Theorem zexpcl 14108

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12594	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12638	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12619	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14104	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ↑cexp 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-seq 14034  df-exp 14094

This theorem is referenced by:  zexpcld  14119  zsqcl  14161  modexp  14270  climcndslem1  15899  iddvdsexp  16332  dvdsexp2im  16380  dvdsexp  16381  3dvds  16384  dvdsexpim  16608  zexpgcd  16618  prmdvdsexp  16769  rpexp  16776  rpexp12i  16778  numdenexp  16814  phiprmpw  16830  eulerthlem2  16836  fermltl  16838  prmdiv  16839  prmdiveq  16840  odzcllem  16847  odzdvds  16850  odzphi  16851  vfermltlALT  16857  powm2modprm  16858  pcneg  16929  pcprmpw  16938  prmpwdvds  16959  pockthlem  16960  dyaddisjlem  25754  aalioulem1  26495  aaliou3lem6  26511  muf  27304  dvdsppwf1o  27350  mersenne  27391  lgslem1  27461  lgsval2lem  27471  lgsvalmod  27480  lgsmod  27487  lgsdirprm  27495  lgsne0  27499  lgsqrlem1  27510  gausslemma2dlem7  27537  gausslemma2d  27538  lgseisenlem2  27540  lgseisenlem4  27542  m1lgs  27552  2sqreultlem  27611  2sqreunnltlem  27614  znfermltl  33681  mdetlap  34222  oddpwdc  34744  nn0prpwlem  36833  nn0prpw  36834  knoppndvlem2  37102  aks4d1p3  42845  aks4d1p6  42848  aks6d1c2p2  42886  jm2.18  43715  jm2.22  43722  jm2.23  43723  jm2.20nn  43724  inductionexd  44881  etransclem3  46951  etransclem7  46955  etransclem10  46958  etransclem24  46972  etransclem27  46975  etransclem35  46983  2pwp1prm  48341  sfprmdvdsmersenne  48355  lighneallem4b  48361  lighneallem4  48362  proththd  48366  41prothprmlem2  48370  nnpw2evenALTV  48467  fpprmod  48492  fppr2odd  48496  dfwppr  48503  fpprwppr  48504  fpprwpprb  48505  pw2m1lepw2m1  49300  nnpw2blenfzo  49361  dignn0fr  49381  digexp  49387  dignn0flhalflem1  49395