Theorem hashle2pr 14626

Description: A nonempty set of size less than or equal to two is an unordered pair of sets. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashle2pr	⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))

Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem hashle2pr

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashxnn0 14487	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0*)
2		xnn0le2is012 13380	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0* ∧ (♯‘𝑃) ≤ 2) → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2))
3	1, 2	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) ≤ 2) → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2))
4	3	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑃) ≤ 2 → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2)))
5		hasheq0 14511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
6		eqneqall 2966	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ∅ → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
7	5, 6	biimtrdi 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
8	7	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 ∈ 𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
9		hash1snb 14568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 1 ↔ ∃𝑐 𝑃 = {𝑐}))
10		vex 3454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑐 ∈ V
11		preq12 4692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑐) → {𝑎, 𝑏} = {𝑐, 𝑐})
12		dfsn2 4593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑐} = {𝑐, 𝑐}
13	11, 12	eqtr4di 2813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑐) → {𝑎, 𝑏} = {𝑐})
14	13	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑐) → (𝑃 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑃 = {𝑐}))
15	10, 10, 14	spc2ev 3561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = {𝑐} → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
16	15	exlimiv 1962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑐 𝑃 = {𝑐} → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
17	9, 16	biimtrdi 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 1 → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
18	17	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
19	18	a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
20	19	expcom 419	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → (𝑃 ∈ 𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
21		hash2pr 14618	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
22	21	a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
23	22	expcom 419	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → (𝑃 ∈ 𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
24	8, 20, 23	3jaoi 1454	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2) → (𝑃 ∈ 𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
25	24	com12 33	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → (((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
26	4, 25	syld 48	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑃) ≤ 2 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
27	26	com23 87	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ((♯‘𝑃) ≤ 2 → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
28	27	imp 412	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
29		fveq2 6886	. . . 4 ⊢ (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (♯‘𝑃) = (♯‘{𝑎, 𝑏}))
30		hashprlei 14617	. . . . 5 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) ≤ 2)
31	30	simpri 491	. . . 4 ⊢ (♯‘{𝑎, 𝑏}) ≤ 2
32	29, 31	eqbrtrdi 5143	. . 3 ⊢ (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (♯‘𝑃) ≤ 2)
33	32	exlimivv 1964	. 2 ⊢ (∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (♯‘𝑃) ≤ 2)
34	28, 33	impbid1 228	1 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4278  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  Fincfn 8977  0cc0 11204  1c1 11205   ≤ cle 11348  2c2 12401  ℕ₀^*cxnn0 12683  ♯chash 14478

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611  df-xnn0 12684  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-hash 14479

This theorem is used by:  hashle2prv  14627