Theorem zexpcl 14212

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12694	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12738	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12719	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14208	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686  ↑cexp 14197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-seq 14138  df-exp 14198

This theorem is used by:  zexpcld  14223  zsqcl  14265  modexp  14375  climcndslem1  16011  iddvdsexp  16442  dvdsexp2im  16490  dvdsexp  16491  3dvds  16494  dvdsexpim  16721  zexpgcd  16732  prmdvdsexp  16884  rpexp  16891  rpexp12i  16893  numdenexp  16930  phiprmpw  16946  eulerthlem2  16952  fermltl  16954  prmdiv  16955  prmdiveq  16956  odzcllem  16963  odzdvds  16966  odzphi  16967  vfermltlALT  16973  powm2modprm  16974  pcneg  17045  pcprmpw  17054  prmpwdvds  17075  pockthlem  17076  dyaddisjlem  25909  aalioulem1  26652  aaliou3lem6  26668  muf  27460  dvdsppwf1o  27506  mersenne  27547  lgslem1  27617  lgsval2lem  27627  lgsvalmod  27636  lgsmod  27643  lgsdirprm  27651  lgsne0  27655  lgsqrlem1  27666  gausslemma2dlem7  27693  gausslemma2d  27694  lgseisenlem2  27696  lgseisenlem4  27698  m1lgs  27708  2sqreultlem  27767  2sqreunnltlem  27770  znfermltl  33915  mdetlap  34457  oddpwdc  34979  nn0prpwlem  37090  nn0prpw  37091  knoppndvlem2  37359  aks4d1p3  43108  aks4d1p6  43111  aks6d1c2p2  43149  jm2.18  43974  jm2.22  43981  jm2.23  43982  jm2.20nn  43983  inductionexd  45140  etransclem3  47216  etransclem7  47220  etransclem10  47223  etransclem24  47237  etransclem27  47240  etransclem35  47248  2pwp1prm  48643  sfprmdvdsmersenne  48657  lighneallem4b  48663  lighneallem4  48664  proththd  48668  41prothprmlem2  48672  nnpw2evenALTV  48769  fpprmod  48794  fppr2odd  48798  dfwppr  48805  fpprwppr  48806  fpprwpprb  48807  pw2m1lepw2m1  49601  nnpw2blenfzo  49662  dignn0fr  49682  digexp  49688