Theorem clwwlknon1le1 29885

Description: There is at most one (closed) walk on vertex 𝑋 of length 1 as word over the set of vertices. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon1le1	⊢ (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1

Proof of Theorem clwwlknon1le1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (ClWWalksNOn‘𝐺)
3		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	1, 2, 3	clwwlknon1loop 29882	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = {⟨“𝑋”⟩})
5		fveq2 6891	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = {⟨“𝑋”⟩} → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = (♯‘{⟨“𝑋”⟩}))
6		s1cli 14573	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
7		hashsng 14346	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V → (♯‘{⟨“𝑋”⟩}) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{⟨“𝑋”⟩}) = 1
9	5, 8	eqtrdi 2783	. . . . 5 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = {⟨“𝑋”⟩} → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = 1)
10		1le1 11858	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
11	9, 10	eqbrtrdi 5181	. . . 4 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = {⟨“𝑋”⟩} → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
12	4, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋} ∈ (Edg‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
13	1, 2, 3	clwwlknon1nloop 29883	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} ∉ (Edg‘𝐺) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋} ∉ (Edg‘𝐺)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
15		fveq2 6891	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅ → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = (♯‘∅))
16		hash0 14344	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
17	15, 16	eqtrdi 2783	. . . . 5 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅ → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = 0)
18		0le1 11753	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
19	17, 18	eqbrtrdi 5181	. . . 4 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅ → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
20	14, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋} ∉ (Edg‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
21	12, 20	pm2.61danel 3055	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
22		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → ¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
23	22	intnanrd 489	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → ¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ))
24		clwwlknon0 29877	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
26	25	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = (♯‘∅))
27	26, 16	eqtrdi 2783	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = 0)
28	27, 18	eqbrtrdi 5181	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
29	21, 28	pm2.61i 182	1 ⊢ (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∉ wnel 3041  Vcvv 3469  ∅c0 4318  {csn 4624   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11124  1c1 11125   ≤ cle 11265  ℕcn 12228  ♯chash 14307  Word cword 14482  ⟨“cs1 14563  Vtxcvtx 28783  Edgcedg 28834  ClWWalksNOncclwwlknon 29871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-oadd 8482  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-hash 14308  df-word 14483  df-lsw 14531  df-s1 14564  df-clwwlk 29766  df-clwwlkn 29809  df-clwwlknon 29872

This theorem is referenced by: (None)