Theorem fmtnofz04prm 45029

Description: The first five Fermat numbers are prime, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnofz04prm	⊢ (𝑁 ∈ (0...4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)

Proof of Theorem fmtnofz04prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12252	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		el1fzopredsuc 44817	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0...4) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...4) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4))
4		fveq2 6774	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘0))
5		fmtno0prm 45010	. . . 4 ⊢ (FermatNo‘0) ∈ ℙ
6	4, 5	eqeltrdi 2847	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
7		eltpi 4623	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {1, 2, 3} → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
8		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘1))
9		fmtno1prm 45011	. . . . . . 7 ⊢ (FermatNo‘1) ∈ ℙ
10	8, 9	eqeltrdi 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
11		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 2 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘2))
12		fmtno2prm 45012	. . . . . . 7 ⊢ (FermatNo‘2) ∈ ℙ
13	11, 12	eqeltrdi 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 2 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
14		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 3 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘3))
15		fmtno3prm 45014	. . . . . . 7 ⊢ (FermatNo‘3) ∈ ℙ
16	14, 15	eqeltrdi 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 3 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
17	10, 13, 16	3jaoi 1426	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
18	7, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {1, 2, 3} → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
19		fzo1to4tp 13475	. . . 4 ⊢ (1..^4) = {1, 2, 3}
20	18, 19	eleq2s 2857	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
21		fveq2 6774	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 4 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘4))
22		fmtno4prm 45027	. . . 4 ⊢ (FermatNo‘4) ∈ ℙ
23	21, 22	eqeltrdi 2847	. . 3 ⊢ (𝑁 = 4 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
24	6, 20, 23	3jaoi 1426	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
25	3, 24	sylbi 216	1 ⊢ (𝑁 ∈ (0...4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ w3o 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {ctp 4565  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  ℕ₀cn0 12233  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  ℙcprime 16376  FermatNocfmtno 44979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-prod 15616  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-odz 16466  df-phi 16467  df-pc 16538  df-lgs 26443  df-fmtno 44980

This theorem is referenced by:  fmtnole4prm  45030