MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashle2pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashle2pr 13819
Description: A nonempty set of size less than or equal to two is an unordered pair of sets. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashle2pr ((𝑃𝑉𝑃 ≠ ∅) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hashle2pr
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashxnn0 13683 . . . . . . 7 (𝑃𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0*)
2 xnn0le2is012 12617 . . . . . . 7 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0* ∧ (♯‘𝑃) ≤ 2) → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2))
31, 2sylan 583 . . . . . 6 ((𝑃𝑉 ∧ (♯‘𝑃) ≤ 2) → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2))
43ex 416 . . . . 5 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) ≤ 2 → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2)))
5 hasheq0 13708 . . . . . . . . 9 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
6 eqneqall 3018 . . . . . . . . 9 (𝑃 = ∅ → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
75, 6syl6bi 256 . . . . . . . 8 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
87com12 32 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
9 hash1snb 13764 . . . . . . . . . . 11 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) = 1 ↔ ∃𝑐 𝑃 = {𝑐}))
10 vex 3474 . . . . . . . . . . . . 13 𝑐 ∈ V
11 preq12 4644 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑐) → {𝑎, 𝑏} = {𝑐, 𝑐})
12 dfsn2 4553 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑐} = {𝑐, 𝑐}
1311, 12syl6eqr 2874 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑐) → {𝑎, 𝑏} = {𝑐})
1413eqeq2d 2832 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑐) → (𝑃 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑃 = {𝑐}))
1510, 10, 14spc2ev 3585 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = {𝑐} → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
1615exlimiv 1932 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑐 𝑃 = {𝑐} → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
179, 16syl6bi 256 . . . . . . . . . 10 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) = 1 → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
1817imp 410 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
1918a1d 25 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
2019expcom 417 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) = 1 → (𝑃𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
21 hash2pr 13811 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
2221a1d 25 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
2322expcom 417 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) = 2 → (𝑃𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
248, 20, 233jaoi 1424 . . . . . 6 (((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2) → (𝑃𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
2524com12 32 . . . . 5 (𝑃𝑉 → (((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
264, 25syld 47 . . . 4 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) ≤ 2 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
2726com23 86 . . 3 (𝑃𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ((♯‘𝑃) ≤ 2 → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
2827imp 410 . 2 ((𝑃𝑉𝑃 ≠ ∅) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
29 fveq2 6643 . . . 4 (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (♯‘𝑃) = (♯‘{𝑎, 𝑏}))
30 hashprlei 13810 . . . . 5 ({𝑎, 𝑏} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) ≤ 2)
3130simpri 489 . . . 4 (♯‘{𝑎, 𝑏}) ≤ 2
3229, 31eqbrtrdi 5078 . . 3 (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (♯‘𝑃) ≤ 2)
3332exlimivv 1934 . 2 (∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (♯‘𝑃) ≤ 2)
3428, 33impbid1 228 1 ((𝑃𝑉𝑃 ≠ ∅) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3o 1083   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  wne 3007  c0 4266  {csn 4540  {cpr 4542   class class class wbr 5039  cfv 6328  Fincfn 8484  0cc0 10514  1c1 10515  cle 10653  2c2 11670  0*cxnn0 11945  chash 13674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-n0 11876  df-xnn0 11946  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-hash 13675
This theorem is referenced by:  hashle2prv  13820
  Copyright terms: Public domain W3C validator