Theorem plyremlem 25464

Description: Closure of a linear factor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
plyrem.1	⊢ 𝐺 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))

Assertion

Ref	Expression
plyremlem	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴}))

Proof of Theorem plyremlem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyrem.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))
2		ssid 3943	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
3		ax-1cn 10929	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		plyid 25370	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
5	2, 3, 4	mp2an 689	. . . 4 ⊢ Xp ∈ (Poly‘ℂ)
6		plyconst 25367	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
7	2, 6	mpan 687	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
8		plysubcl 25383	. . . 4 ⊢ ((Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ)) → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℂ))
9	5, 7, 8	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℂ))
10	1, 9	eqeltrid 2843	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
11		negcl 11221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
12		addcom 11161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 + -𝐴))
13	11, 12	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 + -𝐴))
14		negsub 11269	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑧 + -𝐴) = (𝑧 − 𝐴))
15	14	ancoms 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 + -𝐴) = (𝑧 − 𝐴))
16	13, 15	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝑧) = (𝑧 − 𝐴))
17	16	mpteq2dva 5174	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (-𝐴 + 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴)))
18		cnex 10952	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ V)
20		negex 11219	. . . . . . . 8 ⊢ -𝐴 ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → -𝐴 ∈ V)
22		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
23		fconstmpt 5649	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {-𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝐴)
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {-𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ -𝐴))
25		df-idp 25350	. . . . . . . . 9 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
26		mptresid 5958	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ ℂ) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
27	25, 26	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧))
29	19, 21, 22, 24, 28	offval2 7553	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (-𝐴 + 𝑧)))
30		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
31		fconstmpt 5649	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
33	19, 22, 30, 28, 32	offval2 7553	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴)))
34	17, 29, 33	3eqtr4d 2788	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp) = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})))
35	34, 1	eqtr4di 2796	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp) = 𝐺)
36	35	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp)) = (deg‘𝐺))
37		plyconst 25367	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {-𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
38	2, 11, 37	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {-𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
39	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → Xp ∈ (Poly‘ℂ))
40		0dgr 25406	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {-𝐴})) = 0)
41	11, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {-𝐴})) = 0)
42		0lt1 11497	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
43	41, 42	eqbrtrdi 5113	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {-𝐴})) < 1)
44		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (deg‘(ℂ × {-𝐴})) = (deg‘(ℂ × {-𝐴}))
45		dgrid 25425	. . . . . 6 ⊢ (deg‘Xp) = 1
46	45	eqcomi 2747	. . . . 5 ⊢ 1 = (deg‘Xp)
47	44, 46	dgradd2 25429	. . . 4 ⊢ (((ℂ × {-𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ Xp ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(ℂ × {-𝐴})) < 1) → (deg‘((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp)) = 1)
48	38, 39, 43, 47	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘((ℂ × {-𝐴}) ∘f + Xp)) = 1)
49	36, 48	eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘𝐺) = 1)
50	1, 33	eqtrid 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴)))
51	50	fveq1d 6776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺‘𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))‘𝑧))
52	51	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))‘𝑧))
53		ovex 7308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 − 𝐴) ∈ V
54		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))
55	54	fvmpt2 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴) ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))‘𝑧) = (𝑧 − 𝐴))
56	22, 53, 55	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝐴))‘𝑧) = (𝑧 − 𝐴))
57	52, 56	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) = (𝑧 − 𝐴))
58	57	eqeq1d 2740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺‘𝑧) = 0 ↔ (𝑧 − 𝐴) = 0))
59		subeq0 11247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑧 − 𝐴) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
60	59	ancoms 459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 − 𝐴) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
61	58, 60	bitrd 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺‘𝑧) = 0 ↔ 𝑧 = 𝐴))
62	61	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) = 0) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 = 𝐴)))
63		plyf 25359	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
64		ffn 6600	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:ℂ⟶ℂ → 𝐺 Fn ℂ)
65		fniniseg 6937	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) = 0)))
66	10, 63, 64, 65	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) = 0)))
67		eleq1a 2834	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 = 𝐴 → 𝑧 ∈ ℂ))
68	67	pm4.71rd 563	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 = 𝐴 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 = 𝐴)))
69	62, 66, 68	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ 𝑧 = 𝐴))
70		velsn 4577	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐴} ↔ 𝑧 = 𝐴)
71	69, 70	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ 𝑧 ∈ {𝐴}))
72	71	eqrdv 2736	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴})
73	10, 49, 72	3jca 1127	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  {csn 4561   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   I cid 5488   × cxp 5587  ^◡ccnv 5588   ↾ cres 5591   “ cima 5592   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∘_f cof 7531  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   − cmin 11205  -cneg 11206  Polycply 25345  X_pcidp 25346  degcdgr 25348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-0p 24834  df-ply 25349  df-idp 25350  df-coe 25351  df-dgr 25352

This theorem is referenced by:  plyrem  25465  facth  25466  fta1lem  25467  vieta1lem1  25470  vieta1lem2  25471  taylply2  25527  ftalem7  26228