Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyremlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyremlem 24992
 Description: Closure of a linear factor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
plyrem.1 𝐺 = (Xpf − (ℂ × {𝐴}))
Assertion
Ref Expression
plyremlem (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (𝐺 “ {0}) = {𝐴}))

Proof of Theorem plyremlem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyrem.1 . . 3 𝐺 = (Xpf − (ℂ × {𝐴}))
2 ssid 3915 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
3 ax-1cn 10626 . . . . 5 1 ∈ ℂ
4 plyid 24898 . . . . 5 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
52, 3, 4mp2an 692 . . . 4 Xp ∈ (Poly‘ℂ)
6 plyconst 24895 . . . . 5 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
72, 6mpan 690 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
8 plysubcl 24911 . . . 4 ((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ)) → (Xpf − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℂ))
95, 7, 8sylancr 591 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (Xpf − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℂ))
101, 9eqeltrid 2857 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
11 negcl 10917 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
12 addcom 10857 . . . . . . . . 9 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 + -𝐴))
1311, 12sylan 584 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 + -𝐴))
14 negsub 10965 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑧 + -𝐴) = (𝑧𝐴))
1514ancoms 463 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 + -𝐴) = (𝑧𝐴))
1613, 15eqtrd 2794 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧𝐴))
1716mpteq2dva 5128 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (-𝐴 + 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴)))
18 cnex 10649 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ V)
20 negex 10915 . . . . . . . 8 -𝐴 ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → -𝐴 ∈ V)
22 simpr 489 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
23 fconstmpt 5584 . . . . . . . 8 (ℂ × {-𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝐴)
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {-𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝐴))
25 df-idp 24878 . . . . . . . . 9 Xp = ( I ↾ ℂ)
26 mptresid 5891 . . . . . . . . 9 ( I ↾ ℂ) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
2725, 26eqtri 2782 . . . . . . . 8 Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
2827a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧))
2919, 21, 22, 24, 28offval2 7425 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (-𝐴 + 𝑧)))
30 simpl 487 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
31 fconstmpt 5584 . . . . . . . 8 (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
3319, 22, 30, 28, 32offval2 7425 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (Xpf − (ℂ × {𝐴})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴)))
3417, 29, 333eqtr4d 2804 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp) = (Xpf − (ℂ × {𝐴})))
3534, 1eqtr4di 2812 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp) = 𝐺)
3635fveq2d 6663 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp)) = (deg‘𝐺))
37 plyconst 24895 . . . . 5 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {-𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
382, 11, 37sylancr 591 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {-𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
395a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
40 0dgr 24934 . . . . . 6 (-𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {-𝐴})) = 0)
4111, 40syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {-𝐴})) = 0)
42 0lt1 11193 . . . . 5 0 < 1
4341, 42eqbrtrdi 5072 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {-𝐴})) < 1)
44 eqid 2759 . . . . 5 (deg‘(ℂ × {-𝐴})) = (deg‘(ℂ × {-𝐴}))
45 dgrid 24953 . . . . . 6 (deg‘Xp) = 1
4645eqcomi 2768 . . . . 5 1 = (deg‘Xp)
4744, 46dgradd2 24957 . . . 4 (((ℂ × {-𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(ℂ × {-𝐴})) < 1) → (deg‘((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp)) = 1)
4838, 39, 43, 47syl3anc 1369 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp)) = 1)
4936, 48eqtr3d 2796 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘𝐺) = 1)
501, 33syl5eq 2806 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴)))
5150fveq1d 6661 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴))‘𝑧))
5251adantr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴))‘𝑧))
53 ovex 7184 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐴) ∈ V
54 eqid 2759 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴))
5554fvmpt2 6771 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴) ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴))‘𝑧) = (𝑧𝐴))
5622, 53, 55sylancl 590 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴))‘𝑧) = (𝑧𝐴))
5752, 56eqtrd 2794 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺𝑧) = (𝑧𝐴))
5857eqeq1d 2761 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑧) = 0 ↔ (𝑧𝐴) = 0))
59 subeq0 10943 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑧𝐴) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
6059ancoms 463 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧𝐴) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
6158, 60bitrd 282 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑧) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
6261pm5.32da 583 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) = 0) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 = 𝐴)))
63 plyf 24887 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
64 ffn 6499 . . . . . 6 (𝐺:ℂ⟶ℂ → 𝐺 Fn ℂ)
65 fniniseg 6822 . . . . . 6 (𝐺 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (𝐺 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) = 0)))
6610, 63, 64, 654syl 19 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (𝐺 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) = 0)))
67 eleq1a 2848 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 = 𝐴𝑧 ∈ ℂ))
6867pm4.71rd 567 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 = 𝐴 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 = 𝐴)))
6962, 66, 683bitr4d 315 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (𝐺 “ {0}) ↔ 𝑧 = 𝐴))
70 velsn 4539 . . . 4 (𝑧 ∈ {𝐴} ↔ 𝑧 = 𝐴)
7169, 70bitr4di 293 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (𝐺 “ {0}) ↔ 𝑧 ∈ {𝐴}))
7271eqrdv 2757 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 “ {0}) = {𝐴})
7310, 49, 723jca 1126 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (𝐺 “ {0}) = {𝐴}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410   ⊆ wss 3859  {csn 4523   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   I cid 5430   × cxp 5523  ◡ccnv 5524   ↾ cres 5527   “ cima 5528   Fn wfn 6331  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151   ∘f cof 7404  ℂcc 10566  0cc0 10568  1c1 10569   + caddc 10571   < clt 10706   − cmin 10901  -cneg 10902  Polycply 24873  Xpcidp 24874  degcdgr 24876 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-inf2 9130  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646  ax-addf 10647 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7406  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-sup 8932  df-inf 8933  df-oi 9000  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-rp 12424  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-fl 13204  df-seq 13412  df-exp 13473  df-hash 13734  df-cj 14499  df-re 14500  df-im 14501  df-sqrt 14635  df-abs 14636  df-clim 14886  df-rlim 14887  df-sum 15084  df-0p 24363  df-ply 24877  df-idp 24878  df-coe 24879  df-dgr 24880 This theorem is referenced by:  plyrem  24993  facth  24994  fta1lem  24995  vieta1lem1  24998  vieta1lem2  24999  taylply2  25055  ftalem7  25756
 Copyright terms: Public domain W3C validator