Theorem fmtnofz04prm 48186

Description: The first five Fermat numbers are prime, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnofz04prm	⊢ (𝑁 ∈ (0...4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)

Proof of Theorem fmtnofz04prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12500	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		el1fzopredsuc 47920	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0...4) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...4) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4))
4		fveq2 6867	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘0))
5		fmtno0prm 48167	. . . 4 ⊢ (FermatNo‘0) ∈ ℙ
6	4, 5	eqeltrdi 2870	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
7		eltpi 4647	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {1, 2, 3} → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
8		fveq2 6867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘1))
9		fmtno1prm 48168	. . . . . . 7 ⊢ (FermatNo‘1) ∈ ℙ
10	8, 9	eqeltrdi 2870	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
11		fveq2 6867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 2 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘2))
12		fmtno2prm 48169	. . . . . . 7 ⊢ (FermatNo‘2) ∈ ℙ
13	11, 12	eqeltrdi 2870	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 2 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
14		fveq2 6867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 3 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘3))
15		fmtno3prm 48171	. . . . . . 7 ⊢ (FermatNo‘3) ∈ ℙ
16	14, 15	eqeltrdi 2870	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 3 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
17	10, 13, 16	3jaoi 1447	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
18	7, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {1, 2, 3} → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
19		fzo1to4tp 13760	. . . 4 ⊢ (1..^4) = {1, 2, 3}
20	18, 19	eleq2s 2880	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
21		fveq2 6867	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 4 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘4))
22		fmtno4prm 48184	. . . 4 ⊢ (FermatNo‘4) ∈ ℙ
23	21, 22	eqeltrdi 2870	. . 3 ⊢ (𝑁 = 4 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
24	6, 20, 23	3jaoi 1447	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
25	3, 24	sylbi 219	1 ⊢ (𝑁 ∈ (0...4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∨ w3o 1097   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {ctp 4586  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  0cc0 11073  1c1 11074  2c2 12272  3c3 12273  4c4 12274  ℕ₀cn0 12481  ...cfz 13512  ..^cfzo 13659  ℙcprime 16705  FermatNocfmtno 48136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-ioo 13353  df-ico 13355  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-prod 15934  df-dvds 16287  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-odz 16800  df-phi 16801  df-pc 16873  df-lgs 27359  df-fmtno 48137

This theorem is referenced by:  fmtnole4prm  48187