Theorem zexpcl 13169

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 11712	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 11754	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 11735	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 13165	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2164  (class class class)co 6905  ℕ₀cn0 11618  ℤcz 11704  ↑cexp 13154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-seq 13096  df-exp 13155

This theorem is referenced by:  zsqcl  13228  modexp  13293  climcndslem1  14955  iddvdsexp  15382  dvdsexp  15426  3dvds  15429  prmdvdsexp  15798  rpexp  15803  rpexp12i  15805  phiprmpw  15852  eulerthlem2  15858  fermltl  15860  prmdiv  15861  prmdiveq  15862  odzcllem  15868  odzdvds  15871  odzphi  15872  vfermltlALT  15878  powm2modprm  15879  pcneg  15949  pcprmpw  15958  prmpwdvds  15979  pockthlem  15980  dyaddisjlem  23761  aalioulem1  24486  aaliou3lem6  24502  muf  25279  dvdsppwf1o  25325  mersenne  25365  lgslem1  25435  lgsval2lem  25445  lgsvalmod  25454  lgsmod  25461  lgsdirprm  25469  lgsne0  25473  lgsqrlem1  25484  gausslemma2dlem7  25511  gausslemma2d  25512  lgseisenlem2  25514  lgseisenlem4  25516  m1lgs  25526  mdetlap  30432  oddpwdc  30950  dvdspw  32167  nn0prpwlem  32844  nn0prpw  32845  knoppndvlem2  33025  jm2.18  38391  jm2.22  38398  jm2.23  38399  jm2.20nn  38400  inductionexd  39286  etransclem3  41241  etransclem7  41245  etransclem10  41248  etransclem24  41262  etransclem27  41265  etransclem35  41273  2pwp1prm  42326  sfprmdvdsmersenne  42343  lighneallem4b  42349  lighneallem4  42350  proththd  42354  41prothprmlem2  42358  nnpw2evenALTV  42434  pw2m1lepw2m1  43150  nnpw2blenfzo  43215  dignn0fr  43235  digexp  43241  dignn0flhalflem1  43249