Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemsf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eulerpartlemsf 34032
Description: Lemma for eulerpart 34055. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
eulerpartlems.s 𝑆 = (𝑓 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemsf 𝑆:((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅)βŸΆβ„•0
Distinct variable group:   𝑓,π‘˜,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,π‘˜)
Proof of Theorem eulerpartlemsf
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.s . 2 𝑆 = (𝑓 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
2 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝑔 = 𝑓 ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑔 = 𝑓)
32fveq1d 6892 . . . . . 6 ((𝑔 = 𝑓 ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘”β€˜π‘˜) = (π‘“β€˜π‘˜))
43oveq1d 7428 . . . . 5 ((𝑔 = 𝑓 ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘”β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
54sumeq2dv 15676 . . . 4 (𝑔 = 𝑓 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘”β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
65eleq1d 2810 . . 3 (𝑔 = 𝑓 β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘”β€˜π‘˜) Β· π‘˜) ∈ β„•0 ↔ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) ∈ β„•0))
7 eulerpartlems.r . . . . . 6 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
87, 1eulerpartlemsv2 34031 . . . . 5 (𝑔 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π‘”) = Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝑔 β€œ β„•)((π‘”β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
97, 1eulerpartlemsv1 34029 . . . . 5 (𝑔 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π‘”) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘”β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
108, 9eqtr3d 2767 . . . 4 (𝑔 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝑔 β€œ β„•)((π‘”β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘”β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
117, 1eulerpartlemelr 34030 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (𝑔:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin))
1211simprd 494 . . . . 5 (𝑔 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (◑𝑔 β€œ β„•) ∈ Fin)
1311simpld 493 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ 𝑔:β„•βŸΆβ„•0)
1413adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (◑𝑔 β€œ β„•)) β†’ 𝑔:β„•βŸΆβ„•0)
15 cnvimass 6081 . . . . . . . . 9 (◑𝑔 β€œ β„•) βŠ† dom 𝑔
1615, 13fssdm 6736 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (◑𝑔 β€œ β„•) βŠ† β„•)
1716sselda 3973 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (◑𝑔 β€œ β„•)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1814, 17ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (◑𝑔 β€œ β„•)) β†’ (π‘”β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
1917nnnn0d 12557 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (◑𝑔 β€œ β„•)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
2018, 19nn0mulcld 12562 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (◑𝑔 β€œ β„•)) β†’ ((π‘”β€˜π‘˜) Β· π‘˜) ∈ β„•0)
2112, 20fsumnn0cl 15709 . . . 4 (𝑔 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (◑𝑔 β€œ β„•)((π‘”β€˜π‘˜) Β· π‘˜) ∈ β„•0)
2210, 21eqeltrrd 2826 . . 3 (𝑔 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘”β€˜π‘˜) Β· π‘˜) ∈ β„•0)
236, 22vtoclga 3557 . 2 (𝑓 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) ∈ β„•0)
241, 23fmpti 7115 1 𝑆:((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅)βŸΆβ„•0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702   ∩ cin 3940   ↦ cmpt 5227  β—‘ccnv 5672   β€œ cima 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   ↑m cmap 8838  Fincfn 8957   Β· cmul 11138  β„•cn 12237  β„•0cn0 12497  Ξ£csu 15659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660
This theorem is referenced by:  eulerpartlems  34033  eulerpartlemsv3  34034  eulerpartlemgc  34035
  Copyright terms: Public domain W3C validator