Theorem zexpcl 14126

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12610	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12654	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12635	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14122	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  ℕ₀cn0 12515  ℤcz 12602  ↑cexp 14111

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-seq 14052  df-exp 14112

This theorem is used by:  zexpcld  14137  zsqcl  14179  modexp  14288  climcndslem1  15922  iddvdsexp  16355  dvdsexp2im  16403  dvdsexp  16404  3dvds  16407  dvdsexpim  16631  zexpgcd  16641  prmdvdsexp  16792  rpexp  16799  rpexp12i  16801  numdenexp  16837  phiprmpw  16853  eulerthlem2  16859  fermltl  16861  prmdiv  16862  prmdiveq  16863  odzcllem  16870  odzdvds  16873  odzphi  16874  vfermltlALT  16880  powm2modprm  16881  pcneg  16952  pcprmpw  16961  prmpwdvds  16982  pockthlem  16983  dyaddisjlem  25785  aalioulem1  26526  aaliou3lem6  26542  muf  27335  dvdsppwf1o  27381  mersenne  27422  lgslem1  27492  lgsval2lem  27502  lgsvalmod  27511  lgsmod  27518  lgsdirprm  27526  lgsne0  27530  lgsqrlem1  27541  gausslemma2dlem7  27568  gausslemma2d  27569  lgseisenlem2  27571  lgseisenlem4  27573  m1lgs  27583  2sqreultlem  27642  2sqreunnltlem  27645  znfermltl  33721  mdetlap  34262  oddpwdc  34785  nn0prpwlem  36866  nn0prpw  36867  knoppndvlem2  37135  aks4d1p3  42878  aks4d1p6  42881  aks6d1c2p2  42919  jm2.18  43748  jm2.22  43755  jm2.23  43756  jm2.20nn  43757  inductionexd  44914  etransclem3  46984  etransclem7  46988  etransclem10  46991  etransclem24  47005  etransclem27  47008  etransclem35  47016  2pwp1prm  48374  sfprmdvdsmersenne  48388  lighneallem4b  48394  lighneallem4  48395  proththd  48399  41prothprmlem2  48403  nnpw2evenALTV  48500  fpprmod  48525  fppr2odd  48529  dfwppr  48536  fpprwppr  48537  fpprwpprb  48538  pw2m1lepw2m1  49333  nnpw2blenfzo  49394  dignn0fr  49414  digexp  49420  dignn0flhalflem1  49428