Theorem zexpcl 13999

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12496	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12540	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12521	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 13995	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  zexpcld  14010  zsqcl  14052  modexp  14161  climcndslem1  15772  iddvdsexp  16206  dvdsexp2im  16254  dvdsexp  16255  3dvds  16258  dvdsexpim  16482  zexpgcd  16492  prmdvdsexp  16642  rpexp  16649  rpexp12i  16651  numdenexp  16687  phiprmpw  16703  eulerthlem2  16709  fermltl  16711  prmdiv  16712  prmdiveq  16713  odzcllem  16720  odzdvds  16723  odzphi  16724  vfermltlALT  16730  powm2modprm  16731  pcneg  16802  pcprmpw  16811  prmpwdvds  16832  pockthlem  16833  dyaddisjlem  25552  aalioulem1  26296  aaliou3lem6  26312  muf  27106  dvdsppwf1o  27152  mersenne  27194  lgslem1  27264  lgsval2lem  27274  lgsvalmod  27283  lgsmod  27290  lgsdirprm  27298  lgsne0  27302  lgsqrlem1  27313  gausslemma2dlem7  27340  gausslemma2d  27341  lgseisenlem2  27343  lgseisenlem4  27345  m1lgs  27355  2sqreultlem  27414  2sqreunnltlem  27417  znfermltl  33447  mdetlap  33989  oddpwdc  34511  nn0prpwlem  36516  nn0prpw  36517  knoppndvlem2  36713  aks4d1p3  42332  aks4d1p6  42335  aks6d1c2p2  42373  jm2.18  43230  jm2.22  43237  jm2.23  43238  jm2.20nn  43239  inductionexd  44396  etransclem3  46481  etransclem7  46485  etransclem10  46488  etransclem24  46502  etransclem27  46505  etransclem35  46513  2pwp1prm  47835  sfprmdvdsmersenne  47849  lighneallem4b  47855  lighneallem4  47856  proththd  47860  41prothprmlem2  47864  nnpw2evenALTV  47948  fpprmod  47973  fppr2odd  47977  dfwppr  47984  fpprwppr  47985  fpprwpprb  47986  pw2m1lepw2m1  48766  nnpw2blenfzo  48827  dignn0fr  48847  digexp  48853  dignn0flhalflem1  48861