Theorem dvdsadd2b 16481

Description: Adding a multiple of the base does not affect divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsadd2b	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem dvdsadd2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		simpl3l 1247	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		simpl2 1211	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
4		simpl3r 1248	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐶)
5		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	dvds2addd 16467	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))
7		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℤ)
8		simp3l 1220	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
9		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℤ)
10		zaddcl 12739	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
11	8, 9, 10	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
13	8	znegcld 12808	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → -𝐶 ∈ ℤ)
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → -𝐶 ∈ ℤ)
15		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))
16		simpl3r 1248	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∥ 𝐶)
17		simpl3l 1247	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℤ)
18		dvdsnegb 16448	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐶 ↔ 𝐴 ∥ -𝐶))
19	7, 17, 18	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → (𝐴 ∥ 𝐶 ↔ 𝐴 ∥ -𝐶))
20	16, 19	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∥ -𝐶)
21	7, 12, 14, 15, 20	dvds2addd 16467	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∥ ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶))
22		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
23	10	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12807	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℂ)
25		zcn 12701	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
26	25	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
27	24, 26	negsubd 11678	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶) = ((𝐶 + 𝐵) − 𝐶))
28		zcn 12701	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
29	28	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
30	26, 29	pncan2d 11674	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐶 + 𝐵) − 𝐶) = 𝐵)
31	27, 30	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶) = 𝐵)
32	22, 17, 31	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶) = 𝐵)
33	21, 32	breqtrd 5130	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∥ 𝐵)
34	6, 33	impbida 813	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℂcc 11201   + caddc 11206   − cmin 11544   -cneg 11545  ℤcz 12696   ∥ cdvds 16427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-dvds 16428

This theorem is used by:  dvdsaddre2b  16482  3dvdsdec  16507  3dvds2dec  16508  2sqlem3  27752  2sqblem  27763  eupth2lem3lem3  30836  jm2.19lem2  44090