MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facwordi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facwordi 14189
Description: Ordering property of factorial. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facwordi ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem facwordi
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5109 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝑀𝑗𝑀 ≤ 0))
21anbi2d 629 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ 0)))
3 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
43breq2d 5117 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘0)))
52, 4imbi12d 344 . . . 4 (𝑗 = 0 → (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) ≤ (!‘0))))
6 breq2 5109 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝑀𝑗𝑀𝑘))
76anbi2d 629 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑘)))
8 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
98breq2d 5117 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)))
107, 9imbi12d 344 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))))
11 breq2 5109 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀𝑗𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
1211anbi2d 629 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑘 + 1))))
13 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
1413breq2d 5117 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
1512, 14imbi12d 344 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
16 breq2 5109 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝑀𝑗𝑀𝑁))
1716anbi2d 629 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
18 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (!‘𝑗) = (!‘𝑁))
1918breq2d 5117 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁)))
2017, 19imbi12d 344 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))))
21 nn0le0eq0 12441 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 0 ↔ 𝑀 = 0))
2221biimpa 477 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ 0) → 𝑀 = 0)
2322fveq2d 6846 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) = (!‘0))
24 fac0 14176 . . . . . . 7 (!‘0) = 1
25 1re 11155 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
2624, 25eqeltri 2834 . . . . . 6 (!‘0) ∈ ℝ
2726leidi 11689 . . . . 5 (!‘0) ≤ (!‘0)
2823, 27eqbrtrdi 5144 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) ≤ (!‘0))
29 impexp 451 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))))
30 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
31 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
32 peano2re 11328 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
34 leloe 11241 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1))))
3530, 33, 34syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1))))
36 nn0leltp1 12562 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑘𝑀 < (𝑘 + 1)))
37 faccl 14183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3837nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
3937nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ0)
4039nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑘))
41 nn0p1nn 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
4241nnge1d 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (𝑘 + 1))
4338, 33, 40, 42lemulge11d 12092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
44 facp1 14178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
4543, 44breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
4645adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
47 faccl 14183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
4847nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
5038adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
51 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
5251faccld 14184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
5352nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
5453adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
55 letr 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) ∧ (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1))) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
5649, 50, 54, 55syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) ∧ (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1))) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
5746, 56mpan2d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
5857imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
5958com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑘 → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
6036, 59sylbird 259 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
61 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)))
6248leidd 11721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑀))
63 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑀) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
6462, 63syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
6561, 64syl5 34 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
6665adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
6766a1dd 50 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 = (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
6860, 67jaod 857 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1)) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
6935, 68sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
7069ex 413 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
7170com13 88 . . . . . . . 8 (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
7271com4l 92 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
7372a2d 29 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
7473imp4a 423 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
7529, 74biimtrid 241 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
765, 10, 15, 20, 28, 75nn0ind 12598 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁)))
77763impib 1116 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))
78773com12 1123 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  0cn0 12413  !cfa 14173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-fac 14174
This theorem is referenced by:  facavg  14201  aaliou3lem6  25708  factwoffsmonot  40615
  Copyright terms: Public domain W3C validator