Theorem clwwlknon1le1 30719

Description: There is at most one (closed) walk on vertex 𝑋 of length 1 as word over the set of vertices. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon1le1	⊢ (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1

Proof of Theorem clwwlknon1le1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (ClWWalksNOn‘𝐺)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	1, 2, 3	clwwlknon1loop 30716	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = {⟨“𝑋”⟩})
5		fveq2 6905	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = {⟨“𝑋”⟩} → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = (♯‘{⟨“𝑋”⟩}))
6		s1cli 14776	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
7		hashsng 14537	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V → (♯‘{⟨“𝑋”⟩}) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{⟨“𝑋”⟩}) = 1
9	5, 8	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = {⟨“𝑋”⟩} → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = 1)
10		1le1 11968	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
11	9, 10	eqbrtrdi 5147	. . . 4 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = {⟨“𝑋”⟩} → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
12	4, 11	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋} ∈ (Edg‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
13	1, 2, 3	clwwlknon1nloop 30717	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} ∉ (Edg‘𝐺) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
14	13	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋} ∉ (Edg‘𝐺)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
15		fveq2 6905	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅ → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = (♯‘∅))
16		hash0 14535	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
17	15, 16	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅ → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = 0)
18		0le1 11863	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
19	17, 18	eqbrtrdi 5147	. . . 4 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅ → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
20	14, 19	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋} ∉ (Edg‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
21	12, 20	pm2.61danel 3079	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
22		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → ¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
23	22	intnanrd 495	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → ¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ))
24		clwwlknon0 30711	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
25	23, 24	syl 18	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
26	25	fveq2d 6909	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = (♯‘∅))
27	26, 16	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = 0)
28	27, 18	eqbrtrdi 5147	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
29	21, 28	pm2.61i 184	1 ⊢ (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∉ wnel 3065  Vcvv 3454  ∅c0 4281  {csn 4588   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224  1c1 11225   ≤ cle 11368  ℕcn 12359  ♯chash 14498  Word cword 14682  ⟨“cs1 14766  Vtxcvtx 29601  Edgcedg 29652  ClWWalksNOncclwwlknon 30705

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-oadd 8505  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-hash 14499  df-word 14683  df-lsw 14732  df-s1 14767  df-clwwlk 30600  df-clwwlkn 30643  df-clwwlknon 30706

This theorem is used by: (None)