Theorem zexpcl 14039

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12563	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12608	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12589	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14035	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7406  ℕ₀cn0 12469  ℤcz 12555  ↑cexp 14024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-seq 13964  df-exp 14025

This theorem is referenced by:  zexpcld  14050  zsqcl  14091  modexp  14198  climcndslem1  15792  iddvdsexp  16220  dvdsexp2im  16267  dvdsexp  16268  3dvds  16271  prmdvdsexp  16649  rpexp  16656  rpexp12i  16658  phiprmpw  16706  eulerthlem2  16712  fermltl  16714  prmdiv  16715  prmdiveq  16716  odzcllem  16722  odzdvds  16725  odzphi  16726  vfermltlALT  16732  powm2modprm  16733  pcneg  16804  pcprmpw  16813  prmpwdvds  16834  pockthlem  16835  dyaddisjlem  25104  aalioulem1  25837  aaliou3lem6  25853  muf  26634  dvdsppwf1o  26680  mersenne  26720  lgslem1  26790  lgsval2lem  26800  lgsvalmod  26809  lgsmod  26816  lgsdirprm  26824  lgsne0  26828  lgsqrlem1  26839  gausslemma2dlem7  26866  gausslemma2d  26867  lgseisenlem2  26869  lgseisenlem4  26871  m1lgs  26881  2sqreultlem  26940  2sqreunnltlem  26943  znfermltl  32468  mdetlap  32801  oddpwdc  33342  nn0prpwlem  35196  nn0prpw  35197  knoppndvlem2  35378  aks4d1p3  40932  aks4d1p6  40935  aks6d1c2p2  40946  dvdsexpim  41215  zexpgcd  41223  numdenexp  41224  jm2.18  41713  jm2.22  41720  jm2.23  41721  jm2.20nn  41722  inductionexd  42892  etransclem3  44940  etransclem7  44944  etransclem10  44947  etransclem24  44961  etransclem27  44964  etransclem35  44972  2pwp1prm  46244  sfprmdvdsmersenne  46258  lighneallem4b  46264  lighneallem4  46265  proththd  46269  41prothprmlem2  46273  nnpw2evenALTV  46357  fpprmod  46382  fppr2odd  46386  dfwppr  46393  fpprwppr  46394  fpprwpprb  46395  pw2m1lepw2m1  47155  nnpw2blenfzo  47221  dignn0fr  47241  digexp  47247  dignn0flhalflem1  47255