Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemsf 31605
 Description: Lemma for eulerpart 31628. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpartlems.s 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemsf 𝑆:((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅)⟶ℕ0
Distinct variable group:   𝑓,𝑘,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem eulerpartlemsf
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.s . 2 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘))
2 simpl 485 . . . . . . 7 ((𝑔 = 𝑓𝑘 ∈ ℕ) → 𝑔 = 𝑓)
32fveq1d 6665 . . . . . 6 ((𝑔 = 𝑓𝑘 ∈ ℕ) → (𝑔𝑘) = (𝑓𝑘))
43oveq1d 7163 . . . . 5 ((𝑔 = 𝑓𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑔𝑘) · 𝑘) = ((𝑓𝑘) · 𝑘))
54sumeq2dv 15052 . . . 4 (𝑔 = 𝑓 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘))
65eleq1d 2895 . . 3 (𝑔 = 𝑓 → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0))
7 eulerpartlems.r . . . . . 6 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
87, 1eulerpartlemsv2 31604 . . . . 5 (𝑔 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆𝑔) = Σ𝑘 ∈ (𝑔 “ ℕ)((𝑔𝑘) · 𝑘))
97, 1eulerpartlemsv1 31602 . . . . 5 (𝑔 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆𝑔) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔𝑘) · 𝑘))
108, 9eqtr3d 2856 . . . 4 (𝑔 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ (𝑔 “ ℕ)((𝑔𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔𝑘) · 𝑘))
117, 1eulerpartlemelr 31603 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑔:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝑔 “ ℕ) ∈ Fin))
1211simprd 498 . . . . 5 (𝑔 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑔 “ ℕ) ∈ Fin)
1311simpld 497 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → 𝑔:ℕ⟶ℕ0)
1413adantr 483 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (𝑔 “ ℕ)) → 𝑔:ℕ⟶ℕ0)
15 cnvimass 5942 . . . . . . . . 9 (𝑔 “ ℕ) ⊆ dom 𝑔
1615, 13fssdm 6523 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑔 “ ℕ) ⊆ ℕ)
1716sselda 3965 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (𝑔 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1814, 17ffvelrnd 6845 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (𝑔 “ ℕ)) → (𝑔𝑘) ∈ ℕ0)
1917nnnn0d 11947 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (𝑔 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2018, 19nn0mulcld 11952 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (𝑔 “ ℕ)) → ((𝑔𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
2112, 20fsumnn0cl 15085 . . . 4 (𝑔 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ (𝑔 “ ℕ)((𝑔𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
2210, 21eqeltrrd 2912 . . 3 (𝑔 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
236, 22vtoclga 3572 . 2 (𝑓 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
241, 23fmpti 6869 1 𝑆:((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅)⟶ℕ0
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  {cab 2797   ∩ cin 3933   ↦ cmpt 5137  ◡ccnv 5547   “ cima 5551  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ↑m cmap 8398  Fincfn 8501   · cmul 10534  ℕcn 11630  ℕ0cn0 11889  Σcsu 15034 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035 This theorem is referenced by:  eulerpartlems  31606  eulerpartlemsv3  31607  eulerpartlemgc  31608
 Copyright terms: Public domain W3C validator