Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1lt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1lt0 24702
 Description: A polynomial is zero iff it has negative degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1z.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1z.z 0 = (0g𝑃)
deg1nn0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
deg1lt0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷𝐹) < 0 ↔ 𝐹 = 0 ))

Proof of Theorem deg1lt0
StepHypRef Expression
1 deg1z.d . . . . . 6 𝐷 = ( deg1𝑅)
2 deg1z.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 deg1z.z . . . . . 6 0 = (0g𝑃)
4 deg1nn0cl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑃)
51, 2, 3, 4deg1nn0cl 24699 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
6 nn0nlt0 11914 . . . . 5 ((𝐷𝐹) ∈ ℕ0 → ¬ (𝐷𝐹) < 0)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → ¬ (𝐷𝐹) < 0)
873expia 1118 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹0 → ¬ (𝐷𝐹) < 0))
98necon4ad 3006 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷𝐹) < 0 → 𝐹 = 0 ))
101, 2, 3deg1z 24698 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (𝐷0 ) = -∞)
11 mnflt0 12511 . . . . 5 -∞ < 0
1210, 11eqbrtrdi 5070 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝐷0 ) < 0)
1312adantr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐷0 ) < 0)
14 fveq2 6646 . . . 4 (𝐹 = 0 → (𝐷𝐹) = (𝐷0 ))
1514breq1d 5041 . . 3 (𝐹 = 0 → ((𝐷𝐹) < 0 ↔ (𝐷0 ) < 0))
1613, 15syl5ibrcom 250 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹 = 0 → (𝐷𝐹) < 0))
179, 16impbid 215 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷𝐹) < 0 ↔ 𝐹 = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5031  ‘cfv 6325  0cc0 10529  -∞cmnf 10665   < clt 10667  ℕ0cn0 11888  Basecbs 16478  0gc0g 16708  Ringcrg 19294  Poly1cpl1 20816   deg1 cdg1 24665 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-sup 8893  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-hash 13690  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-subg 18272  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-cnfld 20096  df-psr 20600  df-mpl 20602  df-opsr 20604  df-psr1 20819  df-ply1 20821  df-mdeg 24666  df-deg1 24667 This theorem is referenced by:  hbtlem5  40115
 Copyright terms: Public domain W3C validator