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Theorem 2lgsoddprmlem2 27387
Description: Lemma 2 for 2lgsoddprm 27394. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgsoddprmlem2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 8nn 12340 . . . . . 6 8 ∈ ℕ
2 nnrp 13020 . . . . . 6 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 8 ∈ ℝ+
4 eqcom 2732 . . . . . 6 (𝑅 = (𝑁 mod 8) ↔ (𝑁 mod 8) = 𝑅)
5 modmuladdim 13915 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 8) = 𝑅 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
64, 5biimtrid 241 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
73, 6mpan2 689 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
87imp 405 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅))
983adant2 1128 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅))
10 zcn 12596 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
11 8cn 12342 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → 8 ∈ ℂ)
1310, 12mulcomd 11267 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1413adantl 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1514oveq1d 7434 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 8) + 𝑅) = ((8 · 𝑘) + 𝑅))
1615eqeq2d 2736 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) ↔ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)))
17 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
1817adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑘 ∈ ℤ)
19 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 8 ∈ ℕ)
2119, 20zmodcld 13893 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 8) ∈ ℕ0)
2221nn0zd 12617 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 8) ∈ ℤ)
23223ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℤ)
24 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℤ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℤ))
25243ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℤ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℤ))
2623, 25mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℤ)
2726adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℤ)
2827adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℤ)
29 simpr 483 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅))
30 2lgsoddprmlem1 27386 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
3118, 28, 29, 30syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
3231breq2d 5161 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
33 2z 12627 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
34 simp1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑁 ∈ ℤ)
351a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 8 ∈ ℕ)
3634, 35zmodcld 13893 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℕ0)
3736nn0red 12566 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℝ)
38 eleq1 2813 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℝ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℝ))
39383ad2ant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℝ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℝ))
4037, 39mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℝ)
41 resqcl 14124 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
42 peano2rem 11559 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅↑2) ∈ ℝ → ((𝑅↑2) − 1) ∈ ℝ)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅↑2) − 1) ∈ ℝ)
44 8re 12341 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℝ
4544a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ → 8 ∈ ℝ)
46 8pos 12357 . . . . . . . . . . . 12 0 < 8
4744, 46gt0ne0ii 11782 . . . . . . . . . . 11 8 ≠ 0
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ → 8 ≠ 0)
4943, 45, 48redivcld 12075 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
5040, 49syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
5150adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
52 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℕ0))
53523ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℕ0))
5436, 53mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℕ0)
55 nn0z 12616 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℤ)
561nnzi 12619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ ℤ
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 8 ∈ ℤ)
58 zsqcl 14129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘↑2) ∈ ℤ)
5958adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑2) ∈ ℤ)
6057, 59zmulcld 12705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) ∈ ℤ)
6133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℤ)
62 zmulcl 12644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℤ)
6362ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℤ)
6461, 63zmulcld 12705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 · (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ)
6560, 64zaddcld 12703 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ)
66 4z 12629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 ∈ ℤ
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℤ)
6867, 59zmulcld 12705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (4 · (𝑘↑2)) ∈ ℤ)
6968, 63zaddcld 12703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ)
7061, 69jca 510 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℤ ∧ ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ))
71 dvdsmul1 16258 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℤ ∧ ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
73 4t2e8 12413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 · 2) = 8
74 4cn 12330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 ∈ ℂ
75 2cn 12320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℂ
7674, 75mulcomi 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 · 2) = (2 · 4)
7773, 76eqtr3i 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 8 = (2 · 4)
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 8 = (2 · 4))
7978oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) = ((2 · 4) · (𝑘↑2)))
8075a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
8174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℂ)
8258zcnd 12700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
8382adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
8480, 81, 83mulassd 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((2 · 4) · (𝑘↑2)) = (2 · (4 · (𝑘↑2))))
8579, 84eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) = (2 · (4 · (𝑘↑2))))
8685oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) = ((2 · (4 · (𝑘↑2))) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
8768zcnd 12700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (4 · (𝑘↑2)) ∈ ℂ)
8862zcnd 12700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℂ)
8988ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℂ)
9080, 87, 89adddid 11270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))) = ((2 · (4 · (𝑘↑2))) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
9186, 90eqtr4d 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) = (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
9272, 91breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
9365, 92jca 510 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
9493ex 411 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))))
9555, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ℤ → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))))
9654, 95syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑘 ∈ ℤ → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))))
9796imp 405 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
9897adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
99 dvdsaddre2b 16287 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ ∧ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
10033, 51, 98, 99mp3an2ani 1464 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
10132, 100bitr4d 281 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
102101ex 411 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
10316, 102sylbid 239 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
104103rexlimdva 3144 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
1059, 104mpd 15 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wrex 3059   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145  cmin 11476   / cdiv 11903  cn 12245  2c2 12300  4c4 12302  8c8 12306  0cn0 12505  cz 12591  +crp 13009   mod cmo 13870  cexp 14062  cdvds 16234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-ico 13365  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-dvds 16235
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem4  27393
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