Theorem clwwlknon1le1 28051

Description: There is at most one (closed) walk on vertex 𝑋 of length 1 as word over the set of vertices. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon1le1	⊢ (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1

Proof of Theorem clwwlknon1le1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (ClWWalksNOn‘𝐺)
3		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	1, 2, 3	clwwlknon1loop 28048	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = {⟨“𝑋”⟩})
5		fveq2 6687	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = {⟨“𝑋”⟩} → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = (♯‘{⟨“𝑋”⟩}))
6		s1cli 14061	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
7		hashsng 13835	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V → (♯‘{⟨“𝑋”⟩}) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{⟨“𝑋”⟩}) = 1
9	5, 8	eqtrdi 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = {⟨“𝑋”⟩} → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = 1)
10		1le1 11359	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
11	9, 10	eqbrtrdi 5079	. . . 4 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = {⟨“𝑋”⟩} → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
12	4, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋} ∈ (Edg‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
13	1, 2, 3	clwwlknon1nloop 28049	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} ∉ (Edg‘𝐺) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
14	13	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋} ∉ (Edg‘𝐺)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
15		fveq2 6687	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅ → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = (♯‘∅))
16		hash0 13833	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
17	15, 16	eqtrdi 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅ → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = 0)
18		0le1 11254	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
19	17, 18	eqbrtrdi 5079	. . . 4 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅ → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
20	14, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑋} ∉ (Edg‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
21	12, 20	pm2.61danel 3053	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
22		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → ¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
23	22	intnanrd 493	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → ¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ))
24		clwwlknon0 28043	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1) = ∅)
26	25	fveq2d 6691	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = (♯‘∅))
27	26, 16	eqtrdi 2790	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) = 0)
28	27, 18	eqbrtrdi 5079	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1)
29	21, 28	pm2.61i 185	1 ⊢ (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)1)) ≤ 1

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3039  Vcvv 3400  ∅c0 4221  {csn 4526   class class class wbr 5040  ‘cfv 6350  (class class class)co 7183  0cc0 10628  1c1 10629   ≤ cle 10767  ℕcn 11729  ♯chash 13795  Word cword 13968  ⟨“cs1 14051  Vtxcvtx 26954  Edgcedg 27005  ClWWalksNOncclwwlknon 28037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-oadd 8148  df-er 8333  df-map 8452  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-n0 11990  df-xnn0 12062  df-z 12076  df-uz 12338  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-hash 13796  df-word 13969  df-lsw 14017  df-s1 14052  df-clwwlk 27932  df-clwwlkn 27975  df-clwwlknon 28038

This theorem is referenced by: (None)