Theorem clwwlknon1le1 30189

Description: There is at most one (closed) walk on vertex 𝑋 of length 1 as word over the set of vertices. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon1le1	⊢ (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1

Proof of Theorem clwwlknon1le1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (ClWWalksNOn‘𝐺)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	1, 2, 3	clwwlknon1loop 30186	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = {⟨“𝑋”⟩})
5		fveq2 6835	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = {⟨“𝑋”⟩} → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = (♯‘{⟨“𝑋”⟩}))
6		s1cli 14562	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
7		hashsng 14325	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V → (♯‘{⟨“𝑋”⟩}) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{⟨“𝑋”⟩}) = 1
9	5, 8	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = {⟨“𝑋”⟩} → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = 1)
10		1le1 11772	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
11	9, 10	eqbrtrdi 5125	. . . 4 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = {⟨“𝑋”⟩} → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
12	4, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋} ∈ (Edg‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
13	1, 2, 3	clwwlknon1nloop 30187	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} ∉ (Edg‘𝐺) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋} ∉ (Edg‘𝐺)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
15		fveq2 6835	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅ → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = (♯‘∅))
16		hash0 14323	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
17	15, 16	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅ → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = 0)
18		0le1 11667	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
19	17, 18	eqbrtrdi 5125	. . . 4 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅ → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
20	14, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋} ∉ (Edg‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
21	12, 20	pm2.61danel 3051	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
22		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → ¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
23	22	intnanrd 489	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → ¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ))
24		clwwlknon0 30181	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
26	25	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = (♯‘∅))
27	26, 16	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = 0)
28	27, 18	eqbrtrdi 5125	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
29	21, 28	pm2.61i 182	1 ⊢ (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  Vcvv 3430  ∅c0 4274  {csn 4568   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  0cc0 11032  1c1 11033   ≤ cle 11174  ℕcn 12168  ♯chash 14286  Word cword 14469  ⟨“cs1 14552  Vtxcvtx 29082  Edgcedg 29133  ClWWalksNOncclwwlknon 30175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-hash 14287  df-word 14470  df-lsw 14519  df-s1 14553  df-clwwlk 30070  df-clwwlkn 30113  df-clwwlknon 30176

This theorem is referenced by: (None)