Theorem domnprodn0 33915

Description: In a domain, a finite product of nonzero terms is nonzero. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnprodn0.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domnprodn0.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
domnprodn0.3	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domnprodn0.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
domnprodn0.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
domnprodn0	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )

Proof of Theorem domnprodn0

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnprodn0.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }))
2		oveq2 7454	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg ∅))
3	2	neeq1d 3018	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ))
4	3	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 → (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 )))
5		oveq2 7454	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg 𝑓))
6	5	neeq1d 3018	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ))
7	6	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 )))
8		oveq2 7454	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩) → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)))
9	8	neeq1d 3018	. . . 4 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩) → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 ))
10	9	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩) → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 )))
11		oveq2 7454	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg 𝐹))
12	11	neeq1d 3018	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 ))
13	12	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )))
14		domnprodn0.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
15		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
16	14, 15	ringidval 20442	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
17	16	gsum0 18905	. . . . 5 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑅)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑅))
19		domnprodn0.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
20		domnnzr 20991	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
21		domnprodn0.3	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
22	15, 21	nzrnz 20798	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
23	19, 20, 22	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
24	18, 23	eqnetrd 3026	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 )
25		domnring 20992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
26	14	ringmgp 20498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
27	19, 25, 26	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
28	27	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑀 ∈ Mnd)
29		difssd 4076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵)
30		sswrd 14697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → Word (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ Word 𝐵)
31	29, 30	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Word (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ Word 𝐵)
32	31	sselda 3913	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑓 ∈ Word 𝐵)
33	32	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑓 ∈ Word 𝐵)
34		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
35	34	eldifad 4054	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
36		domnprodn0.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
37	14, 36	mgpbas 20398	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
38		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
39	14, 38	mgpplusg 20397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
40	37, 39	gsumccatsn 19071	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑓 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑥))
41	28, 33, 35, 40	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑥))
42	19	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
43	37	gsumwcl 19067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑓 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
44	28, 33, 43	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
45		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 )
46		eldifsni 4753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
47	34, 46	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → 𝑥 ≠ 0 )
48	36, 38, 21	domnmuln0 20994	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑥) ≠ 0 )
49	42, 44, 45, 35, 47, 48	syl122anc 1407	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑥) ≠ 0 )
50	41, 49	eqnetrd 3026	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 )
51	50	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 ))
52	51	anasss 472	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 ))
53	52	expcom 419	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 )))
54	53	a2d 30	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝜑 → (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑥”⟩)) ≠ 0 )))
55	4, 7, 10, 13, 24, 54	wrdind 14902	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }) → (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 ))
56	1, 55	mpcom 39	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  {csn 4588  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Word cword 14688   ++ cconcat 14745  ⟨“cs1 14772  Basecbs 17419  ._rcmulr 17461  0_gc0g 17642   Σ_g cgsu 17643  Mndcmnd 18955  mulGrpcmgp 20393  1_rcur 20440  Ringcrg 20492  NzRingcnzr 20795  Domncdomn 20977

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-n0 12637  df-xnn0 12710  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-hash 14505  df-word 14689  df-lsw 14738  df-concat 14746  df-s1 14773  df-substr 14820  df-pfx 14852  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-nzr 20796  df-domn 20980

This theorem is used by:  dfufd2lem  34165