Theorem zexpcl 14002

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12498	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12543	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12524	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 13998	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490  ↑cexp 13987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-seq 13928  df-exp 13988

This theorem is referenced by:  zexpcld  14013  zsqcl  14055  modexp  14164  climcndslem1  15775  iddvdsexp  16209  dvdsexp2im  16257  dvdsexp  16258  3dvds  16261  dvdsexpim  16485  zexpgcd  16495  prmdvdsexp  16645  rpexp  16652  rpexp12i  16654  numdenexp  16690  phiprmpw  16706  eulerthlem2  16712  fermltl  16714  prmdiv  16715  prmdiveq  16716  odzcllem  16723  odzdvds  16726  odzphi  16727  vfermltlALT  16733  powm2modprm  16734  pcneg  16805  pcprmpw  16814  prmpwdvds  16835  pockthlem  16836  dyaddisjlem  25513  aalioulem1  26257  aaliou3lem6  26273  muf  27067  dvdsppwf1o  27113  mersenne  27155  lgslem1  27225  lgsval2lem  27235  lgsvalmod  27244  lgsmod  27251  lgsdirprm  27259  lgsne0  27263  lgsqrlem1  27274  gausslemma2dlem7  27301  gausslemma2d  27302  lgseisenlem2  27304  lgseisenlem4  27306  m1lgs  27316  2sqreultlem  27375  2sqreunnltlem  27378  znfermltl  33322  mdetlap  33818  oddpwdc  34341  nn0prpwlem  36315  nn0prpw  36316  knoppndvlem2  36506  aks4d1p3  42071  aks4d1p6  42074  aks6d1c2p2  42112  jm2.18  42981  jm2.22  42988  jm2.23  42989  jm2.20nn  42990  inductionexd  44148  etransclem3  46238  etransclem7  46242  etransclem10  46245  etransclem24  46259  etransclem27  46262  etransclem35  46270  2pwp1prm  47593  sfprmdvdsmersenne  47607  lighneallem4b  47613  lighneallem4  47614  proththd  47618  41prothprmlem2  47622  nnpw2evenALTV  47706  fpprmod  47731  fppr2odd  47735  dfwppr  47742  fpprwppr  47743  fpprwpprb  47744  pw2m1lepw2m1  48525  nnpw2blenfzo  48586  dignn0fr  48606  digexp  48612  dignn0flhalflem1  48620