MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgseisen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgseisen 26527
Description: Eisenstein's lemma, an expression for (𝑃 /L 𝑄) when 𝑃, 𝑄 are distinct odd primes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.2 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.3 (𝜑𝑃𝑄)
Assertion
Ref Expression
lgseisen (𝜑 → (𝑄 /L 𝑃) = (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑄

Proof of Theorem lgseisen
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgseisen.2 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
21eldifad 3899 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ ℙ)
3 prmz 16380 . . . 4 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
5 lgseisen.1 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
6 lgsval3 26463 . . 3 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑄 /L 𝑃) = ((((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1))
74, 5, 6syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑄 /L 𝑃) = ((((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1))
81gausslemma2dlem0a 26504 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
9 oddprm 16511 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
105, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
1110nnnn0d 12293 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
128, 11nnexpcld 13960 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℕ)
1312nnred 11988 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
14 neg1rr 12088 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
16 neg1ne0 12089 . . . . . . . 8 -1 ≠ 0
1716a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → -1 ≠ 0)
18 fzfid 13693 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin)
198nnred 11988 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
205gausslemma2dlem0a 26504 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
2119, 20nndivred 12027 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
2221adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
23 2re 12047 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
24 elfznn 13285 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℕ)
2524adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℕ)
2625nnred 11988 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ)
27 remulcl 10956 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
2823, 26, 27sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
2922, 28remulcld 11005 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
3029flcld 13518 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ)
3118, 30fsumzcl 15447 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ)
3215, 17, 31reexpclzd 13964 . . . . . 6 (𝜑 → (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℝ)
33 1re 10975 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3520nnrpd 12770 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
36 lgseisen.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑃𝑄)
37 eqid 2738 . . . . . . 7 ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
38 eqid 2738 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)) · ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)) mod 𝑃) / 2)) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)) · ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)) mod 𝑃) / 2))
39 eqid 2738 . . . . . . 7 ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃)
40 eqid 2738 . . . . . . 7 (ℤ/nℤ‘𝑃) = (ℤ/nℤ‘𝑃)
41 eqid 2738 . . . . . . 7 (mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
42 eqid 2738 . . . . . . 7 (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑃)) = (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑃))
435, 1, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42lgseisenlem4 26526 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) mod 𝑃))
44 modadd1 13628 . . . . . 6 ((((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ ∧ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℝ) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) mod 𝑃)) → (((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = (((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) mod 𝑃))
4513, 32, 34, 35, 43, 44syl221anc 1380 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = (((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) mod 𝑃))
46 peano2re 11148 . . . . . . 7 ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℝ → ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) ∈ ℝ)
4732, 46syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) ∈ ℝ)
48 df-neg 11208 . . . . . . . 8 -1 = (0 − 1)
49 neg1cn 12087 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ ℂ
50 absexpz 15017 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ) → (abs‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = ((abs‘-1)↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
5149, 16, 31, 50mp3an12i 1464 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = ((abs‘-1)↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
52 ax-1cn 10929 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
5352absnegi 15112 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs‘-1) = (abs‘1)
54 abs1 15009 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs‘1) = 1
5553, 54eqtri 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘-1) = 1
5655oveq1i 7285 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘-1)↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) = (1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))
57 1exp 13812 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ → (1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) = 1)
5831, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) = 1)
5956, 58eqtrid 2790 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((abs‘-1)↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) = 1)
6051, 59eqtrd 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = 1)
61 1le1 11603 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 1
6260, 61eqbrtrdi 5113 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) ≤ 1)
63 absle 15027 . . . . . . . . . . 11 (((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∧ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ≤ 1)))
6432, 33, 63sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∧ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ≤ 1)))
6562, 64mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1 ≤ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∧ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ≤ 1))
6665simpld 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → -1 ≤ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
6748, 66eqbrtrrid 5110 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 − 1) ≤ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
68 0red 10978 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
6968, 34, 32lesubaddd 11572 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0 − 1) ≤ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ↔ 0 ≤ ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1)))
7067, 69mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1))
7120nnred 11988 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
72 peano2rem 11288 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
7371, 72syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
7465simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ≤ 1)
75 df-2 12036 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
7623a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
775eldifad 3899 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
78 prmuz2 16401 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
79 eluzle 12595 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑃)
8077, 78, 793syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ 𝑃)
81 eldifsni 4723 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
825, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ≠ 2)
8376, 71, 80, 82leneltd 11129 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 < 𝑃)
8475, 83eqbrtrrid 5110 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 + 1) < 𝑃)
8534, 34, 71ltaddsubd 11575 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 + 1) < 𝑃 ↔ 1 < (𝑃 − 1)))
8684, 85mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < (𝑃 − 1))
8732, 34, 73, 74, 86lelttrd 11133 . . . . . . 7 (𝜑 → (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) < (𝑃 − 1))
8832, 34, 71ltaddsubd 11575 . . . . . . 7 (𝜑 → (((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) < 𝑃 ↔ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) < (𝑃 − 1)))
8987, 88mpbird 256 . . . . . 6 (𝜑 → ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) < 𝑃)
90 modid 13616 . . . . . 6 (((((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) ∧ ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) < 𝑃)) → (((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) mod 𝑃) = ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1))
9147, 35, 70, 89, 90syl22anc 836 . . . . 5 (𝜑 → (((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) mod 𝑃) = ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1))
9245, 91eqtrd 2778 . . . 4 (𝜑 → (((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1))
9392oveq1d 7290 . . 3 (𝜑 → ((((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) − 1))
9432recnd 11003 . . . 4 (𝜑 → (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℂ)
95 pncan 11227 . . . 4 (((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) − 1) = (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
9694, 52, 95sylancl 586 . . 3 (𝜑 → (((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 1) − 1) = (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
9793, 96eqtrd 2778 . 2 (𝜑 → ((((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
987, 97eqtrd 2778 1 (𝜑 → (𝑄 /L 𝑃) = (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  cdif 3884  {csn 4561   class class class wbr 5074  cmpt 5157  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  cn 11973  2c2 12028  cz 12319  cuz 12582  +crp 12730  ...cfz 13239  cfl 13510   mod cmo 13589  cexp 13782  abscabs 14945  Σcsu 15397  cprime 16376  mulGrpcmgp 19720  ℤRHomczrh 20701  ℤ/nczn 20704   /L clgs 26442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-phi 16467  df-pc 16538  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-imas 17219  df-qus 17220  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-nsg 18753  df-eqg 18754  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-rnghom 19959  df-drng 19993  df-field 19994  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-lidl 20436  df-rsp 20437  df-2idl 20503  df-nzr 20529  df-rlreg 20554  df-domn 20555  df-idom 20556  df-cnfld 20598  df-zring 20671  df-zrh 20705  df-zn 20708  df-lgs 26443
This theorem is referenced by:  lgsquadlem2  26529
  Copyright terms: Public domain W3C validator