MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsadd2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsadd2b 16340
Description: Adding a multiple of the base does not affect divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsadd2b ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem dvdsadd2b
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 simpl3l 1227 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ ℤ)
3 simpl2 1191 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
4 simpl3r 1228 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐶)
5 simpr 484 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
61, 2, 3, 4, 5dvds2addd 16326 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))
7 simpl1 1190 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℤ)
8 simp3l 1200 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
9 simp2 1136 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℤ)
10 zaddcl 12655 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
118, 9, 10syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
1211adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
138znegcld 12722 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → -𝐶 ∈ ℤ)
1413adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → -𝐶 ∈ ℤ)
15 simpr 484 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))
16 simpl3r 1228 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴𝐶)
17 simpl3l 1227 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℤ)
18 dvdsnegb 16308 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴𝐶𝐴 ∥ -𝐶))
197, 17, 18syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → (𝐴𝐶𝐴 ∥ -𝐶))
2016, 19mpbid 232 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∥ -𝐶)
217, 12, 14, 15, 20dvds2addd 16326 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∥ ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶))
22 simpl2 1191 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
2310ancoms 458 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
2423zcnd 12721 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℂ)
25 zcn 12616 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
2625adantl 481 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
2724, 26negsubd 11624 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶) = ((𝐶 + 𝐵) − 𝐶))
28 zcn 12616 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
2928adantr 480 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3026, 29pncan2d 11620 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐶 + 𝐵) − 𝐶) = 𝐵)
3127, 30eqtrd 2775 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶) = 𝐵)
3222, 17, 31syl2anc 584 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶) = 𝐵)
3321, 32breqtrd 5174 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴𝐵)
346, 33impbida 801 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151   + caddc 11156  cmin 11490  -cneg 11491  cz 12611  cdvds 16287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-dvds 16288
This theorem is referenced by:  dvdsaddre2b  16341  3dvdsdec  16366  3dvds2dec  16367  2sqlem3  27479  2sqblem  27490  eupth2lem3lem3  30259  jm2.19lem2  42979
  Copyright terms: Public domain W3C validator