MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec5dvds2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dec5dvds2 15976
Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec5dvds.1 𝐴 ∈ ℕ0
dec5dvds.2 𝐵 ∈ ℕ
dec5dvds.3 𝐵 < 5
dec5dvds2.4 (5 + 𝐵) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
dec5dvds2 ¬ 5 ∥ 𝐴𝐶

Proof of Theorem dec5dvds2
StepHypRef Expression
1 dec5dvds.1 . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
2 dec5dvds.2 . . 3 𝐵 ∈ ℕ
3 dec5dvds.3 . . 3 𝐵 < 5
41, 2, 3dec5dvds 15975 . 2 ¬ 5 ∥ 𝐴𝐵
5 5nn0 11514 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
65nn0zi 11604 . . . 4 5 ∈ ℤ
72nnnn0i 11502 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
81, 7deccl 11714 . . . . 5 𝐴𝐵 ∈ ℕ0
98nn0zi 11604 . . . 4 𝐴𝐵 ∈ ℤ
10 dvdsadd 15233 . . . 4 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵 ∈ ℤ) → (5 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 5 ∥ (5 + 𝐴𝐵)))
116, 9, 10mp2an 672 . . 3 (5 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 5 ∥ (5 + 𝐴𝐵))
12 0nn0 11509 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
135dec0h 11724 . . . . 5 5 = 05
14 eqid 2771 . . . . 5 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵
151nn0cni 11506 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
1615addid2i 10426 . . . . 5 (0 + 𝐴) = 𝐴
17 dec5dvds2.4 . . . . 5 (5 + 𝐵) = 𝐶
1812, 5, 1, 7, 13, 14, 16, 17decadd 11771 . . . 4 (5 + 𝐴𝐵) = 𝐴𝐶
1918breq2i 4794 . . 3 (5 ∥ (5 + 𝐴𝐵) ↔ 5 ∥ 𝐴𝐶)
2011, 19bitri 264 . 2 (5 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 5 ∥ 𝐴𝐶)
214, 20mtbi 311 1 ¬ 5 ∥ 𝐴𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  0cc0 10138   + caddc 10141   < clt 10276  cn 11222  5c5 11275  0cn0 11494  cz 11579  cdc 11695  cdvds 15189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190
This theorem is referenced by:  37prm  16035  139prm  16038  317prm  16040  257prm  42001  139prmALT  42039  127prm  42043
  Copyright terms: Public domain W3C validator