Theorem zexpcl 14257

Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 12739	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		zmulcl 12783	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3		1z 12764	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	expcllem 14253	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7449  ℕ₀cn0 12644  ℤcz 12731  ↑cexp 14242

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-seq 14183  df-exp 14243

This theorem is used by:  zexpcld  14268  zsqcl  14310  modexp  14421  climcndslem1  16059  iddvdsexp  16490  dvdsexp2im  16538  dvdsexp  16539  3dvds  16542  dvdsexpim  16769  zexpgcd  16780  prmdvdsexp  16932  rpexp  16939  rpexp12i  16941  numdenexp  16978  phiprmpw  16994  eulerthlem2  17000  fermltl  17002  prmdiv  17003  prmdiveq  17004  odzcllem  17011  odzdvds  17014  odzphi  17015  vfermltlALT  17021  powm2modprm  17022  pcneg  17093  pcprmpw  17102  prmpwdvds  17123  pockthlem  17124  dyaddisjlem  25960  aalioulem1  26705  aaliou3lem6  26721  muf  27513  dvdsppwf1o  27559  mersenne  27600  lgslem1  27670  lgsval2lem  27680  lgsvalmod  27689  lgsmod  27696  lgsdirprm  27704  lgsne0  27708  lgsqrlem1  27719  gausslemma2dlem7  27746  gausslemma2d  27747  lgseisenlem2  27749  lgseisenlem4  27751  m1lgs  27761  2sqreultlem  27820  2sqreunnltlem  27823  znfermltl  34019  mdetlap  34568  oddpwdc  35090  nn0prpwlem  37318  nn0prpw  37319  knoppndvlem2  37587  aks4d1p3  43387  aks4d1p6  43390  aks6d1c2p2  43428  jm2.18  44255  jm2.22  44262  jm2.23  44263  jm2.20nn  44264  inductionexd  45410  etransclem3  47514  etransclem7  47518  etransclem10  47521  etransclem24  47535  etransclem27  47538  etransclem35  47546  2pwp1prm  48941  sfprmdvdsmersenne  48955  lighneallem4b  48961  lighneallem4  48962  proththd  48966  41prothprmlem2  48970  nnpw2evenALTV  49067  fpprmod  49092  fppr2odd  49096  dfwppr  49103  fpprwppr  49104  fpprwpprb  49105  pw2m1lepw2m1  49957  nnpw2blenfzo  50018  dignn0fr  50038  digexp  50044