Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgseisen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgseisen 25973
 Description: Eisenstein's lemma, an expression for (𝑃 /L 𝑄) when 𝑃, 𝑄 are distinct odd primes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.2 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.3 (𝜑𝑃𝑄)
Assertion
Ref Expression
lgseisen (𝜑 → (𝑄 /L 𝑃) = (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑄

Proof of Theorem lgseisen
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgseisen.2 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
21eldifad 3893 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ ℙ)
3 prmz 16012 . . . 4 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
5 lgseisen.1 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
6 lgsval3 25909 . . 3 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑄 /L 𝑃) = ((((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1))
74, 5, 6syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝑄 /L 𝑃) = ((((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1))
81gausslemma2dlem0a 25950 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
9 oddprm 16140 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
105, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
1110nnnn0d 11946 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
128, 11nnexpcld 13605 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℕ)
1312nnred 11643 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
14 neg1rr 11743 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
16 neg1ne0 11744 . . . . . . . 8 -1 ≠ 0
1716a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → -1 ≠ 0)
18 fzfid 13339 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin)
198nnred 11643 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
205gausslemma2dlem0a 25950 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
2119, 20nndivred 11682 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
2221adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
23 2re 11702 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
24 elfznn 12934 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℕ)
2524adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℕ)
2625nnred 11643 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ)
27 remulcl 10614 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
2823, 26, 27sylancr 590 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
2922, 28remulcld 10663 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
3029flcld 13166 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ)
3118, 30fsumzcl 15087 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ)
3215, 17, 31reexpclzd 13609 . . . . . 6 (𝜑 → (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℝ)
33 1re 10633 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3520nnrpd 12420 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
36 lgseisen.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑃𝑄)
37 eqid 2798 . . . . . . 7 ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
38 eqid 2798 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)) · ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)) mod 𝑃) / 2)) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)) · ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)) mod 𝑃) / 2))
39 eqid 2798 . . . . . . 7 ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃)
40 eqid 2798 . . . . . . 7 (ℤ/nℤ‘𝑃) = (ℤ/nℤ‘𝑃)
41 eqid 2798 . . . . . . 7 (mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
42 eqid 2798 . . . . . . 7 (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
435, 1, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42lgseisenlem4 25972 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) mod 𝑃))
44 modadd1 13274 . . . . . 6 ((((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ ∧ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℝ) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) mod 𝑃)) → (((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = (((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) mod 𝑃))
4513, 32, 34, 35, 43, 44syl221anc 1378 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = (((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) mod 𝑃))
46 peano2re 10805 . . . . . . 7 ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℝ → ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) ∈ ℝ)
4732, 46syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) ∈ ℝ)
48 df-neg 10865 . . . . . . . 8 -1 = (0 − 1)
49 neg1cn 11742 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ ℂ
50 absexpz 14660 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ) → (abs‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = ((abs‘-1)↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
5149, 16, 31, 50mp3an12i 1462 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = ((abs‘-1)↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
52 ax-1cn 10587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
5352absnegi 14755 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs‘-1) = (abs‘1)
54 abs1 14652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs‘1) = 1
5553, 54eqtri 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘-1) = 1
5655oveq1i 7146 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘-1)↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) = (1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))
57 1exp 13457 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ → (1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) = 1)
5831, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) = 1)
5956, 58syl5eq 2845 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((abs‘-1)↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) = 1)
6051, 59eqtrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = 1)
61 1le1 11260 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 1
6260, 61eqbrtrdi 5070 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) ≤ 1)
63 absle 14670 . . . . . . . . . . 11 (((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∧ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ≤ 1)))
6432, 33, 63sylancl 589 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∧ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ≤ 1)))
6562, 64mpbid 235 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1 ≤ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∧ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ≤ 1))
6665simpld 498 . . . . . . . 8 (𝜑 → -1 ≤ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
6748, 66eqbrtrrid 5067 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 − 1) ≤ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
68 0red 10636 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
6968, 34, 32lesubaddd 11229 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0 − 1) ≤ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ↔ 0 ≤ ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1)))
7067, 69mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1))
7120nnred 11643 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
72 peano2rem 10945 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
7371, 72syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
7465simprd 499 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ≤ 1)
75 df-2 11691 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
7623a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
775eldifad 3893 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
78 prmuz2 16033 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
79 eluzle 12247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑃)
8077, 78, 793syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ 𝑃)
81 eldifsni 4683 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
825, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ≠ 2)
8376, 71, 80, 82leneltd 10786 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 < 𝑃)
8475, 83eqbrtrrid 5067 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 + 1) < 𝑃)
8534, 34, 71ltaddsubd 11232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 + 1) < 𝑃 ↔ 1 < (𝑃 − 1)))
8684, 85mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < (𝑃 − 1))
8732, 34, 73, 74, 86lelttrd 10790 . . . . . . 7 (𝜑 → (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) < (𝑃 − 1))
8832, 34, 71ltaddsubd 11232 . . . . . . 7 (𝜑 → (((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) < 𝑃 ↔ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) < (𝑃 − 1)))
8987, 88mpbird 260 . . . . . 6 (𝜑 → ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) < 𝑃)
90 modid 13262 . . . . . 6 (((((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) ∧ ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) < 𝑃)) → (((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) mod 𝑃) = ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1))
9147, 35, 70, 89, 90syl22anc 837 . . . . 5 (𝜑 → (((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) mod 𝑃) = ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1))
9245, 91eqtrd 2833 . . . 4 (𝜑 → (((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1))
9392oveq1d 7151 . . 3 (𝜑 → ((((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) − 1))
9432recnd 10661 . . . 4 (𝜑 → (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℂ)
95 pncan 10884 . . . 4 (((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) − 1) = (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
9694, 52, 95sylancl 589 . . 3 (𝜑 → (((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) − 1) = (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
9793, 96eqtrd 2833 . 2 (𝜑 → ((((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
987, 97eqtrd 2833 1 (𝜑 → (𝑄 /L 𝑃) = (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ∖ cdif 3878  {csn 4525   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667   ≤ cle 10668   − cmin 10862  -cneg 10863   / cdiv 11289  ℕcn 11628  2c2 11683  ℤcz 11972  ℤ≥cuz 12234  ℝ+crp 12380  ...cfz 12888  ⌊cfl 13158   mod cmo 13235  ↑cexp 13428  abscabs 14588  Σcsu 15037  ℙcprime 16008  mulGrpcmgp 19236  ℤRHomczrh 20198  ℤ/nℤczn 20201   /L clgs 25888 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-tpos 7878  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-ec 8277  df-qs 8281  df-map 8394  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-sup 8893  df-inf 8894  df-oi 8961  df-dju 9317  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-xnn0 11959  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-q 12340  df-rp 12381  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-mod 13236  df-seq 13368  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-dvds 15603  df-gcd 15837  df-prm 16009  df-phi 16096  df-pc 16167  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-imas 16776  df-qus 16777  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-nsg 18273  df-eqg 18274  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-rnghom 19467  df-drng 19501  df-field 19502  df-subrg 19530  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-lidl 19943  df-rsp 19944  df-2idl 20002  df-nzr 20028  df-rlreg 20053  df-domn 20054  df-idom 20055  df-cnfld 20096  df-zring 20168  df-zrh 20202  df-zn 20205  df-lgs 25889 This theorem is referenced by:  lgsquadlem2  25975
 Copyright terms: Public domain W3C validator