Theorem zexpcl 14127

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12647	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12692	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12673	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14123	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-seq 14053  df-exp 14113

This theorem is referenced by:  zexpcld  14138  zsqcl  14179  modexp  14287  climcndslem1  15897  iddvdsexp  16328  dvdsexp2im  16375  dvdsexp  16376  3dvds  16379  dvdsexpim  16602  zexpgcd  16612  prmdvdsexp  16762  rpexp  16769  rpexp12i  16771  numdenexp  16807  phiprmpw  16823  eulerthlem2  16829  fermltl  16831  prmdiv  16832  prmdiveq  16833  odzcllem  16839  odzdvds  16842  odzphi  16843  vfermltlALT  16849  powm2modprm  16850  pcneg  16921  pcprmpw  16930  prmpwdvds  16951  pockthlem  16952  dyaddisjlem  25649  aalioulem1  26392  aaliou3lem6  26408  muf  27201  dvdsppwf1o  27247  mersenne  27289  lgslem1  27359  lgsval2lem  27369  lgsvalmod  27378  lgsmod  27385  lgsdirprm  27393  lgsne0  27397  lgsqrlem1  27408  gausslemma2dlem7  27435  gausslemma2d  27436  lgseisenlem2  27438  lgseisenlem4  27440  m1lgs  27450  2sqreultlem  27509  2sqreunnltlem  27512  znfermltl  33359  mdetlap  33778  oddpwdc  34319  nn0prpwlem  36288  nn0prpw  36289  knoppndvlem2  36479  aks4d1p3  42035  aks4d1p6  42038  aks6d1c2p2  42076  jm2.18  42945  jm2.22  42952  jm2.23  42953  jm2.20nn  42954  inductionexd  44117  etransclem3  46158  etransclem7  46162  etransclem10  46165  etransclem24  46179  etransclem27  46182  etransclem35  46190  2pwp1prm  47463  sfprmdvdsmersenne  47477  lighneallem4b  47483  lighneallem4  47484  proththd  47488  41prothprmlem2  47492  nnpw2evenALTV  47576  fpprmod  47601  fppr2odd  47605  dfwppr  47612  fpprwppr  47613  fpprwpprb  47614  pw2m1lepw2m1  48249  nnpw2blenfzo  48315  dignn0fr  48335  digexp  48341  dignn0flhalflem1  48349