MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramz2 16007
Description: The Ramsey number when 𝐹 has value zero for some color 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramz2 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = 0)

Proof of Theorem ramz2
Dummy variables 𝑏 𝑓 𝑐 𝑠 𝑥 𝑎 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2765 . . 3 (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖}) = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2 simpl1 1242 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) → 𝑀 ∈ ℕ)
32nnnn0d 11598 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4 simpl2 1244 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) → 𝑅𝑉)
5 simpl3 1246 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
6 0nn0 11555 . . . 4 0 ∈ ℕ0
76a1i 11 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) → 0 ∈ ℕ0)
8 simplrl 795 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → 𝐶𝑅)
9 0elpw 4992 . . . . 5 ∅ ∈ 𝒫 𝑠
109a1i 11 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ∅ ∈ 𝒫 𝑠)
11 simplrr 796 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (𝐹𝐶) = 0)
12 0le0 11380 . . . . 5 0 ≤ 0
1311, 12syl6eqbr 4848 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (𝐹𝐶) ≤ 0)
14 simpll1 1269 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → 𝑀 ∈ ℕ)
1510hashbc 15990 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (∅(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (∅(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
17 0ss 4134 . . . . 5 ∅ ⊆ (𝑓 “ {𝐶})
1816, 17syl6eqss 3815 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (∅(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝐶}))
19 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝐶))
2019breq1d 4819 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ↔ (𝐹𝐶) ≤ (♯‘𝑥)))
21 sneq 4344 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐶 → {𝑐} = {𝐶})
2221imaeq2d 5648 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑓 “ {𝑐}) = (𝑓 “ {𝐶}))
2322sseq2d 3793 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}) ↔ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝐶})))
2420, 23anbi12d 624 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})) ↔ ((𝐹𝐶) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝐶}))))
25 fveq2 6375 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
26 hash0 13360 . . . . . . . 8 (♯‘∅) = 0
2725, 26syl6eq 2815 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
2827breq2d 4821 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → ((𝐹𝐶) ≤ (♯‘𝑥) ↔ (𝐹𝐶) ≤ 0))
29 oveq1 6849 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = (∅(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀))
3029sseq1d 3792 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → ((𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝐶}) ↔ (∅(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝐶})))
3128, 30anbi12d 624 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (((𝐹𝐶) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝐶})) ↔ ((𝐹𝐶) ≤ 0 ∧ (∅(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝐶}))))
3224, 31rspc2ev 3476 . . . 4 ((𝐶𝑅 ∧ ∅ ∈ 𝒫 𝑠 ∧ ((𝐹𝐶) ≤ 0 ∧ (∅(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝐶}))) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))
338, 10, 13, 18, 32syl112anc 1493 . . 3 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))
341, 3, 4, 5, 7, 33ramub 15996 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 0)
35 ramubcl 16001 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 0)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
363, 4, 5, 7, 34, 35syl32anc 1497 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
37 nn0le0eq0 11568 . . 3 ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 0 ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = 0))
3836, 37syl 17 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 0 ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = 0))
3934, 38mpbid 223 1 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056  {crab 3059  Vcvv 3350  wss 3732  c0 4079  𝒫 cpw 4315  {csn 4334   class class class wbr 4809  ccnv 5276  cima 5280  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cmpt2 6844  0cc0 10189  cle 10329  cn 11274  0cn0 11538  chash 13321   Ramsey cram 15982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-seq 13009  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-ram 15984
This theorem is referenced by:  ramz  16008  ramcl  16012
  Copyright terms: Public domain W3C validator