Theorem zexpcl 14094

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12596	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12641	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12622	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14090	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ↑cexp 14079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 14020  df-exp 14080

This theorem is referenced by:  zexpcld  14105  zsqcl  14147  modexp  14256  climcndslem1  15865  iddvdsexp  16299  dvdsexp2im  16346  dvdsexp  16347  3dvds  16350  dvdsexpim  16574  zexpgcd  16584  prmdvdsexp  16734  rpexp  16741  rpexp12i  16743  numdenexp  16779  phiprmpw  16795  eulerthlem2  16801  fermltl  16803  prmdiv  16804  prmdiveq  16805  odzcllem  16812  odzdvds  16815  odzphi  16816  vfermltlALT  16822  powm2modprm  16823  pcneg  16894  pcprmpw  16903  prmpwdvds  16924  pockthlem  16925  dyaddisjlem  25548  aalioulem1  26292  aaliou3lem6  26308  muf  27102  dvdsppwf1o  27148  mersenne  27190  lgslem1  27260  lgsval2lem  27270  lgsvalmod  27279  lgsmod  27286  lgsdirprm  27294  lgsne0  27298  lgsqrlem1  27309  gausslemma2dlem7  27336  gausslemma2d  27337  lgseisenlem2  27339  lgseisenlem4  27341  m1lgs  27351  2sqreultlem  27410  2sqreunnltlem  27413  znfermltl  33381  mdetlap  33863  oddpwdc  34386  nn0prpwlem  36340  nn0prpw  36341  knoppndvlem2  36531  aks4d1p3  42091  aks4d1p6  42094  aks6d1c2p2  42132  jm2.18  43012  jm2.22  43019  jm2.23  43020  jm2.20nn  43021  inductionexd  44179  etransclem3  46266  etransclem7  46270  etransclem10  46273  etransclem24  46287  etransclem27  46290  etransclem35  46298  2pwp1prm  47603  sfprmdvdsmersenne  47617  lighneallem4b  47623  lighneallem4  47624  proththd  47628  41prothprmlem2  47632  nnpw2evenALTV  47716  fpprmod  47741  fppr2odd  47745  dfwppr  47752  fpprwppr  47753  fpprwpprb  47754  pw2m1lepw2m1  48496  nnpw2blenfzo  48561  dignn0fr  48581  digexp  48587  dignn0flhalflem1  48595