Theorem zexpcl 14038

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12532	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12576	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12557	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14034	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  zexpcld  14049  zsqcl  14091  modexp  14200  climcndslem1  15814  iddvdsexp  16248  dvdsexp2im  16296  dvdsexp  16297  3dvds  16300  dvdsexpim  16524  zexpgcd  16534  prmdvdsexp  16685  rpexp  16692  rpexp12i  16694  numdenexp  16730  phiprmpw  16746  eulerthlem2  16752  fermltl  16754  prmdiv  16755  prmdiveq  16756  odzcllem  16763  odzdvds  16766  odzphi  16767  vfermltlALT  16773  powm2modprm  16774  pcneg  16845  pcprmpw  16854  prmpwdvds  16875  pockthlem  16876  dyaddisjlem  25562  aalioulem1  26298  aaliou3lem6  26314  muf  27103  dvdsppwf1o  27149  mersenne  27190  lgslem1  27260  lgsval2lem  27270  lgsvalmod  27279  lgsmod  27286  lgsdirprm  27294  lgsne0  27298  lgsqrlem1  27309  gausslemma2dlem7  27336  gausslemma2d  27337  lgseisenlem2  27339  lgseisenlem4  27341  m1lgs  27351  2sqreultlem  27410  2sqreunnltlem  27413  znfermltl  33426  mdetlap  33976  oddpwdc  34498  nn0prpwlem  36504  nn0prpw  36505  knoppndvlem2  36773  aks4d1p3  42517  aks4d1p6  42520  aks6d1c2p2  42558  jm2.18  43416  jm2.22  43423  jm2.23  43424  jm2.20nn  43425  inductionexd  44582  etransclem3  46665  etransclem7  46669  etransclem10  46672  etransclem24  46686  etransclem27  46689  etransclem35  46697  2pwp1prm  48052  sfprmdvdsmersenne  48066  lighneallem4b  48072  lighneallem4  48073  proththd  48077  41prothprmlem2  48081  nnpw2evenALTV  48178  fpprmod  48203  fppr2odd  48207  dfwppr  48214  fpprwppr  48215  fpprwpprb  48216  pw2m1lepw2m1  48996  nnpw2blenfzo  49057  dignn0fr  49077  digexp  49083  dignn0flhalflem1  49091