Theorem eengstr 28742

Description: The Euclidean geometry as a structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eengstr	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)

Proof of Theorem eengstr

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eengv 28741	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
2		1nn 12224	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		basendx 17160	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) = 1
4		2nn0 12490	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		1nn0 12489	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12817	. . . . 5 ⊢ 1 < ;10
7	2, 4, 5, 6	declti 12716	. . . 4 ⊢ 1 < ;12
8		2nn 12286	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
9	5, 8	decnncl 12698	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ
10		dsndx 17337	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
11	2, 3, 7, 9, 10	strle2 17099	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} Struct ⟨1, ;12⟩
12		6nn 12302	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
13	5, 12	decnncl 12698	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ
14		itvndx 28192	. . . 4 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
15		6nn0 12494	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		7nn 12305	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ
17		6lt7 12399	. . . . 5 ⊢ 6 < 7
18	5, 15, 16, 17	declt 12706	. . . 4 ⊢ ;16 < ;17
19	5, 16	decnncl 12698	. . . 4 ⊢ ;17 ∈ ℕ
20		lngndx 28193	. . . 4 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
21	13, 14, 18, 19, 20	strle2 17099	. . 3 ⊢ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩} Struct ⟨;16, ;17⟩
22		2lt6 12397	. . . 4 ⊢ 2 < 6
23	5, 4, 12, 22	declt 12706	. . 3 ⊢ ;12 < ;16
24	11, 21, 23	strleun 17097	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}) Struct ⟨1, ;17⟩
25	1, 24	eqbrtrdi 5180	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1083   ∈ wcel 2098  {crab 3426   ∖ cdif 3940   ∪ cun 3941  {csn 4623  {cpr 4625  ⟨cop 4629   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  1c1 11110   − cmin 11445  ℕcn 12213  2c2 12268  6c6 12272  7c7 12273  ;cdc 12678  ...cfz 13487  ↑cexp 14030  Σcsu 15636   Struct cstr 17086  ndxcnx 17133  Basecbs 17151  distcds 17213  Itvcitv 28188  LineGclng 28189  𝔼cee 28650   Btwn cbtwn 28651  EEGceeng 28739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-seq 13970  df-sum 15637  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ds 17226  df-itv 28190  df-lng 28191  df-eeng 28740

This theorem is referenced by:  eengbas  28743  ebtwntg  28744  ecgrtg  28745  elntg  28746