MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facwordi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facwordi 14195
Description: Ordering property of factorial. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facwordi ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘))

Proof of Theorem facwordi
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5110 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘— โ†” ๐‘€ โ‰ค 0))
21anbi2d 630 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘—) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค 0)))
3 fveq2 6843 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜0))
43breq2d 5118 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ ((!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘—) โ†” (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜0)))
52, 4imbi12d 345 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘—) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘—)) โ†” ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค 0) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜0))))
6 breq2 5110 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘— โ†” ๐‘€ โ‰ค ๐‘˜))
76anbi2d 630 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘—) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘˜)))
8 fveq2 6843 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜๐‘˜))
98breq2d 5118 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘—) โ†” (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)))
107, 9imbi12d 345 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘—) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘—)) โ†” ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜))))
11 breq2 5110 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘— โ†” ๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))
1211anbi2d 630 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘—) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1))))
13 fveq2 6843 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
1413breq2d 5118 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘—) โ†” (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
1512, 14imbi12d 345 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘—) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘—)) โ†” ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1)) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
16 breq2 5110 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘— โ†” ๐‘€ โ‰ค ๐‘))
1716anbi2d 630 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘—) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘)))
18 fveq2 6843 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜๐‘))
1918breq2d 5118 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘—) โ†” (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘)))
2017, 19imbi12d 345 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘—) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘—)) โ†” ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘))))
21 nn0le0eq0 12446 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โ‰ค 0 โ†” ๐‘€ = 0))
2221biimpa 478 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค 0) โ†’ ๐‘€ = 0)
2322fveq2d 6847 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค 0) โ†’ (!โ€˜๐‘€) = (!โ€˜0))
24 fac0 14182 . . . . . . 7 (!โ€˜0) = 1
25 1re 11160 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
2624, 25eqeltri 2830 . . . . . 6 (!โ€˜0) โˆˆ โ„
2726leidi 11694 . . . . 5 (!โ€˜0) โ‰ค (!โ€˜0)
2823, 27eqbrtrdi 5145 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค 0) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜0))
29 impexp 452 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜))))
30 nn0re 12427 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
31 nn0re 12427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
32 peano2re 11333 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
34 leloe 11246 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†” (๐‘€ < (๐‘˜ + 1) โˆจ ๐‘€ = (๐‘˜ + 1))))
3530, 33, 34syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†” (๐‘€ < (๐‘˜ + 1) โˆจ ๐‘€ = (๐‘˜ + 1))))
36 nn0leltp1 12567 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†” ๐‘€ < (๐‘˜ + 1)))
37 faccl 14189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
3837nnred 12173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
3937nnnn0d 12478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
4039nn0ge0d 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘˜))
41 nn0p1nn 12457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
4241nnge1d 12206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โ‰ค (๐‘˜ + 1))
4338, 33, 40, 42lemulge11d 12097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
44 facp1 14184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
4543, 44breqtrrd 5134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
4645adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
47 faccl 14189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•)
4847nnred 12173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„)
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„)
5038adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
51 peano2nn0 12458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
5251faccld 14190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•)
5352nnred 12173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
5453adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
55 letr 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„) โ†’ (((!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜) โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
5649, 50, 54, 55syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜) โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
5746, 56mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
5857imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
5958com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
6036, 59sylbird 260 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ < (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
61 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘€) = (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
6248leidd 11726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘€))
63 breq2 5110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((!โ€˜๐‘€) = (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘€) โ†” (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
6462, 63syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘€) = (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
6561, 64syl5 34 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
6665adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
6766a1dd 50 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
6860, 67jaod 858 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ < (๐‘˜ + 1) โˆจ ๐‘€ = (๐‘˜ + 1)) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
6935, 68sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
7069ex 414 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))))
7170com13 88 . . . . . . . 8 (๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))))
7271com4l 92 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))))
7372a2d 29 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜))) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))))
7473imp4a 424 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜))) โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1)) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
7529, 74biimtrid 241 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)) โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1)) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
765, 10, 15, 20, 28, 75nn0ind 12603 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘)))
77763impib 1117 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘))
78773com12 1124 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195  โ„•0cn0 12418  !cfa 14179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-seq 13913  df-fac 14180
This theorem is referenced by:  facavg  14207  aaliou3lem6  25724  factwoffsmonot  40661
  Copyright terms: Public domain W3C validator