Theorem zexpcl 13438

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 11983	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12025	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12006	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 13434	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  ↑cexp 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-seq 13364  df-exp 13424

This theorem is referenced by:  zsqcl  13488  modexp  13593  climcndslem1  15198  iddvdsexp  15627  dvdsexp  15671  3dvds  15674  prmdvdsexp  16053  rpexp  16058  rpexp12i  16060  phiprmpw  16107  eulerthlem2  16113  fermltl  16115  prmdiv  16116  prmdiveq  16117  odzcllem  16123  odzdvds  16126  odzphi  16127  vfermltlALT  16133  powm2modprm  16134  pcneg  16204  pcprmpw  16213  prmpwdvds  16234  pockthlem  16235  dyaddisjlem  24190  aalioulem1  24915  aaliou3lem6  24931  muf  25711  dvdsppwf1o  25757  mersenne  25797  lgslem1  25867  lgsval2lem  25877  lgsvalmod  25886  lgsmod  25893  lgsdirprm  25901  lgsne0  25905  lgsqrlem1  25916  gausslemma2dlem7  25943  gausslemma2d  25944  lgseisenlem2  25946  lgseisenlem4  25948  m1lgs  25958  2sqreultlem  26017  2sqreunnltlem  26020  mdetlap  31092  oddpwdc  31607  dvdspw  32977  nn0prpwlem  33665  nn0prpw  33666  knoppndvlem2  33847  dvdsexpim  39174  zexpgcd  39178  numdenexp  39179  jm2.18  39578  jm2.22  39585  jm2.23  39586  jm2.20nn  39587  inductionexd  40498  etransclem3  42515  etransclem7  42519  etransclem10  42522  etransclem24  42536  etransclem27  42539  etransclem35  42547  2pwp1prm  43744  sfprmdvdsmersenne  43761  lighneallem4b  43767  lighneallem4  43768  proththd  43772  41prothprmlem2  43776  nnpw2evenALTV  43860  fpprmod  43885  fppr2odd  43889  dfwppr  43896  fpprwppr  43897  fpprwpprb  43898  pw2m1lepw2m1  44568  nnpw2blenfzo  44634  dignn0fr  44654  digexp  44660  dignn0flhalflem1  44668