Theorem facwordi 14254

Description: Ordering property of factorial. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facwordi	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem facwordi

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 0))
2	1	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0)))
3		fveq2 6858	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
4	3	breq2d 5119	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘0)))
5	2, 4	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) ≤ (!‘0))))
6		breq2 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑘))
7	6	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
8		fveq2 6858	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
9	8	breq2d 5119	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)))
10	7, 9	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))))
11		breq2 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
12	11	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))))
13		fveq2 6858	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
14	13	breq2d 5119	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
15	12, 14	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
16		breq2 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
17	16	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
18		fveq2 6858	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (!‘𝑗) = (!‘𝑁))
19	18	breq2d 5119	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁)))
20	17, 19	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))))
21		nn0le0eq0 12470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 0 ↔ 𝑀 = 0))
22	21	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0) → 𝑀 = 0)
23	22	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) = (!‘0))
24		fac0 14241	. . . . . . 7 ⊢ (!‘0) = 1
25		1re 11174	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
26	24, 25	eqeltri 2824	. . . . . 6 ⊢ (!‘0) ∈ ℝ
27	26	leidi 11712	. . . . 5 ⊢ (!‘0) ≤ (!‘0)
28	23, 27	eqbrtrdi 5146	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) ≤ (!‘0))
29		impexp 450	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))))
30		nn0re 12451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
31		nn0re 12451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
32		peano2re 11347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
34		leloe 11260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1))))
35	30, 33, 34	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1))))
36		nn0leltp1 12593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ 𝑀 < (𝑘 + 1)))
37		faccl 14248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
38	37	nnred 12201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
39	37	nnnn0d 12503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ0)
40	39	nn0ge0d 12506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑘))
41		nn0p1nn 12481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
42	41	nnge1d 12234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (𝑘 + 1))
43	38, 33, 40, 42	lemulge11d 12120	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
44		facp1 14243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
45	43, 44	breqtrrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
47		faccl 14248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
48	47	nnred 12201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
50	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
51		peano2nn0 12482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
52	51	faccld 14249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
53	52	nnred 12201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
55		letr 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) ∧ (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1))) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
56	49, 50, 54, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) ∧ (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1))) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
57	46, 56	mpan2d 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
58	57	imim2d 57	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
59	58	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑘 → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
60	36, 59	sylbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
61		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)))
62	48	leidd 11744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑀))
63		breq2 5111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑀) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
64	62, 63	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
65	61, 64	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
67	66	a1dd 50	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
68	60, 67	jaod 859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1)) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
69	35, 68	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
70	69	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
71	70	com13 88	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
72	71	com4l 92	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
73	72	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
74	73	imp4a 422	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
75	29, 74	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
76	5, 10, 15, 20, 28, 75	nn0ind 12629	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁)))
77	76	3impib 1116	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))
78	77	3com12 1123	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℕ₀cn0 12442  !cfa 14238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-seq 13967  df-fac 14239

This theorem is referenced by:  facavg  14266  aaliou3lem6  26256