Theorem dvdsadd2b 16402

Description: Adding a multiple of the base does not affect divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsadd2b	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem dvdsadd2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		simpl3l 1247	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		simpl2 1211	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
4		simpl3r 1248	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐶)
5		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	dvds2addd 16388	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))
7		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℤ)
8		simp3l 1220	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
9		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℤ)
10		zaddcl 12662	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
11	8, 9, 10	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
13	8	znegcld 12731	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → -𝐶 ∈ ℤ)
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → -𝐶 ∈ ℤ)
15		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))
16		simpl3r 1248	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∥ 𝐶)
17		simpl3l 1247	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℤ)
18		dvdsnegb 16369	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐶 ↔ 𝐴 ∥ -𝐶))
19	7, 17, 18	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → (𝐴 ∥ 𝐶 ↔ 𝐴 ∥ -𝐶))
20	16, 19	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∥ -𝐶)
21	7, 12, 14, 15, 20	dvds2addd 16388	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∥ ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶))
22		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
23	10	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12730	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℂ)
25		zcn 12624	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
26	25	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
27	24, 26	negsubd 11603	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶) = ((𝐶 + 𝐵) − 𝐶))
28		zcn 12624	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
29	28	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
30	26, 29	pncan2d 11599	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐶 + 𝐵) − 𝐶) = 𝐵)
31	27, 30	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶) = 𝐵)
32	22, 17, 31	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶) = 𝐵)
33	21, 32	breqtrd 5135	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∥ 𝐵)
34	6, 33	impbida 813	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℂcc 11126   + caddc 11131   − cmin 11469  -cneg 11470  ℤcz 12619   ∥ cdvds 16348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-dvds 16349

This theorem is used by:  dvdsaddre2b  16403  3dvdsdec  16428  3dvds2dec  16429  2sqlem3  27664  2sqblem  27675  eupth2lem3lem3  30718  jm2.19lem2  43839