Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnofz04prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnofz04prm 46976
Description: The first five Fermat numbers are prime, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnofz04prm (𝑁 ∈ (0...4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)

Proof of Theorem fmtnofz04prm
StepHypRef Expression
1 4nn0 12516 . . 3 4 ∈ ℕ0
2 el1fzopredsuc 46764 . . 3 (4 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0...4) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4)))
31, 2ax-mp 5 . 2 (𝑁 ∈ (0...4) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4))
4 fveq2 6890 . . . 4 (𝑁 = 0 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘0))
5 fmtno0prm 46957 . . . 4 (FermatNo‘0) ∈ ℙ
64, 5eqeltrdi 2833 . . 3 (𝑁 = 0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
7 eltpi 4688 . . . . 5 (𝑁 ∈ {1, 2, 3} → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
8 fveq2 6890 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘1))
9 fmtno1prm 46958 . . . . . . 7 (FermatNo‘1) ∈ ℙ
108, 9eqeltrdi 2833 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
11 fveq2 6890 . . . . . . 7 (𝑁 = 2 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘2))
12 fmtno2prm 46959 . . . . . . 7 (FermatNo‘2) ∈ ℙ
1311, 12eqeltrdi 2833 . . . . . 6 (𝑁 = 2 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
14 fveq2 6890 . . . . . . 7 (𝑁 = 3 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘3))
15 fmtno3prm 46961 . . . . . . 7 (FermatNo‘3) ∈ ℙ
1614, 15eqeltrdi 2833 . . . . . 6 (𝑁 = 3 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
1710, 13, 163jaoi 1424 . . . . 5 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
187, 17syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ {1, 2, 3} → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
19 fzo1to4tp 13747 . . . 4 (1..^4) = {1, 2, 3}
2018, 19eleq2s 2843 . . 3 (𝑁 ∈ (1..^4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
21 fveq2 6890 . . . 4 (𝑁 = 4 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘4))
22 fmtno4prm 46974 . . . 4 (FermatNo‘4) ∈ ℙ
2321, 22eqeltrdi 2833 . . 3 (𝑁 = 4 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
246, 20, 233jaoi 1424 . 2 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
253, 24sylbi 216 1 (𝑁 ∈ (0...4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3o 1083   = wceq 1533  wcel 2098  {ctp 4629  cfv 6543  (class class class)co 7413  0cc0 11133  1c1 11134  2c2 12292  3c3 12293  4c4 12294  0cn0 12497  ...cfz 13511  ..^cfzo 13654  cprime 16636  FermatNocfmtno 46926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-dju 9919  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-ioo 13355  df-ico 13357  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-prod 15877  df-dvds 16226  df-gcd 16464  df-prm 16637  df-odz 16728  df-phi 16729  df-pc 16800  df-lgs 27241  df-fmtno 46927
This theorem is referenced by:  fmtnole4prm  46977
  Copyright terms: Public domain W3C validator