Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemsv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemsv2 31792
 Description: Lemma for eulerpart 31816. Value of the sum of a finite partition 𝐴 (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpartlems.s 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemsv2 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆𝐴) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑅,𝑓,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem eulerpartlemsv2
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.r . . 3 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2 eulerpartlems.s . . 3 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘))
31, 2eulerpartlemsv1 31790 . 2 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘))
4 cnvimass 5920 . . . 4 (𝐴 “ ℕ) ⊆ dom 𝐴
51, 2eulerpartlemelr 31791 . . . . 5 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
65simpld 498 . . . 4 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
74, 6fssdm 6512 . . 3 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐴 “ ℕ) ⊆ ℕ)
86adantr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
97sselda 3917 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
108, 9ffvelrnd 6839 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → (𝐴𝑘) ∈ ℕ0)
119nnnn0d 11963 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1210, 11nn0mulcld 11968 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → ((𝐴𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
1312nn0cnd 11965 . . 3 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)) → ((𝐴𝑘) · 𝑘) ∈ ℂ)
14 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ)))
1514eldifad 3895 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ ℕ)
1614eldifbd 3896 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ¬ 𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ))
176adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
18 ffn 6495 . . . . . . . . . 10 (𝐴:ℕ⟶ℕ0𝐴 Fn ℕ)
19 elpreima 6815 . . . . . . . . . 10 (𝐴 Fn ℕ → (𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℕ)))
2017, 18, 193syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → (𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℕ)))
2116, 20mtbid 327 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ¬ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℕ))
22 imnan 403 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ → ¬ (𝐴𝑘) ∈ ℕ) ↔ ¬ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℕ))
2321, 22sylibr 237 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → (𝑘 ∈ ℕ → ¬ (𝐴𝑘) ∈ ℕ))
2415, 23mpd 15 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ¬ (𝐴𝑘) ∈ ℕ)
2517, 15ffvelrnd 6839 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → (𝐴𝑘) ∈ ℕ0)
26 elnn0 11905 . . . . . . 7 ((𝐴𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐴𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴𝑘) = 0))
2725, 26sylib 221 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴𝑘) = 0))
28 orel1 886 . . . . . 6 (¬ (𝐴𝑘) ∈ ℕ → (((𝐴𝑘) ∈ ℕ ∨ (𝐴𝑘) = 0) → (𝐴𝑘) = 0))
2924, 27, 28sylc 65 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → (𝐴𝑘) = 0)
3029oveq1d 7160 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴𝑘) · 𝑘) = (0 · 𝑘))
3115nncnd 11659 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → 𝑘 ∈ ℂ)
3231mul02d 10845 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → (0 · 𝑘) = 0)
3330, 32eqtrd 2833 . . 3 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (𝐴 “ ℕ))) → ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 0)
34 nnuz 12289 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
3534eqimssi 3975 . . . 4 ℕ ⊆ (ℤ‘1)
3635a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → ℕ ⊆ (ℤ‘1))
377, 13, 33, 36sumss 15093 . 2 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘))
383, 37eqtr4d 2836 1 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆𝐴) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 “ ℕ)((𝐴𝑘) · 𝑘))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2776   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883   ↦ cmpt 5114  ◡ccnv 5522   “ cima 5526   Fn wfn 6327  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   ↑m cmap 8407  Fincfn 8510  0cc0 10544  1c1 10545   · cmul 10549  ℕcn 11643  ℕ0cn0 11903  ℤ≥cuz 12251  Σcsu 15054 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-rp 12398  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-seq 13385  df-exp 13446  df-hash 13707  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-clim 14857  df-sum 15055 This theorem is referenced by:  eulerpartlemsf  31793  eulerpartlemgs2  31814
 Copyright terms: Public domain W3C validator