Theorem fmtnofz04prm 48329

Description: The first five Fermat numbers are prime, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnofz04prm	⊢ (𝑁 ∈ (0...4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)

Proof of Theorem fmtnofz04prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12518	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		el1fzopredsuc 48063	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0...4) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...4) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4))
4		fveq2 6881	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘0))
5		fmtno0prm 48310	. . . 4 ⊢ (FermatNo‘0) ∈ ℙ
6	4, 5	eqeltrdi 2871	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
7		eltpi 4654	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {1, 2, 3} → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
8		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘1))
9		fmtno1prm 48311	. . . . . . 7 ⊢ (FermatNo‘1) ∈ ℙ
10	8, 9	eqeltrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
11		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 2 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘2))
12		fmtno2prm 48312	. . . . . . 7 ⊢ (FermatNo‘2) ∈ ℙ
13	11, 12	eqeltrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 2 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
14		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 3 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘3))
15		fmtno3prm 48314	. . . . . . 7 ⊢ (FermatNo‘3) ∈ ℙ
16	14, 15	eqeltrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 3 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
17	10, 13, 16	3jaoi 1454	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
18	7, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {1, 2, 3} → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
19		fzo1to4tp 13779	. . . 4 ⊢ (1..^4) = {1, 2, 3}
20	18, 19	eleq2s 2881	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
21		fveq2 6881	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 4 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘4))
22		fmtno4prm 48327	. . . 4 ⊢ (FermatNo‘4) ∈ ℙ
23	21, 22	eqeltrdi 2871	. . 3 ⊢ (𝑁 = 4 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
24	6, 20, 23	3jaoi 1454	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
25	3, 24	sylbi 220	1 ⊢ (𝑁 ∈ (0...4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {ctp 4593  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096  2c2 12290  3c3 12291  4c4 12292  ℕ₀cn0 12499  ...cfz 13530  ..^cfzo 13678  ℙcprime 16724  FermatNocfmtno 48279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-prod 15954  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-prm 16725  df-odz 16819  df-phi 16820  df-pc 16892  df-lgs 27459  df-fmtno 48280

This theorem is referenced by:  fmtnole4prm  48330