MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgsoddprmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgsoddprmlem2 26912
Description: Lemma 2 for 2lgsoddprm 26919. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgsoddprmlem2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” 2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8)))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem2
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 8nn 12307 . . . . . 6 8 โˆˆ โ„•
2 nnrp 12985 . . . . . 6 (8 โˆˆ โ„• โ†’ 8 โˆˆ โ„+)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 8 โˆˆ โ„+
4 eqcom 2740 . . . . . 6 (๐‘… = (๐‘ mod 8) โ†” (๐‘ mod 8) = ๐‘…)
5 modmuladdim 13879 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 8 โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ mod 8) = ๐‘… โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘˜ ยท 8) + ๐‘…)))
64, 5biimtrid 241 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 8 โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘… = (๐‘ mod 8) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘˜ ยท 8) + ๐‘…)))
73, 6mpan2 690 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘… = (๐‘ mod 8) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘˜ ยท 8) + ๐‘…)))
87imp 408 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘˜ ยท 8) + ๐‘…))
983adant2 1132 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘˜ ยท 8) + ๐‘…))
10 zcn 12563 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
11 8cn 12309 . . . . . . . . 9 8 โˆˆ โ„‚
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ 8 โˆˆ โ„‚)
1310, 12mulcomd 11235 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜ ยท 8) = (8 ยท ๐‘˜))
1413adantl 483 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜ ยท 8) = (8 ยท ๐‘˜))
1514oveq1d 7424 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘˜ ยท 8) + ๐‘…) = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…))
1615eqeq2d 2744 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ = ((๐‘˜ ยท 8) + ๐‘…) โ†” ๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…)))
17 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1817adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
19 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 8 โˆˆ โ„•)
2119, 20zmodcld 13857 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ mod 8) โˆˆ โ„•0)
2221nn0zd 12584 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ mod 8) โˆˆ โ„ค)
23223ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (๐‘ mod 8) โˆˆ โ„ค)
24 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… = (๐‘ mod 8) โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ mod 8) โˆˆ โ„ค))
25243ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ mod 8) โˆˆ โ„ค))
2623, 25mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
2726adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
2827adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
29 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…)) โ†’ ๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…))
30 2lgsoddprmlem1 26911 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…)) โ†’ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) + (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8)))
3118, 28, 29, 30syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…)) โ†’ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) + (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8)))
3231breq2d 5161 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…)) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” 2 โˆฅ (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) + (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8))))
33 2z 12594 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
34 simp1 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
351a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ 8 โˆˆ โ„•)
3634, 35zmodcld 13857 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (๐‘ mod 8) โˆˆ โ„•0)
3736nn0red 12533 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (๐‘ mod 8) โˆˆ โ„)
38 eleq1 2822 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… = (๐‘ mod 8) โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„ โ†” (๐‘ mod 8) โˆˆ โ„))
39383ad2ant3 1136 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„ โ†” (๐‘ mod 8) โˆˆ โ„))
4037, 39mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
41 resqcl 14089 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘…โ†‘2) โˆˆ โ„)
42 peano2rem 11527 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘…โ†‘2) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
44 8re 12308 . . . . . . . . . . 11 8 โˆˆ โ„
4544a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ โ„ โ†’ 8 โˆˆ โ„)
46 8pos 12324 . . . . . . . . . . . 12 0 < 8
4744, 46gt0ne0ii 11750 . . . . . . . . . . 11 8 โ‰  0
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ โ„ โ†’ 8 โ‰  0)
4943, 45, 48redivcld 12042 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โˆˆ โ„)
5040, 49syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โˆˆ โ„)
5150adantr 482 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โˆˆ โ„)
52 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… = (๐‘ mod 8) โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ mod 8) โˆˆ โ„•0))
53523ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ mod 8) โˆˆ โ„•0))
5436, 53mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•0)
55 nn0z 12583 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
561nnzi 12586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 โˆˆ โ„ค
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ 8 โˆˆ โ„ค)
58 zsqcl 14094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
5958adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
6057, 59zmulcld 12672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
6133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
62 zmulcl 12611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ค)
6362ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ค)
6461, 63zmulcld 12672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…)) โˆˆ โ„ค)
6560, 64zaddcld 12670 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) โˆˆ โ„ค)
66 4z 12596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 โˆˆ โ„ค
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ 4 โˆˆ โ„ค)
6867, 59zmulcld 12672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (4 ยท (๐‘˜โ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
6968, 63zaddcld 12670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((4 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (๐‘˜ ยท ๐‘…)) โˆˆ โ„ค)
7061, 69jca 513 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง ((4 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (๐‘˜ ยท ๐‘…)) โˆˆ โ„ค))
71 dvdsmul1 16221 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ((4 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (๐‘˜ ยท ๐‘…)) โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆฅ (2 ยท ((4 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (๐‘˜ ยท ๐‘…))))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆฅ (2 ยท ((4 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (๐‘˜ ยท ๐‘…))))
73 4t2e8 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 ยท 2) = 8
74 4cn 12297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 โˆˆ โ„‚
75 2cn 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 โˆˆ โ„‚
7674, 75mulcomi 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 ยท 2) = (2 ยท 4)
7773, 76eqtr3i 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 8 = (2 ยท 4)
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ 8 = (2 ยท 4))
7978oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) = ((2 ยท 4) ยท (๐‘˜โ†‘2)))
8075a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
8174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
8258zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8382adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8480, 81, 83mulassd 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท 4) ยท (๐‘˜โ†‘2)) = (2 ยท (4 ยท (๐‘˜โ†‘2))))
8579, 84eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) = (2 ยท (4 ยท (๐‘˜โ†‘2))))
8685oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) = ((2 ยท (4 ยท (๐‘˜โ†‘2))) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))))
8768zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (4 ยท (๐‘˜โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
8862zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
8988ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
9080, 87, 89adddid 11238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ((4 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (๐‘˜ ยท ๐‘…))) = ((2 ยท (4 ยท (๐‘˜โ†‘2))) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))))
9186, 90eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) = (2 ยท ((4 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (๐‘˜ ยท ๐‘…))))
9272, 91breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆฅ ((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))))
9365, 92jca 513 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…)))))
9493ex 414 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))))))
9555, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))))))
9654, 95syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))))))
9796imp 408 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…)))))
9897adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…)) โ†’ (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…)))))
99 dvdsaddre2b 16250 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โˆˆ โ„ โˆง (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))))) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” 2 โˆฅ (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) + (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8))))
10033, 51, 98, 99mp3an2ani 1469 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…)) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” 2 โˆฅ (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) + (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8))))
10132, 100bitr4d 282 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…)) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” 2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8)))
102101ex 414 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” 2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8))))
10316, 102sylbid 239 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ = ((๐‘˜ ยท 8) + ๐‘…) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” 2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8))))
104103rexlimdva 3156 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘˜ ยท 8) + ๐‘…) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” 2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8))))
1059, 104mpd 15 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” 2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  4c4 12269  8c8 12273  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„+crp 12974   mod cmo 13834  โ†‘cexp 14027   โˆฅ cdvds 16197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-dvds 16198
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem4  26918
  Copyright terms: Public domain W3C validator