Theorem dvdssub2 16242

Description: If an integer divides a difference, then it divides one term iff it divides the other. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssub2	⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁)) → (𝐾 ∥ 𝑀 ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem dvdssub2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 12547	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
2	1	3adant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
3		dvds2sub 16232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁)) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀 − 𝑁))))
4	2, 3	syld3an3 1412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁)) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀 − 𝑁))))
5	4	ancomsd 465	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑀) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀 − 𝑁))))
6	5	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑀)) → 𝐾 ∥ (𝑀 − (𝑀 − 𝑁)))
7		zcn 12507	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
8		zcn 12507	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
9		nncan 11424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 − (𝑀 − 𝑁)) = 𝑁)
10	7, 8, 9	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − (𝑀 − 𝑁)) = 𝑁)
11	10	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − (𝑀 − 𝑁)) = 𝑁)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑀)) → (𝑀 − (𝑀 − 𝑁)) = 𝑁)
13	6, 12	breqtrd 5126	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑀)) → 𝐾 ∥ 𝑁)
14	13	expr 456	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁)) → (𝐾 ∥ 𝑀 → 𝐾 ∥ 𝑁))
15		dvds2add 16231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁)))
16	2, 15	syld3an2 1414	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁)))
17	16	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) → 𝐾 ∥ ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁))
18		npcan 11403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
19	7, 8, 18	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
20	19	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) → ((𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
22	17, 21	breqtrd 5126	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) → 𝐾 ∥ 𝑀)
23	22	expr 456	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁)) → (𝐾 ∥ 𝑁 → 𝐾 ∥ 𝑀))
24	14, 23	impbid 212	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁)) → (𝐾 ∥ 𝑀 ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7370  ℂcc 11038   + caddc 11043   − cmin 11378  ℤcz 12502   ∥ cdvds 16193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-dvds 16194

This theorem is referenced by:  dvdsadd  16243  3dvds  16272  bitsmod  16377  bitsinv1lem  16382  sylow2blem3  19568  znunit  21535  perfectlem1  27213  lgsqr  27335  lgsqrmodndvds  27337  2sqlem8  27410  poimirlem28  37928  jm2.20nn  43383