MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expghm 21044
Description: Exponentiation is a group homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
expghm.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
expghm.u π‘ˆ = (𝑀 β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
Assertion
Ref Expression
expghm ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (β„€ring GrpHom π‘ˆ))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯)   𝑀(π‘₯)

Proof of Theorem expghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expclzlem 14048 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0 ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ (𝐴↑π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
213expa 1118 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ (𝐴↑π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
32fmpttd 7114 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)):β„€βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}))
4 expaddz 14071 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€)) β†’ (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) Β· (𝐴↑𝑧)))
5 zaddcl 12601 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€) β†’ (𝑦 + 𝑧) ∈ β„€)
65adantl 482 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€)) β†’ (𝑦 + 𝑧) ∈ β„€)
7 oveq2 7416 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 + 𝑧) β†’ (𝐴↑π‘₯) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
8 eqid 2732 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))
9 ovex 7441 . . . . . 6 (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 6998 . . . . 5 ((𝑦 + 𝑧) ∈ β„€ β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
116, 10syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12 oveq2 7416 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴↑π‘₯) = (𝐴↑𝑦))
13 ovex 7441 . . . . . . 7 (𝐴↑𝑦) ∈ V
1412, 8, 13fvmpt 6998 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) = (𝐴↑𝑦))
15 oveq2 7416 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝐴↑π‘₯) = (𝐴↑𝑧))
16 ovex 7441 . . . . . . 7 (𝐴↑𝑧) ∈ V
1715, 8, 16fvmpt 6998 . . . . . 6 (𝑧 ∈ β„€ β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§) = (𝐴↑𝑧))
1814, 17oveqan12d 7427 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€) β†’ (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)) = ((𝐴↑𝑦) Β· (𝐴↑𝑧)))
1918adantl 482 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€)) β†’ (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)) = ((𝐴↑𝑦) Β· (𝐴↑𝑧)))
204, 11, 193eqtr4d 2782 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)))
2120ralrimivva 3200 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ β„€ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)))
22 zringgrp 21021 . . . 4 β„€ring ∈ Grp
23 cnring 20966 . . . . 5 β„‚fld ∈ Ring
24 cnfldbas 20947 . . . . . . 7 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
25 cnfld0 20968 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
26 cndrng 20973 . . . . . . 7 β„‚fld ∈ DivRing
2724, 25, 26drngui 20362 . . . . . 6 (β„‚ βˆ– {0}) = (Unitβ€˜β„‚fld)
28 expghm.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (𝑀 β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
29 expghm.m . . . . . . . 8 𝑀 = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
3029oveq1i 7418 . . . . . . 7 (𝑀 β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
3128, 30eqtri 2760 . . . . . 6 π‘ˆ = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
3227, 31unitgrp 20196 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ Grp)
3323, 32ax-mp 5 . . . 4 π‘ˆ ∈ Grp
3422, 33pm3.2i 471 . . 3 (β„€ring ∈ Grp ∧ π‘ˆ ∈ Grp)
35 zringbas 21022 . . . 4 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
36 difss 4131 . . . . 5 (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚
3729, 24mgpbas 19992 . . . . . 6 β„‚ = (Baseβ€˜π‘€)
3828, 37ressbas2 17181 . . . . 5 ((β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚ β†’ (β„‚ βˆ– {0}) = (Baseβ€˜π‘ˆ))
3936, 38ax-mp 5 . . . 4 (β„‚ βˆ– {0}) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
40 zringplusg 21023 . . . 4 + = (+gβ€˜β„€ring)
4127fvexi 6905 . . . . 5 (β„‚ βˆ– {0}) ∈ V
42 cnfldmul 20949 . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
4329, 42mgpplusg 19990 . . . . . 6 Β· = (+gβ€˜π‘€)
4428, 43ressplusg 17234 . . . . 5 ((β„‚ βˆ– {0}) ∈ V β†’ Β· = (+gβ€˜π‘ˆ))
4541, 44ax-mp 5 . . . 4 Β· = (+gβ€˜π‘ˆ)
4635, 39, 40, 45isghm 19091 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (β„€ring GrpHom π‘ˆ) ↔ ((β„€ring ∈ Grp ∧ π‘ˆ ∈ Grp) ∧ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)):β„€βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ β„€ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)))))
4734, 46mpbiran 707 . 2 ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (β„€ring GrpHom π‘ˆ) ↔ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)):β„€βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ β„€ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§))))
483, 21, 47sylanbrc 583 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (β„€ring GrpHom π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  0cc0 11109   + caddc 11112   Β· cmul 11114  β„€cz 12557  β†‘cexp 14026  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  +gcplusg 17196  Grpcgrp 18818   GrpHom cghm 19088  mulGrpcmgp 19986  Ringcrg 20055  Unitcui 20168  β„‚fldccnfld 20943  β„€ringczring 21016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cmn 19649  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-cnfld 20944  df-zring 21017
This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  26878
  Copyright terms: Public domain W3C validator