgp 20075  1_rcur 20116  Ringcrg 20168  NzRingcnzr 20445  Domncdomn 20625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-word 14437  df-lsw 14486  df-concat 14494  df-s1 14520  df-substr 14565  df-pfx 14595  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-nzr 20446  df-domn 20628

This theorem is referenced by:  dfufd2lem  33630