MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1lt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1lt0 25252
Description: A polynomial is zero iff it has negative degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1z.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1z.z 0 = (0g𝑃)
deg1nn0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
deg1lt0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷𝐹) < 0 ↔ 𝐹 = 0 ))

Proof of Theorem deg1lt0
StepHypRef Expression
1 deg1z.d . . . . . 6 𝐷 = ( deg1𝑅)
2 deg1z.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 deg1z.z . . . . . 6 0 = (0g𝑃)
4 deg1nn0cl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑃)
51, 2, 3, 4deg1nn0cl 25249 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
6 nn0nlt0 12257 . . . . 5 ((𝐷𝐹) ∈ ℕ0 → ¬ (𝐷𝐹) < 0)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → ¬ (𝐷𝐹) < 0)
873expia 1120 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹0 → ¬ (𝐷𝐹) < 0))
98necon4ad 2964 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷𝐹) < 0 → 𝐹 = 0 ))
101, 2, 3deg1z 25248 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (𝐷0 ) = -∞)
11 mnflt0 12858 . . . . 5 -∞ < 0
1210, 11eqbrtrdi 5118 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝐷0 ) < 0)
1312adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐷0 ) < 0)
14 fveq2 6769 . . . 4 (𝐹 = 0 → (𝐷𝐹) = (𝐷0 ))
1514breq1d 5089 . . 3 (𝐹 = 0 → ((𝐷𝐹) < 0 ↔ (𝐷0 ) < 0))
1613, 15syl5ibrcom 246 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹 = 0 → (𝐷𝐹) < 0))
179, 16impbid 211 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → ((𝐷𝐹) < 0 ↔ 𝐹 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945   class class class wbr 5079  cfv 6431  0cc0 10870  -∞cmnf 11006   < clt 11008  0cn0 12231  Basecbs 16908  0gc0g 17146  Ringcrg 19779  Poly1cpl1 21344   deg1 cdg1 25212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-addf 10949  ax-mulf 10950
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-supp 7967  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-map 8598  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-fsupp 9105  df-sup 9177  df-oi 9245  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-9 12041  df-n0 12232  df-z 12318  df-dec 12435  df-uz 12580  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-seq 13718  df-hash 14041  df-struct 16844  df-sets 16861  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-ress 16938  df-plusg 16971  df-mulr 16972  df-starv 16973  df-sca 16974  df-vsca 16975  df-tset 16977  df-ple 16978  df-ds 16980  df-unif 16981  df-0g 17148  df-gsum 17149  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-submnd 18427  df-grp 18576  df-minusg 18577  df-subg 18748  df-cntz 18919  df-cmn 19384  df-abl 19385  df-mgp 19717  df-ur 19734  df-ring 19781  df-cring 19782  df-cnfld 20594  df-psr 21108  df-mpl 21110  df-opsr 21112  df-psr1 21347  df-ply1 21349  df-mdeg 25213  df-deg1 25214
This theorem is referenced by:  hbtlem5  40948
  Copyright terms: Public domain W3C validator