Theorem subsubelfzo0 47338

Description: Subtracting a difference from a number which is not less than the difference results in a bounded nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
subsubelfzo0	⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0..^𝐴))

Proof of Theorem subsubelfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13740	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁))
2		elfzo0 13740	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
3		nnre 12273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
5		nn0re 12535	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		resubcl 11573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
8	4, 6, 7	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
9		nn0re 12535	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℝ)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℝ)
12		lenlt 11339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼 ↔ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)))
13	12	bicomd 223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) ↔ (𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼))
14	8, 11, 13	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) ↔ (𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼))
15	14	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼)
16		nnz 12634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
17	16	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
18		nn0z 12638	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
20		zsubcl 12659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℤ)
21	17, 19, 20	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℤ)
22		ltle 11349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑁 → 𝐴 ≤ 𝑁))
23	5, 4, 22	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝐴 < 𝑁 → 𝐴 ≤ 𝑁))
24	23	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐴 ≤ 𝑁))
25	24	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐴 ≤ 𝑁)
26		subge0 11776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝑁))
27	4, 6, 26	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝑁))
28	25, 27	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐴))
29		elnn0z 12626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 − 𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝐴)))
30	21, 28, 29	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℕ0)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℕ0)
32		simplr1 1216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
33		nn0sub 12576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼 ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0))
34	31, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → ((𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼 ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0))
35	15, 34	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0)
36		elnn0uz 12923	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0))
37	35, 36	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0))
38	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℤ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℤ)
40	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ ℝ)
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐼 ∈ ℝ)
42	3	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
44	42, 5, 7	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
45	41, 43, 44	ltsub1d 11872	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼 < 𝑁 ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < (𝑁 − (𝑁 − 𝐴))))
46		nncn 12274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
48		nn0cn 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
49		nncan 11538	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐴)) = 𝐴)
50	47, 48, 49	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐴)) = 𝐴)
51	50	breq2d 5155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < (𝑁 − (𝑁 − 𝐴)) ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
52	51	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < (𝑁 − (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
53	45, 52	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
54	53	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)))
56	55	com3l 89	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)))
57	56	3impia 1118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
58	57	impcom 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)
59	58	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)
60	37, 39, 59	3jca 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
61	60	exp31 419	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))))
62	2, 61	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))))
63	62	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))))
64	1, 63	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))))
65	64	3imp 1111	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
66		elfzo2 13702	. 2 ⊢ ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0..^𝐴) ↔ ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
67	65, 66	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0..^𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ..^cfzo 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695

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