MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zexpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zexpcl 13429
Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
zexpcl ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsscn 11968 . 2 ℤ ⊆ ℂ
2 zmulcl 12010 . 2 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3 1z 11991 . 2 1 ∈ ℤ
41, 2, 3expcllem 13425 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wcel 2114  (class class class)co 7133  0cn0 11876  cz 11960  cexp 13414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-seq 13354  df-exp 13415
This theorem is referenced by:  zsqcl  13479  modexp  13584  climcndslem1  15184  iddvdsexp  15613  dvdsexp  15657  3dvds  15660  prmdvdsexp  16037  rpexp  16042  rpexp12i  16044  phiprmpw  16091  eulerthlem2  16097  fermltl  16099  prmdiv  16100  prmdiveq  16101  odzcllem  16107  odzdvds  16110  odzphi  16111  vfermltlALT  16117  powm2modprm  16118  pcneg  16188  pcprmpw  16197  prmpwdvds  16218  pockthlem  16219  dyaddisjlem  24178  aalioulem1  24907  aaliou3lem6  24923  muf  25704  dvdsppwf1o  25750  mersenne  25790  lgslem1  25860  lgsval2lem  25870  lgsvalmod  25879  lgsmod  25886  lgsdirprm  25894  lgsne0  25898  lgsqrlem1  25909  gausslemma2dlem7  25936  gausslemma2d  25937  lgseisenlem2  25939  lgseisenlem4  25941  m1lgs  25951  2sqreultlem  26010  2sqreunnltlem  26013  mdetlap  31108  oddpwdc  31620  dvdspw  32990  nn0prpwlem  33678  nn0prpw  33679  knoppndvlem2  33860  dvdsexpim  39301  zexpgcd  39305  numdenexp  39306  jm2.18  39722  jm2.22  39729  jm2.23  39730  jm2.20nn  39731  inductionexd  40640  etransclem3  42670  etransclem7  42674  etransclem10  42677  etransclem24  42691  etransclem27  42694  etransclem35  42702  2pwp1prm  43897  sfprmdvdsmersenne  43913  lighneallem4b  43919  lighneallem4  43920  proththd  43924  41prothprmlem2  43928  nnpw2evenALTV  44012  fpprmod  44037  fppr2odd  44041  dfwppr  44048  fpprwppr  44049  fpprwpprb  44050  pw2m1lepw2m1  44720  nnpw2blenfzo  44786  dignn0fr  44806  digexp  44812  dignn0flhalflem1  44820
  Copyright terms: Public domain W3C validator