MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eengstr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eengstr 28809
Description: The Euclidean geometry as a structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
eengstr (𝑁 ∈ β„• β†’ (EEGβ€˜π‘) Struct ⟨1, 17⟩)

Proof of Theorem eengstr
Dummy variables 𝑖 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eengv 28808 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (EEGβ€˜π‘) = ({⟨(Baseβ€˜ndx), (π”Όβ€˜π‘)⟩, ⟨(distβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘), 𝑦 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((π‘₯β€˜π‘–) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘–))↑2))⟩} βˆͺ {⟨(Itvβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘), 𝑦 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↦ {𝑧 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∣ 𝑧 Btwn ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©})⟩, ⟨(LineGβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘), 𝑦 ∈ ((π”Όβ€˜π‘) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑧 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∣ (𝑧 Btwn ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∨ π‘₯ Btwn βŸ¨π‘§, π‘¦βŸ© ∨ 𝑦 Btwn ⟨π‘₯, π‘§βŸ©)})⟩}))
2 1nn 12259 . . . 4 1 ∈ β„•
3 basendx 17194 . . . 4 (Baseβ€˜ndx) = 1
4 2nn0 12525 . . . . 5 2 ∈ β„•0
5 1nn0 12524 . . . . 5 1 ∈ β„•0
6 1lt10 12852 . . . . 5 1 < 10
72, 4, 5, 6declti 12751 . . . 4 1 < 12
8 2nn 12321 . . . . 5 2 ∈ β„•
95, 8decnncl 12733 . . . 4 12 ∈ β„•
10 dsndx 17371 . . . 4 (distβ€˜ndx) = 12
112, 3, 7, 9, 10strle2 17133 . . 3 {⟨(Baseβ€˜ndx), (π”Όβ€˜π‘)⟩, ⟨(distβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘), 𝑦 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((π‘₯β€˜π‘–) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘–))↑2))⟩} Struct ⟨1, 12⟩
12 6nn 12337 . . . . 5 6 ∈ β„•
135, 12decnncl 12733 . . . 4 16 ∈ β„•
14 itvndx 28259 . . . 4 (Itvβ€˜ndx) = 16
15 6nn0 12529 . . . . 5 6 ∈ β„•0
16 7nn 12340 . . . . 5 7 ∈ β„•
17 6lt7 12434 . . . . 5 6 < 7
185, 15, 16, 17declt 12741 . . . 4 16 < 17
195, 16decnncl 12733 . . . 4 17 ∈ β„•
20 lngndx 28260 . . . 4 (LineGβ€˜ndx) = 17
2113, 14, 18, 19, 20strle2 17133 . . 3 {⟨(Itvβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘), 𝑦 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↦ {𝑧 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∣ 𝑧 Btwn ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©})⟩, ⟨(LineGβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘), 𝑦 ∈ ((π”Όβ€˜π‘) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑧 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∣ (𝑧 Btwn ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∨ π‘₯ Btwn βŸ¨π‘§, π‘¦βŸ© ∨ 𝑦 Btwn ⟨π‘₯, π‘§βŸ©)})⟩} Struct ⟨16, 17⟩
22 2lt6 12432 . . . 4 2 < 6
235, 4, 12, 22declt 12741 . . 3 12 < 16
2411, 21, 23strleun 17131 . 2 ({⟨(Baseβ€˜ndx), (π”Όβ€˜π‘)⟩, ⟨(distβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘), 𝑦 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((π‘₯β€˜π‘–) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘–))↑2))⟩} βˆͺ {⟨(Itvβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘), 𝑦 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↦ {𝑧 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∣ 𝑧 Btwn ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©})⟩, ⟨(LineGβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘), 𝑦 ∈ ((π”Όβ€˜π‘) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑧 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∣ (𝑧 Btwn ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∨ π‘₯ Btwn βŸ¨π‘§, π‘¦βŸ© ∨ 𝑦 Btwn ⟨π‘₯, π‘§βŸ©)})⟩}) Struct ⟨1, 17⟩
251, 24eqbrtrdi 5189 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (EEGβ€˜π‘) Struct ⟨1, 17⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∨ w3o 1083   ∈ wcel 2098  {crab 3428   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945  {csn 4630  {cpr 4632  βŸ¨cop 4636   class class class wbr 5150  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426  1c1 11145   βˆ’ cmin 11480  β„•cn 12248  2c2 12303  6c6 12307  7c7 12308  cdc 12713  ...cfz 13522  β†‘cexp 14064  Ξ£csu 15670   Struct cstr 17120  ndxcnx 17167  Basecbs 17185  distcds 17247  Itvcitv 28255  LineGclng 28256  π”Όcee 28717   Btwn cbtwn 28718  EEGceeng 28806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-seq 14005  df-sum 15671  df-struct 17121  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ds 17260  df-itv 28257  df-lng 28258  df-eeng 28807
This theorem is referenced by:  eengbas  28810  ebtwntg  28811  ecgrtg  28812  elntg  28813
  Copyright terms: Public domain W3C validator