Theorem expclzlem 14250

Description: Lemma for expclz 14251. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expclzlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0}))

Proof of Theorem expclzlem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4748	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
2		difss 4075	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
3		eldifsn 4748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
4		eldifsn 4748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
5		mulcl 11308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
6	5	ad2ant2r 760	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
7		mulne0 11982	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
8		eldifsn 4748	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
9	6, 7, 8	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
10	3, 4, 9	syl2anb 610	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
11		ax-1cn 11282	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		ax-1ne0 11293	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
13		eldifsn 4748	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
14	11, 12, 13	mpbir2an 724	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
15		reccl 12005	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
16		recne0 12011	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ≠ 0)
17	15, 16	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑥) ≠ 0))
18		eldifsn 4748	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑥) ≠ 0))
19	17, 3, 18	3imtr4i 295	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
21	2, 10, 14, 20	expcl2lem 14240	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0}))
22	21	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0})))
23	1, 22	sylanbr 594	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0})))
24	23	anabss3 688	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0})))
25	24	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∖ cdif 4048  {csn 4588  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  0cc0 11224  1c1 11225   · cmul 11229   / cdiv 11997  ℤcz 12717  ↑cexp 14228

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-seq 14169  df-exp 14229

This theorem is used by:  expclz  14251  expne0i  14261  expghm  21808