MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyremlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem plyremlem 25817
Description: Closure of a linear factor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
plyrem.1 𝐺 = (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))
Assertion
Ref Expression
plyremlem (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜πΊ) = 1 ∧ (◑𝐺 β€œ {0}) = {𝐴}))
Proof of Theorem plyremlem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyrem.1 . . 3 𝐺 = (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))
2 ssid 4005 . . . . 5 β„‚ βŠ† β„‚
3 ax-1cn 11168 . . . . 5 1 ∈ β„‚
4 plyid 25723 . . . . 5 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Xp ∈ (Polyβ€˜β„‚))
52, 3, 4mp2an 691 . . . 4 Xp ∈ (Polyβ€˜β„‚)
6 plyconst 25720 . . . . 5 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
72, 6mpan 689 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
8 plysubcl 25736 . . . 4 ((Xp ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚)) β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
95, 7, 8sylancr 588 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
101, 9eqeltrid 2838 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
11 negcl 11460 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -𝐴 ∈ β„‚)
12 addcom 11400 . . . . . . . . 9 ((-𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 + -𝐴))
1311, 12sylan 581 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 + -𝐴))
14 negsub 11508 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 + -𝐴) = (𝑧 βˆ’ 𝐴))
1514ancoms 460 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 + -𝐴) = (𝑧 βˆ’ 𝐴))
1613, 15eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 βˆ’ 𝐴))
1716mpteq2dva 5249 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (-𝐴 + 𝑧)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴)))
18 cnex 11191 . . . . . . . 8 β„‚ ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ β„‚ ∈ V)
20 negex 11458 . . . . . . . 8 -𝐴 ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ -𝐴 ∈ V)
22 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
23 fconstmpt 5739 . . . . . . . 8 (β„‚ Γ— {-𝐴}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ -𝐴)
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {-𝐴}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ -𝐴))
25 df-idp 25703 . . . . . . . . 9 Xp = ( I β†Ύ β„‚)
26 mptresid 6051 . . . . . . . . 9 ( I β†Ύ β„‚) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝑧)
2725, 26eqtri 2761 . . . . . . . 8 Xp = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝑧)
2827a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ Xp = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝑧))
2919, 21, 22, 24, 28offval2 7690 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {-𝐴}) ∘f + Xp) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (-𝐴 + 𝑧)))
30 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
31 fconstmpt 5739 . . . . . . . 8 (β„‚ Γ— {𝐴}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐴)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐴))
3319, 22, 30, 28, 32offval2 7690 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴)))
3417, 29, 333eqtr4d 2783 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {-𝐴}) ∘f + Xp) = (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))
3534, 1eqtr4di 2791 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {-𝐴}) ∘f + Xp) = 𝐺)
3635fveq2d 6896 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜((β„‚ Γ— {-𝐴}) ∘f + Xp)) = (degβ€˜πΊ))
37 plyconst 25720 . . . . 5 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ -𝐴 ∈ β„‚) β†’ (β„‚ Γ— {-𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
382, 11, 37sylancr 588 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {-𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
395a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ Xp ∈ (Polyβ€˜β„‚))
40 0dgr 25759 . . . . . 6 (-𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {-𝐴})) = 0)
4111, 40syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {-𝐴})) = 0)
42 0lt1 11736 . . . . 5 0 < 1
4341, 42eqbrtrdi 5188 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {-𝐴})) < 1)
44 eqid 2733 . . . . 5 (degβ€˜(β„‚ Γ— {-𝐴})) = (degβ€˜(β„‚ Γ— {-𝐴}))
45 dgrid 25778 . . . . . 6 (degβ€˜Xp) = 1
4645eqcomi 2742 . . . . 5 1 = (degβ€˜Xp)
4744, 46dgradd2 25782 . . . 4 (((β„‚ Γ— {-𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ Xp ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜(β„‚ Γ— {-𝐴})) < 1) β†’ (degβ€˜((β„‚ Γ— {-𝐴}) ∘f + Xp)) = 1)
4838, 39, 43, 47syl3anc 1372 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜((β„‚ Γ— {-𝐴}) ∘f + Xp)) = 1)
4936, 48eqtr3d 2775 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜πΊ) = 1)
501, 33eqtrid 2785 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴)))
5150fveq1d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (πΊβ€˜π‘§) = ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘§))
5251adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘§))
53 ovex 7442 . . . . . . . . . 10 (𝑧 βˆ’ 𝐴) ∈ V
54 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴))
5554fvmpt2 7010 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ∈ V) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘§) = (𝑧 βˆ’ 𝐴))
5622, 53, 55sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ 𝐴))β€˜π‘§) = (𝑧 βˆ’ 𝐴))
5752, 56eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (𝑧 βˆ’ 𝐴))
5857eqeq1d 2735 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) = 0 ↔ (𝑧 βˆ’ 𝐴) = 0))
59 subeq0 11486 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 βˆ’ 𝐴) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
6059ancoms 460 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 βˆ’ 𝐴) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
6158, 60bitrd 279 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
6261pm5.32da 580 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 0) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 = 𝐴)))
63 plyf 25712 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
64 ffn 6718 . . . . . 6 (𝐺:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ 𝐺 Fn β„‚)
65 fniniseg 7062 . . . . . 6 (𝐺 Fn β„‚ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {0}) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 0)))
6610, 63, 64, 654syl 19 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {0}) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 0)))
67 eleq1a 2829 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 = 𝐴 β†’ 𝑧 ∈ β„‚))
6867pm4.71rd 564 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 = 𝐴 ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 = 𝐴)))
6962, 66, 683bitr4d 311 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {0}) ↔ 𝑧 = 𝐴))
70 velsn 4645 . . . 4 (𝑧 ∈ {𝐴} ↔ 𝑧 = 𝐴)
7169, 70bitr4di 289 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {0}) ↔ 𝑧 ∈ {𝐴}))
7271eqrdv 2731 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (◑𝐺 β€œ {0}) = {𝐴})
7310, 49, 723jca 1129 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜πΊ) = 1 ∧ (◑𝐺 β€œ {0}) = {𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   I cid 5574   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  Polycply 25698  Xpcidp 25699  degcdgr 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-idp 25703  df-coe 25704  df-dgr 25705
This theorem is referenced by:  plyrem  25818  facth  25819  fta1lem  25820  vieta1lem1  25823  vieta1lem2  25824  taylply2  25880  ftalem7  26583
  Copyright terms: Public domain W3C validator