Theorem zexpcl 14046

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12570	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12615	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12596	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14042	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ↑cexp 14031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13971  df-exp 14032

This theorem is referenced by:  zexpcld  14057  zsqcl  14098  modexp  14205  climcndslem1  15799  iddvdsexp  16227  dvdsexp2im  16274  dvdsexp  16275  3dvds  16278  prmdvdsexp  16656  rpexp  16663  rpexp12i  16665  phiprmpw  16713  eulerthlem2  16719  fermltl  16721  prmdiv  16722  prmdiveq  16723  odzcllem  16729  odzdvds  16732  odzphi  16733  vfermltlALT  16739  powm2modprm  16740  pcneg  16811  pcprmpw  16820  prmpwdvds  16841  pockthlem  16842  dyaddisjlem  25344  aalioulem1  26081  aaliou3lem6  26097  muf  26880  dvdsppwf1o  26926  mersenne  26966  lgslem1  27036  lgsval2lem  27046  lgsvalmod  27055  lgsmod  27062  lgsdirprm  27070  lgsne0  27074  lgsqrlem1  27085  gausslemma2dlem7  27112  gausslemma2d  27113  lgseisenlem2  27115  lgseisenlem4  27117  m1lgs  27127  2sqreultlem  27186  2sqreunnltlem  27189  znfermltl  32753  mdetlap  33110  oddpwdc  33651  nn0prpwlem  35510  nn0prpw  35511  knoppndvlem2  35692  aks4d1p3  41249  aks4d1p6  41252  aks6d1c2p2  41263  dvdsexpim  41521  zexpgcd  41529  numdenexp  41530  jm2.18  42029  jm2.22  42036  jm2.23  42037  jm2.20nn  42038  inductionexd  43208  etransclem3  45251  etransclem7  45255  etransclem10  45258  etransclem24  45272  etransclem27  45275  etransclem35  45283  2pwp1prm  46555  sfprmdvdsmersenne  46569  lighneallem4b  46575  lighneallem4  46576  proththd  46580  41prothprmlem2  46584  nnpw2evenALTV  46668  fpprmod  46693  fppr2odd  46697  dfwppr  46704  fpprwppr  46705  fpprwpprb  46706  pw2m1lepw2m1  47288  nnpw2blenfzo  47354  dignn0fr  47374  digexp  47380  dignn0flhalflem1  47388