Theorem zexpcl 13978

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12471	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12516	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12497	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 13974	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7341  ℕ₀cn0 12376  ℤcz 12463  ↑cexp 13963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-seq 13904  df-exp 13964

This theorem is referenced by:  zexpcld  13989  zsqcl  14031  modexp  14140  climcndslem1  15751  iddvdsexp  16185  dvdsexp2im  16233  dvdsexp  16234  3dvds  16237  dvdsexpim  16461  zexpgcd  16471  prmdvdsexp  16621  rpexp  16628  rpexp12i  16630  numdenexp  16666  phiprmpw  16682  eulerthlem2  16688  fermltl  16690  prmdiv  16691  prmdiveq  16692  odzcllem  16699  odzdvds  16702  odzphi  16703  vfermltlALT  16709  powm2modprm  16710  pcneg  16781  pcprmpw  16790  prmpwdvds  16811  pockthlem  16812  dyaddisjlem  25518  aalioulem1  26262  aaliou3lem6  26278  muf  27072  dvdsppwf1o  27118  mersenne  27160  lgslem1  27230  lgsval2lem  27240  lgsvalmod  27249  lgsmod  27256  lgsdirprm  27264  lgsne0  27268  lgsqrlem1  27279  gausslemma2dlem7  27306  gausslemma2d  27307  lgseisenlem2  27309  lgseisenlem4  27311  m1lgs  27321  2sqreultlem  27380  2sqreunnltlem  27383  znfermltl  33323  mdetlap  33837  oddpwdc  34359  nn0prpwlem  36356  nn0prpw  36357  knoppndvlem2  36547  aks4d1p3  42111  aks4d1p6  42114  aks6d1c2p2  42152  jm2.18  43021  jm2.22  43028  jm2.23  43029  jm2.20nn  43030  inductionexd  44188  etransclem3  46275  etransclem7  46279  etransclem10  46282  etransclem24  46296  etransclem27  46299  etransclem35  46307  2pwp1prm  47620  sfprmdvdsmersenne  47634  lighneallem4b  47640  lighneallem4  47641  proththd  47645  41prothprmlem2  47649  nnpw2evenALTV  47733  fpprmod  47758  fppr2odd  47762  dfwppr  47769  fpprwppr  47770  fpprwpprb  47771  pw2m1lepw2m1  48552  nnpw2blenfzo  48613  dignn0fr  48633  digexp  48639  dignn0flhalflem1  48647