MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyremlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem plyremlem 25824
Description: Closure of a linear factor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
plyrem.1 𝐺 = (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))
Assertion
Ref Expression
plyremlem (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜πΊ) = 1 ∧ (◑𝐺 β€œ {0}) = {𝐴}))
Proof of Theorem plyremlem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyrem.1 . . 3 𝐺 = (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))
2 ssid 4004 . . . . 5 β„‚ βŠ† β„‚
3 ax-1cn 11170 . . . . 5 1 ∈ β„‚
4 plyid 25730 . . . . 5 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Xp ∈ (Polyβ€˜β„‚))
52, 3, 4mp2an 690 . . . 4 Xp ∈ (Polyβ€˜β„‚)
6 plyconst 25727 . . . . 5 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
72, 6mpan 688 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
8 plysubcl 25743 . . . 4 ((Xp ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚)) β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
95, 7, 8sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
101, 9eqeltrid 2837 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
11 negcl 11462 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -𝐴 ∈ β„‚)
12 addcom 11402 . . . . . . . . 9 ((-𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 + -𝐴))
1311, 12sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 + -𝐴))
14 negsub 11510 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 + -𝐴) = (𝑧 βˆ’ 𝐴))
1514ancoms 459 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 + -𝐴) = (𝑧 βˆ’ 𝐴))
1613, 15eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 βˆ’ 𝐴))
1716mpteq2dva 5248 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (-𝐴 + 𝑧)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴)))
18 cnex 11193 . . . . . . . 8 β„‚ ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ β„‚ ∈ V)
20 negex 11460 . . . . . . . 8 -𝐴 ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ -𝐴 ∈ V)
22 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
23 fconstmpt 5738 . . . . . . . 8 (β„‚ Γ— {-𝐴}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ -𝐴)
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {-𝐴}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ -𝐴))
25 df-idp 25710 . . . . . . . . 9 Xp = ( I β†Ύ β„‚)
26 mptresid 6050 . . . . . . . . 9 ( I β†Ύ β„‚) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝑧)
2725, 26eqtri 2760 . . . . . . . 8 Xp = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝑧)
2827a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ Xp = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝑧))
2919, 21, 22, 24, 28offval2 7692 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {-𝐴}) ∘f + Xp) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (-𝐴 + 𝑧)))
30 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
31 fconstmpt 5738 . . . . . . . 8 (β„‚ Γ— {𝐴}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐴)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐴))
3319, 22, 30, 28, 32offval2 7692 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴)))
3417, 29, 333eqtr4d 2782 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {-𝐴}) ∘f + Xp) = (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))
3534, 1eqtr4di 2790 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {-𝐴}) ∘f + Xp) = 𝐺)
3635fveq2d 6895 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜((β„‚ Γ— {-𝐴}) ∘f + Xp)) = (degβ€˜πΊ))
37 plyconst 25727 . . . . 5 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ -𝐴 ∈ β„‚) β†’ (β„‚ Γ— {-𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
382, 11, 37sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {-𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
395a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ Xp ∈ (Polyβ€˜β„‚))
40 0dgr 25766 . . . . . 6 (-𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {-𝐴})) = 0)
4111, 40syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {-𝐴})) = 0)
42 0lt1 11738 . . . . 5 0 < 1
4341, 42eqbrtrdi 5187 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {-𝐴})) < 1)
44 eqid 2732 . . . . 5 (degβ€˜(β„‚ Γ— {-𝐴})) = (degβ€˜(β„‚ Γ— {-𝐴}))
45 dgrid 25785 . . . . . 6 (degβ€˜Xp) = 1
4645eqcomi 2741 . . . . 5 1 = (degβ€˜Xp)
4744, 46dgradd2 25789 . . . 4 (((β„‚ Γ— {-𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ Xp ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜(β„‚ Γ— {-𝐴})) < 1) β†’ (degβ€˜((β„‚ Γ— {-𝐴}) ∘f + Xp)) = 1)
4838, 39, 43, 47syl3anc 1371 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜((β„‚ Γ— {-𝐴}) ∘f + Xp)) = 1)
4936, 48eqtr3d 2774 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜πΊ) = 1)
501, 33eqtrid 2784 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴)))
5150fveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (πΊβ€˜π‘§) = ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘§))
5251adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘§))
53 ovex 7444 . . . . . . . . . 10 (𝑧 βˆ’ 𝐴) ∈ V
54 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴))
5554fvmpt2 7009 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ∈ V) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘§) = (𝑧 βˆ’ 𝐴))
5622, 53, 55sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘§) = (𝑧 βˆ’ 𝐴))
5752, 56eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (𝑧 βˆ’ 𝐴))
5857eqeq1d 2734 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) = 0 ↔ (𝑧 βˆ’ 𝐴) = 0))
59 subeq0 11488 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 βˆ’ 𝐴) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
6059ancoms 459 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 βˆ’ 𝐴) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
6158, 60bitrd 278 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
6261pm5.32da 579 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 0) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 = 𝐴)))
63 plyf 25719 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
64 ffn 6717 . . . . . 6 (𝐺:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ 𝐺 Fn β„‚)
65 fniniseg 7061 . . . . . 6 (𝐺 Fn β„‚ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {0}) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 0)))
6610, 63, 64, 654syl 19 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {0}) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 0)))
67 eleq1a 2828 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 = 𝐴 β†’ 𝑧 ∈ β„‚))
6867pm4.71rd 563 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 = 𝐴 ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 = 𝐴)))
6962, 66, 683bitr4d 310 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {0}) ↔ 𝑧 = 𝐴))
70 velsn 4644 . . . 4 (𝑧 ∈ {𝐴} ↔ 𝑧 = 𝐴)
7169, 70bitr4di 288 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {0}) ↔ 𝑧 ∈ {𝐴}))
7271eqrdv 2730 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (◑𝐺 β€œ {0}) = {𝐴})
7310, 49, 723jca 1128 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜πΊ) = 1 ∧ (◑𝐺 β€œ {0}) = {𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11250   βˆ’ cmin 11446  -cneg 11447  Polycply 25705  Xpcidp 25706  degcdgr 25708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-0p 25194  df-ply 25709  df-idp 25710  df-coe 25711  df-dgr 25712
This theorem is referenced by:  plyrem  25825  facth  25826  fta1lem  25827  vieta1lem1  25830  vieta1lem2  25831  taylply2  25887  ftalem7  26590
  Copyright terms: Public domain W3C validator