Theorem eulerpartlemsf 33824

Description: Lemma for eulerpart 33847. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpartlems.r	⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpartlems.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemsf	⊢ 𝑆:((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅)⟶ℕ0

Distinct variable group:   𝑓,𝑘,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem eulerpartlemsf

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpartlems.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))
2		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑔 = 𝑓)
3	2	fveq1d 6893	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑔‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
4	3	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 = 𝑓 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑔‘𝑘) · 𝑘) = ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))
5	4	sumeq2dv 15656	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))
6	5	eleq1d 2817	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0))
7		eulerpartlems.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
8	7, 1	eulerpartlemsv2 33823	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝑔) = Σ𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)((𝑔‘𝑘) · 𝑘))
9	7, 1	eulerpartlemsv1 33821	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝑔) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔‘𝑘) · 𝑘))
10	8, 9	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)((𝑔‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔‘𝑘) · 𝑘))
11	7, 1	eulerpartlemelr 33822	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑔:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝑔 “ ℕ) ∈ Fin))
12	11	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (◡𝑔 “ ℕ) ∈ Fin)
13	11	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → 𝑔:ℕ⟶ℕ0)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)) → 𝑔:ℕ⟶ℕ0)
15		cnvimass 6080	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝑔 “ ℕ) ⊆ dom 𝑔
16	15, 13	fssdm 6737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (◡𝑔 “ ℕ) ⊆ ℕ)
17	16	sselda 3982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
18	14, 17	ffvelcdmd 7087	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)) → (𝑔‘𝑘) ∈ ℕ0)
19	17	nnnn0d 12539	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
20	18, 19	nn0mulcld 12544	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)) → ((𝑔‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
21	12, 20	fsumnn0cl 15689	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ (◡𝑔 “ ℕ)((𝑔‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
22	10, 21	eqeltrrd 2833	. . 3 ⊢ (𝑔 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑔‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
23	6, 22	vtoclga 3566	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℕ0)
24	1, 23	fmpti 7113	1 ⊢ 𝑆:((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅)⟶ℕ0

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cab 2708   ∩ cin 3947   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5675   “ cima 5679  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8945   · cmul 11121  ℕcn 12219  ℕ₀cn0 12479  Σcsu 15639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640

This theorem is referenced by:  eulerpartlems  33825  eulerpartlemsv3  33826  eulerpartlemgc  33827