Theorem zexpcl 14099

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12604	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12649	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12630	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14095	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7413  ℕ₀cn0 12509  ℤcz 12596  ↑cexp 14084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-seq 14025  df-exp 14085

This theorem is referenced by:  zexpcld  14110  zsqcl  14151  modexp  14259  climcndslem1  15867  iddvdsexp  16299  dvdsexp2im  16346  dvdsexp  16347  3dvds  16350  dvdsexpim  16574  zexpgcd  16584  prmdvdsexp  16734  rpexp  16741  rpexp12i  16743  numdenexp  16779  phiprmpw  16795  eulerthlem2  16801  fermltl  16803  prmdiv  16804  prmdiveq  16805  odzcllem  16812  odzdvds  16815  odzphi  16816  vfermltlALT  16822  powm2modprm  16823  pcneg  16894  pcprmpw  16903  prmpwdvds  16924  pockthlem  16925  dyaddisjlem  25566  aalioulem1  26310  aaliou3lem6  26326  muf  27119  dvdsppwf1o  27165  mersenne  27207  lgslem1  27277  lgsval2lem  27287  lgsvalmod  27296  lgsmod  27303  lgsdirprm  27311  lgsne0  27315  lgsqrlem1  27326  gausslemma2dlem7  27353  gausslemma2d  27354  lgseisenlem2  27356  lgseisenlem4  27358  m1lgs  27368  2sqreultlem  27427  2sqreunnltlem  27430  znfermltl  33329  mdetlap  33790  oddpwdc  34315  nn0prpwlem  36282  nn0prpw  36283  knoppndvlem2  36473  aks4d1p3  42038  aks4d1p6  42041  aks6d1c2p2  42079  jm2.18  42963  jm2.22  42970  jm2.23  42971  jm2.20nn  42972  inductionexd  44130  etransclem3  46209  etransclem7  46213  etransclem10  46216  etransclem24  46230  etransclem27  46233  etransclem35  46241  2pwp1prm  47534  sfprmdvdsmersenne  47548  lighneallem4b  47554  lighneallem4  47555  proththd  47559  41prothprmlem2  47563  nnpw2evenALTV  47647  fpprmod  47672  fppr2odd  47676  dfwppr  47683  fpprwppr  47684  fpprwpprb  47685  pw2m1lepw2m1  48395  nnpw2blenfzo  48460  dignn0fr  48480  digexp  48486  dignn0flhalflem1  48494