Theorem zexpcl 14108

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12595	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12639	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12620	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14104	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  ℕ₀cn0 12500  ℤcz 12587  ↑cexp 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-seq 14034  df-exp 14094

This theorem is referenced by:  zexpcld  14119  zsqcl  14161  modexp  14270  climcndslem1  15899  iddvdsexp  16333  dvdsexp2im  16381  dvdsexp  16382  3dvds  16385  dvdsexpim  16609  zexpgcd  16619  prmdvdsexp  16770  rpexp  16777  rpexp12i  16779  numdenexp  16815  phiprmpw  16831  eulerthlem2  16837  fermltl  16839  prmdiv  16840  prmdiveq  16841  odzcllem  16848  odzdvds  16851  odzphi  16852  vfermltlALT  16858  powm2modprm  16859  pcneg  16930  pcprmpw  16939  prmpwdvds  16960  pockthlem  16961  dyaddisjlem  25719  aalioulem1  26458  aaliou3lem6  26474  muf  27266  dvdsppwf1o  27312  mersenne  27353  lgslem1  27423  lgsval2lem  27433  lgsvalmod  27442  lgsmod  27449  lgsdirprm  27457  lgsne0  27461  lgsqrlem1  27472  gausslemma2dlem7  27499  gausslemma2d  27500  lgseisenlem2  27502  lgseisenlem4  27504  m1lgs  27514  2sqreultlem  27573  2sqreunnltlem  27576  znfermltl  33620  mdetlap  34163  oddpwdc  34685  nn0prpwlem  36718  nn0prpw  36719  knoppndvlem2  36987  aks4d1p3  42730  aks4d1p6  42733  aks6d1c2p2  42771  jm2.18  43602  jm2.22  43609  jm2.23  43610  jm2.20nn  43611  inductionexd  44768  etransclem3  46838  etransclem7  46842  etransclem10  46845  etransclem24  46859  etransclem27  46862  etransclem35  46870  2pwp1prm  48225  sfprmdvdsmersenne  48239  lighneallem4b  48245  lighneallem4  48246  proththd  48250  41prothprmlem2  48254  nnpw2evenALTV  48351  fpprmod  48376  fppr2odd  48380  dfwppr  48387  fpprwppr  48388  fpprwpprb  48389  pw2m1lepw2m1  49180  nnpw2blenfzo  49241  dignn0fr  49261  digexp  49267  dignn0flhalflem1  49275