MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eengstr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eengstr 26760
Description: The Euclidean geometry as a structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
eengstr (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, 17⟩)

Proof of Theorem eengstr
Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eengv 26759 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
2 1nn 11643 . . . 4 1 ∈ ℕ
3 basendx 16541 . . . 4 (Base‘ndx) = 1
4 2nn0 11908 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
5 1nn0 11907 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
6 1lt10 12231 . . . . 5 1 < 10
72, 4, 5, 6declti 12130 . . . 4 1 < 12
8 2nn 11704 . . . . 5 2 ∈ ℕ
95, 8decnncl 12112 . . . 4 12 ∈ ℕ
10 dsndx 16669 . . . 4 (dist‘ndx) = 12
112, 3, 7, 9, 10strle2 16587 . . 3 {⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2))⟩} Struct ⟨1, 12⟩
12 6nn 11720 . . . . 5 6 ∈ ℕ
135, 12decnncl 12112 . . . 4 16 ∈ ℕ
14 itvndx 26220 . . . 4 (Itv‘ndx) = 16
15 6nn0 11912 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
16 7nn 11723 . . . . 5 7 ∈ ℕ
17 6lt7 11817 . . . . 5 6 < 7
185, 15, 16, 17declt 12120 . . . 4 16 < 17
195, 16decnncl 12112 . . . 4 17 ∈ ℕ
20 lngndx 26221 . . . 4 (LineG‘ndx) = 17
2113, 14, 18, 19, 20strle2 16587 . . 3 {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩} Struct ⟨16, 17⟩
22 2lt6 11815 . . . 4 2 < 6
235, 4, 12, 22declt 12120 . . 3 12 < 16
2411, 21, 23strleun 16585 . 2 ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}) Struct ⟨1, 17⟩
251, 24eqbrtrdi 5098 1 (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, 17⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1082  wcel 2110  {crab 3142  cdif 3933  cun 3934  {csn 4561  {cpr 4563  cop 4567   class class class wbr 5059  cfv 6350  (class class class)co 7150  cmpo 7152  1c1 10532  cmin 10864  cn 11632  2c2 11686  6c6 11690  7c7 11691  cdc 12092  ...cfz 12886  cexp 13423  Σcsu 15036   Struct cstr 16473  ndxcnx 16474  Basecbs 16477  distcds 16568  Itvcitv 26216  LineGclng 26217  𝔼cee 26668   Btwn cbtwn 26669  EEGceeng 26757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-seq 13364  df-sum 15037  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-ds 16581  df-itv 26218  df-lng 26219  df-eeng 26758
This theorem is referenced by:  eengbas  26761  ebtwntg  26762  ecgrtg  26763  elntg  26764
  Copyright terms: Public domain W3C validator