2lgsoddprmlem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem 2lgsoddprmlem2 27149

Description: Lemma 2 for 2lgsoddprm 27156. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
2lgsoddprmlem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem2 Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12312	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		nnrp 12990	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ⁺)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ⁺
4		eqcom 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 8) ↔ (𝑁 mod 8) = 𝑅)
5		modmuladdim 13884	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ⁺) → ((𝑁 mod 8) = 𝑅 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
6	4, 5	biimtrid 241	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ⁺) → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
7	3, 6	mpan2 688	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
8	7	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅))
9	8	3adant2 1130	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅))
10		zcn 12568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
11		8cn 12314	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 8 ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcomd 11240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
15	14	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 8) + 𝑅) = ((8 · 𝑘) + 𝑅))
16	15	eqeq2d 2742	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) ↔ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)))
17		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑘 ∈ ℤ)
19		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
20	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 8 ∈ ℕ)
21	19, 20	zmodcld 13862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 8) ∈ ℕ₀)
22	21	nn0zd 12589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 8) ∈ ℤ)
23	22	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℤ)
24		eleq1 2820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℤ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℤ))
25	24	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℤ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℤ))
26	23, 25	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℤ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℤ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℤ)
29		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅))
30		2lgsoddprmlem1 27148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
31	18, 28, 29, 30	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
32	31	breq2d 5160	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
33		2z 12599	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
34		simp1 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑁 ∈ ℤ)
35	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 8 ∈ ℕ)
36	34, 35	zmodcld 13862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℕ₀)
37	36	nn0red 12538	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℝ)
38		eleq1 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℝ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℝ))
39	38	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℝ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℝ))
40	37, 39	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℝ)
41		resqcl 14094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
42		peano2rem 11532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅↑2) ∈ ℝ → ((𝑅↑2) − 1) ∈ ℝ)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅↑2) − 1) ∈ ℝ)
44		8re 12313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 8 ∈ ℝ)
46		8pos 12329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 8
47	44, 46	gt0ne0ii 11755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ≠ 0
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 8 ≠ 0)
49	43, 45, 48	redivcld 12047	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
50	40, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
51	50	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
52		eleq1 2820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℕ₀ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℕ₀))
53	52	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℕ₀ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℕ₀))
54	36, 53	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℕ₀)
55		nn0z 12588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ₀ → 𝑅 ∈ ℤ)
56	1	nnzi 12591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 8 ∈ ℤ
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 8 ∈ ℤ)
58		zsqcl 14099	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘↑2) ∈ ℤ)
59	58	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑2) ∈ ℤ)
60	57, 59	zmulcld 12677	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) ∈ ℤ)
61	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℤ)
62		zmulcl 12616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℤ)
63	62	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℤ)
64	61, 63	zmulcld 12677	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 · (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ)
65	60, 64	zaddcld 12675	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ)
66		4z 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 4 ∈ ℤ
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℤ)
68	67, 59	zmulcld 12677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (4 · (𝑘↑2)) ∈ ℤ)
69	68, 63	zaddcld 12675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ)
70	61, 69	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℤ ∧ ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ))
71		dvdsmul1 16226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
73		4t2e8 12385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (4 · 2) = 8
74		4cn 12302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 4 ∈ ℂ
75		2cn 12292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℂ
76	74, 75	mulcomi 11227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (4 · 2) = (2 · 4)
77	73, 76	eqtr3i 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 8 = (2 · 4)
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 8 = (2 · 4))
79	78	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) = ((2 · 4) · (𝑘↑2)))
80	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
81	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℂ)
82	58	zcnd 12672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
83	82	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
84	80, 81, 83	mulassd 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((2 · 4) · (𝑘↑2)) = (2 · (4 · (𝑘↑2))))
85	79, 84	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) = (2 · (4 · (𝑘↑2))))
86	85	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) = ((2 · (4 · (𝑘↑2))) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
87	68	zcnd 12672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (4 · (𝑘↑2)) ∈ ℂ)
88	62	zcnd 12672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℂ)
89	88	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℂ)
90	80, 87, 89	adddid 11243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))) = ((2 · (4 · (𝑘↑2))) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
91	86, 90	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) = (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
92	72, 91	breqtrrd 5176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
93	65, 92	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
94	93	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))))
95	55, 94	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ₀ → (𝑘 ∈ ℤ → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))))
96	54, 95	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑘 ∈ ℤ → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))))
97	96	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
98	97	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
99		dvdsaddre2b 16255	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ ∧ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
100	33, 51, 98, 99	mp3an2ani 1467	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
101	32, 100	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
102	101	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
103	16, 102	sylbid 239	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
104	103	rexlimdva 3154	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
105	9, 104	mpd 15	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2105 ≠ wne 2939 ∃wrex 3069 class class class wbr 5148 (class class class)co 7412 ℂcc 11112 ℝcr 11113 0cc0 11114 1c1 11115 + caddc 11117 · cmul 11119 − cmin 11449 / cdiv 11876 ℕcn 12217 2c2 12272 4c4 12274 8c8 12278 ℕ₀cn0 12477 ℤcz 12563 ℝ⁺crp 12979 mod cmo 13839 ↑cexp 14032 ∥ cdvds 16202

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7729 ax-cnex 11170 ax-resscn 11171 ax-1cn 11172 ax-icn 11173 ax-addcl 11174 ax-addrcl 11175 ax-mulcl 11176 ax-mulrcl 11177 ax-mulcom 11178 ax-addass 11179 ax-mulass 11180 ax-distr 11181 ax-i2m1 11182 ax-1ne0 11183 ax-1rid 11184 ax-rnegex 11185 ax-rrecex 11186 ax-cnre 11187 ax-pre-lttri 11188 ax-pre-lttrn 11189 ax-pre-ltadd 11190 ax-pre-mulgt0 11191 ax-pre-sup 11192

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3375 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7860 df-2nd 7980 df-frecs 8270 df-wrecs 8301 df-recs 8375 df-rdg 8414 df-er 8707 df-en 8944 df-dom 8945 df-sdom 8946 df-sup 9441 df-inf 9442 df-pnf 11255 df-mnf 11256 df-xr 11257 df-ltxr 11258 df-le 11259 df-sub 11451 df-neg 11452 df-div 11877 df-nn 12218 df-2 12280 df-3 12281 df-4 12282 df-5 12283 df-6 12284 df-7 12285 df-8 12286 df-n0 12478 df-z 12564 df-uz 12828 df-rp 12980 df-ico 13335 df-fl 13762 df-mod 13840 df-seq 13972 df-exp 14033 df-dvds 16203

This theorem is referenced by: 2lgsoddprmlem4 27155

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