Theorem deg1lt0 24679

Description: A polynomial is zero iff it has negative degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1z.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1nn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1lt0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) < 0 ↔ 𝐹 = 0 ))

Proof of Theorem deg1lt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1z.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
2		deg1z.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		deg1z.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
4		deg1nn0cl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	1, 2, 3, 4	deg1nn0cl 24676	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
6		nn0nlt0 11917	. . . . 5 ⊢ ((𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 → ¬ (𝐷‘𝐹) < 0)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ¬ (𝐷‘𝐹) < 0)
8	7	3expia 1117	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 ≠ 0 → ¬ (𝐷‘𝐹) < 0))
9	8	necon4ad 3035	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) < 0 → 𝐹 = 0 ))
10	1, 2, 3	deg1z 24675	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘ 0 ) = -∞)
11		mnflt0 12514	. . . . 5 ⊢ -∞ < 0
12	10, 11	eqbrtrdi 5098	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘ 0 ) < 0)
13	12	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐷‘ 0 ) < 0)
14		fveq2 6665	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0 → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘ 0 ))
15	14	breq1d 5069	. . 3 ⊢ (𝐹 = 0 → ((𝐷‘𝐹) < 0 ↔ (𝐷‘ 0 ) < 0))
16	13, 15	syl5ibrcom 249	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 = 0 → (𝐷‘𝐹) < 0))
17	9, 16	impbid 214	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) < 0 ↔ 𝐹 = 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5059  ‘cfv 6350  0cc0 10531  -∞cmnf 10667   < clt 10669  ℕ₀cn0 11891  Basecbs 16477  0_gc0g 16707  Ringcrg 19291  Poly₁cpl1 20339   deg₁ cdg1 24642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-hash 13685  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-subg 18270  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-cring 19294  df-psr 20130  df-mpl 20132  df-opsr 20134  df-psr1 20342  df-ply1 20344  df-cnfld 20540  df-mdeg 24643  df-deg1 24644

This theorem is referenced by:  hbtlem5  39721