Theorem eulerpartlemsf 34362

Description: Lemma for eulerpart 34385. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpartlems.r	⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpartlems.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemsf	⊢ 𝑆:((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅)⟶ℕ0

Distinct variable group:   𝑓,𝑘,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem eulerpartlemsf

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpartlems.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))
2		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑔 = 𝑓)
3	2	fveq1d 6819	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑔‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
4	3	oveq1d 7356	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑔‘𝑘) · 𝑘) = ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))
5	4	sumeq2dv 15601	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))
6	5	eleq1d 2814	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0))
7		eulerpartlems.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
8	7, 1	eulerpartlemsv2 34361	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝑔) = Σ𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)((𝑔‘𝑘) · 𝑘))
9	7, 1	eulerpartlemsv1 34359	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝑔) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔‘𝑘) · 𝑘))
10	8, 9	eqtr3d 2767	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)((𝑔‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔‘𝑘) · 𝑘))
11	7, 1	eulerpartlemelr 34360	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑔:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝑔 “ ℕ) ∈ Fin))
12	11	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (◡𝑔 “ ℕ) ∈ Fin)
13	11	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → 𝑔:ℕ⟶ℕ0)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)) → 𝑔:ℕ⟶ℕ0)
15		cnvimass 6028	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝑔 “ ℕ) ⊆ dom 𝑔
16	15, 13	fssdm 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (◡𝑔 “ ℕ) ⊆ ℕ)
17	16	sselda 3932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
18	14, 17	ffvelcdmd 7013	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)) → (𝑔‘𝑘) ∈ ℕ0)
19	17	nnnn0d 12434	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
20	18, 19	nn0mulcld 12439	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)) → ((𝑔‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
21	12, 20	fsumnn0cl 15635	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)((𝑔‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
22	10, 21	eqeltrrd 2830	. . 3 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
23	6, 22	vtoclga 3530	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
24	1, 23	fmpti 7040	1 ⊢ 𝑆:((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅)⟶ℕ0

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  {cab 2708   ∩ cin 3899   ↦ cmpt 5170  ^◡ccnv 5613   “ cima 5617  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341   ↑_m cmap 8745  Fincfn 8864   · cmul 11003  ℕcn 12117  ℕ₀cn0 12373  Σcsu 15585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-oi 9391  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-rp 12883  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-seq 13901  df-exp 13961  df-hash 14230  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-clim 15387  df-sum 15586

This theorem is referenced by:  eulerpartlems  34363  eulerpartlemsv3  34364  eulerpartlemgc  34365