Theorem eengstr 26217

Description: The Euclidean geometry as a structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eengstr	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)

Proof of Theorem eengstr

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eengv 26216	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
2		1nn 11325	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		basendx 16248	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) = 1
4		2nn0 11599	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		1nn0 11598	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 11924	. . . . 5 ⊢ 1 < ;10
7	2, 4, 5, 6	declti 11822	. . . 4 ⊢ 1 < ;12
8		2nn 11386	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
9	5, 8	decnncl 11804	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ
10		dsndx 16377	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
11	2, 3, 7, 9, 10	strle2 16295	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} Struct ⟨1, ;12⟩
12		6nn 11405	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
13	5, 12	decnncl 11804	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ
14		itvndx 25691	. . . 4 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
15		6nn0 11603	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		7nn 11409	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ
17		6lt7 11506	. . . . 5 ⊢ 6 < 7
18	5, 15, 16, 17	declt 11812	. . . 4 ⊢ ;16 < ;17
19	5, 16	decnncl 11804	. . . 4 ⊢ ;17 ∈ ℕ
20		lngndx 25692	. . . 4 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
21	13, 14, 18, 19, 20	strle2 16295	. . 3 ⊢ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩} Struct ⟨;16, ;17⟩
22		2lt6 11504	. . . 4 ⊢ 2 < 6
23	5, 4, 12, 22	declt 11812	. . 3 ⊢ ;12 < ;16
24	11, 21, 23	strleun 16293	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}) Struct ⟨1, ;17⟩
25	1, 24	syl6eqbr 4882	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1107   ∈ wcel 2157  {crab 3093   ∖ cdif 3766   ∪ cun 3767  {csn 4368  {cpr 4370  ⟨cop 4374   class class class wbr 4843  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878   ↦ cmpt2 6880  1c1 10225   − cmin 10556  ℕcn 11312  2c2 11368  6c6 11372  7c7 11373  ;cdc 11783  ...cfz 12580  ↑cexp 13114  Σcsu 14757   Struct cstr 16180  ndxcnx 16181  Basecbs 16184  distcds 16276  Itvcitv 25687  LineGclng 25688  𝔼cee 26125   Btwn cbtwn 26126  EEGceeng 26214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-seq 13056  df-sum 14758  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-ds 16289  df-itv 25689  df-lng 25690  df-eeng 26215

This theorem is referenced by:  eengbas  26218  ebtwntg  26219  ecgrtg  26220  elntg  26221