Theorem zexpcl 13785

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12315	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12357	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12338	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 13781	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7268  ℕ₀cn0 12221  ℤcz 12307  ↑cexp 13770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-nn 11962  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-seq 13710  df-exp 13771

This theorem is referenced by:  zexpcld  13796  zsqcl  13836  modexp  13941  climcndslem1  15549  iddvdsexp  15977  dvdsexp2im  16024  dvdsexp  16025  3dvds  16028  prmdvdsexp  16408  rpexp  16415  rpexp12i  16417  phiprmpw  16465  eulerthlem2  16471  fermltl  16473  prmdiv  16474  prmdiveq  16475  odzcllem  16481  odzdvds  16484  odzphi  16485  vfermltlALT  16491  powm2modprm  16492  pcneg  16563  pcprmpw  16572  prmpwdvds  16593  pockthlem  16594  dyaddisjlem  24747  aalioulem1  25480  aaliou3lem6  25496  muf  26277  dvdsppwf1o  26323  mersenne  26363  lgslem1  26433  lgsval2lem  26443  lgsvalmod  26452  lgsmod  26459  lgsdirprm  26467  lgsne0  26471  lgsqrlem1  26482  gausslemma2dlem7  26509  gausslemma2d  26510  lgseisenlem2  26512  lgseisenlem4  26514  m1lgs  26524  2sqreultlem  26583  2sqreunnltlem  26586  znfermltl  31548  mdetlap  31768  oddpwdc  32307  nn0prpwlem  34497  nn0prpw  34498  knoppndvlem2  34679  aks4d1p3  40072  aks4d1p6  40075  dvdsexpim  40314  zexpgcd  40322  numdenexp  40323  jm2.18  40796  jm2.22  40803  jm2.23  40804  jm2.20nn  40805  inductionexd  41724  etransclem3  43737  etransclem7  43741  etransclem10  43744  etransclem24  43758  etransclem27  43761  etransclem35  43769  2pwp1prm  44997  sfprmdvdsmersenne  45011  lighneallem4b  45017  lighneallem4  45018  proththd  45022  41prothprmlem2  45026  nnpw2evenALTV  45110  fpprmod  45135  fppr2odd  45139  dfwppr  45146  fpprwppr  45147  fpprwpprb  45148  pw2m1lepw2m1  45817  nnpw2blenfzo  45883  dignn0fr  45903  digexp  45909  dignn0flhalflem1  45917