Theorem eulerpartlemsf 34379

Description: Lemma for eulerpart 34402. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpartlems.r	⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpartlems.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemsf	⊢ 𝑆:((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅)⟶ℕ0

Distinct variable group:   𝑓,𝑘,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem eulerpartlemsf

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpartlems.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))
2		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑔 = 𝑓)
3	2	fveq1d 6830	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑔‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
4	3	oveq1d 7367	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑔‘𝑘) · 𝑘) = ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))
5	4	sumeq2dv 15615	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))
6	5	eleq1d 2816	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0))
7		eulerpartlems.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
8	7, 1	eulerpartlemsv2 34378	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝑔) = Σ𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)((𝑔‘𝑘) · 𝑘))
9	7, 1	eulerpartlemsv1 34376	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝑔) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔‘𝑘) · 𝑘))
10	8, 9	eqtr3d 2768	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)((𝑔‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔‘𝑘) · 𝑘))
11	7, 1	eulerpartlemelr 34377	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑔:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝑔 “ ℕ) ∈ Fin))
12	11	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (◡𝑔 “ ℕ) ∈ Fin)
13	11	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → 𝑔:ℕ⟶ℕ0)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)) → 𝑔:ℕ⟶ℕ0)
15		cnvimass 6036	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝑔 “ ℕ) ⊆ dom 𝑔
16	15, 13	fssdm 6676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (◡𝑔 “ ℕ) ⊆ ℕ)
17	16	sselda 3929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
18	14, 17	ffvelcdmd 7024	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)) → (𝑔‘𝑘) ∈ ℕ0)
19	17	nnnn0d 12448	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
20	18, 19	nn0mulcld 12453	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)) → ((𝑔‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
21	12, 20	fsumnn0cl 15649	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)((𝑔‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
22	10, 21	eqeltrrd 2832	. . 3 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
23	6, 22	vtoclga 3528	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
24	1, 23	fmpti 7051	1 ⊢ 𝑆:((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅)⟶ℕ0

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709   ∩ cin 3896   ↦ cmpt 5174  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352   ↑_m cmap 8756  Fincfn 8875   · cmul 11017  ℕcn 12131  ℕ₀cn0 12387  Σcsu 15599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9537  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-rp 12897  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-seq 13915  df-exp 13975  df-hash 14244  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-clim 15401  df-sum 15600

This theorem is referenced by:  eulerpartlems  34380  eulerpartlemsv3  34381  eulerpartlemgc  34382