MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgsoddprmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgsoddprmlem2 26760
Description: Lemma 2 for 2lgsoddprm 26767. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgsoddprmlem2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” 2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8)))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem2
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 8nn 12249 . . . . . 6 8 โˆˆ โ„•
2 nnrp 12927 . . . . . 6 (8 โˆˆ โ„• โ†’ 8 โˆˆ โ„+)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 8 โˆˆ โ„+
4 eqcom 2744 . . . . . 6 (๐‘… = (๐‘ mod 8) โ†” (๐‘ mod 8) = ๐‘…)
5 modmuladdim 13820 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 8 โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ mod 8) = ๐‘… โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘˜ ยท 8) + ๐‘…)))
64, 5biimtrid 241 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 8 โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘… = (๐‘ mod 8) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘˜ ยท 8) + ๐‘…)))
73, 6mpan2 690 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘… = (๐‘ mod 8) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘˜ ยท 8) + ๐‘…)))
87imp 408 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘˜ ยท 8) + ๐‘…))
983adant2 1132 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘˜ ยท 8) + ๐‘…))
10 zcn 12505 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
11 8cn 12251 . . . . . . . . 9 8 โˆˆ โ„‚
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ 8 โˆˆ โ„‚)
1310, 12mulcomd 11177 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜ ยท 8) = (8 ยท ๐‘˜))
1413adantl 483 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜ ยท 8) = (8 ยท ๐‘˜))
1514oveq1d 7373 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘˜ ยท 8) + ๐‘…) = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…))
1615eqeq2d 2748 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ = ((๐‘˜ ยท 8) + ๐‘…) โ†” ๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…)))
17 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1817adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
19 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 8 โˆˆ โ„•)
2119, 20zmodcld 13798 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ mod 8) โˆˆ โ„•0)
2221nn0zd 12526 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ mod 8) โˆˆ โ„ค)
23223ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (๐‘ mod 8) โˆˆ โ„ค)
24 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… = (๐‘ mod 8) โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ mod 8) โˆˆ โ„ค))
25243ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ mod 8) โˆˆ โ„ค))
2623, 25mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
2726adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
2827adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
29 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…)) โ†’ ๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…))
30 2lgsoddprmlem1 26759 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…)) โ†’ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) + (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8)))
3118, 28, 29, 30syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…)) โ†’ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) + (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8)))
3231breq2d 5118 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…)) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” 2 โˆฅ (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) + (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8))))
33 2z 12536 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
34 simp1 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
351a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ 8 โˆˆ โ„•)
3634, 35zmodcld 13798 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (๐‘ mod 8) โˆˆ โ„•0)
3736nn0red 12475 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (๐‘ mod 8) โˆˆ โ„)
38 eleq1 2826 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… = (๐‘ mod 8) โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„ โ†” (๐‘ mod 8) โˆˆ โ„))
39383ad2ant3 1136 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„ โ†” (๐‘ mod 8) โˆˆ โ„))
4037, 39mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
41 resqcl 14030 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘…โ†‘2) โˆˆ โ„)
42 peano2rem 11469 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘…โ†‘2) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
44 8re 12250 . . . . . . . . . . 11 8 โˆˆ โ„
4544a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ โ„ โ†’ 8 โˆˆ โ„)
46 8pos 12266 . . . . . . . . . . . 12 0 < 8
4744, 46gt0ne0ii 11692 . . . . . . . . . . 11 8 โ‰  0
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ โ„ โ†’ 8 โ‰  0)
4943, 45, 48redivcld 11984 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โˆˆ โ„)
5040, 49syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โˆˆ โ„)
5150adantr 482 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โˆˆ โ„)
52 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… = (๐‘ mod 8) โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ mod 8) โˆˆ โ„•0))
53523ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ mod 8) โˆˆ โ„•0))
5436, 53mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•0)
55 nn0z 12525 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
561nnzi 12528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 โˆˆ โ„ค
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ 8 โˆˆ โ„ค)
58 zsqcl 14035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
5958adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
6057, 59zmulcld 12614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
6133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
62 zmulcl 12553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ค)
6362ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ค)
6461, 63zmulcld 12614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…)) โˆˆ โ„ค)
6560, 64zaddcld 12612 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) โˆˆ โ„ค)
66 4z 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 โˆˆ โ„ค
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ 4 โˆˆ โ„ค)
6867, 59zmulcld 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (4 ยท (๐‘˜โ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
6968, 63zaddcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((4 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (๐‘˜ ยท ๐‘…)) โˆˆ โ„ค)
7061, 69jca 513 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง ((4 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (๐‘˜ ยท ๐‘…)) โˆˆ โ„ค))
71 dvdsmul1 16161 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ((4 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (๐‘˜ ยท ๐‘…)) โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆฅ (2 ยท ((4 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (๐‘˜ ยท ๐‘…))))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆฅ (2 ยท ((4 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (๐‘˜ ยท ๐‘…))))
73 4t2e8 12322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 ยท 2) = 8
74 4cn 12239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 โˆˆ โ„‚
75 2cn 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 โˆˆ โ„‚
7674, 75mulcomi 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 ยท 2) = (2 ยท 4)
7773, 76eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 8 = (2 ยท 4)
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ 8 = (2 ยท 4))
7978oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) = ((2 ยท 4) ยท (๐‘˜โ†‘2)))
8075a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
8174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
8258zcnd 12609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8382adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8480, 81, 83mulassd 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท 4) ยท (๐‘˜โ†‘2)) = (2 ยท (4 ยท (๐‘˜โ†‘2))))
8579, 84eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) = (2 ยท (4 ยท (๐‘˜โ†‘2))))
8685oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) = ((2 ยท (4 ยท (๐‘˜โ†‘2))) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))))
8768zcnd 12609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (4 ยท (๐‘˜โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
8862zcnd 12609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
8988ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
9080, 87, 89adddid 11180 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ((4 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (๐‘˜ ยท ๐‘…))) = ((2 ยท (4 ยท (๐‘˜โ†‘2))) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))))
9186, 90eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) = (2 ยท ((4 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (๐‘˜ ยท ๐‘…))))
9272, 91breqtrrd 5134 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆฅ ((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))))
9365, 92jca 513 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…)))))
9493ex 414 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))))))
9555, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))))))
9654, 95syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))))))
9796imp 408 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…)))))
9897adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…)) โ†’ (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…)))))
99 dvdsaddre2b 16190 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โˆˆ โ„ โˆง (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))))) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” 2 โˆฅ (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) + (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8))))
10033, 51, 98, 99mp3an2ani 1469 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…)) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” 2 โˆฅ (((8 ยท (๐‘˜โ†‘2)) + (2 ยท (๐‘˜ ยท ๐‘…))) + (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8))))
10132, 100bitr4d 282 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…)) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” 2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8)))
102101ex 414 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ = ((8 ยท ๐‘˜) + ๐‘…) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” 2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8))))
10316, 102sylbid 239 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ = ((๐‘˜ ยท 8) + ๐‘…) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” 2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8))))
104103rexlimdva 3153 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘˜ ยท 8) + ๐‘…) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” 2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8))))
1059, 104mpd 15 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” 2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆƒwrex 3074   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  โ„cr 11051  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   ยท cmul 11057   โˆ’ cmin 11386   / cdiv 11813  โ„•cn 12154  2c2 12209  4c4 12211  8c8 12215  โ„•0cn0 12414  โ„คcz 12500  โ„+crp 12916   mod cmo 13775  โ†‘cexp 13968   โˆฅ cdvds 16137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-ico 13271  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-dvds 16138
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem4  26766
  Copyright terms: Public domain W3C validator