MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgseisen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgseisen 26882
Description: Eisenstein's lemma, an expression for (๐‘ƒ /L ๐‘„) when ๐‘ƒ, ๐‘„ are distinct odd primes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
lgseisen.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
lgseisen.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„)
Assertion
Ref Expression
lgseisen (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ /L ๐‘ƒ) = (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘„

Proof of Theorem lgseisen
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgseisen.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
21eldifad 3961 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„™)
3 prmz 16612 . . . 4 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
42, 3syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
5 lgseisen.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
6 lgsval3 26818 . . 3 ((๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (๐‘„ /L ๐‘ƒ) = ((((๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆ’ 1))
74, 5, 6syl2anc 585 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ /L ๐‘ƒ) = ((((๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆ’ 1))
81gausslemma2dlem0a 26859 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„•)
9 oddprm 16743 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
105, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
1110nnnn0d 12532 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
128, 11nnexpcld 14208 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„•)
1312nnred 12227 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„)
14 neg1rr 12327 . . . . . . . 8 -1 โˆˆ โ„
1514a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„)
16 neg1ne0 12328 . . . . . . . 8 -1 โ‰  0
1716a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -1 โ‰  0)
18 fzfid 13938 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ Fin)
198nnred 12227 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
205gausslemma2dlem0a 26859 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2119, 20nndivred 12266 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
2221adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘„ / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
23 2re 12286 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„
24 elfznn 13530 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
2524adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
2625nnred 12227 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
27 remulcl 11195 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
2823, 26, 27sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
2922, 28remulcld 11244 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
3029flcld 13763 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ค)
3118, 30fsumzcl 15681 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ค)
3215, 17, 31reexpclzd 14212 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„)
33 1re 11214 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
3433a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
3520nnrpd 13014 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
36 lgseisen.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„)
37 eqid 2733 . . . . . . 7 ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ)
38 eqid 2733 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ ((((-1โ†‘((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ)) ยท ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) / 2)) = (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ ((((-1โ†‘((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ)) ยท ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) / 2))
39 eqid 2733 . . . . . . 7 ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฆ)) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฆ)) mod ๐‘ƒ)
40 eqid 2733 . . . . . . 7 (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘ƒ) = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘ƒ)
41 eqid 2733 . . . . . . 7 (mulGrpโ€˜(โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘ƒ)) = (mulGrpโ€˜(โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘ƒ))
42 eqid 2733 . . . . . . 7 (โ„คRHomโ€˜(โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘ƒ)) = (โ„คRHomโ€˜(โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘ƒ))
435, 1, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42lgseisenlem4 26881 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ) = ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) mod ๐‘ƒ))
44 modadd1 13873 . . . . . 6 ((((๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ โˆง (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„) โˆง (1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง ((๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ) = ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) mod ๐‘ƒ)) โ†’ (((๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) mod ๐‘ƒ))
4513, 32, 34, 35, 43, 44syl221anc 1382 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) mod ๐‘ƒ))
46 peano2re 11387 . . . . . . 7 ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„ โ†’ ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) โˆˆ โ„)
4732, 46syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) โˆˆ โ„)
48 df-neg 11447 . . . . . . . 8 -1 = (0 โˆ’ 1)
49 neg1cn 12326 . . . . . . . . . . . . 13 -1 โˆˆ โ„‚
50 absexpz 15252 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โ‰  0 โˆง ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜(-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ))))) = ((absโ€˜-1)โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))))
5149, 16, 31, 50mp3an12i 1466 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ))))) = ((absโ€˜-1)โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))))
52 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 โˆˆ โ„‚
5352absnegi 15347 . . . . . . . . . . . . . . 15 (absโ€˜-1) = (absโ€˜1)
54 abs1 15244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (absโ€˜1) = 1
5553, 54eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 (absโ€˜-1) = 1
5655oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . 13 ((absโ€˜-1)โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) = (1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ))))
57 1exp 14057 . . . . . . . . . . . . . 14 (ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) = 1)
5831, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) = 1)
5956, 58eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜-1)โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) = 1)
6051, 59eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ))))) = 1)
61 1le1 11842 . . . . . . . . . . 11 1 โ‰ค 1
6260, 61eqbrtrdi 5188 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ))))) โ‰ค 1)
63 absle 15262 . . . . . . . . . . 11 (((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜(-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ))))) โ‰ค 1 โ†” (-1 โ‰ค (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โˆง (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ‰ค 1)))
6432, 33, 63sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ))))) โ‰ค 1 โ†” (-1 โ‰ค (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โˆง (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ‰ค 1)))
6562, 64mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (-1 โ‰ค (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โˆง (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ‰ค 1))
6665simpld 496 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -1 โ‰ค (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))))
6748, 66eqbrtrrid 5185 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆ’ 1) โ‰ค (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))))
68 0red 11217 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
6968, 34, 32lesubaddd 11811 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((0 โˆ’ 1) โ‰ค (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ†” 0 โ‰ค ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1)))
7067, 69mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1))
7120nnred 12227 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
72 peano2rem 11527 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
7371, 72syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
7465simprd 497 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ‰ค 1)
75 df-2 12275 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
7623a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
775eldifad 3961 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
78 prmuz2 16633 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
79 eluzle 12835 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘ƒ)
8077, 78, 793syl 18 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค ๐‘ƒ)
81 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โ‰  2)
825, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  2)
8376, 71, 80, 82leneltd 11368 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 < ๐‘ƒ)
8475, 83eqbrtrrid 5185 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 + 1) < ๐‘ƒ)
8534, 34, 71ltaddsubd 11814 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((1 + 1) < ๐‘ƒ โ†” 1 < (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
8684, 85mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 < (๐‘ƒ โˆ’ 1))
8732, 34, 73, 74, 86lelttrd 11372 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) < (๐‘ƒ โˆ’ 1))
8832, 34, 71ltaddsubd 11814 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) < ๐‘ƒ โ†” (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) < (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
8987, 88mpbird 257 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) < ๐‘ƒ)
90 modid 13861 . . . . . 6 (((((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) โˆง ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) < ๐‘ƒ)) โ†’ (((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) mod ๐‘ƒ) = ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1))
9147, 35, 70, 89, 90syl22anc 838 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) mod ๐‘ƒ) = ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1))
9245, 91eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = ((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1))
9392oveq1d 7424 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆ’ 1) = (((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) โˆ’ 1))
9432recnd 11242 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„‚)
95 pncan 11466 . . . 4 (((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) โˆ’ 1) = (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))))
9694, 52, 95sylancl 587 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) + 1) โˆ’ 1) = (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))))
9793, 96eqtrd 2773 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘„โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆ’ 1) = (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))))
987, 97eqtrd 2773 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ /L ๐‘ƒ) = (-1โ†‘ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(โŒŠโ€˜((๐‘„ / ๐‘ƒ) ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   โˆ– cdif 3946  {csn 4629   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  โ„+crp 12974  ...cfz 13484  โŒŠcfl 13755   mod cmo 13834  โ†‘cexp 14027  abscabs 15181  ฮฃcsu 15632  โ„™cprime 16608  mulGrpcmgp 19987  โ„คRHomczrh 21049  โ„ค/nโ„คczn 21052   /L clgs 26797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-phi 16699  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-imas 17454  df-qus 17455  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-nzr 20292  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-field 20360  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-2idl 20857  df-rlreg 20899  df-domn 20900  df-idom 20901  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zn 21056  df-lgs 26798
This theorem is referenced by:  lgsquadlem2  26884
  Copyright terms: Public domain W3C validator