Theorem expghm 21407

Description: Exponentiation is a group homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
expghm.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
expghm.u	⊢ 𝑈 = (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))

Assertion

Ref	Expression
expghm	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem expghm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expclzlem 13985	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
2	1	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
3	2	fmpttd 7043	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}))
4		expaddz 14008	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
5		zaddcl 12507	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ)
7		oveq2 7349	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
8		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))
9		ovex 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 6924	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
11	6, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12		oveq2 7349	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑦))
13		ovex 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝑦) ∈ V
14	12, 8, 13	fvmpt 6924	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) = (𝐴↑𝑦))
15		oveq2 7349	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑧))
16		ovex 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝑧) ∈ V
17	15, 8, 16	fvmpt 6924	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧) = (𝐴↑𝑧))
18	14, 17	oveqan12d 7360	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
20	4, 11, 19	3eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))
21	20	ralrimivva 3175	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))
22		zringgrp 21384	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Grp
23		cnring 21322	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
24		cnfldbas 21290	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
25		cnfld0 21324	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
26		cndrng 21330	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
27	24, 25, 26	drngui 20645	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
28		expghm.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))
29		expghm.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
30	29	oveq1i 7351	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
31	28, 30	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
32	27, 31	unitgrp 20296	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝑈 ∈ Grp)
33	23, 32	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ Grp
34	22, 33	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (ℤring ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp)
35		zringbas 21385	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
36		difss 4081	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
37	29, 24	mgpbas 20058	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘𝑀)
38	28, 37	ressbas2 17144	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ → (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑈))
39	36, 38	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑈)
40		zringplusg 21386	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℤring)
41	27	fvexi 6831	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ V
42		cnfldmul 21294	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
43	29, 42	mgpplusg 20057	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘𝑀)
44	28, 43	ressplusg 17190	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ V → · = (+g‘𝑈))
45	41, 44	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑈)
46	35, 39, 40, 45	isghm 19122	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈) ↔ ((ℤring ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))))
47	34, 46	mpbiran 709	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧))))
48	3, 21, 47	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  {csn 4571   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  0cc0 11001   + caddc 11004   · cmul 11006  ℤcz 12463  ↑cexp 13963  Basecbs 17115   ↾_s cress 17136  +_gcplusg 17156  Grpcgrp 18841   GrpHom cghm 19119  mulGrpcmgp 20053  Ringcrg 20146  Unitcui 20268  ℂ_fldccnfld 21286  ℤ_ringczring 21378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-addf 11080  ax-mulf 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-seq 13904  df-exp 13964  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-subg 19031  df-ghm 19120  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-cring 20149  df-oppr 20250  df-dvdsr 20270  df-unit 20271  df-invr 20301  df-dvr 20314  df-subrng 20456  df-subrg 20480  df-drng 20641  df-cnfld 21287  df-zring 21379

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  27311