Theorem facwordi 14327

Description: Ordering property of factorial. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facwordi	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem facwordi

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 0))
2	1	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0)))
3		fveq2 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
4	3	breq2d 5125	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘0)))
5	2, 4	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) ≤ (!‘0))))
6		breq2 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑘))
7	6	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
8		fveq2 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
9	8	breq2d 5125	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)))
10	7, 9	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))))
11		breq2 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
12	11	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))))
13		fveq2 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
14	13	breq2d 5125	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
15	12, 14	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
16		breq2 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
17	16	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
18		fveq2 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (!‘𝑗) = (!‘𝑁))
19	18	breq2d 5125	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁)))
20	17, 19	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))))
21		nn0le0eq0 12534	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 0 ↔ 𝑀 = 0))
22	21	biimpa 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0) → 𝑀 = 0)
23	22	fveq2d 6888	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) = (!‘0))
24		fac0 14314	. . . . . . 7 ⊢ (!‘0) = 1
25		1re 11210	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
26	24, 25	eqeltri 2865	. . . . . 6 ⊢ (!‘0) ∈ ℝ
27	26	leidi 11750	. . . . 5 ⊢ (!‘0) ≤ (!‘0)
28	23, 27	eqbrtrdi 5154	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) ≤ (!‘0))
29		impexp 455	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))))
30		nn0re 12515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
31		nn0re 12515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
32		peano2re 11385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
34		leloe 11298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1))))
35	30, 33, 34	syl2an 607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1))))
36		nn0leltp1 12657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ 𝑀 < (𝑘 + 1)))
37		faccl 14321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
38	37	nnred 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
39	37	nnnn0d 12567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ0)
40	39	nn0ge0d 12570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑘))
41		nn0p1nn 12545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
42	41	nnge1d 12286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (𝑘 + 1))
43	38, 33, 40, 42	lemulge11d 12154	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
44		facp1 14316	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
45	43, 44	breqtrrd 5143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
46	45	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
47		faccl 14321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
48	47	nnred 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
49	48	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
50	38	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
51		peano2nn0 12546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
52	51	faccld 14322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
53	52	nnred 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
54	53	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
55		letr 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) ∧ (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1))) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
56	49, 50, 54, 55	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) ∧ (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1))) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
57	46, 56	mpan2d 706	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
58	57	imim2d 58	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
59	58	com23 87	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑘 → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
60	36, 59	sylbird 263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
61		fveq2 6884	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)))
62	48	leidd 11782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑀))
63		breq2 5117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑀) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
64	62, 63	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
65	61, 64	syl5 35	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
66	65	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
67	66	a1dd 51	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
68	60, 67	jaod 872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1)) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
69	35, 68	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
70	69	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
71	70	com13 89	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
72	71	com4l 93	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
73	72	a2d 30	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
74	73	imp4a 427	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
75	29, 74	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
76	5, 10, 15, 20, 28, 75	nn0ind 12693	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁)))
77	76	3impib 1132	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))
78	77	3com12 1139	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  ℝcr 11101  0cc0 11102  1c1 11103   + caddc 11105   · cmul 11107   < clt 11245   ≤ cle 11246  ℕ₀cn0 12506  !cfa 14311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-seq 14040  df-fac 14312

This theorem is referenced by:  facavg  14339  aaliou3lem6  26480