MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddp1even Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddp1even 16226
Description: An integer is odd iff its successor is even. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
oddp1even (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem oddp1even
StepHypRef Expression
1 oddm1even 16225 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
2 2z 12535 . . 3 2 ∈ ℤ
3 peano2zm 12546 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4 dvdsadd 16184 . . 3 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ 2 ∥ (2 + (𝑁 − 1))))
52, 3, 4sylancr 587 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ 2 ∥ (2 + (𝑁 − 1))))
6 2cnd 12231 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
7 zcn 12504 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
8 1cnd 11150 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
96, 7, 8addsub12d 11535 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (2 + (𝑁 − 1)) = (𝑁 + (2 − 1)))
10 2m1e1 12279 . . . . 5 (2 − 1) = 1
1110oveq2i 7368 . . . 4 (𝑁 + (2 − 1)) = (𝑁 + 1)
129, 11eqtrdi 2792 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (2 + (𝑁 − 1)) = (𝑁 + 1))
1312breq2d 5117 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ (2 + (𝑁 − 1)) ↔ 2 ∥ (𝑁 + 1)))
141, 5, 133bitrd 304 1 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wcel 2106   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  1c1 11052   + caddc 11054  cmin 11385  2c2 12208  cz 12499  cdvds 16136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-dvds 16137
This theorem is referenced by:  zeo5  16238  oddp1d2  16240  n2dvdsm1  16251  sumodd  16270  knoppndvlem10  34984  stirlinglem5  44309  fouriersw  44462  2dvdsoddp1  45838  0dig2nn0o  46689
  Copyright terms: Public domain W3C validator