Theorem zexpcl 14017

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12513	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12558	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12539	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14013	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ↑cexp 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-seq 13943  df-exp 14003

This theorem is referenced by:  zexpcld  14028  zsqcl  14070  modexp  14179  climcndslem1  15791  iddvdsexp  16225  dvdsexp2im  16273  dvdsexp  16274  3dvds  16277  dvdsexpim  16501  zexpgcd  16511  prmdvdsexp  16661  rpexp  16668  rpexp12i  16670  numdenexp  16706  phiprmpw  16722  eulerthlem2  16728  fermltl  16730  prmdiv  16731  prmdiveq  16732  odzcllem  16739  odzdvds  16742  odzphi  16743  vfermltlALT  16749  powm2modprm  16750  pcneg  16821  pcprmpw  16830  prmpwdvds  16851  pockthlem  16852  dyaddisjlem  25472  aalioulem1  26216  aaliou3lem6  26232  muf  27026  dvdsppwf1o  27072  mersenne  27114  lgslem1  27184  lgsval2lem  27194  lgsvalmod  27203  lgsmod  27210  lgsdirprm  27218  lgsne0  27222  lgsqrlem1  27233  gausslemma2dlem7  27260  gausslemma2d  27261  lgseisenlem2  27263  lgseisenlem4  27265  m1lgs  27275  2sqreultlem  27334  2sqreunnltlem  27337  znfermltl  33310  mdetlap  33795  oddpwdc  34318  nn0prpwlem  36283  nn0prpw  36284  knoppndvlem2  36474  aks4d1p3  42039  aks4d1p6  42042  aks6d1c2p2  42080  jm2.18  42950  jm2.22  42957  jm2.23  42958  jm2.20nn  42959  inductionexd  44117  etransclem3  46208  etransclem7  46212  etransclem10  46215  etransclem24  46229  etransclem27  46232  etransclem35  46240  2pwp1prm  47563  sfprmdvdsmersenne  47577  lighneallem4b  47583  lighneallem4  47584  proththd  47588  41prothprmlem2  47592  nnpw2evenALTV  47676  fpprmod  47701  fppr2odd  47705  dfwppr  47712  fpprwppr  47713  fpprwpprb  47714  pw2m1lepw2m1  48482  nnpw2blenfzo  48543  dignn0fr  48563  digexp  48569  dignn0flhalflem1  48577