Theorem zexpcl 14117

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12621	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12666	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12647	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14113	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  zexpcld  14128  zsqcl  14169  modexp  14277  climcndslem1  15885  iddvdsexp  16317  dvdsexp2im  16364  dvdsexp  16365  3dvds  16368  dvdsexpim  16592  zexpgcd  16602  prmdvdsexp  16752  rpexp  16759  rpexp12i  16761  numdenexp  16797  phiprmpw  16813  eulerthlem2  16819  fermltl  16821  prmdiv  16822  prmdiveq  16823  odzcllem  16830  odzdvds  16833  odzphi  16834  vfermltlALT  16840  powm2modprm  16841  pcneg  16912  pcprmpw  16921  prmpwdvds  16942  pockthlem  16943  dyaddisjlem  25630  aalioulem1  26374  aaliou3lem6  26390  muf  27183  dvdsppwf1o  27229  mersenne  27271  lgslem1  27341  lgsval2lem  27351  lgsvalmod  27360  lgsmod  27367  lgsdirprm  27375  lgsne0  27379  lgsqrlem1  27390  gausslemma2dlem7  27417  gausslemma2d  27418  lgseisenlem2  27420  lgseisenlem4  27422  m1lgs  27432  2sqreultlem  27491  2sqreunnltlem  27494  znfermltl  33394  mdetlap  33831  oddpwdc  34356  nn0prpwlem  36323  nn0prpw  36324  knoppndvlem2  36514  aks4d1p3  42079  aks4d1p6  42082  aks6d1c2p2  42120  jm2.18  43000  jm2.22  43007  jm2.23  43008  jm2.20nn  43009  inductionexd  44168  etransclem3  46252  etransclem7  46256  etransclem10  46259  etransclem24  46273  etransclem27  46276  etransclem35  46284  2pwp1prm  47576  sfprmdvdsmersenne  47590  lighneallem4b  47596  lighneallem4  47597  proththd  47601  41prothprmlem2  47605  nnpw2evenALTV  47689  fpprmod  47714  fppr2odd  47718  dfwppr  47725  fpprwppr  47726  fpprwpprb  47727  pw2m1lepw2m1  48437  nnpw2blenfzo  48502  dignn0fr  48522  digexp  48528  dignn0flhalflem1  48536