Theorem dec5dvds2 16173

Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec5dvds.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dec5dvds.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ
dec5dvds.3	⊢ 𝐵 < 5
dec5dvds2.4	⊢ (5 + 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dec5dvds2	⊢ ¬ 5 ∥ ;𝐴𝐶

Proof of Theorem dec5dvds2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dec5dvds.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dec5dvds.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
3		dec5dvds.3	. . 3 ⊢ 𝐵 < 5
4	1, 2, 3	dec5dvds 16172	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;𝐴𝐵
5		5nn0 11664	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
6	5	nn0zi 11754	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℤ
7	2	nnnn0i 11651	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
8	1, 7	deccl 11860	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 11754	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℤ
10		dvdsadd 15431	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ ;𝐴𝐵 ∈ ℤ) → (5 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 5 ∥ (5 + ;𝐴𝐵)))
11	6, 9, 10	mp2an 682	. . 3 ⊢ (5 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 5 ∥ (5 + ;𝐴𝐵))
12		0nn0 11659	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	5	dec0h 11868	. . . . 5 ⊢ 5 = ;05
14		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 = ;𝐴𝐵
15	1	nn0cni 11655	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
16	15	addid2i 10564	. . . . 5 ⊢ (0 + 𝐴) = 𝐴
17		dec5dvds2.4	. . . . 5 ⊢ (5 + 𝐵) = 𝐶
18	12, 5, 1, 7, 13, 14, 16, 17	decadd 11900	. . . 4 ⊢ (5 + ;𝐴𝐵) = ;𝐴𝐶
19	18	breq2i 4894	. . 3 ⊢ (5 ∥ (5 + ;𝐴𝐵) ↔ 5 ∥ ;𝐴𝐶)
20	11, 19	bitri 267	. 2 ⊢ (5 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 5 ∥ ;𝐴𝐶)
21	4, 20	mtbi 314	1 ⊢ ¬ 5 ∥ ;𝐴𝐶

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 198   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  0cc0 10272   + caddc 10275   < clt 10411  ℕcn 11374  5c5 11433  ℕ₀cn0 11642  ℤcz 11728  ;cdc 11845   ∥ cdvds 15387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-dvds 15388

This theorem is referenced by:  37prm  16226  139prm  16229  317prm  16231  257prm  42494  139prmALT  42532  127prm  42536