Theorem deg1lt0 25161

Description: A polynomial is zero iff it has negative degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1z.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1nn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1lt0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) < 0 ↔ 𝐹 = 0 ))

Proof of Theorem deg1lt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1z.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
2		deg1z.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		deg1z.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
4		deg1nn0cl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	1, 2, 3, 4	deg1nn0cl 25158	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
6		nn0nlt0 12189	. . . . 5 ⊢ ((𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 → ¬ (𝐷‘𝐹) < 0)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ¬ (𝐷‘𝐹) < 0)
8	7	3expia 1119	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 ≠ 0 → ¬ (𝐷‘𝐹) < 0))
9	8	necon4ad 2961	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) < 0 → 𝐹 = 0 ))
10	1, 2, 3	deg1z 25157	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘ 0 ) = -∞)
11		mnflt0 12790	. . . . 5 ⊢ -∞ < 0
12	10, 11	eqbrtrdi 5109	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘ 0 ) < 0)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐷‘ 0 ) < 0)
14		fveq2 6756	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0 → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘ 0 ))
15	14	breq1d 5080	. . 3 ⊢ (𝐹 = 0 → ((𝐷‘𝐹) < 0 ↔ (𝐷‘ 0 ) < 0))
16	13, 15	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 = 0 → (𝐷‘𝐹) < 0))
17	9, 16	impbid 211	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) < 0 ↔ 𝐹 = 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  0cc0 10802  -∞cmnf 10938   < clt 10940  ℕ₀cn0 12163  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  Ringcrg 19698  Poly₁cpl1 21258   deg₁ cdg1 25121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-cnfld 20511  df-psr 21022  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-psr1 21261  df-ply1 21263  df-mdeg 25122  df-deg1 25123

This theorem is referenced by:  hbtlem5  40869