MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyremlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyremlem 26346
Description: Closure of a linear factor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
plyrem.1 𝐺 = (Xpf − (ℂ × {𝐴}))
Assertion
Ref Expression
plyremlem (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (𝐺 “ {0}) = {𝐴}))

Proof of Theorem plyremlem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyrem.1 . . 3 𝐺 = (Xpf − (ℂ × {𝐴}))
2 ssid 4006 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
3 ax-1cn 11213 . . . . 5 1 ∈ ℂ
4 plyid 26248 . . . . 5 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
52, 3, 4mp2an 692 . . . 4 Xp ∈ (Poly‘ℂ)
6 plyconst 26245 . . . . 5 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
72, 6mpan 690 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
8 plysubcl 26261 . . . 4 ((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ)) → (Xpf − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℂ))
95, 7, 8sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (Xpf − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℂ))
101, 9eqeltrid 2845 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
11 negcl 11508 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
12 addcom 11447 . . . . . . . . 9 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 + -𝐴))
1311, 12sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 + -𝐴))
14 negsub 11557 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑧 + -𝐴) = (𝑧𝐴))
1514ancoms 458 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 + -𝐴) = (𝑧𝐴))
1613, 15eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧𝐴))
1716mpteq2dva 5242 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (-𝐴 + 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴)))
18 cnex 11236 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ V)
20 negex 11506 . . . . . . . 8 -𝐴 ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → -𝐴 ∈ V)
22 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
23 fconstmpt 5747 . . . . . . . 8 (ℂ × {-𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝐴)
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {-𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝐴))
25 df-idp 26228 . . . . . . . . 9 Xp = ( I ↾ ℂ)
26 mptresid 6069 . . . . . . . . 9 ( I ↾ ℂ) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
2725, 26eqtri 2765 . . . . . . . 8 Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
2827a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧))
2919, 21, 22, 24, 28offval2 7717 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (-𝐴 + 𝑧)))
30 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
31 fconstmpt 5747 . . . . . . . 8 (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
3319, 22, 30, 28, 32offval2 7717 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (Xpf − (ℂ × {𝐴})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴)))
3417, 29, 333eqtr4d 2787 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp) = (Xpf − (ℂ × {𝐴})))
3534, 1eqtr4di 2795 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp) = 𝐺)
3635fveq2d 6910 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp)) = (deg‘𝐺))
37 plyconst 26245 . . . . 5 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {-𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
382, 11, 37sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {-𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
395a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
40 0dgr 26284 . . . . . 6 (-𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {-𝐴})) = 0)
4111, 40syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {-𝐴})) = 0)
42 0lt1 11785 . . . . 5 0 < 1
4341, 42eqbrtrdi 5182 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {-𝐴})) < 1)
44 eqid 2737 . . . . 5 (deg‘(ℂ × {-𝐴})) = (deg‘(ℂ × {-𝐴}))
45 dgrid 26304 . . . . . 6 (deg‘Xp) = 1
4645eqcomi 2746 . . . . 5 1 = (deg‘Xp)
4744, 46dgradd2 26308 . . . 4 (((ℂ × {-𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(ℂ × {-𝐴})) < 1) → (deg‘((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp)) = 1)
4838, 39, 43, 47syl3anc 1373 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp)) = 1)
4936, 48eqtr3d 2779 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘𝐺) = 1)
501, 33eqtrid 2789 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴)))
5150fveq1d 6908 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴))‘𝑧))
5251adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴))‘𝑧))
53 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐴) ∈ V
54 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴))
5554fvmpt2 7027 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴) ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴))‘𝑧) = (𝑧𝐴))
5622, 53, 55sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴))‘𝑧) = (𝑧𝐴))
5752, 56eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺𝑧) = (𝑧𝐴))
5857eqeq1d 2739 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑧) = 0 ↔ (𝑧𝐴) = 0))
59 subeq0 11535 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑧𝐴) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
6059ancoms 458 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧𝐴) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
6158, 60bitrd 279 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑧) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
6261pm5.32da 579 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) = 0) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 = 𝐴)))
63 plyf 26237 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
64 ffn 6736 . . . . . 6 (𝐺:ℂ⟶ℂ → 𝐺 Fn ℂ)
65 fniniseg 7080 . . . . . 6 (𝐺 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (𝐺 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) = 0)))
6610, 63, 64, 654syl 19 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (𝐺 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) = 0)))
67 eleq1a 2836 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 = 𝐴𝑧 ∈ ℂ))
6867pm4.71rd 562 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 = 𝐴 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 = 𝐴)))
6962, 66, 683bitr4d 311 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (𝐺 “ {0}) ↔ 𝑧 = 𝐴))
70 velsn 4642 . . . 4 (𝑧 ∈ {𝐴} ↔ 𝑧 = 𝐴)
7169, 70bitr4di 289 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (𝐺 “ {0}) ↔ 𝑧 ∈ {𝐴}))
7271eqrdv 2735 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 “ {0}) = {𝐴})
7310, 49, 723jca 1129 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (𝐺 “ {0}) = {𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225   I cid 5577   × cxp 5683  ccnv 5684  cres 5687  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cmin 11492  -cneg 11493  Polycply 26223  Xpcidp 26224  degcdgr 26226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-0p 25705  df-ply 26227  df-idp 26228  df-coe 26229  df-dgr 26230
This theorem is referenced by:  plyrem  26347  facth  26348  fta1lem  26349  vieta1lem1  26352  vieta1lem2  26353  taylply2  26409  taylply2OLD  26410  ftalem7  27122
  Copyright terms: Public domain W3C validator