Theorem plyremlem 25746

Description: Closure of a linear factor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
plyrem.1	⊢ 𝐺 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))

Assertion

Ref	Expression
plyremlem	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴}))

Proof of Theorem plyremlem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyrem.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))
2		ssid 4000	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
3		ax-1cn 11150	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		plyid 25652	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
5	2, 3, 4	mp2an 690	. . . 4 ⊢ Xp ∈ (Poly‘ℂ)
6		plyconst 25649	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
7	2, 6	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
8		plysubcl 25665	. . . 4 ⊢ ((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ)) → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℂ))
9	5, 7, 8	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℂ))
10	1, 9	eqeltrid 2836	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
11		negcl 11442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
12		addcom 11382	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 + -𝐴))
13	11, 12	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 + -𝐴))
14		negsub 11490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑧 + -𝐴) = (𝑧 − 𝐴))
15	14	ancoms 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 + -𝐴) = (𝑧 − 𝐴))
16	13, 15	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 − 𝐴))
17	16	mpteq2dva 5241	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (-𝐴 + 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴)))
18		cnex 11173	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ V)
20		negex 11440	. . . . . . . 8 ⊢ -𝐴 ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → -𝐴 ∈ V)
22		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
23		fconstmpt 5730	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {-𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝐴)
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {-𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝐴))
25		df-idp 25632	. . . . . . . . 9 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
26		mptresid 6040	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ ℂ) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
27	25, 26	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧))
29	19, 21, 22, 24, 28	offval2 7673	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (-𝐴 + 𝑧)))
30		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
31		fconstmpt 5730	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
33	19, 22, 30, 28, 32	offval2 7673	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴)))
34	17, 29, 33	3eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp) = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})))
35	34, 1	eqtr4di 2789	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp) = 𝐺)
36	35	fveq2d 6882	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp)) = (deg‘𝐺))
37		plyconst 25649	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {-𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
38	2, 11, 37	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {-𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
39	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
40		0dgr 25688	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {-𝐴})) = 0)
41	11, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {-𝐴})) = 0)
42		0lt1 11718	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
43	41, 42	eqbrtrdi 5180	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {-𝐴})) < 1)
44		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (deg‘(ℂ × {-𝐴})) = (deg‘(ℂ × {-𝐴}))
45		dgrid 25707	. . . . . 6 ⊢ (deg‘Xp) = 1
46	45	eqcomi 2740	. . . . 5 ⊢ 1 = (deg‘Xp)
47	44, 46	dgradd2 25711	. . . 4 ⊢ (((ℂ × {-𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(ℂ × {-𝐴})) < 1) → (deg‘((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp)) = 1)
48	38, 39, 43, 47	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp)) = 1)
49	36, 48	eqtr3d 2773	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘𝐺) = 1)
50	1, 33	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴)))
51	50	fveq1d 6880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺‘𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))‘𝑧))
52	51	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))‘𝑧))
53		ovex 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 − 𝐴) ∈ V
54		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))
55	54	fvmpt2 6995	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴) ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))‘𝑧) = (𝑧 − 𝐴))
56	22, 53, 55	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))‘𝑧) = (𝑧 − 𝐴))
57	52, 56	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) = (𝑧 − 𝐴))
58	57	eqeq1d 2733	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺‘𝑧) = 0 ↔ (𝑧 − 𝐴) = 0))
59		subeq0 11468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑧 − 𝐴) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
60	59	ancoms 459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 − 𝐴) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
61	58, 60	bitrd 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺‘𝑧) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
62	61	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) = 0) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 = 𝐴)))
63		plyf 25641	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
64		ffn 6704	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:ℂ⟶ℂ → 𝐺 Fn ℂ)
65		fniniseg 7046	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) = 0)))
66	10, 63, 64, 65	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) = 0)))
67		eleq1a 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 = 𝐴 → 𝑧 ∈ ℂ))
68	67	pm4.71rd 563	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 = 𝐴 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 = 𝐴)))
69	62, 66, 68	3bitr4d 310	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ 𝑧 = 𝐴))
70		velsn 4638	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐴} ↔ 𝑧 = 𝐴)
71	69, 70	bitr4di 288	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ 𝑧 ∈ {𝐴}))
72	71	eqrdv 2729	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴})
73	10, 49, 72	3jca 1128	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3473   ⊆ wss 3944  {csn 4622   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   I cid 5566   × cxp 5667  ^◡ccnv 5668   ↾ cres 5671   “ cima 5672   Fn wfn 6527  ⟶wf 6528  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393   ∘_f cof 7651  ℂcc 11090  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095   < clt 11230   − cmin 11426  -cneg 11427  Polycply 25627  X_pcidp 25628  degcdgr 25630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15615  df-0p 25116  df-ply 25631  df-idp 25632  df-coe 25633  df-dgr 25634

This theorem is referenced by:  plyrem  25747  facth  25748  fta1lem  25749  vieta1lem1  25752  vieta1lem2  25753  taylply2  25809  ftalem7  26510