Theorem eulerpartlemsf 34362

Description: Lemma for eulerpart 34385. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpartlems.r	⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpartlems.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemsf	⊢ 𝑆:((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅)⟶ℕ0

Distinct variable group:   𝑓,𝑘,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem eulerpartlemsf

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpartlems.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))
2		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑔 = 𝑓)
3	2	fveq1d 6907	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑔‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
4	3	oveq1d 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑔‘𝑘) · 𝑘) = ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))
5	4	sumeq2dv 15739	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))
6	5	eleq1d 2825	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0))
7		eulerpartlems.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
8	7, 1	eulerpartlemsv2 34361	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝑔) = Σ𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)((𝑔‘𝑘) · 𝑘))
9	7, 1	eulerpartlemsv1 34359	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝑔) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔‘𝑘) · 𝑘))
10	8, 9	eqtr3d 2778	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)((𝑔‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔‘𝑘) · 𝑘))
11	7, 1	eulerpartlemelr 34360	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑔:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝑔 “ ℕ) ∈ Fin))
12	11	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (◡𝑔 “ ℕ) ∈ Fin)
13	11	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → 𝑔:ℕ⟶ℕ0)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)) → 𝑔:ℕ⟶ℕ0)
15		cnvimass 6099	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝑔 “ ℕ) ⊆ dom 𝑔
16	15, 13	fssdm 6754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (◡𝑔 “ ℕ) ⊆ ℕ)
17	16	sselda 3982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
18	14, 17	ffvelcdmd 7104	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)) → (𝑔‘𝑘) ∈ ℕ0)
19	17	nnnn0d 12589	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
20	18, 19	nn0mulcld 12594	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)) → ((𝑔‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
21	12, 20	fsumnn0cl 15773	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)((𝑔‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
22	10, 21	eqeltrrd 2841	. . 3 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
23	6, 22	vtoclga 3576	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
24	1, 23	fmpti 7131	1 ⊢ 𝑆:((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅)⟶ℕ0

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {cab 2713   ∩ cin 3949   ↦ cmpt 5224  ^◡ccnv 5683   “ cima 5687  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ↑_m cmap 8867  Fincfn 8986   · cmul 11161  ℕcn 12267  ℕ₀cn0 12528  Σcsu 15723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724

This theorem is referenced by:  eulerpartlems  34363  eulerpartlemsv3  34364  eulerpartlemgc  34365