Theorem zexpcl 14140

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12623	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12667	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12648	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14136	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ↑cexp 14125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-seq 14066  df-exp 14126

This theorem is used by:  zexpcld  14151  zsqcl  14193  modexp  14302  climcndslem1  15938  iddvdsexp  16369  dvdsexp2im  16417  dvdsexp  16418  3dvds  16421  dvdsexpim  16645  zexpgcd  16655  prmdvdsexp  16806  rpexp  16813  rpexp12i  16815  numdenexp  16851  phiprmpw  16867  eulerthlem2  16873  fermltl  16875  prmdiv  16876  prmdiveq  16877  odzcllem  16884  odzdvds  16887  odzphi  16888  vfermltlALT  16894  powm2modprm  16895  pcneg  16966  pcprmpw  16975  prmpwdvds  16996  pockthlem  16997  dyaddisjlem  25823  aalioulem1  26568  aaliou3lem6  26584  muf  27376  dvdsppwf1o  27422  mersenne  27463  lgslem1  27533  lgsval2lem  27543  lgsvalmod  27552  lgsmod  27559  lgsdirprm  27567  lgsne0  27571  lgsqrlem1  27582  gausslemma2dlem7  27609  gausslemma2d  27610  lgseisenlem2  27612  lgseisenlem4  27614  m1lgs  27624  2sqreultlem  27683  2sqreunnltlem  27686  znfermltl  33801  mdetlap  34342  oddpwdc  34865  nn0prpwlem  36941  nn0prpw  36942  knoppndvlem2  37210  aks4d1p3  42944  aks4d1p6  42947  aks6d1c2p2  42985  jm2.18  43829  jm2.22  43836  jm2.23  43837  jm2.20nn  43838  inductionexd  44995  etransclem3  47065  etransclem7  47069  etransclem10  47072  etransclem24  47086  etransclem27  47089  etransclem35  47097  2pwp1prm  48492  sfprmdvdsmersenne  48506  lighneallem4b  48512  lighneallem4  48513  proththd  48517  41prothprmlem2  48521  nnpw2evenALTV  48618  fpprmod  48643  fppr2odd  48647  dfwppr  48654  fpprwppr  48655  fpprwpprb  48656  pw2m1lepw2m1  49450  nnpw2blenfzo  49511  dignn0fr  49531  digexp  49537  dignn0flhalflem1  49545