Theorem zexpcl 14114

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12619	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12664	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12645	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14110	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  zexpcld  14125  zsqcl  14166  modexp  14274  climcndslem1  15882  iddvdsexp  16314  dvdsexp2im  16361  dvdsexp  16362  3dvds  16365  dvdsexpim  16589  zexpgcd  16599  prmdvdsexp  16749  rpexp  16756  rpexp12i  16758  numdenexp  16794  phiprmpw  16810  eulerthlem2  16816  fermltl  16818  prmdiv  16819  prmdiveq  16820  odzcllem  16826  odzdvds  16829  odzphi  16830  vfermltlALT  16836  powm2modprm  16837  pcneg  16908  pcprmpw  16917  prmpwdvds  16938  pockthlem  16939  dyaddisjlem  25644  aalioulem1  26389  aaliou3lem6  26405  muf  27198  dvdsppwf1o  27244  mersenne  27286  lgslem1  27356  lgsval2lem  27366  lgsvalmod  27375  lgsmod  27382  lgsdirprm  27390  lgsne0  27394  lgsqrlem1  27405  gausslemma2dlem7  27432  gausslemma2d  27433  lgseisenlem2  27435  lgseisenlem4  27437  m1lgs  27447  2sqreultlem  27506  2sqreunnltlem  27509  znfermltl  33374  mdetlap  33793  oddpwdc  34336  nn0prpwlem  36305  nn0prpw  36306  knoppndvlem2  36496  aks4d1p3  42060  aks4d1p6  42063  aks6d1c2p2  42101  jm2.18  42977  jm2.22  42984  jm2.23  42985  jm2.20nn  42986  inductionexd  44145  etransclem3  46193  etransclem7  46197  etransclem10  46200  etransclem24  46214  etransclem27  46217  etransclem35  46225  2pwp1prm  47514  sfprmdvdsmersenne  47528  lighneallem4b  47534  lighneallem4  47535  proththd  47539  41prothprmlem2  47543  nnpw2evenALTV  47627  fpprmod  47652  fppr2odd  47656  dfwppr  47663  fpprwppr  47664  fpprwpprb  47665  pw2m1lepw2m1  48366  nnpw2blenfzo  48431  dignn0fr  48451  digexp  48457  dignn0flhalflem1  48465