MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facwordi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facwordi 14254
Description: Ordering property of factorial. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facwordi ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘))

Proof of Theorem facwordi
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5145 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘— โ†” ๐‘€ โ‰ค 0))
21anbi2d 628 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘—) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค 0)))
3 fveq2 6885 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜0))
43breq2d 5153 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ ((!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘—) โ†” (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜0)))
52, 4imbi12d 344 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘—) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘—)) โ†” ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค 0) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜0))))
6 breq2 5145 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘— โ†” ๐‘€ โ‰ค ๐‘˜))
76anbi2d 628 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘—) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘˜)))
8 fveq2 6885 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜๐‘˜))
98breq2d 5153 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘—) โ†” (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)))
107, 9imbi12d 344 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘—) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘—)) โ†” ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜))))
11 breq2 5145 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘— โ†” ๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))
1211anbi2d 628 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘—) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1))))
13 fveq2 6885 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
1413breq2d 5153 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘—) โ†” (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
1512, 14imbi12d 344 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘—) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘—)) โ†” ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1)) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
16 breq2 5145 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘— โ†” ๐‘€ โ‰ค ๐‘))
1716anbi2d 628 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘—) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘)))
18 fveq2 6885 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜๐‘))
1918breq2d 5153 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘—) โ†” (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘)))
2017, 19imbi12d 344 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘—) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘—)) โ†” ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘))))
21 nn0le0eq0 12504 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โ‰ค 0 โ†” ๐‘€ = 0))
2221biimpa 476 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค 0) โ†’ ๐‘€ = 0)
2322fveq2d 6889 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค 0) โ†’ (!โ€˜๐‘€) = (!โ€˜0))
24 fac0 14241 . . . . . . 7 (!โ€˜0) = 1
25 1re 11218 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
2624, 25eqeltri 2823 . . . . . 6 (!โ€˜0) โˆˆ โ„
2726leidi 11752 . . . . 5 (!โ€˜0) โ‰ค (!โ€˜0)
2823, 27eqbrtrdi 5180 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค 0) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜0))
29 impexp 450 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜))))
30 nn0re 12485 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
31 nn0re 12485 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
32 peano2re 11391 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
34 leloe 11304 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†” (๐‘€ < (๐‘˜ + 1) โˆจ ๐‘€ = (๐‘˜ + 1))))
3530, 33, 34syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†” (๐‘€ < (๐‘˜ + 1) โˆจ ๐‘€ = (๐‘˜ + 1))))
36 nn0leltp1 12625 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†” ๐‘€ < (๐‘˜ + 1)))
37 faccl 14248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
3837nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
3937nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
4039nn0ge0d 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘˜))
41 nn0p1nn 12515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
4241nnge1d 12264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โ‰ค (๐‘˜ + 1))
4338, 33, 40, 42lemulge11d 12155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
44 facp1 14243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
4543, 44breqtrrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
47 faccl 14248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•)
4847nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„)
5038adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
51 peano2nn0 12516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
5251faccld 14249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•)
5352nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
5453adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
55 letr 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„) โ†’ (((!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜) โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
5649, 50, 54, 55syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜) โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
5746, 56mpan2d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
5857imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
5958com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
6036, 59sylbird 260 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ < (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
61 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘€) = (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
6248leidd 11784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘€))
63 breq2 5145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((!โ€˜๐‘€) = (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘€) โ†” (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
6462, 63syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘€) = (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
6561, 64syl5 34 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
6665adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
6766a1dd 50 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
6860, 67jaod 856 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ < (๐‘˜ + 1) โˆจ ๐‘€ = (๐‘˜ + 1)) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
6935, 68sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
7069ex 412 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))))
7170com13 88 . . . . . . . 8 (๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))))
7271com4l 92 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)) โ†’ (๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))))
7372a2d 29 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜))) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))))
7473imp4a 422 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜))) โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1)) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
7529, 74biimtrid 241 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜)) โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค (๐‘˜ + 1)) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
765, 10, 15, 20, 28, 75nn0ind 12661 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘)))
77763impib 1113 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘))
78773com12 1120 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค (!โ€˜๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253  โ„•0cn0 12476  !cfa 14238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13973  df-fac 14239
This theorem is referenced by:  facavg  14266  aaliou3lem6  26238  factwoffsmonot  41584
  Copyright terms: Public domain W3C validator