MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eengstr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eengstr 27971
Description: The Euclidean geometry as a structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
eengstr (𝑁 ∈ β„• β†’ (EEGβ€˜π‘) Struct ⟨1, 17⟩)

Proof of Theorem eengstr
Dummy variables 𝑖 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eengv 27970 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (EEGβ€˜π‘) = ({⟨(Baseβ€˜ndx), (π”Όβ€˜π‘)⟩, ⟨(distβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘), 𝑦 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((π‘₯β€˜π‘–) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘–))↑2))⟩} βˆͺ {⟨(Itvβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘), 𝑦 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↦ {𝑧 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∣ 𝑧 Btwn ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©})⟩, ⟨(LineGβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘), 𝑦 ∈ ((π”Όβ€˜π‘) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑧 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∣ (𝑧 Btwn ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∨ π‘₯ Btwn βŸ¨π‘§, π‘¦βŸ© ∨ 𝑦 Btwn ⟨π‘₯, π‘§βŸ©)})⟩}))
2 1nn 12171 . . . 4 1 ∈ β„•
3 basendx 17099 . . . 4 (Baseβ€˜ndx) = 1
4 2nn0 12437 . . . . 5 2 ∈ β„•0
5 1nn0 12436 . . . . 5 1 ∈ β„•0
6 1lt10 12764 . . . . 5 1 < 10
72, 4, 5, 6declti 12663 . . . 4 1 < 12
8 2nn 12233 . . . . 5 2 ∈ β„•
95, 8decnncl 12645 . . . 4 12 ∈ β„•
10 dsndx 17273 . . . 4 (distβ€˜ndx) = 12
112, 3, 7, 9, 10strle2 17038 . . 3 {⟨(Baseβ€˜ndx), (π”Όβ€˜π‘)⟩, ⟨(distβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘), 𝑦 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((π‘₯β€˜π‘–) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘–))↑2))⟩} Struct ⟨1, 12⟩
12 6nn 12249 . . . . 5 6 ∈ β„•
135, 12decnncl 12645 . . . 4 16 ∈ β„•
14 itvndx 27421 . . . 4 (Itvβ€˜ndx) = 16
15 6nn0 12441 . . . . 5 6 ∈ β„•0
16 7nn 12252 . . . . 5 7 ∈ β„•
17 6lt7 12346 . . . . 5 6 < 7
185, 15, 16, 17declt 12653 . . . 4 16 < 17
195, 16decnncl 12645 . . . 4 17 ∈ β„•
20 lngndx 27422 . . . 4 (LineGβ€˜ndx) = 17
2113, 14, 18, 19, 20strle2 17038 . . 3 {⟨(Itvβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘), 𝑦 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↦ {𝑧 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∣ 𝑧 Btwn ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©})⟩, ⟨(LineGβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘), 𝑦 ∈ ((π”Όβ€˜π‘) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑧 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∣ (𝑧 Btwn ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∨ π‘₯ Btwn βŸ¨π‘§, π‘¦βŸ© ∨ 𝑦 Btwn ⟨π‘₯, π‘§βŸ©)})⟩} Struct ⟨16, 17⟩
22 2lt6 12344 . . . 4 2 < 6
235, 4, 12, 22declt 12653 . . 3 12 < 16
2411, 21, 23strleun 17036 . 2 ({⟨(Baseβ€˜ndx), (π”Όβ€˜π‘)⟩, ⟨(distβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘), 𝑦 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((π‘₯β€˜π‘–) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘–))↑2))⟩} βˆͺ {⟨(Itvβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘), 𝑦 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↦ {𝑧 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∣ 𝑧 Btwn ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©})⟩, ⟨(LineGβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘), 𝑦 ∈ ((π”Όβ€˜π‘) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑧 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∣ (𝑧 Btwn ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∨ π‘₯ Btwn βŸ¨π‘§, π‘¦βŸ© ∨ 𝑦 Btwn ⟨π‘₯, π‘§βŸ©)})⟩}) Struct ⟨1, 17⟩
251, 24eqbrtrdi 5149 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (EEGβ€˜π‘) Struct ⟨1, 17⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∨ w3o 1087   ∈ wcel 2107  {crab 3410   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913  {csn 4591  {cpr 4593  βŸ¨cop 4597   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  1c1 11059   βˆ’ cmin 11392  β„•cn 12160  2c2 12215  6c6 12219  7c7 12220  cdc 12625  ...cfz 13431  β†‘cexp 13974  Ξ£csu 15577   Struct cstr 17025  ndxcnx 17072  Basecbs 17090  distcds 17149  Itvcitv 27417  LineGclng 27418  π”Όcee 27879   Btwn cbtwn 27880  EEGceeng 27968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-seq 13914  df-sum 15578  df-struct 17026  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ds 17162  df-itv 27419  df-lng 27420  df-eeng 27969
This theorem is referenced by:  eengbas  27972  ebtwntg  27973  ecgrtg  27974  elntg  27975
  Copyright terms: Public domain W3C validator