Theorem expclzlem 14121

Description: Lemma for expclz 14122. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expclzlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0}))

Proof of Theorem expclzlem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4791	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
2		difss 4146	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
3		eldifsn 4791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
4		eldifsn 4791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
5		mulcl 11237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
6	5	ad2ant2r 747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
7		mulne0 11903	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
8		eldifsn 4791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
9	6, 7, 8	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
10	3, 4, 9	syl2anb 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
11		ax-1cn 11211	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		ax-1ne0 11222	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
13		eldifsn 4791	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
14	11, 12, 13	mpbir2an 711	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
15		reccl 11927	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
16		recne0 11933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ≠ 0)
17	15, 16	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑥) ≠ 0))
18		eldifsn 4791	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((1 / 𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑥) ≠ 0))
19	17, 3, 18	3imtr4i 292	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
21	2, 10, 14, 20	expcl2lem 14111	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0}))
22	21	3expia 1120	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0})))
23	1, 22	sylanbr 582	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0})))
24	23	anabss3 675	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0})))
25	24	3impia 1116	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ (ℂ ∖ {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∖ cdif 3960  {csn 4631  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   / cdiv 11918  ℤcz 12611  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  expclz  14122  expne0i  14132  expghm  21504