Theorem eulerpartlemsv2 34542

Description: Lemma for eulerpart 34566. Value of the sum of a finite partition 𝐴 (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpartlems.r	⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpartlems.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemsv2	⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑅,𝑓,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem eulerpartlemsv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpartlems.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2		eulerpartlems.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))
3	1, 2	eulerpartlemsv1 34540	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
4		cnvimass 6051	. . . 4 ⊢ (◡𝐴 “ ℕ) ⊆ dom 𝐴
5	1, 2	eulerpartlemelr 34541	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
6	5	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
7	4, 6	fssdm 6691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (◡𝐴 “ ℕ) ⊆ ℕ)
8	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
9	7	sselda 3935	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
10	8, 9	ffvelcdmd 7041	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ0)
11	9	nnnn0d 12476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
12	10, 11	nn0mulcld 12481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 12478	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℂ)
14		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ)))
15	14	eldifad 3915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ ℕ)
16	14	eldifbd 3916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ¬ 𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ))
17	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
18		ffn 6672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → 𝐴 Fn ℕ)
19		elpreima 7014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 Fn ℕ → (𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ)))
20	17, 18, 19	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ)))
21	16, 20	mtbid 324	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ¬ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ))
22		imnan 399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ → ¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ) ↔ ¬ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ))
23	21, 22	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝑘 ∈ ℕ → ¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ))
24	15, 23	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ)
25	17, 15	ffvelcdmd 7041	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ0)
26		elnn0 12417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴‘𝑘) = 0))
27	25, 26	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴‘𝑘) = 0))
28		orel1 889	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ → (((𝐴‘𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴‘𝑘) = 0) → (𝐴‘𝑘) = 0))
29	24, 27, 28	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (𝐴‘𝑘) = 0)
30	29	oveq1d 7385	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = (0 · 𝑘))
31	15	nncnd 12175	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ ℂ)
32	31	mul02d 11345	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → (0 · 𝑘) = 0)
33	30, 32	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (◡𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 0)
34		nnuz 12804	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
35	34	eqimssi 3996	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1)
36	35	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → ℕ ⊆ (ℤ≥‘1))
37	7, 13, 33, 36	sumss 15661	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
38	3, 37	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ (◡𝐴 “ ℕ)((𝐴‘𝑘) · 𝑘))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ∖ cdif 3900   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5633   “ cima 5637   Fn wfn 6497  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ↑_m cmap 8777  Fincfn 8897  0cc0 11040  1c1 11041   · cmul 11045  ℕcn 12159  ℕ₀cn0 12415  ℤ_≥cuz 12765  Σcsu 15623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-rp 12920  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-exp 13999  df-hash 14268  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-clim 15425  df-sum 15624

This theorem is referenced by:  eulerpartlemsf  34543  eulerpartlemgs2  34564