Theorem zexpcl 14029

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12523	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12567	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12548	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14025	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  zexpcld  14040  zsqcl  14082  modexp  14191  climcndslem1  15805  iddvdsexp  16239  dvdsexp2im  16287  dvdsexp  16288  3dvds  16291  dvdsexpim  16515  zexpgcd  16525  prmdvdsexp  16676  rpexp  16683  rpexp12i  16685  numdenexp  16721  phiprmpw  16737  eulerthlem2  16743  fermltl  16745  prmdiv  16746  prmdiveq  16747  odzcllem  16754  odzdvds  16757  odzphi  16758  vfermltlALT  16764  powm2modprm  16765  pcneg  16836  pcprmpw  16845  prmpwdvds  16866  pockthlem  16867  dyaddisjlem  25580  aalioulem1  26316  aaliou3lem6  26332  muf  27121  dvdsppwf1o  27167  mersenne  27208  lgslem1  27278  lgsval2lem  27288  lgsvalmod  27297  lgsmod  27304  lgsdirprm  27312  lgsne0  27316  lgsqrlem1  27327  gausslemma2dlem7  27354  gausslemma2d  27355  lgseisenlem2  27357  lgseisenlem4  27359  m1lgs  27369  2sqreultlem  27428  2sqreunnltlem  27431  znfermltl  33449  mdetlap  34016  oddpwdc  34538  nn0prpwlem  36550  nn0prpw  36551  knoppndvlem2  36819  aks4d1p3  42563  aks4d1p6  42566  aks6d1c2p2  42604  jm2.18  43433  jm2.22  43440  jm2.23  43441  jm2.20nn  43442  inductionexd  44599  etransclem3  46680  etransclem7  46684  etransclem10  46687  etransclem24  46701  etransclem27  46704  etransclem35  46712  2pwp1prm  48067  sfprmdvdsmersenne  48081  lighneallem4b  48087  lighneallem4  48088  proththd  48092  41prothprmlem2  48096  nnpw2evenALTV  48193  fpprmod  48218  fppr2odd  48222  dfwppr  48229  fpprwppr  48230  fpprwpprb  48231  pw2m1lepw2m1  49011  nnpw2blenfzo  49072  dignn0fr  49092  digexp  49098  dignn0flhalflem1  49106