Theorem zexpcl 13440

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 11977	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12019	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12000	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 13436	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ↑cexp 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13365  df-exp 13426

This theorem is referenced by:  zsqcl  13490  modexp  13595  climcndslem1  15196  iddvdsexp  15625  dvdsexp  15669  3dvds  15672  prmdvdsexp  16049  rpexp  16054  rpexp12i  16056  phiprmpw  16103  eulerthlem2  16109  fermltl  16111  prmdiv  16112  prmdiveq  16113  odzcllem  16119  odzdvds  16122  odzphi  16123  vfermltlALT  16129  powm2modprm  16130  pcneg  16200  pcprmpw  16209  prmpwdvds  16230  pockthlem  16231  dyaddisjlem  24199  aalioulem1  24928  aaliou3lem6  24944  muf  25725  dvdsppwf1o  25771  mersenne  25811  lgslem1  25881  lgsval2lem  25891  lgsvalmod  25900  lgsmod  25907  lgsdirprm  25915  lgsne0  25919  lgsqrlem1  25930  gausslemma2dlem7  25957  gausslemma2d  25958  lgseisenlem2  25960  lgseisenlem4  25962  m1lgs  25972  2sqreultlem  26031  2sqreunnltlem  26034  mdetlap  31185  oddpwdc  31722  dvdspw  33095  nn0prpwlem  33783  nn0prpw  33784  knoppndvlem2  33965  dvdsexpim  39489  zexpgcd  39493  numdenexp  39494  jm2.18  39929  jm2.22  39936  jm2.23  39937  jm2.20nn  39938  inductionexd  40858  etransclem3  42879  etransclem7  42883  etransclem10  42886  etransclem24  42900  etransclem27  42903  etransclem35  42911  2pwp1prm  44106  sfprmdvdsmersenne  44121  lighneallem4b  44127  lighneallem4  44128  proththd  44132  41prothprmlem2  44136  nnpw2evenALTV  44220  fpprmod  44245  fppr2odd  44249  dfwppr  44256  fpprwppr  44257  fpprwpprb  44258  pw2m1lepw2m1  44929  nnpw2blenfzo  44995  dignn0fr  45015  digexp  45021  dignn0flhalflem1  45029