Theorem zexpcl 13797

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12327	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12369	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12350	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 13793	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  zexpcld  13808  zsqcl  13848  modexp  13953  climcndslem1  15561  iddvdsexp  15989  dvdsexp2im  16036  dvdsexp  16037  3dvds  16040  prmdvdsexp  16420  rpexp  16427  rpexp12i  16429  phiprmpw  16477  eulerthlem2  16483  fermltl  16485  prmdiv  16486  prmdiveq  16487  odzcllem  16493  odzdvds  16496  odzphi  16497  vfermltlALT  16503  powm2modprm  16504  pcneg  16575  pcprmpw  16584  prmpwdvds  16605  pockthlem  16606  dyaddisjlem  24759  aalioulem1  25492  aaliou3lem6  25508  muf  26289  dvdsppwf1o  26335  mersenne  26375  lgslem1  26445  lgsval2lem  26455  lgsvalmod  26464  lgsmod  26471  lgsdirprm  26479  lgsne0  26483  lgsqrlem1  26494  gausslemma2dlem7  26521  gausslemma2d  26522  lgseisenlem2  26524  lgseisenlem4  26526  m1lgs  26536  2sqreultlem  26595  2sqreunnltlem  26598  znfermltl  31562  mdetlap  31782  oddpwdc  32321  nn0prpwlem  34511  nn0prpw  34512  knoppndvlem2  34693  aks4d1p3  40086  aks4d1p6  40089  dvdsexpim  40328  zexpgcd  40336  numdenexp  40337  jm2.18  40810  jm2.22  40817  jm2.23  40818  jm2.20nn  40819  inductionexd  41765  etransclem3  43778  etransclem7  43782  etransclem10  43785  etransclem24  43799  etransclem27  43802  etransclem35  43810  2pwp1prm  45041  sfprmdvdsmersenne  45055  lighneallem4b  45061  lighneallem4  45062  proththd  45066  41prothprmlem2  45070  nnpw2evenALTV  45154  fpprmod  45179  fppr2odd  45183  dfwppr  45190  fpprwppr  45191  fpprwpprb  45192  pw2m1lepw2m1  45861  nnpw2blenfzo  45927  dignn0fr  45947  digexp  45953  dignn0flhalflem1  45961