Theorem expclzlem 14142

Description: Lemma for expclz 14143. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expclzlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0}))

Proof of Theorem expclzlem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4755	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
2		difss 4090	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
3		eldifsn 4755	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
4		eldifsn 4755	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
5		mulcl 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
6	5	ad2ant2r 760	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
7		mulne0 11876	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
8		eldifsn 4755	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
9	6, 7, 8	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
10	3, 4, 9	syl2anb 610	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
11		ax-1cn 11178	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		ax-1ne0 11189	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
13		eldifsn 4755	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
14	11, 12, 13	mpbir2an 724	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
15		reccl 11899	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
16		recne0 11905	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ≠ 0)
17	15, 16	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑥) ≠ 0))
18		eldifsn 4755	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑥) ≠ 0))
19	17, 3, 18	3imtr4i 295	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
21	2, 10, 14, 20	expcl2lem 14132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0}))
22	21	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0})))
23	1, 22	sylanbr 594	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0})))
24	23	anabss3 688	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0})))
25	24	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3903  {csn 4591  (class class class)co 7420  ℂcc 11118  0cc0 11120  1c1 11121   · cmul 11125   / cdiv 11891  ℤcz 12611  ↑cexp 14120

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8701  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-div 11892  df-nn 12254  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12884  df-seq 14061  df-exp 14121

This theorem is used by:  expclz  14143  expne0i  14153  expghm  21680