Theorem zexpcl 14048

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12544	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12589	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12570	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14044	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by:  zexpcld  14059  zsqcl  14101  modexp  14210  climcndslem1  15822  iddvdsexp  16256  dvdsexp2im  16304  dvdsexp  16305  3dvds  16308  dvdsexpim  16532  zexpgcd  16542  prmdvdsexp  16692  rpexp  16699  rpexp12i  16701  numdenexp  16737  phiprmpw  16753  eulerthlem2  16759  fermltl  16761  prmdiv  16762  prmdiveq  16763  odzcllem  16770  odzdvds  16773  odzphi  16774  vfermltlALT  16780  powm2modprm  16781  pcneg  16852  pcprmpw  16861  prmpwdvds  16882  pockthlem  16883  dyaddisjlem  25503  aalioulem1  26247  aaliou3lem6  26263  muf  27057  dvdsppwf1o  27103  mersenne  27145  lgslem1  27215  lgsval2lem  27225  lgsvalmod  27234  lgsmod  27241  lgsdirprm  27249  lgsne0  27253  lgsqrlem1  27264  gausslemma2dlem7  27291  gausslemma2d  27292  lgseisenlem2  27294  lgseisenlem4  27296  m1lgs  27306  2sqreultlem  27365  2sqreunnltlem  27368  znfermltl  33344  mdetlap  33829  oddpwdc  34352  nn0prpwlem  36317  nn0prpw  36318  knoppndvlem2  36508  aks4d1p3  42073  aks4d1p6  42076  aks6d1c2p2  42114  jm2.18  42984  jm2.22  42991  jm2.23  42992  jm2.20nn  42993  inductionexd  44151  etransclem3  46242  etransclem7  46246  etransclem10  46249  etransclem24  46263  etransclem27  46266  etransclem35  46274  2pwp1prm  47594  sfprmdvdsmersenne  47608  lighneallem4b  47614  lighneallem4  47615  proththd  47619  41prothprmlem2  47623  nnpw2evenALTV  47707  fpprmod  47732  fppr2odd  47736  dfwppr  47743  fpprwppr  47744  fpprwpprb  47745  pw2m1lepw2m1  48513  nnpw2blenfzo  48574  dignn0fr  48594  digexp  48600  dignn0flhalflem1  48608