MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashle2pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashle2pr 14373
Description: A nonempty set of size less than or equal to two is an unordered pair of sets. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashle2pr ((𝑃𝑉𝑃 ≠ ∅) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hashle2pr
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashxnn0 14236 . . . . . . 7 (𝑃𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0*)
2 xnn0le2is012 13162 . . . . . . 7 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0* ∧ (♯‘𝑃) ≤ 2) → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2))
31, 2sylan 580 . . . . . 6 ((𝑃𝑉 ∧ (♯‘𝑃) ≤ 2) → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2))
43ex 413 . . . . 5 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) ≤ 2 → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2)))
5 hasheq0 14260 . . . . . . . . 9 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
6 eqneqall 2953 . . . . . . . . 9 (𝑃 = ∅ → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
75, 6syl6bi 252 . . . . . . . 8 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
87com12 32 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
9 hash1snb 14316 . . . . . . . . . . 11 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) = 1 ↔ ∃𝑐 𝑃 = {𝑐}))
10 vex 3448 . . . . . . . . . . . . 13 𝑐 ∈ V
11 preq12 4695 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑐) → {𝑎, 𝑏} = {𝑐, 𝑐})
12 dfsn2 4598 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑐} = {𝑐, 𝑐}
1311, 12eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑐) → {𝑎, 𝑏} = {𝑐})
1413eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑐) → (𝑃 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑃 = {𝑐}))
1510, 10, 14spc2ev 3565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = {𝑐} → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
1615exlimiv 1933 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑐 𝑃 = {𝑐} → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
179, 16syl6bi 252 . . . . . . . . . 10 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) = 1 → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
1817imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
1918a1d 25 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
2019expcom 414 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) = 1 → (𝑃𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
21 hash2pr 14365 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
2221a1d 25 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
2322expcom 414 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) = 2 → (𝑃𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
248, 20, 233jaoi 1427 . . . . . 6 (((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2) → (𝑃𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
2524com12 32 . . . . 5 (𝑃𝑉 → (((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
264, 25syld 47 . . . 4 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) ≤ 2 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
2726com23 86 . . 3 (𝑃𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ((♯‘𝑃) ≤ 2 → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
2827imp 407 . 2 ((𝑃𝑉𝑃 ≠ ∅) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
29 fveq2 6840 . . . 4 (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (♯‘𝑃) = (♯‘{𝑎, 𝑏}))
30 hashprlei 14364 . . . . 5 ({𝑎, 𝑏} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) ≤ 2)
3130simpri 486 . . . 4 (♯‘{𝑎, 𝑏}) ≤ 2
3229, 31eqbrtrdi 5143 . . 3 (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (♯‘𝑃) ≤ 2)
3332exlimivv 1935 . 2 (∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (♯‘𝑃) ≤ 2)
3428, 33impbid1 224 1 ((𝑃𝑉𝑃 ≠ ∅) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3o 1086   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2942  c0 4281  {csn 4585  {cpr 4587   class class class wbr 5104  cfv 6494  Fincfn 8880  0cc0 11048  1c1 11049  cle 11187  2c2 12205  0*cxnn0 12482  chash 14227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-oadd 8413  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-dju 9834  df-card 9872  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-nn 12151  df-2 12213  df-n0 12411  df-xnn0 12483  df-z 12497  df-uz 12761  df-fz 13422  df-hash 14228
This theorem is referenced by:  hashle2prv  14374
  Copyright terms: Public domain W3C validator