MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyremlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyremlem 25746
Description: Closure of a linear factor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
plyrem.1 𝐺 = (Xpf − (ℂ × {𝐴}))
Assertion
Ref Expression
plyremlem (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (𝐺 “ {0}) = {𝐴}))

Proof of Theorem plyremlem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyrem.1 . . 3 𝐺 = (Xpf − (ℂ × {𝐴}))
2 ssid 4000 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
3 ax-1cn 11150 . . . . 5 1 ∈ ℂ
4 plyid 25652 . . . . 5 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
52, 3, 4mp2an 690 . . . 4 Xp ∈ (Poly‘ℂ)
6 plyconst 25649 . . . . 5 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
72, 6mpan 688 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
8 plysubcl 25665 . . . 4 ((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ)) → (Xpf − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℂ))
95, 7, 8sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (Xpf − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℂ))
101, 9eqeltrid 2836 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
11 negcl 11442 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
12 addcom 11382 . . . . . . . . 9 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 + -𝐴))
1311, 12sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 + -𝐴))
14 negsub 11490 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑧 + -𝐴) = (𝑧𝐴))
1514ancoms 459 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 + -𝐴) = (𝑧𝐴))
1613, 15eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧𝐴))
1716mpteq2dva 5241 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (-𝐴 + 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴)))
18 cnex 11173 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ V)
20 negex 11440 . . . . . . . 8 -𝐴 ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → -𝐴 ∈ V)
22 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
23 fconstmpt 5730 . . . . . . . 8 (ℂ × {-𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝐴)
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {-𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝐴))
25 df-idp 25632 . . . . . . . . 9 Xp = ( I ↾ ℂ)
26 mptresid 6040 . . . . . . . . 9 ( I ↾ ℂ) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
2725, 26eqtri 2759 . . . . . . . 8 Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
2827a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧))
2919, 21, 22, 24, 28offval2 7673 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (-𝐴 + 𝑧)))
30 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
31 fconstmpt 5730 . . . . . . . 8 (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
3319, 22, 30, 28, 32offval2 7673 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (Xpf − (ℂ × {𝐴})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴)))
3417, 29, 333eqtr4d 2781 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp) = (Xpf − (ℂ × {𝐴})))
3534, 1eqtr4di 2789 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp) = 𝐺)
3635fveq2d 6882 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp)) = (deg‘𝐺))
37 plyconst 25649 . . . . 5 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {-𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
382, 11, 37sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {-𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
395a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
40 0dgr 25688 . . . . . 6 (-𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {-𝐴})) = 0)
4111, 40syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {-𝐴})) = 0)
42 0lt1 11718 . . . . 5 0 < 1
4341, 42eqbrtrdi 5180 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {-𝐴})) < 1)
44 eqid 2731 . . . . 5 (deg‘(ℂ × {-𝐴})) = (deg‘(ℂ × {-𝐴}))
45 dgrid 25707 . . . . . 6 (deg‘Xp) = 1
4645eqcomi 2740 . . . . 5 1 = (deg‘Xp)
4744, 46dgradd2 25711 . . . 4 (((ℂ × {-𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(ℂ × {-𝐴})) < 1) → (deg‘((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp)) = 1)
4838, 39, 43, 47syl3anc 1371 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp)) = 1)
4936, 48eqtr3d 2773 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘𝐺) = 1)
501, 33eqtrid 2783 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴)))
5150fveq1d 6880 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴))‘𝑧))
5251adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴))‘𝑧))
53 ovex 7426 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐴) ∈ V
54 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴))
5554fvmpt2 6995 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴) ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴))‘𝑧) = (𝑧𝐴))
5622, 53, 55sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝐴))‘𝑧) = (𝑧𝐴))
5752, 56eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺𝑧) = (𝑧𝐴))
5857eqeq1d 2733 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑧) = 0 ↔ (𝑧𝐴) = 0))
59 subeq0 11468 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑧𝐴) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
6059ancoms 459 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧𝐴) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
6158, 60bitrd 278 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑧) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
6261pm5.32da 579 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) = 0) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 = 𝐴)))
63 plyf 25641 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
64 ffn 6704 . . . . . 6 (𝐺:ℂ⟶ℂ → 𝐺 Fn ℂ)
65 fniniseg 7046 . . . . . 6 (𝐺 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (𝐺 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) = 0)))
6610, 63, 64, 654syl 19 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (𝐺 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) = 0)))
67 eleq1a 2827 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 = 𝐴𝑧 ∈ ℂ))
6867pm4.71rd 563 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 = 𝐴 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 = 𝐴)))
6962, 66, 683bitr4d 310 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (𝐺 “ {0}) ↔ 𝑧 = 𝐴))
70 velsn 4638 . . . 4 (𝑧 ∈ {𝐴} ↔ 𝑧 = 𝐴)
7169, 70bitr4di 288 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (𝐺 “ {0}) ↔ 𝑧 ∈ {𝐴}))
7271eqrdv 2729 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 “ {0}) = {𝐴})
7310, 49, 723jca 1128 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (𝐺 “ {0}) = {𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3473  wss 3944  {csn 4622   class class class wbr 5141  cmpt 5224   I cid 5566   × cxp 5667  ccnv 5668  cres 5671  cima 5672   Fn wfn 6527  wf 6528  cfv 6532  (class class class)co 7393  f cof 7651  cc 11090  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095   < clt 11230  cmin 11426  -cneg 11427  Polycply 25627  Xpcidp 25628  degcdgr 25630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15615  df-0p 25116  df-ply 25631  df-idp 25632  df-coe 25633  df-dgr 25634
This theorem is referenced by:  plyrem  25747  facth  25748  fta1lem  25749  vieta1lem1  25752  vieta1lem2  25753  taylply2  25809  ftalem7  26510
  Copyright terms: Public domain W3C validator