Theorem zexpcl 14083

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12570	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12614	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12595	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14079	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7391  ℕ₀cn0 12475  ℤcz 12562  ↑cexp 14068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-seq 14009  df-exp 14069

This theorem is referenced by:  zexpcld  14094  zsqcl  14136  modexp  14245  climcndslem1  15870  iddvdsexp  16304  dvdsexp2im  16352  dvdsexp  16353  3dvds  16356  dvdsexpim  16580  zexpgcd  16590  prmdvdsexp  16741  rpexp  16748  rpexp12i  16750  numdenexp  16786  phiprmpw  16802  eulerthlem2  16808  fermltl  16810  prmdiv  16811  prmdiveq  16812  odzcllem  16819  odzdvds  16822  odzphi  16823  vfermltlALT  16829  powm2modprm  16830  pcneg  16901  pcprmpw  16910  prmpwdvds  16931  pockthlem  16932  dyaddisjlem  25645  aalioulem1  26384  aaliou3lem6  26400  muf  27192  dvdsppwf1o  27238  mersenne  27279  lgslem1  27349  lgsval2lem  27359  lgsvalmod  27368  lgsmod  27375  lgsdirprm  27383  lgsne0  27387  lgsqrlem1  27398  gausslemma2dlem7  27425  gausslemma2d  27426  lgseisenlem2  27428  lgseisenlem4  27430  m1lgs  27440  2sqreultlem  27499  2sqreunnltlem  27502  znfermltl  33513  mdetlap  34090  oddpwdc  34612  nn0prpwlem  36643  nn0prpw  36644  knoppndvlem2  36912  aks4d1p3  42656  aks4d1p6  42659  aks6d1c2p2  42697  jm2.18  43526  jm2.22  43533  jm2.23  43534  jm2.20nn  43535  inductionexd  44692  etransclem3  46772  etransclem7  46776  etransclem10  46779  etransclem24  46793  etransclem27  46796  etransclem35  46804  2pwp1prm  48159  sfprmdvdsmersenne  48173  lighneallem4b  48179  lighneallem4  48180  proththd  48184  41prothprmlem2  48188  nnpw2evenALTV  48285  fpprmod  48310  fppr2odd  48314  dfwppr  48321  fpprwppr  48322  fpprwpprb  48323  pw2m1lepw2m1  49103  nnpw2blenfzo  49164  dignn0fr  49184  digexp  49190  dignn0flhalflem1  49198