Theorem fmtnofz04prm 47551

Description: The first five Fermat numbers are prime, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnofz04prm	⊢ (𝑁 ∈ (0...4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)

Proof of Theorem fmtnofz04prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12437	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		el1fzopredsuc 47299	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0...4) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...4) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4))
4		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘0))
5		fmtno0prm 47532	. . . 4 ⊢ (FermatNo‘0) ∈ ℙ
6	4, 5	eqeltrdi 2836	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
7		eltpi 4648	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {1, 2, 3} → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
8		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘1))
9		fmtno1prm 47533	. . . . . . 7 ⊢ (FermatNo‘1) ∈ ℙ
10	8, 9	eqeltrdi 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
11		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 2 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘2))
12		fmtno2prm 47534	. . . . . . 7 ⊢ (FermatNo‘2) ∈ ℙ
13	11, 12	eqeltrdi 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 2 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
14		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 3 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘3))
15		fmtno3prm 47536	. . . . . . 7 ⊢ (FermatNo‘3) ∈ ℙ
16	14, 15	eqeltrdi 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 3 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
17	10, 13, 16	3jaoi 1430	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
18	7, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {1, 2, 3} → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
19		fzo1to4tp 13691	. . . 4 ⊢ (1..^4) = {1, 2, 3}
20	18, 19	eleq2s 2846	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
21		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 4 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘4))
22		fmtno4prm 47549	. . . 4 ⊢ (FermatNo‘4) ∈ ℙ
23	21, 22	eqeltrdi 2836	. . 3 ⊢ (𝑁 = 4 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
24	6, 20, 23	3jaoi 1430	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
25	3, 24	sylbi 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ (0...4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {ctp 4589  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  ℕ₀cn0 12418  ...cfz 13444  ..^cfzo 13591  ℙcprime 16617  FermatNocfmtno 47501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-prod 15846  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-prm 16618  df-odz 16711  df-phi 16712  df-pc 16784  df-lgs 27182  df-fmtno 47502

This theorem is referenced by:  fmtnole4prm  47552