MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expghm 21332
Description: Exponentiation is a group homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
expghm.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
expghm.u π‘ˆ = (𝑀 β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
Assertion
Ref Expression
expghm ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (β„€ring GrpHom π‘ˆ))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯)   𝑀(π‘₯)

Proof of Theorem expghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expclzlem 14047 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0 ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ (𝐴↑π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
213expa 1115 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ (𝐴↑π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
32fmpttd 7107 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)):β„€βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}))
4 expaddz 14070 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€)) β†’ (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) Β· (𝐴↑𝑧)))
5 zaddcl 12600 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€) β†’ (𝑦 + 𝑧) ∈ β„€)
65adantl 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€)) β†’ (𝑦 + 𝑧) ∈ β„€)
7 oveq2 7410 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 + 𝑧) β†’ (𝐴↑π‘₯) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
8 eqid 2724 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))
9 ovex 7435 . . . . . 6 (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 6989 . . . . 5 ((𝑦 + 𝑧) ∈ β„€ β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
116, 10syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12 oveq2 7410 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴↑π‘₯) = (𝐴↑𝑦))
13 ovex 7435 . . . . . . 7 (𝐴↑𝑦) ∈ V
1412, 8, 13fvmpt 6989 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) = (𝐴↑𝑦))
15 oveq2 7410 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝐴↑π‘₯) = (𝐴↑𝑧))
16 ovex 7435 . . . . . . 7 (𝐴↑𝑧) ∈ V
1715, 8, 16fvmpt 6989 . . . . . 6 (𝑧 ∈ β„€ β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§) = (𝐴↑𝑧))
1814, 17oveqan12d 7421 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€) β†’ (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)) = ((𝐴↑𝑦) Β· (𝐴↑𝑧)))
1918adantl 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€)) β†’ (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)) = ((𝐴↑𝑦) Β· (𝐴↑𝑧)))
204, 11, 193eqtr4d 2774 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)))
2120ralrimivva 3192 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ β„€ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)))
22 zringgrp 21309 . . . 4 β„€ring ∈ Grp
23 cnring 21253 . . . . 5 β„‚fld ∈ Ring
24 cnfldbas 21234 . . . . . . 7 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
25 cnfld0 21255 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
26 cndrng 21260 . . . . . . 7 β„‚fld ∈ DivRing
2724, 25, 26drngui 20585 . . . . . 6 (β„‚ βˆ– {0}) = (Unitβ€˜β„‚fld)
28 expghm.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (𝑀 β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
29 expghm.m . . . . . . . 8 𝑀 = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
3029oveq1i 7412 . . . . . . 7 (𝑀 β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
3128, 30eqtri 2752 . . . . . 6 π‘ˆ = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
3227, 31unitgrp 20277 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ Grp)
3323, 32ax-mp 5 . . . 4 π‘ˆ ∈ Grp
3422, 33pm3.2i 470 . . 3 (β„€ring ∈ Grp ∧ π‘ˆ ∈ Grp)
35 zringbas 21310 . . . 4 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
36 difss 4124 . . . . 5 (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚
3729, 24mgpbas 20037 . . . . . 6 β„‚ = (Baseβ€˜π‘€)
3828, 37ressbas2 17183 . . . . 5 ((β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚ β†’ (β„‚ βˆ– {0}) = (Baseβ€˜π‘ˆ))
3936, 38ax-mp 5 . . . 4 (β„‚ βˆ– {0}) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
40 zringplusg 21311 . . . 4 + = (+gβ€˜β„€ring)
4127fvexi 6896 . . . . 5 (β„‚ βˆ– {0}) ∈ V
42 cnfldmul 21236 . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
4329, 42mgpplusg 20035 . . . . . 6 Β· = (+gβ€˜π‘€)
4428, 43ressplusg 17236 . . . . 5 ((β„‚ βˆ– {0}) ∈ V β†’ Β· = (+gβ€˜π‘ˆ))
4541, 44ax-mp 5 . . . 4 Β· = (+gβ€˜π‘ˆ)
4635, 39, 40, 45isghm 19133 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (β„€ring GrpHom π‘ˆ) ↔ ((β„€ring ∈ Grp ∧ π‘ˆ ∈ Grp) ∧ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)):β„€βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ β„€ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)))))
4734, 46mpbiran 706 . 2 ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (β„€ring GrpHom π‘ˆ) ↔ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)):β„€βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ β„€ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§))))
483, 21, 47sylanbrc 582 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (β„€ring GrpHom π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  Vcvv 3466   βˆ– cdif 3938   βŠ† wss 3941  {csn 4621   ↦ cmpt 5222  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105  0cc0 11107   + caddc 11110   Β· cmul 11112  β„€cz 12556  β†‘cexp 14025  Basecbs 17145   β†Ύs cress 17174  +gcplusg 17198  Grpcgrp 18855   GrpHom cghm 19130  mulGrpcmgp 20031  Ringcrg 20130  Unitcui 20249  β„‚fldccnfld 21230  β„€ringczring 21303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-fz 13483  df-seq 13965  df-exp 14026  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-0g 17388  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19042  df-ghm 19131  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-cring 20133  df-oppr 20228  df-dvdsr 20251  df-unit 20252  df-invr 20282  df-dvr 20295  df-subrng 20438  df-subrg 20463  df-drng 20581  df-cnfld 21231  df-zring 21304
This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  27230
  Copyright terms: Public domain W3C validator