Theorem zexpcl 13725

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12257	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12299	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12280	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 13721	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  zexpcld  13736  zsqcl  13776  modexp  13881  climcndslem1  15489  iddvdsexp  15917  dvdsexp2im  15964  dvdsexp  15965  3dvds  15968  prmdvdsexp  16348  rpexp  16355  rpexp12i  16357  phiprmpw  16405  eulerthlem2  16411  fermltl  16413  prmdiv  16414  prmdiveq  16415  odzcllem  16421  odzdvds  16424  odzphi  16425  vfermltlALT  16431  powm2modprm  16432  pcneg  16503  pcprmpw  16512  prmpwdvds  16533  pockthlem  16534  dyaddisjlem  24664  aalioulem1  25397  aaliou3lem6  25413  muf  26194  dvdsppwf1o  26240  mersenne  26280  lgslem1  26350  lgsval2lem  26360  lgsvalmod  26369  lgsmod  26376  lgsdirprm  26384  lgsne0  26388  lgsqrlem1  26399  gausslemma2dlem7  26426  gausslemma2d  26427  lgseisenlem2  26429  lgseisenlem4  26431  m1lgs  26441  2sqreultlem  26500  2sqreunnltlem  26503  znfermltl  31464  mdetlap  31684  oddpwdc  32221  nn0prpwlem  34438  nn0prpw  34439  knoppndvlem2  34620  aks4d1p3  40014  aks4d1p6  40017  dvdsexpim  40249  zexpgcd  40257  numdenexp  40258  jm2.18  40726  jm2.22  40733  jm2.23  40734  jm2.20nn  40735  inductionexd  41654  etransclem3  43668  etransclem7  43672  etransclem10  43675  etransclem24  43689  etransclem27  43692  etransclem35  43700  2pwp1prm  44929  sfprmdvdsmersenne  44943  lighneallem4b  44949  lighneallem4  44950  proththd  44954  41prothprmlem2  44958  nnpw2evenALTV  45042  fpprmod  45067  fppr2odd  45071  dfwppr  45078  fpprwppr  45079  fpprwpprb  45080  pw2m1lepw2m1  45749  nnpw2blenfzo  45815  dignn0fr  45835  digexp  45841  dignn0flhalflem1  45849