MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdssub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdssub2 16334
Description: If an integer divides a difference, then it divides one term iff it divides the other. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdssub2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀𝑁)) → (𝐾𝑀𝐾𝑁))

Proof of Theorem dvdssub2
StepHypRef Expression
1 zsubcl 12656 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
213adant1 1129 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
3 dvds2sub 16324 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾𝑀𝐾 ∥ (𝑀𝑁)) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀𝑁))))
42, 3syld3an3 1408 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾𝑀𝐾 ∥ (𝑀𝑁)) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀𝑁))))
54ancomsd 465 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀𝑁))))
65imp 406 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑀)) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀𝑁)))
7 zcn 12615 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
8 zcn 12615 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
9 nncan 11535 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 − (𝑀𝑁)) = 𝑁)
107, 8, 9syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − (𝑀𝑁)) = 𝑁)
11103adant1 1129 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − (𝑀𝑁)) = 𝑁)
1211adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑀)) → (𝑀 − (𝑀𝑁)) = 𝑁)
136, 12breqtrd 5173 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑀)) → 𝐾𝑁)
1413expr 456 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀𝑁)) → (𝐾𝑀𝐾𝑁))
15 dvds2add 16323 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝑀𝑁) + 𝑁)))
162, 15syld3an2 1410 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝑀𝑁) + 𝑁)))
1716imp 406 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑁)) → 𝐾 ∥ ((𝑀𝑁) + 𝑁))
18 npcan 11514 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
197, 8, 18syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
20193adant1 1129 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
2120adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑁)) → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
2217, 21breqtrd 5173 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀𝑁) ∧ 𝐾𝑁)) → 𝐾𝑀)
2322expr 456 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀𝑁)) → (𝐾𝑁𝐾𝑀))
2414, 23impbid 212 1 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀𝑁)) → (𝐾𝑀𝐾𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  cc 11150   + caddc 11155  cmin 11489  cz 12610  cdvds 16286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-dvds 16287
This theorem is referenced by:  dvdsadd  16335  3dvds  16364  bitsmod  16469  bitsinv1lem  16474  sylow2blem3  19654  znunit  21599  perfectlem1  27287  lgsqr  27409  lgsqrmodndvds  27411  2sqlem8  27484  poimirlem28  37634  jm2.20nn  42985
  Copyright terms: Public domain W3C validator