Theorem eengstr 29308

Description: The Euclidean geometry as a structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eengstr	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)

Proof of Theorem eengstr

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eengv 29307	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
2		1nn 12245	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		basendx 17279	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) = 1
4		2nn0 12522	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		1nn0 12521	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12857	. . . . 5 ⊢ 1 < ;10
7	2, 4, 5, 6	declti 12755	. . . 4 ⊢ 1 < ;12
8		2nn 12315	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
9	5, 8	decnncl 12736	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ
10		dsndx 17439	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
11	2, 3, 7, 9, 10	strle2 17220	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} Struct ⟨1, ;12⟩
12		6nn 12331	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
13	5, 12	decnncl 12736	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ
14		itvndx 28684	. . . 4 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
15		6nn0 12526	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		7nn 12334	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ
17		6lt7 12430	. . . . 5 ⊢ 6 < 7
18	5, 15, 16, 17	declt 12745	. . . 4 ⊢ ;16 < ;17
19	5, 16	decnncl 12736	. . . 4 ⊢ ;17 ∈ ℕ
20		lngndx 28685	. . . 4 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
21	13, 14, 18, 19, 20	strle2 17220	. . 3 ⊢ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩} Struct ⟨;16, ;17⟩
22		2lt6 12428	. . . 4 ⊢ 2 < 6
23	5, 4, 12, 22	declt 12745	. . 3 ⊢ ;12 < ;16
24	11, 21, 23	strleun 17218	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}) Struct ⟨1, ;17⟩
25	1, 24	eqbrtrdi 5151	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1102   ∈ wcel 2143  {crab 3416   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904  {csn 4590  {cpr 4592  ⟨cop 4596   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  1c1 11102   − cmin 11442  ℕcn 12234  2c2 12296  6c6 12300  7c7 12301  ;cdc 12712  ...cfz 13536  ↑cexp 14099  Σcsu 15739   Struct cstr 17207  ndxcnx 17254  Basecbs 17270  distcds 17320  Itvcitv 28680  LineGclng 28681  𝔼cee 29215   Btwn cbtwn 29216  EEGceeng 29305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-seq 14040  df-sum 15740  df-struct 17208  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ds 17333  df-itv 28682  df-lng 28683  df-eeng 29306

This theorem is referenced by:  eengbas  29309  ebtwntg  29310  ecgrtg  29311  elntg  29312