Theorem clwwlknon1le1 30121

Description: There is at most one (closed) walk on vertex 𝑋 of length 1 as word over the set of vertices. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon1le1	⊢ (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1

Proof of Theorem clwwlknon1le1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (ClWWalksNOn‘𝐺)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	1, 2, 3	clwwlknon1loop 30118	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = {⟨“𝑋”⟩})
5		fveq2 6905	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = {⟨“𝑋”⟩} → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = (♯‘{⟨“𝑋”⟩}))
6		s1cli 14644	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
7		hashsng 14409	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V → (♯‘{⟨“𝑋”⟩}) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{⟨“𝑋”⟩}) = 1
9	5, 8	eqtrdi 2792	. . . . 5 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = {⟨“𝑋”⟩} → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = 1)
10		1le1 11892	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
11	9, 10	eqbrtrdi 5181	. . . 4 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = {⟨“𝑋”⟩} → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
12	4, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋} ∈ (Edg‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
13	1, 2, 3	clwwlknon1nloop 30119	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} ∉ (Edg‘𝐺) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋} ∉ (Edg‘𝐺)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
15		fveq2 6905	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅ → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = (♯‘∅))
16		hash0 14407	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
17	15, 16	eqtrdi 2792	. . . . 5 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅ → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = 0)
18		0le1 11787	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
19	17, 18	eqbrtrdi 5181	. . . 4 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅ → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
20	14, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋} ∉ (Edg‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
21	12, 20	pm2.61danel 3059	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
22		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → ¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
23	22	intnanrd 489	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → ¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ))
24		clwwlknon0 30113	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
26	25	fveq2d 6909	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = (♯‘∅))
27	26, 16	eqtrdi 2792	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = 0)
28	27, 18	eqbrtrdi 5181	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
29	21, 28	pm2.61i 182	1 ⊢ (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∉ wnel 3045  Vcvv 3479  ∅c0 4332  {csn 4625   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   ≤ cle 11297  ℕcn 12267  ♯chash 14370  Word cword 14553  ⟨“cs1 14634  Vtxcvtx 29014  Edgcedg 29065  ClWWalksNOncclwwlknon 30107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-oadd 8511  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-hash 14371  df-word 14554  df-lsw 14602  df-s1 14635  df-clwwlk 30002  df-clwwlkn 30045  df-clwwlknon 30108

This theorem is referenced by: (None)