MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgseisen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgseisen 26889
Description: Eisenstein's lemma, an expression for (๐‘ƒ /L ๐‘„) when ๐‘ƒ, ๐‘„ are distinct odd primes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
lgseisen.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
lgseisen.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„)
Assertion
Ref Expression
lgseisen (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ /L ๐‘ƒ) = (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘„

Proof of Theorem lgseisen
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgseisen.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
21eldifad 3960 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„™)
3 prmz 16614 . . . 4 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
42, 3syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
5 lgseisen.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
6 lgsval3 26825 . . 3 ((๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (๐‘„ /L ๐‘ƒ) = ((((๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆ’ 1))
74, 5, 6syl2anc 584 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ /L ๐‘ƒ) = ((((๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆ’ 1))
81gausslemma2dlem0a 26866 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„•)
9 oddprm 16745 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
105, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
1110nnnn0d 12534 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
128, 11nnexpcld 14210 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„•)
1312nnred 12229 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„)
14 neg1rr 12329 . . . . . . . 8 -1 โˆˆ โ„
1514a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„)
16 neg1ne0 12330 . . . . . . . 8 -1 โ‰  0
1716a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -1 โ‰  0)
18 fzfid 13940 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ Fin)
198nnred 12229 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
205gausslemma2dlem0a 26866 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2119, 20nndivred 12268 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
2221adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘„ / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
23 2re 12288 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„
24 elfznn 13532 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
2524adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
2625nnred 12229 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
27 remulcl 11197 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
2823, 26, 27sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
2922, 28remulcld 11246 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
3029flcld 13765 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ค)
3118, 30fsumzcl 15683 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ค)
3215, 17, 31reexpclzd 14214 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„)
33 1re 11216 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
3433a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
3520nnrpd 13016 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
36 lgseisen.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„)
37 eqid 2732 . . . . . . 7 ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ)
38 eqid 2732 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ ((((-1โ†‘((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ)) ยท ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) / 2)) = (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ ((((-1โ†‘((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ)) ยท ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) / 2))
39 eqid 2732 . . . . . . 7 ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฆ)) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฆ)) mod ๐‘ƒ)
40 eqid 2732 . . . . . . 7 (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘ƒ) = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘ƒ)
41 eqid 2732 . . . . . . 7 (mulGrpโ€˜(โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘ƒ)) = (mulGrpโ€˜(โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘ƒ))
42 eqid 2732 . . . . . . 7 (โ„คRHomโ€˜(โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘ƒ)) = (โ„คRHomโ€˜(โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘ƒ))
435, 1, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42lgseisenlem4 26888 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ) = ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) mod ๐‘ƒ))
44 modadd1 13875 . . . . . 6 ((((๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ โˆง (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„) โˆง (1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง ((๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ) = ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) mod ๐‘ƒ)) โ†’ (((๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) mod ๐‘ƒ))
4513, 32, 34, 35, 43, 44syl221anc 1381 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) mod ๐‘ƒ))
46 peano2re 11389 . . . . . . 7 ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„ โ†’ ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) โˆˆ โ„)
4732, 46syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) โˆˆ โ„)
48 df-neg 11449 . . . . . . . 8 -1 = (0 โˆ’ 1)
49 neg1cn 12328 . . . . . . . . . . . . 13 -1 โˆˆ โ„‚
50 absexpz 15254 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โ‰  0 โˆง ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜(-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ))))) = ((absโ€˜-1)โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))))
5149, 16, 31, 50mp3an12i 1465 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ))))) = ((absโ€˜-1)โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))))
52 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 โˆˆ โ„‚
5352absnegi 15349 . . . . . . . . . . . . . . 15 (absโ€˜-1) = (absโ€˜1)
54 abs1 15246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (absโ€˜1) = 1
5553, 54eqtri 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 (absโ€˜-1) = 1
5655oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . 13 ((absโ€˜-1)โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) = (1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ))))
57 1exp 14059 . . . . . . . . . . . . . 14 (ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) = 1)
5831, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) = 1)
5956, 58eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜-1)โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) = 1)
6051, 59eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ))))) = 1)
61 1le1 11844 . . . . . . . . . . 11 1 โ‰ค 1
6260, 61eqbrtrdi 5187 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ))))) โ‰ค 1)
63 absle 15264 . . . . . . . . . . 11 (((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜(-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ))))) โ‰ค 1 โ†” (-1 โ‰ค (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โˆง (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ‰ค 1)))
6432, 33, 63sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ))))) โ‰ค 1 โ†” (-1 โ‰ค (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โˆง (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ‰ค 1)))
6562, 64mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (-1 โ‰ค (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โˆง (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ‰ค 1))
6665simpld 495 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -1 โ‰ค (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))))
6748, 66eqbrtrrid 5184 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆ’ 1) โ‰ค (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))))
68 0red 11219 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
6968, 34, 32lesubaddd 11813 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((0 โˆ’ 1) โ‰ค (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ†” 0 โ‰ค ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1)))
7067, 69mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1))
7120nnred 12229 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
72 peano2rem 11529 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
7371, 72syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
7465simprd 496 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ‰ค 1)
75 df-2 12277 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
7623a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
775eldifad 3960 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
78 prmuz2 16635 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
79 eluzle 12837 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘ƒ)
8077, 78, 793syl 18 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค ๐‘ƒ)
81 eldifsni 4793 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โ‰  2)
825, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  2)
8376, 71, 80, 82leneltd 11370 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 < ๐‘ƒ)
8475, 83eqbrtrrid 5184 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 + 1) < ๐‘ƒ)
8534, 34, 71ltaddsubd 11816 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((1 + 1) < ๐‘ƒ โ†” 1 < (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
8684, 85mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 < (๐‘ƒ โˆ’ 1))
8732, 34, 73, 74, 86lelttrd 11374 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) < (๐‘ƒ โˆ’ 1))
8832, 34, 71ltaddsubd 11816 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) < ๐‘ƒ โ†” (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) < (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
8987, 88mpbird 256 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) < ๐‘ƒ)
90 modid 13863 . . . . . 6 (((((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) โˆง ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) < ๐‘ƒ)) โ†’ (((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) mod ๐‘ƒ) = ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1))
9147, 35, 70, 89, 90syl22anc 837 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) mod ๐‘ƒ) = ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1))
9245, 91eqtrd 2772 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1))
9392oveq1d 7426 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆ’ 1) = (((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) โˆ’ 1))
9432recnd 11244 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„‚)
95 pncan 11468 . . . 4 (((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) โˆ’ 1) = (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))))
9694, 52, 95sylancl 586 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) โˆ’ 1) = (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))))
9793, 96eqtrd 2772 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆ’ 1) = (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))))
987, 97eqtrd 2772 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ /L ๐‘ƒ) = (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   โˆ– cdif 3945  {csn 4628   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  โ„•cn 12214  2c2 12269  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824  โ„+crp 12976  ...cfz 13486  โŒŠcfl 13757   mod cmo 13836  โ†‘cexp 14029  abscabs 15183  ฮฃcsu 15634  โ„™cprime 16610  mulGrpcmgp 19989  โ„คRHomczrh 21055  โ„ค/nโ„คczn 21058   /L clgs 26804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-phi 16701  df-pc 16772  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-imas 17456  df-qus 17457  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-nsg 19006  df-eqg 19007  df-ghm 19092  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-rnghom 20255  df-nzr 20296  df-subrg 20321  df-drng 20363  df-field 20364  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lsp 20588  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-lidl 20793  df-rsp 20794  df-2idl 20863  df-rlreg 20905  df-domn 20906  df-idom 20907  df-cnfld 20951  df-zring 21024  df-zrh 21059  df-zn 21062  df-lgs 26805
This theorem is referenced by:  lgsquadlem2  26891
  Copyright terms: Public domain W3C validator