MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramz2 16904
Description: The Ramsey number when 𝐹 has value zero for some color 𝐢. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramz2 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = 0)

Proof of Theorem ramz2
Dummy variables 𝑏 𝑓 𝑐 𝑠 π‘₯ π‘Ž 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖}) = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
2 simpl1 1192 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
32nnnn0d 12481 . . 3 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4 simpl2 1193 . . 3 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
5 simpl3 1194 . . 3 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0)
6 0nn0 12436 . . . 4 0 ∈ β„•0
76a1i 11 . . 3 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) β†’ 0 ∈ β„•0)
8 simplrl 776 . . . 4 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) ∧ (0 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑅)
9 0elpw 5315 . . . . 5 βˆ… ∈ 𝒫 𝑠
109a1i 11 . . . 4 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) ∧ (0 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆ… ∈ 𝒫 𝑠)
11 simplrr 777 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) ∧ (0 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (πΉβ€˜πΆ) = 0)
12 0le0 12262 . . . . 5 0 ≀ 0
1311, 12eqbrtrdi 5148 . . . 4 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) ∧ (0 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ≀ 0)
14 simpll1 1213 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) ∧ (0 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
1510hashbc 16887 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (βˆ…(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = βˆ…)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) ∧ (0 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (βˆ…(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = βˆ…)
17 0ss 4360 . . . . 5 βˆ… βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝐢})
1816, 17eqsstrdi 4002 . . . 4 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) ∧ (0 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ (βˆ…(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝐢}))
19 fveq2 6846 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐢 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜πΆ))
2019breq1d 5119 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐢 β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜πΆ) ≀ (β™―β€˜π‘₯)))
21 sneq 4600 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐢 β†’ {𝑐} = {𝐢})
2221imaeq2d 6017 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐢 β†’ (◑𝑓 β€œ {𝑐}) = (◑𝑓 β€œ {𝐢}))
2322sseq2d 3980 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐢 β†’ ((π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐}) ↔ (π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝐢})))
2420, 23anbi12d 632 . . . . 5 (𝑐 = 𝐢 β†’ (((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})) ↔ ((πΉβ€˜πΆ) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝐢}))))
25 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βˆ… β†’ (β™―β€˜π‘₯) = (β™―β€˜βˆ…))
26 hash0 14276 . . . . . . . 8 (β™―β€˜βˆ…) = 0
2725, 26eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (β™―β€˜π‘₯) = 0)
2827breq2d 5121 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜πΆ) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜πΆ) ≀ 0))
29 oveq1 7368 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) = (βˆ…(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀))
3029sseq1d 3979 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝐢}) ↔ (βˆ…(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝐢})))
3128, 30anbi12d 632 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ (((πΉβ€˜πΆ) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝐢})) ↔ ((πΉβ€˜πΆ) ≀ 0 ∧ (βˆ…(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝐢}))))
3224, 31rspc2ev 3594 . . . 4 ((𝐢 ∈ 𝑅 ∧ βˆ… ∈ 𝒫 𝑠 ∧ ((πΉβ€˜πΆ) ≀ 0 ∧ (βˆ…(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝐢}))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))
338, 10, 13, 18, 32syl112anc 1375 . . 3 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) ∧ (0 ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘₯) ∧ (π‘₯(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})𝑀) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))
341, 3, 4, 5, 7, 33ramub 16893 . 2 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 0)
35 ramubcl 16898 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (0 ∈ β„•0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 0)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
363, 4, 5, 7, 34, 35syl32anc 1379 . . 3 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
37 nn0le0eq0 12449 . . 3 ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0 β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 0 ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = 0))
3836, 37syl 17 . 2 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) β†’ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≀ 0 ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = 0))
3934, 38mpbid 231 1 (((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (𝐢 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜πΆ) = 0)) β†’ (𝑀 Ramsey 𝐹) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564  {csn 4590   class class class wbr 5109  β—‘ccnv 5636   β€œ cima 5640  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  0cc0 11059   ≀ cle 11198  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  β™―chash 14239   Ramsey cram 16879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-seq 13916  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-ram 16881
This theorem is referenced by:  ramz  16905  ramcl  16909
  Copyright terms: Public domain W3C validator