Theorem subsubelfzo0 47050

Description: Subtracting a difference from a number which is not less than the difference results in a bounded nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
subsubelfzo0	⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0..^𝐴))

Proof of Theorem subsubelfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13731	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁))
2		elfzo0 13731	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
3		nnre 12275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
5		nn0re 12537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		resubcl 11575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
8	4, 6, 7	syl2anr 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
9		nn0re 12537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℝ)
11	10	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℝ)
12		lenlt 11343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼 ↔ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)))
13	12	bicomd 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) ↔ (𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼))
14	8, 11, 13	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) ↔ (𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼))
15	14	biimpa 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼)
16		nnz 12635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
17	16	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
18		nn0z 12639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
19	18	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
20		zsubcl 12660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℤ)
21	17, 19, 20	syl2anr 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℤ)
22		ltle 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑁 → 𝐴 ≤ 𝑁))
23	5, 4, 22	syl2an 594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝐴 < 𝑁 → 𝐴 ≤ 𝑁))
24	23	impancom 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐴 ≤ 𝑁))
25	24	imp 405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐴 ≤ 𝑁)
26		subge0 11778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝑁))
27	4, 6, 26	syl2anr 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝑁))
28	25, 27	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐴))
29		elnn0z 12627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 − 𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝐴)))
30	21, 28, 29	sylanbrc 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℕ0)
31	30	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℕ0)
32		simplr1 1212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
33		nn0sub 12578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼 ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0))
34	31, 32, 33	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → ((𝑁 − 𝐴) ≤ 𝐼 ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0))
35	15, 34	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0)
36		elnn0uz 12923	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0))
37	35, 36	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0))
38	19	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℤ)
39	38	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℤ)
40	9	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ ℝ)
41	40	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐼 ∈ ℝ)
42	3	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
43	42	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
44	42, 5, 7	syl2anr 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
45	41, 43, 44	ltsub1d 11874	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼 < 𝑁 ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < (𝑁 − (𝑁 − 𝐴))))
46		nncn 12276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
47	46	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
48		nn0cn 12538	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
49		nncan 11540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐴)) = 𝐴)
50	47, 48, 49	syl2anr 595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐴)) = 𝐴)
51	50	breq2d 5166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < (𝑁 − (𝑁 − 𝐴)) ↔ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
52	51	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < (𝑁 − (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
53	45, 52	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
54	53	ex 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)))
55	54	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)))
56	55	com3l 89	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)))
57	56	3impia 1114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
58	57	impcom 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)
59	58	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴)
60	37, 39, 59	3jca 1125	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
61	60	exp31 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))))
62	2, 61	biimtrid 241	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))))
63	62	3adant2 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))))
64	1, 63	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))))
65	64	3imp 1108	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
66		elfzo2 13693	. 2 ⊢ ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0..^𝐴) ↔ ((𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) < 𝐴))
67	65, 66	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁 − 𝐴)) → (𝐼 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0..^𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   class class class wbr 5154  ‘cfv 6556  (class class class)co 7427  ℂcc 11157  ℝcr 11158  0cc0 11159   < clt 11299   ≤ cle 11300   − cmin 11495  ℕcn 12268  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12614  ℤ_≥cuz 12878  ..^cfzo 13685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5305  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3788  df-csb 3904  df-dif 3961  df-un 3963  df-in 3965  df-ss 3975  df-pss 3978  df-nul 4334  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4917  df-iun 5006  df-br 5155  df-opab 5217  df-mpt 5238  df-tr 5272  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6315  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7383  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7882  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8405  df-rdg 8444  df-er 8738  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11497  df-neg 11498  df-nn 12269  df-n0 12529  df-z 12615  df-uz 12879  df-fz 13543  df-fzo 13686

This theorem is referenced by: (None)