Theorem expclzlem 14106

Description: Lemma for expclz 14107. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expclzlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0}))

Proof of Theorem expclzlem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4767	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
2		difss 4116	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
3		eldifsn 4767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
4		eldifsn 4767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
5		mulcl 11218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
6	5	ad2ant2r 747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
7		mulne0 11884	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
8		eldifsn 4767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
9	6, 7, 8	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
10	3, 4, 9	syl2anb 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
11		ax-1cn 11192	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		ax-1ne0 11203	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
13		eldifsn 4767	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
14	11, 12, 13	mpbir2an 711	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
15		reccl 11908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
16		recne0 11914	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ≠ 0)
17	15, 16	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑥) ≠ 0))
18		eldifsn 4767	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑥) ≠ 0))
19	17, 3, 18	3imtr4i 292	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
21	2, 10, 14, 20	expcl2lem 14096	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0}))
22	21	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0})))
23	1, 22	sylanbr 582	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0})))
24	23	anabss3 675	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0})))
25	24	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3928  {csn 4606  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  0cc0 11134  1c1 11135   · cmul 11139   / cdiv 11899  ℤcz 12593  ↑cexp 14084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-seq 14025  df-exp 14085

This theorem is referenced by:  expclz  14107  expne0i  14117  expghm  21441