Theorem fmtnofz04prm 44094

Description: The first five Fermat numbers are prime, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnofz04prm	⊢ (𝑁 ∈ (0...4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)

Proof of Theorem fmtnofz04prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 11904	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		el1fzopredsuc 43882	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0...4) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...4) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4))
4		fveq2 6645	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘0))
5		fmtno0prm 44075	. . . 4 ⊢ (FermatNo‘0) ∈ ℙ
6	4, 5	eqeltrdi 2898	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
7		eltpi 4585	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {1, 2, 3} → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
8		fveq2 6645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘1))
9		fmtno1prm 44076	. . . . . . 7 ⊢ (FermatNo‘1) ∈ ℙ
10	8, 9	eqeltrdi 2898	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
11		fveq2 6645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 2 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘2))
12		fmtno2prm 44077	. . . . . . 7 ⊢ (FermatNo‘2) ∈ ℙ
13	11, 12	eqeltrdi 2898	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 2 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
14		fveq2 6645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 3 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘3))
15		fmtno3prm 44079	. . . . . . 7 ⊢ (FermatNo‘3) ∈ ℙ
16	14, 15	eqeltrdi 2898	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 3 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
17	10, 13, 16	3jaoi 1424	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
18	7, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {1, 2, 3} → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
19		fzo1to4tp 13120	. . . 4 ⊢ (1..^4) = {1, 2, 3}
20	18, 19	eleq2s 2908	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
21		fveq2 6645	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 4 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘4))
22		fmtno4prm 44092	. . . 4 ⊢ (FermatNo‘4) ∈ ℙ
23	21, 22	eqeltrdi 2898	. . 3 ⊢ (𝑁 = 4 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
24	6, 20, 23	3jaoi 1424	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
25	3, 24	sylbi 220	1 ⊢ (𝑁 ∈ (0...4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ w3o 1083   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {ctp 4529  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  ℕ₀cn0 11885  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028  ℙcprime 16005  FermatNocfmtno 44044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-prod 15252  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-odz 16092  df-phi 16093  df-pc 16164  df-lgs 25879  df-fmtno 44045

This theorem is referenced by:  fmtnole4prm  44095