Theorem plyremlem 26566

Description: Closure of a linear factor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
plyrem.1	⊢ 𝐺 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))

Assertion

Ref	Expression
plyremlem	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴}))

Proof of Theorem plyremlem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyrem.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))
2		ssid 3953	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
3		ax-1cn 11207	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		plyid 26466	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . . 4 ⊢ Xp ∈ (Poly‘ℂ)
6		plyconst 26463	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
7	2, 6	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
8		plysubcl 26480	. . . 4 ⊢ ((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ)) → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℂ))
9	5, 7, 8	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℂ))
10	1, 9	eqeltrid 2864	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
11		negcl 11506	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
12		addcom 11445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 + -𝐴))
13	11, 12	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 + -𝐴))
14		negsub 11555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑧 + -𝐴) = (𝑧 − 𝐴))
15	14	ancoms 464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 + -𝐴) = (𝑧 − 𝐴))
16	13, 15	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 − 𝐴))
17	16	mpteq2dva 5198	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (-𝐴 + 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴)))
18		cnex 11230	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ V)
20		negex 11504	. . . . . . . 8 ⊢ -𝐴 ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → -𝐴 ∈ V)
22		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
23		fconstmpt 5717	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {-𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝐴)
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {-𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝐴))
25		df-idp 26446	. . . . . . . . 9 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
26		mptresid 6049	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ ℂ) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
27	25, 26	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧))
29	19, 21, 22, 24, 28	offval2 7704	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (-𝐴 + 𝑧)))
30		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
31		fconstmpt 5717	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
33	19, 22, 30, 28, 32	offval2 7704	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴)))
34	17, 29, 33	3eqtr4d 2805	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp) = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})))
35	34, 1	eqtr4di 2813	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp) = 𝐺)
36	35	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp)) = (deg‘𝐺))
37		plyconst 26463	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {-𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
38	2, 11, 37	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {-𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
39	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
40		0dgr 26503	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {-𝐴})) = 0)
41	11, 40	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {-𝐴})) = 0)
42		0lt1 11785	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
43	41, 42	eqbrtrdi 5144	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {-𝐴})) < 1)
44		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (deg‘(ℂ × {-𝐴})) = (deg‘(ℂ × {-𝐴}))
45		dgrid 26522	. . . . . 6 ⊢ (deg‘Xp) = 1
46	45	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ 1 = (deg‘Xp)
47	44, 46	dgradd2 26526	. . . 4 ⊢ (((ℂ × {-𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(ℂ × {-𝐴})) < 1) → (deg‘((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp)) = 1)
48	38, 39, 43, 47	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp)) = 1)
49	36, 48	eqtr3d 2797	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘𝐺) = 1)
50	1, 33	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴)))
51	50	fveq1d 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺‘𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))‘𝑧))
52	51	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))‘𝑧))
53		ovex 7449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 − 𝐴) ∈ V
54		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))
55	54	fvmpt2 7001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴) ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))‘𝑧) = (𝑧 − 𝐴))
56	22, 53, 55	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))‘𝑧) = (𝑧 − 𝐴))
57	52, 56	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) = (𝑧 − 𝐴))
58	57	eqeq1d 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺‘𝑧) = 0 ↔ (𝑧 − 𝐴) = 0))
59		subeq0 11533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑧 − 𝐴) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
60	59	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 − 𝐴) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
61	58, 60	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺‘𝑧) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
62	61	pm5.32da 590	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) = 0) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 = 𝐴)))
63		plyf 26455	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
64		ffn 6705	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:ℂ⟶ℂ → 𝐺 Fn ℂ)
65		fniniseg 7055	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) = 0)))
66	10, 63, 64, 65	4syl 20	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) = 0)))
67		eleq1a 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 = 𝐴 → 𝑧 ∈ ℂ))
68	67	pm4.71rd 572	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 = 𝐴 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 = 𝐴)))
69	62, 66, 68	3bitr4d 314	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ 𝑧 = 𝐴))
70		velsn 4600	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐴} ↔ 𝑧 = 𝐴)
71	69, 70	bitr4di 292	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ 𝑧 ∈ {𝐴}))
72	71	eqrdv 2758	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴})
73	10, 49, 72	3jca 1146	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   I cid 5549   × cxp 5653  ^◡ccnv 5654   ↾ cres 5657   “ cima 5658   Fn wfn 6530  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7682  ℂcc 11147  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152   < clt 11292   − cmin 11490  -cneg 11491  Polycply 26441  X_pcidp 26442  degcdgr 26444

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-inf2 9627  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9489  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-rp 13068  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-fl 13878  df-seq 14091  df-exp 14151  df-hash 14420  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-clim 15600  df-rlim 15601  df-sum 15799  df-0p 25930  df-ply 26445  df-idp 26446  df-coe 26447  df-dgr 26448

This theorem is used by:  plyrem  26567  facth  26568  fta1lem  26569  vieta1lem1  26574  vieta1lem2  26575  taylply2  26636  ftalem7  27347