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Theorem 2lgsoddprmlem2 27453
Description: Lemma 2 for 2lgsoddprm 27460. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgsoddprmlem2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 8nn 12361 . . . . . 6 8 ∈ ℕ
2 nnrp 13046 . . . . . 6 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 8 ∈ ℝ+
4 eqcom 2744 . . . . . 6 (𝑅 = (𝑁 mod 8) ↔ (𝑁 mod 8) = 𝑅)
5 modmuladdim 13955 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 8) = 𝑅 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
64, 5biimtrid 242 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
73, 6mpan2 691 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
87imp 406 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅))
983adant2 1132 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅))
10 zcn 12618 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
11 8cn 12363 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → 8 ∈ ℂ)
1310, 12mulcomd 11282 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1413adantl 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1514oveq1d 7446 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 8) + 𝑅) = ((8 · 𝑘) + 𝑅))
1615eqeq2d 2748 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) ↔ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)))
17 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
1817adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑘 ∈ ℤ)
19 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 8 ∈ ℕ)
2119, 20zmodcld 13932 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 8) ∈ ℕ0)
2221nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 8) ∈ ℤ)
23223ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℤ)
24 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℤ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℤ))
25243ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℤ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℤ))
2623, 25mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℤ)
2726adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℤ)
2827adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℤ)
29 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅))
30 2lgsoddprmlem1 27452 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
3118, 28, 29, 30syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
3231breq2d 5155 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
33 2z 12649 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
34 simp1 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑁 ∈ ℤ)
351a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 8 ∈ ℕ)
3634, 35zmodcld 13932 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℕ0)
3736nn0red 12588 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℝ)
38 eleq1 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℝ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℝ))
39383ad2ant3 1136 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℝ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℝ))
4037, 39mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℝ)
41 resqcl 14164 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
42 peano2rem 11576 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅↑2) ∈ ℝ → ((𝑅↑2) − 1) ∈ ℝ)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅↑2) − 1) ∈ ℝ)
44 8re 12362 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℝ
4544a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ → 8 ∈ ℝ)
46 8pos 12378 . . . . . . . . . . . 12 0 < 8
4744, 46gt0ne0ii 11799 . . . . . . . . . . 11 8 ≠ 0
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ → 8 ≠ 0)
4943, 45, 48redivcld 12095 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
5040, 49syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
5150adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
52 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℕ0))
53523ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℕ0))
5436, 53mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℕ0)
55 nn0z 12638 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℤ)
561nnzi 12641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ ℤ
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 8 ∈ ℤ)
58 zsqcl 14169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘↑2) ∈ ℤ)
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑2) ∈ ℤ)
6057, 59zmulcld 12728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) ∈ ℤ)
6133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℤ)
62 zmulcl 12666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℤ)
6362ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℤ)
6461, 63zmulcld 12728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 · (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ)
6560, 64zaddcld 12726 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ)
66 4z 12651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 ∈ ℤ
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℤ)
6867, 59zmulcld 12728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (4 · (𝑘↑2)) ∈ ℤ)
6968, 63zaddcld 12726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ)
7061, 69jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℤ ∧ ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ))
71 dvdsmul1 16315 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℤ ∧ ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
73 4t2e8 12434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 · 2) = 8
74 4cn 12351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 ∈ ℂ
75 2cn 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℂ
7674, 75mulcomi 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 · 2) = (2 · 4)
7773, 76eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 8 = (2 · 4)
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 8 = (2 · 4))
7978oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) = ((2 · 4) · (𝑘↑2)))
8075a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
8174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℂ)
8258zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
8382adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
8480, 81, 83mulassd 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((2 · 4) · (𝑘↑2)) = (2 · (4 · (𝑘↑2))))
8579, 84eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) = (2 · (4 · (𝑘↑2))))
8685oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) = ((2 · (4 · (𝑘↑2))) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
8768zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (4 · (𝑘↑2)) ∈ ℂ)
8862zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℂ)
8988ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℂ)
9080, 87, 89adddid 11285 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))) = ((2 · (4 · (𝑘↑2))) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
9186, 90eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) = (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
9272, 91breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
9365, 92jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
9493ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))))
9555, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ℤ → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))))
9654, 95syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑘 ∈ ℤ → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))))
9796imp 406 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
9897adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
99 dvdsaddre2b 16344 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ ∧ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
10033, 51, 98, 99mp3an2ani 1470 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
10132, 100bitr4d 282 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
102101ex 412 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
10316, 102sylbid 240 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
104103rexlimdva 3155 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
1059, 104mpd 15 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  4c4 12323  8c8 12327  0cn0 12526  cz 12613  +crp 13034   mod cmo 13909  cexp 14102  cdvds 16290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-dvds 16291
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem4  27459
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