Theorem subsubelfzo0 48105

Description: Subtracting a difference from a number which is not less than the difference results in a bounded nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
subsubelfzo0	⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0..^𝐴))

Proof of Theorem subsubelfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13748	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁))
2		elfzo0 13748	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
3		nnre 12258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
5		nn0re 12531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		resubcl 11540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
8	4, 6, 7	syl2anr 609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
9		nn0re 12531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℝ)
11	10	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℝ)
12		lenlt 11306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼 ↔ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)))
13	12	bicomd 226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) ↔ (𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼))
14	8, 11, 13	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) ↔ (𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼))
15	14	biimpa 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼)
16		nnz 12630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
17	16	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
18		nn0z 12633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
20		zsubcl 12654	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℤ)
21	17, 19, 20	syl2anr 609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℤ)
22		ltle 11316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑁 → 𝐴 ≤ 𝑁))
23	5, 4, 22	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝐴 < 𝑁 → 𝐴 ≤ 𝑁))
24	23	impancom 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐴 ≤ 𝑁))
25	24	imp 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐴 ≤ 𝑁)
26		subge0 11745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝑁))
27	4, 6, 26	syl2anr 609	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝑁))
28	25, 27	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐴))
29		elnn0z 12622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 − 𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝐴)))
30	21, 28, 29	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℕ0)
31	30	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℕ0)
32		simplr1 1234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
33		nn0sub 12572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼 ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0))
34	31, 32, 33	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → ((𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼 ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0))
35	15, 34	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0)
36		elnn0uz 12921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0))
37	35, 36	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0))
38	19	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℤ)
39	38	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℤ)
40	9	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ ℝ)
41	40	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐼 ∈ ℝ)
42	3	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
43	42	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
44	42, 5, 7	syl2anr 609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
45	41, 43, 44	ltsub1d 11841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼 < 𝑁 ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < (𝑁 − (𝑁 − 𝐴))))
46		nncn 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
47	46	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
48		nn0cn 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
49		nncan 11505	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐴)) = 𝐴)
50	47, 48, 49	syl2anr 609	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐴)) = 𝐴)
51	50	breq2d 5126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < (𝑁 − (𝑁 − 𝐴)) ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
52	51	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < (𝑁 − (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
53	45, 52	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
54	53	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)))
55	54	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)))
56	55	com3l 90	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)))
57	56	3impia 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
58	57	impcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)
59	58	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)
60	37, 39, 59	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
61	60	exp31 425	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))))
62	2, 61	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))))
63	62	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))))
64	1, 63	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))))
65	64	3imp 1128	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
66		elfzo2 13709	. 2 ⊢ ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0..^𝐴) ↔ ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
67	65, 66	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0..^𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459  ℕcn 12251  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ..^cfzo 13701

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702

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