Theorem dvdsadd 16223

Description: An integer divides another iff it divides their sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsadd	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ (𝑀 + 𝑁)))

Proof of Theorem dvdsadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		zaddcl 12522	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		iddvds 16190	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∥ 𝑀)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ 𝑀)
6		zcn 12483	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
7		zcn 12483	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
8		pncan 11376	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
9	6, 7, 8	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
10	5, 9	breqtrrd 5123	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
11		dvdssub2 16222	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∥ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)) → (𝑀 ∥ (𝑀 + 𝑁) ↔ 𝑀 ∥ 𝑁))
12	1, 2, 3, 10, 11	syl31anc 1375	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝑀 + 𝑁) ↔ 𝑀 ∥ 𝑁))
13	12	bicomd 223	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ (𝑀 + 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  ℂcc 11014   + caddc 11019   − cmin 11354  ℤcz 12478   ∥ cdvds 16173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-n0 12392  df-z 12479  df-dvds 16174

This theorem is referenced by:  dvdsaddr  16224  dvdssub  16225  dvdssubr  16226  oddp1even  16265  dec5dvds2  16987  lgsdir2lem2  27274  acongrep  43087  acongeq  43090