Theorem dec5dvds2 17043

Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec5dvds.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dec5dvds.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ
dec5dvds.3	⊢ 𝐵 < 5
dec5dvds2.4	⊢ (5 + 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dec5dvds2	⊢ ¬ 5 ∥ ;𝐴𝐶

Proof of Theorem dec5dvds2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dec5dvds.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dec5dvds.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
3		dec5dvds.3	. . 3 ⊢ 𝐵 < 5
4	1, 2, 3	dec5dvds 17042	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;𝐴𝐵
5		5nn0 12469	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
6	5	nn0zi 12565	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℤ
7	2	nnnn0i 12457	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
8	1, 7	deccl 12671	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 12565	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℤ
10		dvdsadd 16279	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ ;𝐴𝐵 ∈ ℤ) → (5 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 5 ∥ (5 + ;𝐴𝐵)))
11	6, 9, 10	mp2an 692	. . 3 ⊢ (5 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 5 ∥ (5 + ;𝐴𝐵))
12		0nn0 12464	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	5	dec0h 12678	. . . . 5 ⊢ 5 = ;05
14		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 = ;𝐴𝐵
15	1	nn0cni 12461	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
16	15	addlidi 11369	. . . . 5 ⊢ (0 + 𝐴) = 𝐴
17		dec5dvds2.4	. . . . 5 ⊢ (5 + 𝐵) = 𝐶
18	12, 5, 1, 7, 13, 14, 16, 17	decadd 12710	. . . 4 ⊢ (5 + ;𝐴𝐵) = ;𝐴𝐶
19	18	breq2i 5118	. . 3 ⊢ (5 ∥ (5 + ;𝐴𝐵) ↔ 5 ∥ ;𝐴𝐶)
20	11, 19	bitri 275	. 2 ⊢ (5 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 5 ∥ ;𝐴𝐶)
21	4, 20	mtbi 322	1 ⊢ ¬ 5 ∥ ;𝐴𝐶

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  0cc0 11075   + caddc 11078   < clt 11215  ℕcn 12193  5c5 12251  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ;cdc 12656   ∥ cdvds 16229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230

This theorem is referenced by:  37prm  17098  139prm  17101  317prm  17103  257prm  47566  139prmALT  47601  127prm  47604