2lgsoddprmlem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem 2lgsoddprmlem2 25681

Description: Lemma 2 for 2lgsoddprm 25688. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
2lgsoddprmlem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem2 Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 11534	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		nnrp 12211	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ⁺)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ⁺
4		eqcom 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 8) ↔ (𝑁 mod 8) = 𝑅)
5		modmuladdim 13091	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ⁺) → ((𝑁 mod 8) = 𝑅 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
6	4, 5	syl5bi 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ⁺) → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
7	3, 6	mpan2 678	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
8	7	imp 398	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅))
9	8	3adant2 1111	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅))
10		zcn 11792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
11		8cn 11536	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 8 ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcomd 10455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
14	13	adantl 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
15	14	oveq1d 6985	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 8) + 𝑅) = ((8 · 𝑘) + 𝑅))
16	15	eqeq2d 2782	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) ↔ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)))
17		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
18	17	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑘 ∈ ℤ)
19		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
20	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 8 ∈ ℕ)
21	19, 20	zmodcld 13069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 8) ∈ ℕ₀)
22	21	nn0zd 11892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 8) ∈ ℤ)
23	22	3ad2ant1 1113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℤ)
24		eleq1 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℤ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℤ))
25	24	3ad2ant3 1115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℤ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℤ))
26	23, 25	mpbird 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℤ)
27	26	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℤ)
28	27	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℤ)
29		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅))
30		2lgsoddprmlem1 25680	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
31	18, 28, 29, 30	syl3anc 1351	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
32	31	breq2d 4935	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
33		2z 11821	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
34		simp1 1116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑁 ∈ ℤ)
35	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 8 ∈ ℕ)
36	34, 35	zmodcld 13069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℕ₀)
37	36	nn0red 11762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℝ)
38		eleq1 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℝ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℝ))
39	38	3ad2ant3 1115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℝ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℝ))
40	37, 39	mpbird 249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℝ)
41		resqcl 13299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
42		peano2rem 10748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅↑2) ∈ ℝ → ((𝑅↑2) − 1) ∈ ℝ)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅↑2) − 1) ∈ ℝ)
44		8re 11535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 8 ∈ ℝ)
46		8pos 11553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 8
47	44, 46	gt0ne0ii 10971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ≠ 0
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 8 ≠ 0)
49	43, 45, 48	redivcld 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
50	40, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
51	50	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
52		eleq1 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℕ₀ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℕ₀))
53	52	3ad2ant3 1115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℕ₀ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℕ₀))
54	36, 53	mpbird 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℕ₀)
55		nn0z 11812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ₀ → 𝑅 ∈ ℤ)
56	1	nnzi 11813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 8 ∈ ℤ
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 8 ∈ ℤ)
58		zsqcl 13303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘↑2) ∈ ℤ)
59	58	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑2) ∈ ℤ)
60	57, 59	zmulcld 11900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) ∈ ℤ)
61	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℤ)
62		zmulcl 11838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℤ)
63	62	ancoms 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℤ)
64	61, 63	zmulcld 11900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 · (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ)
65	60, 64	zaddcld 11898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ)
66		4z 11823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 4 ∈ ℤ
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℤ)
68	67, 59	zmulcld 11900	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (4 · (𝑘↑2)) ∈ ℤ)
69	68, 63	zaddcld 11898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ)
70	61, 69	jca 504	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℤ ∧ ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ))
71		dvdsmul1 15485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
73		4t2e8 11609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (4 · 2) = 8
74		4cn 11520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 4 ∈ ℂ
75		2cn 11509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℂ
76	74, 75	mulcomi 10442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (4 · 2) = (2 · 4)
77	73, 76	eqtr3i 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 8 = (2 · 4)
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 8 = (2 · 4))
79	78	oveq1d 6985	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) = ((2 · 4) · (𝑘↑2)))
80	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
81	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℂ)
82	58	zcnd 11895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
83	82	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
84	80, 81, 83	mulassd 10457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((2 · 4) · (𝑘↑2)) = (2 · (4 · (𝑘↑2))))
85	79, 84	eqtrd 2808	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) = (2 · (4 · (𝑘↑2))))
86	85	oveq1d 6985	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) = ((2 · (4 · (𝑘↑2))) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
87	68	zcnd 11895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (4 · (𝑘↑2)) ∈ ℂ)
88	62	zcnd 11895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℂ)
89	88	ancoms 451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℂ)
90	80, 87, 89	adddid 10458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))) = ((2 · (4 · (𝑘↑2))) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
91	86, 90	eqtr4d 2811	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) = (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
92	72, 91	breqtrrd 4951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
93	65, 92	jca 504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
94	93	ex 405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))))
95	55, 94	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ₀ → (𝑘 ∈ ℤ → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))))
96	54, 95	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑘 ∈ ℤ → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))))
97	96	imp 398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
98	97	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
99		dvdsaddre2b 15511	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ ∧ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
100	33, 51, 98, 99	mp3an2ani 1447	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
101	32, 100	bitr4d 274	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
102	101	ex 405	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
103	16, 102	sylbid 232	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
104	103	rexlimdva 3223	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
105	9, 104	mpd 15	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 198 ∧ wa 387 ∧ w3a 1068 = wceq 1507 ∈ wcel 2050 ≠ wne 2961 ∃wrex 3083 class class class wbr 4923 (class class class)co 6970 ℂcc 10327 ℝcr 10328 0cc0 10329 1c1 10330 + caddc 10332 · cmul 10334 − cmin 10664 / cdiv 11092 ℕcn 11433 2c2 11489 4c4 11491 8c8 11495 ℕ₀cn0 11701 ℤcz 11787 ℝ⁺crp 12198 mod cmo 13046 ↑cexp 13238 ∥ cdvds 15461

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1758 ax-4 1772 ax-5 1869 ax-6 1928 ax-7 1965 ax-8 2052 ax-9 2059 ax-10 2079 ax-11 2093 ax-12 2106 ax-13 2301 ax-ext 2744 ax-sep 5054 ax-nul 5061 ax-pow 5113 ax-pr 5180 ax-un 7273 ax-cnex 10385 ax-resscn 10386 ax-1cn 10387 ax-icn 10388 ax-addcl 10389 ax-addrcl 10390 ax-mulcl 10391 ax-mulrcl 10392 ax-mulcom 10393 ax-addass 10394 ax-mulass 10395 ax-distr 10396 ax-i2m1 10397 ax-1ne0 10398 ax-1rid 10399 ax-rnegex 10400 ax-rrecex 10401 ax-cnre 10402 ax-pre-lttri 10403 ax-pre-lttrn 10404 ax-pre-ltadd 10405 ax-pre-mulgt0 10406 ax-pre-sup 10407

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 388 df-or 834 df-3or 1069 df-3an 1070 df-tru 1510 df-ex 1743 df-nf 1747 df-sb 2016 df-mo 2547 df-eu 2584 df-clab 2753 df-cleq 2765 df-clel 2840 df-nfc 2912 df-ne 2962 df-nel 3068 df-ral 3087 df-rex 3088 df-reu 3089 df-rmo 3090 df-rab 3091 df-v 3411 df-sbc 3676 df-csb 3781 df-dif 3826 df-un 3828 df-in 3830 df-ss 3837 df-pss 3839 df-nul 4173 df-if 4345 df-pw 4418 df-sn 4436 df-pr 4438 df-tp 4440 df-op 4442 df-uni 4707 df-iun 4788 df-br 4924 df-opab 4986 df-mpt 5003 df-tr 5025 df-id 5306 df-eprel 5311 df-po 5320 df-so 5321 df-fr 5360 df-we 5362 df-xp 5407 df-rel 5408 df-cnv 5409 df-co 5410 df-dm 5411 df-rn 5412 df-res 5413 df-ima 5414 df-pred 5980 df-ord 6026 df-on 6027 df-lim 6028 df-suc 6029 df-iota 6146 df-fun 6184 df-fn 6185 df-f 6186 df-f1 6187 df-fo 6188 df-f1o 6189 df-fv 6190 df-riota 6931 df-ov 6973 df-oprab 6974 df-mpo 6975 df-om 7391 df-2nd 7496 df-wrecs 7744 df-recs 7806 df-rdg 7844 df-er 8083 df-en 8301 df-dom 8302 df-sdom 8303 df-sup 8695 df-inf 8696 df-pnf 10470 df-mnf 10471 df-xr 10472 df-ltxr 10473 df-le 10474 df-sub 10666 df-neg 10667 df-div 11093 df-nn 11434 df-2 11497 df-3 11498 df-4 11499 df-5 11500 df-6 11501 df-7 11502 df-8 11503 df-n0 11702 df-z 11788 df-uz 12053 df-rp 12199 df-ico 12554 df-fl 12971 df-mod 13047 df-seq 13179 df-exp 13239 df-dvds 15462

This theorem is referenced by: 2lgsoddprmlem4 25687

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