Theorem zexpcl 14041

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12537	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12582	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12563	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14037	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-seq 13967  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  zexpcld  14052  zsqcl  14094  modexp  14203  climcndslem1  15815  iddvdsexp  16249  dvdsexp2im  16297  dvdsexp  16298  3dvds  16301  dvdsexpim  16525  zexpgcd  16535  prmdvdsexp  16685  rpexp  16692  rpexp12i  16694  numdenexp  16730  phiprmpw  16746  eulerthlem2  16752  fermltl  16754  prmdiv  16755  prmdiveq  16756  odzcllem  16763  odzdvds  16766  odzphi  16767  vfermltlALT  16773  powm2modprm  16774  pcneg  16845  pcprmpw  16854  prmpwdvds  16875  pockthlem  16876  dyaddisjlem  25496  aalioulem1  26240  aaliou3lem6  26256  muf  27050  dvdsppwf1o  27096  mersenne  27138  lgslem1  27208  lgsval2lem  27218  lgsvalmod  27227  lgsmod  27234  lgsdirprm  27242  lgsne0  27246  lgsqrlem1  27257  gausslemma2dlem7  27284  gausslemma2d  27285  lgseisenlem2  27287  lgseisenlem4  27289  m1lgs  27299  2sqreultlem  27358  2sqreunnltlem  27361  znfermltl  33337  mdetlap  33822  oddpwdc  34345  nn0prpwlem  36310  nn0prpw  36311  knoppndvlem2  36501  aks4d1p3  42066  aks4d1p6  42069  aks6d1c2p2  42107  jm2.18  42977  jm2.22  42984  jm2.23  42985  jm2.20nn  42986  inductionexd  44144  etransclem3  46235  etransclem7  46239  etransclem10  46242  etransclem24  46256  etransclem27  46259  etransclem35  46267  2pwp1prm  47590  sfprmdvdsmersenne  47604  lighneallem4b  47610  lighneallem4  47611  proththd  47615  41prothprmlem2  47619  nnpw2evenALTV  47703  fpprmod  47728  fppr2odd  47732  dfwppr  47739  fpprwppr  47740  fpprwpprb  47741  pw2m1lepw2m1  48509  nnpw2blenfzo  48570  dignn0fr  48590  digexp  48596  dignn0flhalflem1  48604