MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyremlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem plyremlem 25808
Description: Closure of a linear factor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
plyrem.1 𝐺 = (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))
Assertion
Ref Expression
plyremlem (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜πΊ) = 1 ∧ (◑𝐺 β€œ {0}) = {𝐴}))
Proof of Theorem plyremlem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyrem.1 . . 3 𝐺 = (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))
2 ssid 4003 . . . . 5 β„‚ βŠ† β„‚
3 ax-1cn 11164 . . . . 5 1 ∈ β„‚
4 plyid 25714 . . . . 5 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Xp ∈ (Polyβ€˜β„‚))
52, 3, 4mp2an 690 . . . 4 Xp ∈ (Polyβ€˜β„‚)
6 plyconst 25711 . . . . 5 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
72, 6mpan 688 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
8 plysubcl 25727 . . . 4 ((Xp ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚)) β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
95, 7, 8sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
101, 9eqeltrid 2837 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
11 negcl 11456 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -𝐴 ∈ β„‚)
12 addcom 11396 . . . . . . . . 9 ((-𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 + -𝐴))
1311, 12sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 + -𝐴))
14 negsub 11504 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 + -𝐴) = (𝑧 βˆ’ 𝐴))
1514ancoms 459 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 + -𝐴) = (𝑧 βˆ’ 𝐴))
1613, 15eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 βˆ’ 𝐴))
1716mpteq2dva 5247 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (-𝐴 + 𝑧)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴)))
18 cnex 11187 . . . . . . . 8 β„‚ ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ β„‚ ∈ V)
20 negex 11454 . . . . . . . 8 -𝐴 ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ -𝐴 ∈ V)
22 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
23 fconstmpt 5736 . . . . . . . 8 (β„‚ Γ— {-𝐴}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ -𝐴)
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {-𝐴}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ -𝐴))
25 df-idp 25694 . . . . . . . . 9 Xp = ( I β†Ύ β„‚)
26 mptresid 6048 . . . . . . . . 9 ( I β†Ύ β„‚) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝑧)
2725, 26eqtri 2760 . . . . . . . 8 Xp = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝑧)
2827a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ Xp = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝑧))
2919, 21, 22, 24, 28offval2 7686 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {-𝐴}) ∘f + Xp) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (-𝐴 + 𝑧)))
30 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
31 fconstmpt 5736 . . . . . . . 8 (β„‚ Γ— {𝐴}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐴)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐴))
3319, 22, 30, 28, 32offval2 7686 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴)))
3417, 29, 333eqtr4d 2782 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {-𝐴}) ∘f + Xp) = (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))
3534, 1eqtr4di 2790 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {-𝐴}) ∘f + Xp) = 𝐺)
3635fveq2d 6892 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜((β„‚ Γ— {-𝐴}) ∘f + Xp)) = (degβ€˜πΊ))
37 plyconst 25711 . . . . 5 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ -𝐴 ∈ β„‚) β†’ (β„‚ Γ— {-𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
382, 11, 37sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {-𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
395a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ Xp ∈ (Polyβ€˜β„‚))
40 0dgr 25750 . . . . . 6 (-𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {-𝐴})) = 0)
4111, 40syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {-𝐴})) = 0)
42 0lt1 11732 . . . . 5 0 < 1
4341, 42eqbrtrdi 5186 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {-𝐴})) < 1)
44 eqid 2732 . . . . 5 (degβ€˜(β„‚ Γ— {-𝐴})) = (degβ€˜(β„‚ Γ— {-𝐴}))
45 dgrid 25769 . . . . . 6 (degβ€˜Xp) = 1
4645eqcomi 2741 . . . . 5 1 = (degβ€˜Xp)
4744, 46dgradd2 25773 . . . 4 (((β„‚ Γ— {-𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ Xp ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜(β„‚ Γ— {-𝐴})) < 1) β†’ (degβ€˜((β„‚ Γ— {-𝐴}) ∘f + Xp)) = 1)
4838, 39, 43, 47syl3anc 1371 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜((β„‚ Γ— {-𝐴}) ∘f + Xp)) = 1)
4936, 48eqtr3d 2774 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜πΊ) = 1)
501, 33eqtrid 2784 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴)))
5150fveq1d 6890 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (πΊβ€˜π‘§) = ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘§))
5251adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘§))
53 ovex 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑧 βˆ’ 𝐴) ∈ V
54 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴))
5554fvmpt2 7006 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ∈ V) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘§) = (𝑧 βˆ’ 𝐴))
5622, 53, 55sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘§) = (𝑧 βˆ’ 𝐴))
5752, 56eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (𝑧 βˆ’ 𝐴))
5857eqeq1d 2734 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) = 0 ↔ (𝑧 βˆ’ 𝐴) = 0))
59 subeq0 11482 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 βˆ’ 𝐴) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
6059ancoms 459 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 βˆ’ 𝐴) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
6158, 60bitrd 278 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
6261pm5.32da 579 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 0) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 = 𝐴)))
63 plyf 25703 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
64 ffn 6714 . . . . . 6 (𝐺:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ 𝐺 Fn β„‚)
65 fniniseg 7058 . . . . . 6 (𝐺 Fn β„‚ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {0}) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 0)))
6610, 63, 64, 654syl 19 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {0}) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 0)))
67 eleq1a 2828 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 = 𝐴 β†’ 𝑧 ∈ β„‚))
6867pm4.71rd 563 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 = 𝐴 ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 = 𝐴)))
6962, 66, 683bitr4d 310 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {0}) ↔ 𝑧 = 𝐴))
70 velsn 4643 . . . 4 (𝑧 ∈ {𝐴} ↔ 𝑧 = 𝐴)
7169, 70bitr4di 288 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {0}) ↔ 𝑧 ∈ {𝐴}))
7271eqrdv 2730 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (◑𝐺 β€œ {0}) = {𝐴})
7310, 49, 723jca 1128 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜πΊ) = 1 ∧ (◑𝐺 β€œ {0}) = {𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   βˆ’ cmin 11440  -cneg 11441  Polycply 25689  Xpcidp 25690  degcdgr 25692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-0p 25178  df-ply 25693  df-idp 25694  df-coe 25695  df-dgr 25696
This theorem is referenced by:  plyrem  25809  facth  25810  fta1lem  25811  vieta1lem1  25814  vieta1lem2  25815  taylply2  25871  ftalem7  26572
  Copyright terms: Public domain W3C validator