Theorem plyremlem 24581

Description: Closure of a linear factor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
plyrem.1	⊢ 𝐺 = (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝐴}))

Assertion

Ref	Expression
plyremlem	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴}))

Proof of Theorem plyremlem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyrem.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝐴}))
2		ssid 3914	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
3		ax-1cn 10446	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		plyid 24487	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
5	2, 3, 4	mp2an 688	. . . 4 ⊢ Xp ∈ (Poly‘ℂ)
6		plyconst 24484	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
7	2, 6	mpan 686	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
8		plysubcl 24500	. . . 4 ⊢ ((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ)) → (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℂ))
9	5, 7, 8	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℂ))
10	1, 9	syl5eqel 2887	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
11		negcl 10738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
12		addcom 10678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 + -𝐴))
13	11, 12	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 + -𝐴))
14		negsub 10787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑧 + -𝐴) = (𝑧 − 𝐴))
15	14	ancoms 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 + -𝐴) = (𝑧 − 𝐴))
16	13, 15	eqtrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 − 𝐴))
17	16	mpteq2dva 5060	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (-𝐴 + 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴)))
18		cnex 10469	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ V)
20		negex 10736	. . . . . . . 8 ⊢ -𝐴 ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → -𝐴 ∈ V)
22		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
23		fconstmpt 5505	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {-𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝐴)
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {-𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝐴))
25		df-idp 24467	. . . . . . . . 9 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
26		mptresid 5803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧) = ( I ↾ ℂ)
27	25, 26	eqtr4i 2822	. . . . . . . 8 ⊢ Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧))
29	19, 21, 22, 24, 28	offval2 7289	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {-𝐴}) ∘𝑓 + Xp) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (-𝐴 + 𝑧)))
30		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
31		fconstmpt 5505	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
33	19, 22, 30, 28, 32	offval2 7289	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝐴})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴)))
34	17, 29, 33	3eqtr4d 2841	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {-𝐴}) ∘𝑓 + Xp) = (Xp ∘𝑓 − (ℂ × {𝐴})))
35	34, 1	syl6eqr 2849	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {-𝐴}) ∘𝑓 + Xp) = 𝐺)
36	35	fveq2d 6547	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘((ℂ × {-𝐴}) ∘𝑓 + Xp)) = (deg‘𝐺))
37		plyconst 24484	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {-𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
38	2, 11, 37	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {-𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
39	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
40		0dgr 24523	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {-𝐴})) = 0)
41	11, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {-𝐴})) = 0)
42		0lt1 11015	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
43	41, 42	syl6eqbr 5005	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {-𝐴})) < 1)
44		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ (deg‘(ℂ × {-𝐴})) = (deg‘(ℂ × {-𝐴}))
45		dgrid 24542	. . . . . 6 ⊢ (deg‘Xp) = 1
46	45	eqcomi 2804	. . . . 5 ⊢ 1 = (deg‘Xp)
47	44, 46	dgradd2 24546	. . . 4 ⊢ (((ℂ × {-𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(ℂ × {-𝐴})) < 1) → (deg‘((ℂ × {-𝐴}) ∘𝑓 + Xp)) = 1)
48	38, 39, 43, 47	syl3anc 1364	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘((ℂ × {-𝐴}) ∘𝑓 + Xp)) = 1)
49	36, 48	eqtr3d 2833	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘𝐺) = 1)
50	1, 33	syl5eq 2843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴)))
51	50	fveq1d 6545	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺‘𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))‘𝑧))
52	51	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))‘𝑧))
53		ovex 7053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 − 𝐴) ∈ V
54		eqid 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))
55	54	fvmpt2 6650	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴) ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))‘𝑧) = (𝑧 − 𝐴))
56	22, 53, 55	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))‘𝑧) = (𝑧 − 𝐴))
57	52, 56	eqtrd 2831	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) = (𝑧 − 𝐴))
58	57	eqeq1d 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺‘𝑧) = 0 ↔ (𝑧 − 𝐴) = 0))
59		subeq0 10765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑧 − 𝐴) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
60	59	ancoms 459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 − 𝐴) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
61	58, 60	bitrd 280	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺‘𝑧) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
62	61	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) = 0) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 = 𝐴)))
63		plyf 24476	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
64		ffn 6387	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:ℂ⟶ℂ → 𝐺 Fn ℂ)
65		fniniseg 6700	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) = 0)))
66	10, 63, 64, 65	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) = 0)))
67		eleq1a 2878	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 = 𝐴 → 𝑧 ∈ ℂ))
68	67	pm4.71rd 563	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 = 𝐴 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 = 𝐴)))
69	62, 66, 68	3bitr4d 312	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ 𝑧 = 𝐴))
70		velsn 4492	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐴} ↔ 𝑧 = 𝐴)
71	69, 70	syl6bbr 290	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ 𝑧 ∈ {𝐴}))
72	71	eqrdv 2793	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴})
73	10, 49, 72	3jca 1121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  Vcvv 3437   ⊆ wss 3863  {csn 4476   class class class wbr 4966   ↦ cmpt 5045   I cid 5352   × cxp 5446  ^◡ccnv 5447   ↾ cres 5450   “ cima 5451   Fn wfn 6225  ⟶wf 6226  ‘cfv 6230  (class class class)co 7021   ∘_𝑓 cof 7270  ℂcc 10386  0cc0 10388  1c1 10389   + caddc 10391   < clt 10526   − cmin 10722  -cneg 10723  Polycply 24462  X_pcidp 24463  degcdgr 24465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-inf2 8955  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466  ax-addf 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-of 7272  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-pm 8264  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-sup 8757  df-inf 8758  df-oi 8825  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-rp 12245  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-fl 13017  df-seq 13225  df-exp 13285  df-hash 13546  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-clim 14684  df-rlim 14685  df-sum 14882  df-0p 23959  df-ply 24466  df-idp 24467  df-coe 24468  df-dgr 24469

This theorem is referenced by:  plyrem  24582  facth  24583  fta1lem  24584  vieta1lem1  24587  vieta1lem2  24588  taylply2  24644  ftalem7  25343