Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrabs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrabs2 25950
 Description: A Dirichlet character takes values inside the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabs2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrabs2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrabs2.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrabs2.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrabs2.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrabs2.a (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
dchrabs2 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) ≤ 1)

Proof of Theorem dchrabs2
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐴) = 0) → (𝑋𝐴) = 0)
21abs00bd 14704 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐴) = 0) → (abs‘(𝑋𝐴)) = 0)
3 0le1 11206 . . 3 0 ≤ 1
42, 3eqbrtrdi 5074 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐴) = 0) → (abs‘(𝑋𝐴)) ≤ 1)
5 dchrabs2.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
6 dchrabs2.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐺)
7 dchrabs2.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
87adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐴) ≠ 0) → 𝑋𝐷)
9 dchrabs2.z . . . 4 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
10 eqid 2758 . . . 4 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
11 dchrabs2.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑍)
12 dchrabs2.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
135, 9, 6, 11, 10, 7, 12dchrn0 25938 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)))
1413biimpa 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍))
155, 6, 8, 9, 10, 14dchrabs 25948 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐴) ≠ 0) → (abs‘(𝑋𝐴)) = 1)
16 1le1 11311 . . 3 1 ≤ 1
1715, 16eqbrtrdi 5074 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐴) ≠ 0) → (abs‘(𝑋𝐴)) ≤ 1)
184, 17pm2.61dane 3038 1 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) ≤ 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   class class class wbr 5035  ‘cfv 6339  0cc0 10580  1c1 10581   ≤ cle 10719  abscabs 14646  Basecbs 16546  Unitcui 19465  ℤ/nℤczn 20277  DChrcdchr 25920 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658  ax-addf 10659  ax-mulf 10660 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-disj 5001  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-tpos 7907  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-2o 8118  df-oadd 8121  df-omul 8122  df-er 8304  df-ec 8306  df-qs 8310  df-map 8423  df-pm 8424  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-fi 8913  df-sup 8944  df-inf 8945  df-oi 9012  df-card 9406  df-acn 9409  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-q 12394  df-rp 12436  df-xneg 12553  df-xadd 12554  df-xmul 12555  df-ioo 12788  df-ioc 12789  df-ico 12790  df-icc 12791  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-fl 13216  df-mod 13292  df-seq 13424  df-exp 13485  df-fac 13689  df-bc 13718  df-hash 13746  df-shft 14479  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-limsup 14881  df-clim 14898  df-rlim 14899  df-sum 15096  df-ef 15474  df-sin 15476  df-cos 15477  df-pi 15479  df-dvds 15661  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-starv 16643  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-unif 16651  df-hom 16652  df-cco 16653  df-rest 16759  df-topn 16760  df-0g 16778  df-gsum 16779  df-topgen 16780  df-pt 16781  df-prds 16784  df-xrs 16838  df-qtop 16843  df-imas 16844  df-qus 16845  df-xps 16846  df-mre 16920  df-mrc 16921  df-acs 16923  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-mhm 18027  df-submnd 18028  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-sbg 18179  df-mulg 18297  df-subg 18348  df-nsg 18349  df-eqg 18350  df-ghm 18428  df-cntz 18519  df-od 18728  df-cmn 18980  df-abl 18981  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-cring 19373  df-oppr 19449  df-dvdsr 19467  df-unit 19468  df-invr 19498  df-dvr 19509  df-rnghom 19543  df-drng 19577  df-subrg 19606  df-lmod 19709  df-lss 19777  df-lsp 19817  df-sra 20017  df-rgmod 20018  df-lidl 20019  df-rsp 20020  df-2idl 20078  df-psmet 20163  df-xmet 20164  df-met 20165  df-bl 20166  df-mopn 20167  df-fbas 20168  df-fg 20169  df-cnfld 20172  df-zring 20244  df-zrh 20278  df-zn 20281  df-top 21599  df-topon 21616  df-topsp 21638  df-bases 21651  df-cld 21724  df-ntr 21725  df-cls 21726  df-nei 21803  df-lp 21841  df-perf 21842  df-cn 21932  df-cnp 21933  df-haus 22020  df-tx 22267  df-hmeo 22460  df-fil 22551  df-fm 22643  df-flim 22644  df-flf 22645  df-xms 23027  df-ms 23028  df-tms 23029  df-cncf 23584  df-limc 24570  df-dv 24571  df-log 25252  df-cxp 25253  df-dchr 25921 This theorem is referenced by:  dchrmusum2  26182  dchrvmasumlem3  26187  dchrisum0flblem1  26196  dchrisum0lem2a  26205
 Copyright terms: Public domain W3C validator