Theorem eengstr 29563

Description: The Euclidean geometry as a structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eengstr	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)

Proof of Theorem eengstr

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eengv 29562	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
2		1nn 12349	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		basendx 17401	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) = 1
4		2nn0 12626	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		1nn0 12625	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12962	. . . . 5 ⊢ 1 < ;10
7	2, 4, 5, 6	declti 12860	. . . 4 ⊢ 1 < ;12
8		2nn 12419	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
9	5, 8	decnncl 12841	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ
10		dsndx 17561	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
11	2, 3, 7, 9, 10	strle2 17342	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} Struct ⟨1, ;12⟩
12		6nn 12435	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
13	5, 12	decnncl 12841	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ
14		itvndx 28904	. . . 4 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
15		6nn0 12630	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		7nn 12438	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ
17		6lt7 12534	. . . . 5 ⊢ 6 < 7
18	5, 15, 16, 17	declt 12850	. . . 4 ⊢ ;16 < ;17
19	5, 16	decnncl 12841	. . . 4 ⊢ ;17 ∈ ℕ
20		lngndx 28905	. . . 4 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
21	13, 14, 18, 19, 20	strle2 17342	. . 3 ⊢ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩} Struct ⟨;16, ;17⟩
22		2lt6 12532	. . . 4 ⊢ 2 < 6
23	5, 4, 12, 22	declt 12850	. . 3 ⊢ ;12 < ;16
24	11, 21, 23	strleun 17340	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}) Struct ⟨1, ;17⟩
25	1, 24	eqbrtrdi 5143	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   ∈ wcel 2144  {crab 3412   ∖ cdif 4045   ∪ cun 4149  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  1c1 11204   − cmin 11544  ℕcn 12338  2c2 12400  6c6 12404  7c7 12405  ;cdc 12817  ...cfz 13642  ↑cexp 14207  Σcsu 15858   Struct cstr 17329  ndxcnx 17376  Basecbs 17392  distcds 17442  Itvcitv 28900  LineGclng 28901  𝔼cee 29470   Btwn cbtwn 29471  EEGceeng 29560

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-seq 14148  df-sum 15859  df-struct 17330  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ds 17455  df-itv 28902  df-lng 28903  df-eeng 29561

This theorem is used by:  eengbas  29564  ebtwntg  29565  ecgrtg  29566  elntg  29567