MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdssub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdssub2 16117
Description: If an integer divides a difference, then it divides one term iff it divides the other. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdssub2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀𝑁)) → (𝐾𝑀𝐾𝑁))

Proof of Theorem dvdssub2
StepHypRef Expression
1 zsubcl 12475 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
213adant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
3 dvds2sub 16107 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾𝑀𝐾 ∥ (𝑀𝑁)) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀𝑁))))
42, 3syld3an3 1409 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾𝑀𝐾 ∥ (𝑀𝑁)) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀𝑁))))
54ancomsd 466 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀𝑁))))
65imp 407 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑀)) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀𝑁)))
7 zcn 12437 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
8 zcn 12437 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
9 nncan 11363 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 − (𝑀𝑁)) = 𝑁)
107, 8, 9syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − (𝑀𝑁)) = 𝑁)
11103adant1 1130 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − (𝑀𝑁)) = 𝑁)
1211adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑀)) → (𝑀 − (𝑀𝑁)) = 𝑁)
136, 12breqtrd 5129 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑀)) → 𝐾𝑁)
1413expr 457 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀𝑁)) → (𝐾𝑀𝐾𝑁))
15 dvds2add 16106 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝑀𝑁) + 𝑁)))
162, 15syld3an2 1411 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝑀𝑁) + 𝑁)))
1716imp 407 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑁)) → 𝐾 ∥ ((𝑀𝑁) + 𝑁))
18 npcan 11343 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
197, 8, 18syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
20193adant1 1130 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
2120adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑁)) → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
2217, 21breqtrd 5129 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑁)) → 𝐾𝑀)
2322expr 457 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀𝑁)) → (𝐾𝑁𝐾𝑀))
2414, 23impbid 211 1 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀𝑁)) → (𝐾𝑀𝐾𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5103  (class class class)co 7349  cc 10982   + caddc 10987  cmin 11318  cz 12432  cdvds 16070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-n0 12347  df-z 12433  df-dvds 16071
This theorem is referenced by:  dvdsadd  16118  3dvds  16147  bitsmod  16250  bitsinv1lem  16255  sylow2blem3  19333  znunit  20893  perfectlem1  26499  lgsqr  26621  lgsqrmodndvds  26623  2sqlem8  26696  poimirlem28  36001  jm2.20nn  41186
  Copyright terms: Public domain W3C validator