Theorem hashle2pr 14493

Description: A nonempty set of size less than or equal to two is an unordered pair of sets. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashle2pr	⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))

Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hashle2pr

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashxnn0 14355	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0*)
2		xnn0le2is012 13260	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0* ∧ (♯‘𝑃) ≤ 2) → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2))
3	1, 2	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) ≤ 2) → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2))
4	3	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑃) ≤ 2 → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2)))
5		hasheq0 14379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
6		eqneqall 2943	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ∅ → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
7	5, 6	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
8	7	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 ∈ 𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
9		hash1snb 14435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 1 ↔ ∃𝑐 𝑃 = {𝑐}))
10		vex 3463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑐 ∈ V
11		preq12 4711	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑐) → {𝑎, 𝑏} = {𝑐, 𝑐})
12		dfsn2 4614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑐} = {𝑐, 𝑐}
13	11, 12	eqtr4di 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑐) → {𝑎, 𝑏} = {𝑐})
14	13	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑐) → (𝑃 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑃 = {𝑐}))
15	10, 10, 14	spc2ev 3586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = {𝑐} → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
16	15	exlimiv 1930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑐 𝑃 = {𝑐} → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
17	9, 16	biimtrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑃) = 1 → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
18	17	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
19	18	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
20	19	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → (𝑃 ∈ 𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
21		hash2pr 14485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
22	21	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
23	22	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = 2 → (𝑃 ∈ 𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
24	8, 20, 23	3jaoi 1430	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2) → (𝑃 ∈ 𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
25	24	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → (((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
26	4, 25	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑃) ≤ 2 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
27	26	com23 86	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ((♯‘𝑃) ≤ 2 → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
28	27	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 → ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
29		fveq2 6875	. . . 4 ⊢ (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (♯‘𝑃) = (♯‘{𝑎, 𝑏}))
30		hashprlei 14484	. . . . 5 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) ≤ 2)
31	30	simpri 485	. . . 4 ⊢ (♯‘{𝑎, 𝑏}) ≤ 2
32	29, 31	eqbrtrdi 5158	. . 3 ⊢ (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (♯‘𝑃) ≤ 2)
33	32	exlimivv 1932	. 2 ⊢ (∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (♯‘𝑃) ≤ 2)
34	28, 33	impbid1 225	1 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∅c0 4308  {csn 4601  {cpr 4603   class class class wbr 5119  ‘cfv 6530  Fincfn 8957  0cc0 11127  1c1 11128   ≤ cle 11268  2c2 12293  ℕ₀^*cxnn0 12572  ♯chash 14346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9913  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13523  df-hash 14347

This theorem is referenced by:  hashle2prv  14494