Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnofz04prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnofz04prm 43913
Description: The first five Fermat numbers are prime, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnofz04prm (𝑁 ∈ (0...4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)

Proof of Theorem fmtnofz04prm
StepHypRef Expression
1 4nn0 11894 . . 3 4 ∈ ℕ0
2 el1fzopredsuc 43701 . . 3 (4 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0...4) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4)))
31, 2ax-mp 5 . 2 (𝑁 ∈ (0...4) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4))
4 fveq2 6643 . . . 4 (𝑁 = 0 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘0))
5 fmtno0prm 43894 . . . 4 (FermatNo‘0) ∈ ℙ
64, 5eqeltrdi 2920 . . 3 (𝑁 = 0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
7 eltpi 4598 . . . . 5 (𝑁 ∈ {1, 2, 3} → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
8 fveq2 6643 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘1))
9 fmtno1prm 43895 . . . . . . 7 (FermatNo‘1) ∈ ℙ
108, 9eqeltrdi 2920 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
11 fveq2 6643 . . . . . . 7 (𝑁 = 2 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘2))
12 fmtno2prm 43896 . . . . . . 7 (FermatNo‘2) ∈ ℙ
1311, 12eqeltrdi 2920 . . . . . 6 (𝑁 = 2 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
14 fveq2 6643 . . . . . . 7 (𝑁 = 3 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘3))
15 fmtno3prm 43898 . . . . . . 7 (FermatNo‘3) ∈ ℙ
1614, 15eqeltrdi 2920 . . . . . 6 (𝑁 = 3 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
1710, 13, 163jaoi 1424 . . . . 5 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
187, 17syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ {1, 2, 3} → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
19 fzo1to4tp 13108 . . . 4 (1..^4) = {1, 2, 3}
2018, 19eleq2s 2930 . . 3 (𝑁 ∈ (1..^4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
21 fveq2 6643 . . . 4 (𝑁 = 4 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘4))
22 fmtno4prm 43911 . . . 4 (FermatNo‘4) ∈ ℙ
2321, 22eqeltrdi 2920 . . 3 (𝑁 = 4 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
246, 20, 233jaoi 1424 . 2 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
253, 24sylbi 220 1 (𝑁 ∈ (0...4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  w3o 1083   = wceq 1538  wcel 2115  {ctp 4544  cfv 6328  (class class class)co 7130  0cc0 10514  1c1 10515  2c2 11670  3c3 11671  4c4 11672  0cn0 11875  ...cfz 12875  ..^cfzo 13016  cprime 15992  FermatNocfmtno 43863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-xnn0 11946  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-ioo 12720  df-ico 12722  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-mod 13221  df-seq 13353  df-exp 13414  df-fac 13618  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-prod 15239  df-dvds 15587  df-gcd 15821  df-prm 15993  df-odz 16079  df-phi 16080  df-pc 16151  df-lgs 25858  df-fmtno 43864
This theorem is referenced by:  fmtnole4prm  43914
  Copyright terms: Public domain W3C validator