Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnofz04prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnofz04prm 42319
 Description: The first five Fermat numbers are prime, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnofz04prm (𝑁 ∈ (0...4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)

Proof of Theorem fmtnofz04prm
StepHypRef Expression
1 4nn0 11639 . . 3 4 ∈ ℕ0
2 el1fzopredsuc 42223 . . 3 (4 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0...4) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4)))
31, 2ax-mp 5 . 2 (𝑁 ∈ (0...4) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4))
4 fveq2 6433 . . . 4 (𝑁 = 0 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘0))
5 fmtno0prm 42300 . . . 4 (FermatNo‘0) ∈ ℙ
64, 5syl6eqel 2914 . . 3 (𝑁 = 0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
7 eltpi 4448 . . . . 5 (𝑁 ∈ {1, 2, 3} → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
8 fveq2 6433 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘1))
9 fmtno1prm 42301 . . . . . . 7 (FermatNo‘1) ∈ ℙ
108, 9syl6eqel 2914 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
11 fveq2 6433 . . . . . . 7 (𝑁 = 2 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘2))
12 fmtno2prm 42302 . . . . . . 7 (FermatNo‘2) ∈ ℙ
1311, 12syl6eqel 2914 . . . . . 6 (𝑁 = 2 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
14 fveq2 6433 . . . . . . 7 (𝑁 = 3 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘3))
15 fmtno3prm 42304 . . . . . . 7 (FermatNo‘3) ∈ ℙ
1614, 15syl6eqel 2914 . . . . . 6 (𝑁 = 3 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
1710, 13, 163jaoi 1558 . . . . 5 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
187, 17syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ {1, 2, 3} → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
19 fzo1to4tp 12851 . . . 4 (1..^4) = {1, 2, 3}
2018, 19eleq2s 2924 . . 3 (𝑁 ∈ (1..^4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
21 fveq2 6433 . . . 4 (𝑁 = 4 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘4))
22 fmtno4prm 42317 . . . 4 (FermatNo‘4) ∈ ℙ
2321, 22syl6eqel 2914 . . 3 (𝑁 = 4 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
246, 20, 233jaoi 1558 . 2 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
253, 24sylbi 209 1 (𝑁 ∈ (0...4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∨ w3o 1112   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  {ctp 4401  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  0cc0 10252  1c1 10253  2c2 11406  3c3 11407  4c4 11408  ℕ0cn0 11618  ...cfz 12619  ..^cfzo 12760  ℙcprime 15757  FermatNocfmtno 42269 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-xnn0 11691  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-ioo 12467  df-ico 12469  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-fac 13354  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-prod 15009  df-dvds 15358  df-gcd 15590  df-prm 15758  df-odz 15841  df-phi 15842  df-pc 15913  df-lgs 25433  df-fmtno 42270 This theorem is referenced by:  fmtnole4prm  42320
 Copyright terms: Public domain W3C validator