Theorem plyremlem 26625

Description: Closure of a linear factor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
plyrem.1	⊢ 𝐺 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))

Assertion

Ref	Expression
plyremlem	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴}))

Proof of Theorem plyremlem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyrem.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))
2		ssid 3930	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
3		ax-1cn 11258	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		plyid 26527	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . . 4 ⊢ Xp ∈ (Poly‘ℂ)
6		plyconst 26524	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
7	2, 6	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
8		plysubcl 26541	. . . 4 ⊢ ((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ)) → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℂ))
9	5, 7, 8	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℂ))
10	1, 9	eqeltrid 2864	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
11		negcl 11557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
12		addcom 11496	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ( -𝐴 + 𝑧) = (𝑧 + -𝐴))
13	11, 12	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ( -𝐴 + 𝑧) = (𝑧 + -𝐴))
14		negsub 11606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑧 + -𝐴) = (𝑧 − 𝐴))
15	14	ancoms 464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 + -𝐴) = (𝑧 − 𝐴))
16	13, 15	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ( -𝐴 + 𝑧) = (𝑧 − 𝐴))
17	16	mpteq2dva 5197	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ( -𝐴 + 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴)))
18		cnex 11281	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ V)
20		negex 11555	. . . . . . . 8 ⊢ -𝐴 ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → -𝐴 ∈ V)
22		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
23		fconstmpt 5712	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × { -𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝐴)
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × { -𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝐴))
25		df-idp 26507	. . . . . . . . 9 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
26		mptresid 6042	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ ℂ) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
27	25, 26	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧))
29	19, 21, 22, 24, 28	offval2 7713	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × { -𝐴}) ∘f + Xp) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ( -𝐴 + 𝑧)))
30		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
31		fconstmpt 5712	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
33	19, 22, 30, 28, 32	offval2 7713	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴)))
34	17, 29, 33	3eqtr4d 2805	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × { -𝐴}) ∘f + Xp) = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})))
35	34, 1	eqtr4di 2813	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × { -𝐴}) ∘f + Xp) = 𝐺)
36	35	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘((ℂ × { -𝐴}) ∘f + Xp)) = (deg‘𝐺))
37		plyconst 26524	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × { -𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
38	2, 11, 37	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × { -𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
39	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
40		0dgr 26564	. . . . . 6 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × { -𝐴})) = 0)
41	11, 40	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × { -𝐴})) = 0)
42		0lt1 11838	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
43	41, 42	eqbrtrdi 5143	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × { -𝐴})) < 1)
44		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (deg‘(ℂ × { -𝐴})) = (deg‘(ℂ × { -𝐴}))
45		dgrid 26583	. . . . . 6 ⊢ (deg‘Xp) = 1
46	45	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ 1 = (deg‘Xp)
47	44, 46	dgradd2 26587	. . . 4 ⊢ (((ℂ × { -𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(ℂ × { -𝐴})) < 1) → (deg‘((ℂ × { -𝐴}) ∘f + Xp)) = 1)
48	38, 39, 43, 47	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘((ℂ × { -𝐴}) ∘f + Xp)) = 1)
49	36, 48	eqtr3d 2797	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘𝐺) = 1)
50	1, 33	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴)))
51	50	fveq1d 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺‘𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))‘𝑧))
52	51	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))‘𝑧))
53		ovex 7453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 − 𝐴) ∈ V
54		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))
55	54	fvmpt2 7005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴) ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))‘𝑧) = (𝑧 − 𝐴))
56	22, 53, 55	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))‘𝑧) = (𝑧 − 𝐴))
57	52, 56	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) = (𝑧 − 𝐴))
58	57	eqeq1d 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺‘𝑧) = 0 ↔ (𝑧 − 𝐴) = 0))
59		subeq0 11584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑧 − 𝐴) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
60	59	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 − 𝐴) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
61	58, 60	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺‘𝑧) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
62	61	pm5.32da 590	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) = 0) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 = 𝐴)))
63		plyf 26516	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
64		ffn 6709	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:ℂ⟶ℂ → 𝐺 Fn ℂ)
65		fniniseg 7059	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) = 0)))
66	10, 63, 64, 65	4syl 20	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) = 0)))
67		eleq1a 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 = 𝐴 → 𝑧 ∈ ℂ))
68	67	pm4.71rd 572	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 = 𝐴 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 = 𝐴)))
69	62, 66, 68	3bitr4d 314	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ 𝑧 = 𝐴))
70		velsn 4599	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐴} ↔ 𝑧 = 𝐴)
71	69, 70	bitr4di 292	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ 𝑧 ∈ {𝐴}))
72	71	eqrdv 2758	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴})
73	10, 49, 72	3jca 1146	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  {csn 4583   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   I cid 5544   × cxp 5648  ^◡ccnv 5649   ↾ cres 5652   “ cima 5653   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   < clt 11343   − cmin 11541   -cneg 11542  Polycply 26502  X_pcidp 26503  degcdgr 26505

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-0p 25991  df-ply 26506  df-idp 26507  df-coe 26508  df-dgr 26509

This theorem is used by:  plyrem  26626  facth  26627  fta1lem  26628  vieta1lem1  26633  vieta1lem2  26634  taylply2  26695  ftalem7  27406