Theorem zexpcl 14223

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12705	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12749	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12730	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14219	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  ↑cexp 14208

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-seq 14149  df-exp 14209

This theorem is used by:  zexpcld  14234  zsqcl  14276  modexp  14386  climcndslem1  16024  iddvdsexp  16455  dvdsexp2im  16503  dvdsexp  16504  3dvds  16507  dvdsexpim  16734  zexpgcd  16745  prmdvdsexp  16897  rpexp  16904  rpexp12i  16906  numdenexp  16943  phiprmpw  16959  eulerthlem2  16965  fermltl  16967  prmdiv  16968  prmdiveq  16969  odzcllem  16976  odzdvds  16979  odzphi  16980  vfermltlALT  16986  powm2modprm  16987  pcneg  17058  pcprmpw  17067  prmpwdvds  17088  pockthlem  17089  dyaddisjlem  25922  aalioulem1  26665  aaliou3lem6  26681  muf  27473  dvdsppwf1o  27519  mersenne  27560  lgslem1  27630  lgsval2lem  27640  lgsvalmod  27649  lgsmod  27656  lgsdirprm  27664  lgsne0  27668  lgsqrlem1  27679  gausslemma2dlem7  27706  gausslemma2d  27707  lgseisenlem2  27709  lgseisenlem4  27711  m1lgs  27721  2sqreultlem  27780  2sqreunnltlem  27783  znfermltl  33969  mdetlap  34511  oddpwdc  35033  nn0prpwlem  37203  nn0prpw  37204  knoppndvlem2  37472  aks4d1p3  43222  aks4d1p6  43225  aks6d1c2p2  43263  jm2.18  44089  jm2.22  44096  jm2.23  44097  jm2.20nn  44098  inductionexd  45249  etransclem3  47341  etransclem7  47345  etransclem10  47348  etransclem24  47362  etransclem27  47365  etransclem35  47373  2pwp1prm  48768  sfprmdvdsmersenne  48782  lighneallem4b  48788  lighneallem4  48789  proththd  48793  41prothprmlem2  48797  nnpw2evenALTV  48894  fpprmod  48919  fppr2odd  48923  dfwppr  48930  fpprwppr  48931  fpprwpprb  48932  pw2m1lepw2m1  49726  nnpw2blenfzo  49787  dignn0fr  49807  digexp  49813