Theorem eengstr 28951

Description: The Euclidean geometry as a structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eengstr	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)

Proof of Theorem eengstr

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eengv 28950	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
2		1nn 12128	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		basendx 17121	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) = 1
4		2nn0 12390	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		1nn0 12389	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12719	. . . . 5 ⊢ 1 < ;10
7	2, 4, 5, 6	declti 12618	. . . 4 ⊢ 1 < ;12
8		2nn 12190	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
9	5, 8	decnncl 12600	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ
10		dsndx 17281	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
11	2, 3, 7, 9, 10	strle2 17062	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} Struct ⟨1, ;12⟩
12		6nn 12206	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
13	5, 12	decnncl 12600	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ
14		itvndx 28408	. . . 4 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
15		6nn0 12394	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		7nn 12209	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ
17		6lt7 12298	. . . . 5 ⊢ 6 < 7
18	5, 15, 16, 17	declt 12608	. . . 4 ⊢ ;16 < ;17
19	5, 16	decnncl 12600	. . . 4 ⊢ ;17 ∈ ℕ
20		lngndx 28409	. . . 4 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
21	13, 14, 18, 19, 20	strle2 17062	. . 3 ⊢ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩} Struct ⟨;16, ;17⟩
22		2lt6 12296	. . . 4 ⊢ 2 < 6
23	5, 4, 12, 22	declt 12608	. . 3 ⊢ ;12 < ;16
24	11, 21, 23	strleun 17060	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}) Struct ⟨1, ;17⟩
25	1, 24	eqbrtrdi 5128	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1085   ∈ wcel 2110  {crab 3393   ∖ cdif 3897   ∪ cun 3898  {csn 4574  {cpr 4576  ⟨cop 4580   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341   ∈ cmpo 7343  1c1 10999   − cmin 11336  ℕcn 12117  2c2 12172  6c6 12176  7c7 12177  ;cdc 12580  ...cfz 13399  ↑cexp 13960  Σcsu 15585   Struct cstr 17049  ndxcnx 17096  Basecbs 17112  distcds 17162  Itvcitv 28404  LineGclng 28405  𝔼cee 28859   Btwn cbtwn 28860  EEGceeng 28948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-fz 13400  df-seq 13901  df-sum 15586  df-struct 17050  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ds 17175  df-itv 28406  df-lng 28407  df-eeng 28949

This theorem is referenced by:  eengbas  28952  ebtwntg  28953  ecgrtg  28954  elntg  28955