Theorem zexpcl 14029

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12523	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12567	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12548	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14025	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  zexpcld  14040  zsqcl  14082  modexp  14191  climcndslem1  15805  iddvdsexp  16239  dvdsexp2im  16287  dvdsexp  16288  3dvds  16291  dvdsexpim  16515  zexpgcd  16525  prmdvdsexp  16676  rpexp  16683  rpexp12i  16685  numdenexp  16721  phiprmpw  16737  eulerthlem2  16743  fermltl  16745  prmdiv  16746  prmdiveq  16747  odzcllem  16754  odzdvds  16757  odzphi  16758  vfermltlALT  16764  powm2modprm  16765  pcneg  16836  pcprmpw  16845  prmpwdvds  16866  pockthlem  16867  dyaddisjlem  25572  aalioulem1  26309  aaliou3lem6  26325  muf  27117  dvdsppwf1o  27163  mersenne  27204  lgslem1  27274  lgsval2lem  27284  lgsvalmod  27293  lgsmod  27300  lgsdirprm  27308  lgsne0  27312  lgsqrlem1  27323  gausslemma2dlem7  27350  gausslemma2d  27351  lgseisenlem2  27353  lgseisenlem4  27355  m1lgs  27365  2sqreultlem  27424  2sqreunnltlem  27427  znfermltl  33441  mdetlap  33992  oddpwdc  34514  nn0prpwlem  36520  nn0prpw  36521  knoppndvlem2  36789  aks4d1p3  42531  aks4d1p6  42534  aks6d1c2p2  42572  jm2.18  43434  jm2.22  43441  jm2.23  43442  jm2.20nn  43443  inductionexd  44600  etransclem3  46683  etransclem7  46687  etransclem10  46690  etransclem24  46704  etransclem27  46707  etransclem35  46715  2pwp1prm  48064  sfprmdvdsmersenne  48078  lighneallem4b  48084  lighneallem4  48085  proththd  48089  41prothprmlem2  48093  nnpw2evenALTV  48190  fpprmod  48215  fppr2odd  48219  dfwppr  48226  fpprwppr  48227  fpprwpprb  48228  pw2m1lepw2m1  49008  nnpw2blenfzo  49069  dignn0fr  49089  digexp  49095  dignn0flhalflem1  49103