Theorem ramz2 16995

Description: The Ramsey number when 𝐹 has value zero for some color 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ramz2	⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐶) = 0)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = 0)

Proof of Theorem ramz2

Dummy variables 𝑏 𝑓 𝑐 𝑠 𝑥 𝑎 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖}) = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐶) = 0)) → 𝑀 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 12503	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐶) = 0)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		simpl2 1193	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐶) = 0)) → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		simpl3 1194	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐶) = 0)) → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
6		0nn0 12457	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐶) = 0)) → 0 ∈ ℕ0)
8		simplrl 776	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → 𝐶 ∈ 𝑅)
9		0elpw 5311	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝑠
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ∅ ∈ 𝒫 𝑠)
11		simplrr 777	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (𝐹‘𝐶) = 0)
12		0le0 12287	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
13	11, 12	eqbrtrdi 5146	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (𝐹‘𝐶) ≤ 0)
14		simpll1 1213	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → 𝑀 ∈ ℕ)
15	1	0hashbc 16978	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (∅(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (∅(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
17		0ss 4363	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ (◡𝑓 “ {𝐶})
18	16, 17	eqsstrdi 3991	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (∅(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝐶}))
19		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘𝐶))
20	19	breq1d 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝐶) ≤ (♯‘𝑥)))
21		sneq 4599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → {𝑐} = {𝐶})
22	21	imaeq2d 6031	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (◡𝑓 “ {𝑐}) = (◡𝑓 “ {𝐶}))
23	22	sseq2d 3979	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}) ↔ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝐶})))
24	20, 23	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})) ↔ ((𝐹‘𝐶) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝐶}))))
25		fveq2 6858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
26		hash0 14332	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘∅) = 0
27	25, 26	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
28	27	breq2d 5119	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐹‘𝐶) ≤ (♯‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝐶) ≤ 0))
29		oveq1 7394	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = (∅(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀))
30	29	sseq1d 3978	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝐶}) ↔ (∅(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝐶})))
31	28, 30	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (((𝐹‘𝐶) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝐶})) ↔ ((𝐹‘𝐶) ≤ 0 ∧ (∅(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝐶}))))
32	24, 31	rspc2ev 3601	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑅 ∧ ∅ ∈ 𝒫 𝑠 ∧ ((𝐹‘𝐶) ≤ 0 ∧ (∅(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝐶}))) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))
33	8, 10, 13, 18, 32	syl112anc 1376	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))
34	1, 3, 4, 5, 7, 33	ramub 16984	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐶) = 0)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 0)
35		ramubcl 16989	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 0)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
36	3, 4, 5, 7, 34, 35	syl32anc 1380	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐶) = 0)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
37		nn0le0eq0 12470	. . 3 ⊢ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 0 ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = 0))
38	36, 37	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐶) = 0)) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 0 ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = 0))
39	34, 38	mpbid 232	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶 ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐶) = 0)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3405  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  {csn 4589   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5637   “ cima 5641  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  0cc0 11068   ≤ cle 11209  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ♯chash 14295   Ramsey cram 16970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-seq 13967  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-ram 16972

This theorem is referenced by:  ramz  16996  ramcl  17000