MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramz2 16992
Description: The Ramsey number when 𝐹 has value zero for some color 𝐢. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramz2 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = 0)

Proof of Theorem ramz2
Dummy variables 𝑏 𝑓 𝑐 𝑠 π‘₯ π‘Ž 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖}) = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
2 simpl1 1189 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
32nnnn0d 12562 . . 3 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4 simpl2 1190 . . 3 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
5 simpl3 1191 . . 3 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0)
6 0nn0 12517 . . . 4 0 ∈ β„•0
76a1i 11 . . 3 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) β†’ 0 ∈ β„•0)
8 simplrl 776 . . . 4 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) ∧ (0 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑅)
9 0elpw 5356 . . . . 5 βˆ… ∈ 𝒫 𝑠
109a1i 11 . . . 4 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) ∧ (0 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆ… ∈ 𝒫 𝑠)
11 simplrr 777 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) ∧ (0 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (πΉβ€˜πΆ) = 0)
12 0le0 12343 . . . . 5 0 ≀ 0
1311, 12eqbrtrdi 5187 . . . 4 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) ∧ (0 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ≀ 0)
14 simpll1 1210 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) ∧ (0 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
1510hashbc 16975 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (βˆ…(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = βˆ…)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) ∧ (0 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (βˆ…(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = βˆ…)
17 0ss 4397 . . . . 5 βˆ… βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝐢})
1816, 17eqsstrdi 4034 . . . 4 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) ∧ (0 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (βˆ…(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝐢}))
19 fveq2 6897 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐢 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜πΆ))
2019breq1d 5158 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐢 β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜πΆ) ≀ (β™―β€˜π‘₯)))
21 sneq 4639 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐢 β†’ {𝑐} = {𝐢})
2221imaeq2d 6063 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐢 β†’ (◑𝑓 β€œ {𝑐}) = (◑𝑓 β€œ {𝐢}))
2322sseq2d 4012 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐢 β†’ ((π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐}) ↔ (π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝐢})))
2420, 23anbi12d 631 . . . . 5 (𝑐 = 𝐢 β†’ (((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})) ↔ ((πΉβ€˜πΆ) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝐢}))))
25 fveq2 6897 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βˆ… β†’ (β™―β€˜π‘₯) = (β™―β€˜βˆ…))
26 hash0 14358 . . . . . . . 8 (β™―β€˜βˆ…) = 0
2725, 26eqtrdi 2784 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (β™―β€˜π‘₯) = 0)
2827breq2d 5160 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜πΆ) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜πΆ) ≀ 0))
29 oveq1 7427 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = (βˆ…(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀))
3029sseq1d 4011 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝐢}) ↔ (βˆ…(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝐢})))
3128, 30anbi12d 631 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ (((πΉβ€˜πΆ) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝐢})) ↔ ((πΉβ€˜πΆ) ≀ 0 ∧ (βˆ…(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝐢}))))
3224, 31rspc2ev 3622 . . . 4 ((𝐢 ∈ 𝑅 ∧ βˆ… ∈ 𝒫 𝑠 ∧ ((πΉβ€˜πΆ) ≀ 0 ∧ (βˆ…(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝐢}))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))
338, 10, 13, 18, 32syl112anc 1372 . . 3 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) ∧ (0 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))
341, 3, 4, 5, 7, 33ramub 16981 . 2 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 0)
35 ramubcl 16986 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (0 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 0)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
363, 4, 5, 7, 34, 35syl32anc 1376 . . 3 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
37 nn0le0eq0 12530 . . 3 ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0 β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 0 ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = 0))
3836, 37syl 17 . 2 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 0 ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = 0))
3934, 38mpbid 231 1 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3067  {crab 3429  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5677   β€œ cima 5681  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  0cc0 11138   ≀ cle 11279  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502  β™―chash 14321   Ramsey cram 16967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-oadd 8490  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-seq 13999  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-ram 16969
This theorem is referenced by:  ramz  16993  ramcl  16997
  Copyright terms: Public domain W3C validator