Theorem subsubelfzo0 47327

Description: Subtracting a difference from a number which is not less than the difference results in a bounded nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
subsubelfzo0	⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0..^𝐴))

Proof of Theorem subsubelfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13661	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁))
2		elfzo0 13661	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
3		nnre 12193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
5		nn0re 12451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		resubcl 11486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
8	4, 6, 7	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
9		nn0re 12451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℝ)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℝ)
12		lenlt 11252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼 ↔ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)))
13	12	bicomd 223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) ↔ (𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼))
14	8, 11, 13	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) ↔ (𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼))
15	14	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼)
16		nnz 12550	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
17	16	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
18		nn0z 12554	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
20		zsubcl 12575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℤ)
21	17, 19, 20	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℤ)
22		ltle 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑁 → 𝐴 ≤ 𝑁))
23	5, 4, 22	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝐴 < 𝑁 → 𝐴 ≤ 𝑁))
24	23	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐴 ≤ 𝑁))
25	24	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐴 ≤ 𝑁)
26		subge0 11691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝑁))
27	4, 6, 26	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝑁))
28	25, 27	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐴))
29		elnn0z 12542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 − 𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝐴)))
30	21, 28, 29	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℕ0)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℕ0)
32		simplr1 1216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
33		nn0sub 12492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼 ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0))
34	31, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → ((𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼 ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0))
35	15, 34	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0)
36		elnn0uz 12838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0))
37	35, 36	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0))
38	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℤ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℤ)
40	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ ℝ)
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐼 ∈ ℝ)
42	3	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
44	42, 5, 7	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
45	41, 43, 44	ltsub1d 11787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼 < 𝑁 ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < (𝑁 − (𝑁 − 𝐴))))
46		nncn 12194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
48		nn0cn 12452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
49		nncan 11451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐴)) = 𝐴)
50	47, 48, 49	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐴)) = 𝐴)
51	50	breq2d 5119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < (𝑁 − (𝑁 − 𝐴)) ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
52	51	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < (𝑁 − (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
53	45, 52	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
54	53	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)))
56	55	com3l 89	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)))
57	56	3impia 1117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
58	57	impcom 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)
59	58	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)
60	37, 39, 59	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
61	60	exp31 419	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))))
62	2, 61	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))))
63	62	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))))
64	1, 63	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))))
65	64	3imp 1110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
66		elfzo2 13623	. 2 ⊢ ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0..^𝐴) ↔ ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
67	65, 66	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0..^𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ..^cfzo 13615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616

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