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Theorem 2lgsoddprmlem2 27468
Description: Lemma 2 for 2lgsoddprm 27475. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgsoddprmlem2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 8nn 12359 . . . . . 6 8 ∈ ℕ
2 nnrp 13044 . . . . . 6 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 8 ∈ ℝ+
4 eqcom 2742 . . . . . 6 (𝑅 = (𝑁 mod 8) ↔ (𝑁 mod 8) = 𝑅)
5 modmuladdim 13952 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 8) = 𝑅 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
64, 5biimtrid 242 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
73, 6mpan2 691 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
87imp 406 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅))
983adant2 1130 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅))
10 zcn 12616 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
11 8cn 12361 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → 8 ∈ ℂ)
1310, 12mulcomd 11280 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1413adantl 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1514oveq1d 7446 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 8) + 𝑅) = ((8 · 𝑘) + 𝑅))
1615eqeq2d 2746 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) ↔ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)))
17 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
1817adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑘 ∈ ℤ)
19 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 8 ∈ ℕ)
2119, 20zmodcld 13929 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 8) ∈ ℕ0)
2221nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 8) ∈ ℤ)
23223ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℤ)
24 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℤ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℤ))
25243ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℤ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℤ))
2623, 25mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℤ)
2726adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℤ)
2827adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℤ)
29 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅))
30 2lgsoddprmlem1 27467 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
3118, 28, 29, 30syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
3231breq2d 5160 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
33 2z 12647 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
34 simp1 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑁 ∈ ℤ)
351a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 8 ∈ ℕ)
3634, 35zmodcld 13929 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℕ0)
3736nn0red 12586 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℝ)
38 eleq1 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℝ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℝ))
39383ad2ant3 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℝ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℝ))
4037, 39mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℝ)
41 resqcl 14161 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
42 peano2rem 11574 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅↑2) ∈ ℝ → ((𝑅↑2) − 1) ∈ ℝ)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅↑2) − 1) ∈ ℝ)
44 8re 12360 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℝ
4544a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ → 8 ∈ ℝ)
46 8pos 12376 . . . . . . . . . . . 12 0 < 8
4744, 46gt0ne0ii 11797 . . . . . . . . . . 11 8 ≠ 0
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ → 8 ≠ 0)
4943, 45, 48redivcld 12093 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
5040, 49syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
5150adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
52 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℕ0))
53523ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℕ0))
5436, 53mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℕ0)
55 nn0z 12636 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℤ)
561nnzi 12639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ ℤ
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 8 ∈ ℤ)
58 zsqcl 14166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘↑2) ∈ ℤ)
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑2) ∈ ℤ)
6057, 59zmulcld 12726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) ∈ ℤ)
6133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℤ)
62 zmulcl 12664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℤ)
6362ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℤ)
6461, 63zmulcld 12726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 · (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ)
6560, 64zaddcld 12724 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ)
66 4z 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 ∈ ℤ
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℤ)
6867, 59zmulcld 12726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (4 · (𝑘↑2)) ∈ ℤ)
6968, 63zaddcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ)
7061, 69jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℤ ∧ ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ))
71 dvdsmul1 16312 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℤ ∧ ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
73 4t2e8 12432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 · 2) = 8
74 4cn 12349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 ∈ ℂ
75 2cn 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℂ
7674, 75mulcomi 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 · 2) = (2 · 4)
7773, 76eqtr3i 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 8 = (2 · 4)
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 8 = (2 · 4))
7978oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) = ((2 · 4) · (𝑘↑2)))
8075a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
8174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℂ)
8258zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
8382adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
8480, 81, 83mulassd 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((2 · 4) · (𝑘↑2)) = (2 · (4 · (𝑘↑2))))
8579, 84eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) = (2 · (4 · (𝑘↑2))))
8685oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) = ((2 · (4 · (𝑘↑2))) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
8768zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (4 · (𝑘↑2)) ∈ ℂ)
8862zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℂ)
8988ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℂ)
9080, 87, 89adddid 11283 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))) = ((2 · (4 · (𝑘↑2))) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
9186, 90eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) = (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
9272, 91breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
9365, 92jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
9493ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))))
9555, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ℤ → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))))
9654, 95syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑘 ∈ ℤ → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))))
9796imp 406 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
9897adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
99 dvdsaddre2b 16341 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ ∧ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
10033, 51, 98, 99mp3an2ani 1467 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
10132, 100bitr4d 282 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
102101ex 412 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
10316, 102sylbid 240 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
104103rexlimdva 3153 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
1059, 104mpd 15 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  4c4 12321  8c8 12325  0cn0 12524  cz 12611  +crp 13032   mod cmo 13906  cexp 14099  cdvds 16287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-dvds 16288
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem4  27474
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