Theorem zexpcl 14077

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12599	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12644	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12625	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14073	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7419  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12591  ↑cexp 14062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-seq 14003  df-exp 14063

This theorem is referenced by:  zexpcld  14088  zsqcl  14129  modexp  14236  climcndslem1  15831  iddvdsexp  16260  dvdsexp2im  16307  dvdsexp  16308  3dvds  16311  prmdvdsexp  16689  rpexp  16697  rpexp12i  16699  phiprmpw  16748  eulerthlem2  16754  fermltl  16756  prmdiv  16757  prmdiveq  16758  odzcllem  16764  odzdvds  16767  odzphi  16768  vfermltlALT  16774  powm2modprm  16775  pcneg  16846  pcprmpw  16855  prmpwdvds  16876  pockthlem  16877  dyaddisjlem  25568  aalioulem1  26312  aaliou3lem6  26328  muf  27117  dvdsppwf1o  27163  mersenne  27205  lgslem1  27275  lgsval2lem  27285  lgsvalmod  27294  lgsmod  27301  lgsdirprm  27309  lgsne0  27313  lgsqrlem1  27324  gausslemma2dlem7  27351  gausslemma2d  27352  lgseisenlem2  27354  lgseisenlem4  27356  m1lgs  27366  2sqreultlem  27425  2sqreunnltlem  27428  znfermltl  33177  mdetlap  33561  oddpwdc  34102  nn0prpwlem  35934  nn0prpw  35935  knoppndvlem2  36116  aks4d1p3  41678  aks4d1p6  41681  aks6d1c2p2  41719  dvdsexpim  42020  zexpgcd  42028  numdenexp  42029  jm2.18  42548  jm2.22  42555  jm2.23  42556  jm2.20nn  42557  inductionexd  43724  etransclem3  45760  etransclem7  45764  etransclem10  45767  etransclem24  45781  etransclem27  45784  etransclem35  45792  2pwp1prm  47063  sfprmdvdsmersenne  47077  lighneallem4b  47083  lighneallem4  47084  proththd  47088  41prothprmlem2  47092  nnpw2evenALTV  47176  fpprmod  47201  fppr2odd  47205  dfwppr  47212  fpprwppr  47213  fpprwpprb  47214  pw2m1lepw2m1  47771  nnpw2blenfzo  47837  dignn0fr  47857  digexp  47863  dignn0flhalflem1  47871