MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramz2 16577
Description: The Ramsey number when 𝐹 has value zero for some color 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramz2 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = 0)

Proof of Theorem ramz2
Dummy variables 𝑏 𝑓 𝑐 𝑠 𝑥 𝑎 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖}) = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
2 simpl1 1193 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) → 𝑀 ∈ ℕ)
32nnnn0d 12150 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4 simpl2 1194 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) → 𝑅𝑉)
5 simpl3 1195 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
6 0nn0 12105 . . . 4 0 ∈ ℕ0
76a1i 11 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) → 0 ∈ ℕ0)
8 simplrl 777 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → 𝐶𝑅)
9 0elpw 5247 . . . . 5 ∅ ∈ 𝒫 𝑠
109a1i 11 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ∅ ∈ 𝒫 𝑠)
11 simplrr 778 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (𝐹𝐶) = 0)
12 0le0 11931 . . . . 5 0 ≤ 0
1311, 12eqbrtrdi 5092 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (𝐹𝐶) ≤ 0)
14 simpll1 1214 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → 𝑀 ∈ ℕ)
1510hashbc 16560 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (∅(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (∅(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = ∅)
17 0ss 4311 . . . . 5 ∅ ⊆ (𝑓 “ {𝐶})
1816, 17eqsstrdi 3955 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → (∅(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝐶}))
19 fveq2 6717 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝐶))
2019breq1d 5063 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → ((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ↔ (𝐹𝐶) ≤ (♯‘𝑥)))
21 sneq 4551 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐶 → {𝑐} = {𝐶})
2221imaeq2d 5929 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑓 “ {𝑐}) = (𝑓 “ {𝐶}))
2322sseq2d 3933 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐}) ↔ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝐶})))
2420, 23anbi12d 634 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})) ↔ ((𝐹𝐶) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝐶}))))
25 fveq2 6717 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
26 hash0 13934 . . . . . . . 8 (♯‘∅) = 0
2725, 26eqtrdi 2794 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
2827breq2d 5065 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → ((𝐹𝐶) ≤ (♯‘𝑥) ↔ (𝐹𝐶) ≤ 0))
29 oveq1 7220 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) = (∅(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀))
3029sseq1d 3932 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → ((𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝐶}) ↔ (∅(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝐶})))
3128, 30anbi12d 634 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (((𝐹𝐶) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝐶})) ↔ ((𝐹𝐶) ≤ 0 ∧ (∅(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝐶}))))
3224, 31rspc2ev 3549 . . . 4 ((𝐶𝑅 ∧ ∅ ∈ 𝒫 𝑠 ∧ ((𝐹𝐶) ≤ 0 ∧ (∅(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝐶}))) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))
338, 10, 13, 18, 32syl112anc 1376 . . 3 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) ∧ (0 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥(𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))
341, 3, 4, 5, 7, 33ramub 16566 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 0)
35 ramubcl 16571 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 0)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
363, 4, 5, 7, 34, 35syl32anc 1380 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
37 nn0le0eq0 12118 . . 3 ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 0 ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = 0))
3836, 37syl 17 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 0 ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) = 0))
3934, 38mpbid 235 1 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝐶𝑅 ∧ (𝐹𝐶) = 0)) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3408  wss 3866  c0 4237  𝒫 cpw 4513  {csn 4541   class class class wbr 5053  ccnv 5550  cima 5554  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  cmpo 7215  0cc0 10729  cle 10868  cn 11830  0cn0 12090  chash 13896   Ramsey cram 16552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-seq 13575  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-ram 16554
This theorem is referenced by:  ramz  16578  ramcl  16582
  Copyright terms: Public domain W3C validator