Theorem zexpcl 14011

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12508	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12552	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12533	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14007	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ↑cexp 13996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937  df-exp 13997

This theorem is referenced by:  zexpcld  14022  zsqcl  14064  modexp  14173  climcndslem1  15784  iddvdsexp  16218  dvdsexp2im  16266  dvdsexp  16267  3dvds  16270  dvdsexpim  16494  zexpgcd  16504  prmdvdsexp  16654  rpexp  16661  rpexp12i  16663  numdenexp  16699  phiprmpw  16715  eulerthlem2  16721  fermltl  16723  prmdiv  16724  prmdiveq  16725  odzcllem  16732  odzdvds  16735  odzphi  16736  vfermltlALT  16742  powm2modprm  16743  pcneg  16814  pcprmpw  16823  prmpwdvds  16844  pockthlem  16845  dyaddisjlem  25564  aalioulem1  26308  aaliou3lem6  26324  muf  27118  dvdsppwf1o  27164  mersenne  27206  lgslem1  27276  lgsval2lem  27286  lgsvalmod  27295  lgsmod  27302  lgsdirprm  27310  lgsne0  27314  lgsqrlem1  27325  gausslemma2dlem7  27352  gausslemma2d  27353  lgseisenlem2  27355  lgseisenlem4  27357  m1lgs  27367  2sqreultlem  27426  2sqreunnltlem  27429  znfermltl  33459  mdetlap  34010  oddpwdc  34532  nn0prpwlem  36538  nn0prpw  36539  knoppndvlem2  36735  aks4d1p3  42448  aks4d1p6  42451  aks6d1c2p2  42489  jm2.18  43345  jm2.22  43352  jm2.23  43353  jm2.20nn  43354  inductionexd  44511  etransclem3  46595  etransclem7  46599  etransclem10  46602  etransclem24  46616  etransclem27  46619  etransclem35  46627  2pwp1prm  47949  sfprmdvdsmersenne  47963  lighneallem4b  47969  lighneallem4  47970  proththd  47974  41prothprmlem2  47978  nnpw2evenALTV  48062  fpprmod  48087  fppr2odd  48091  dfwppr  48098  fpprwppr  48099  fpprwpprb  48100  pw2m1lepw2m1  48880  nnpw2blenfzo  48941  dignn0fr  48961  digexp  48967  dignn0flhalflem1  48975