Theorem zexpcl 13990

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12487	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12531	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12512	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 13986	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  ℕ₀cn0 12392  ℤcz 12479  ↑cexp 13975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-seq 13916  df-exp 13976

This theorem is referenced by:  zexpcld  14001  zsqcl  14043  modexp  14152  climcndslem1  15763  iddvdsexp  16197  dvdsexp2im  16245  dvdsexp  16246  3dvds  16249  dvdsexpim  16473  zexpgcd  16483  prmdvdsexp  16633  rpexp  16640  rpexp12i  16642  numdenexp  16678  phiprmpw  16694  eulerthlem2  16700  fermltl  16702  prmdiv  16703  prmdiveq  16704  odzcllem  16711  odzdvds  16714  odzphi  16715  vfermltlALT  16721  powm2modprm  16722  pcneg  16793  pcprmpw  16802  prmpwdvds  16823  pockthlem  16824  dyaddisjlem  25543  aalioulem1  26287  aaliou3lem6  26303  muf  27097  dvdsppwf1o  27143  mersenne  27185  lgslem1  27255  lgsval2lem  27265  lgsvalmod  27274  lgsmod  27281  lgsdirprm  27289  lgsne0  27293  lgsqrlem1  27304  gausslemma2dlem7  27331  gausslemma2d  27332  lgseisenlem2  27334  lgseisenlem4  27336  m1lgs  27346  2sqreultlem  27405  2sqreunnltlem  27408  znfermltl  33375  mdetlap  33917  oddpwdc  34439  nn0prpwlem  36438  nn0prpw  36439  knoppndvlem2  36629  aks4d1p3  42244  aks4d1p6  42247  aks6d1c2p2  42285  jm2.18  43145  jm2.22  43152  jm2.23  43153  jm2.20nn  43154  inductionexd  44312  etransclem3  46397  etransclem7  46401  etransclem10  46404  etransclem24  46418  etransclem27  46421  etransclem35  46429  2pwp1prm  47751  sfprmdvdsmersenne  47765  lighneallem4b  47771  lighneallem4  47772  proththd  47776  41prothprmlem2  47780  nnpw2evenALTV  47864  fpprmod  47889  fppr2odd  47893  dfwppr  47900  fpprwppr  47901  fpprwpprb  47902  pw2m1lepw2m1  48682  nnpw2blenfzo  48743  dignn0fr  48763  digexp  48769  dignn0flhalflem1  48777