Theorem zexpcl 14042

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12566	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12611	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12592	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14038	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558  ↑cexp 14027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028

This theorem is referenced by:  zexpcld  14053  zsqcl  14094  modexp  14201  climcndslem1  15795  iddvdsexp  16223  dvdsexp2im  16270  dvdsexp  16271  3dvds  16274  prmdvdsexp  16652  rpexp  16659  rpexp12i  16661  phiprmpw  16709  eulerthlem2  16715  fermltl  16717  prmdiv  16718  prmdiveq  16719  odzcllem  16725  odzdvds  16728  odzphi  16729  vfermltlALT  16735  powm2modprm  16736  pcneg  16807  pcprmpw  16816  prmpwdvds  16837  pockthlem  16838  dyaddisjlem  25112  aalioulem1  25845  aaliou3lem6  25861  muf  26644  dvdsppwf1o  26690  mersenne  26730  lgslem1  26800  lgsval2lem  26810  lgsvalmod  26819  lgsmod  26826  lgsdirprm  26834  lgsne0  26838  lgsqrlem1  26849  gausslemma2dlem7  26876  gausslemma2d  26877  lgseisenlem2  26879  lgseisenlem4  26881  m1lgs  26891  2sqreultlem  26950  2sqreunnltlem  26953  znfermltl  32479  mdetlap  32812  oddpwdc  33353  nn0prpwlem  35207  nn0prpw  35208  knoppndvlem2  35389  aks4d1p3  40943  aks4d1p6  40946  aks6d1c2p2  40957  dvdsexpim  41219  zexpgcd  41227  numdenexp  41228  jm2.18  41727  jm2.22  41734  jm2.23  41735  jm2.20nn  41736  inductionexd  42906  etransclem3  44953  etransclem7  44957  etransclem10  44960  etransclem24  44974  etransclem27  44977  etransclem35  44985  2pwp1prm  46257  sfprmdvdsmersenne  46271  lighneallem4b  46277  lighneallem4  46278  proththd  46282  41prothprmlem2  46286  nnpw2evenALTV  46370  fpprmod  46395  fppr2odd  46399  dfwppr  46406  fpprwppr  46407  fpprwpprb  46408  pw2m1lepw2m1  47201  nnpw2blenfzo  47267  dignn0fr  47287  digexp  47293  dignn0flhalflem1  47301