Theorem expghm 21590

Description: Exponentiation is a group homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
expghm.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
expghm.u	⊢ 𝑈 = (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))

Assertion

Ref	Expression
expghm	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem expghm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expclzlem 14115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
2	1	3expa 1134	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
3	2	fmpttd 7108	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}))
4		expaddz 14138	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
5		zaddcl 12630	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ)
6	5	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ)
7		oveq2 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
8		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))
9		ovex 7441	. . . . . 6 ⊢ (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 6987	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
11	6, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12		oveq2 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑦))
13		ovex 7441	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝑦) ∈ V
14	12, 8, 13	fvmpt 6987	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) = (𝐴↑𝑦))
15		oveq2 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑧))
16		ovex 7441	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝑧) ∈ V
17	15, 8, 16	fvmpt 6987	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧) = (𝐴↑𝑧))
18	14, 17	oveqan12d 7427	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
19	18	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
20	4, 11, 19	3eqtr4d 2814	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))
21	20	ralrimivva 3214	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))
22		zringgrp 21567	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Grp
23		cnring 21509	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
24		cnfldbas 21491	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
25		cnfld0 21511	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
26		cndrng 21516	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
27	24, 25, 26	drngui 20815	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
28		expghm.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))
29		expghm.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
30	29	oveq1i 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
31	28, 30	eqtri 2792	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
32	27, 31	unitgrp 20461	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝑈 ∈ Grp)
33	23, 32	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ Grp
34	22, 33	pm3.2i 475	. . 3 ⊢ (ℤring ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp)
35		zringbas 21568	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
36		difss 4098	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
37	29, 24	mgpbas 20217	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘𝑀)
38	28, 37	ressbas2 17294	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ → (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑈))
39	36, 38	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑈)
40		zringplusg 21569	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℤring)
41	27	fvexi 6893	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ V
42		cnfldmul 21495	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
43	29, 42	mgpplusg 20216	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘𝑀)
44	28, 43	ressplusg 17340	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ V → · = (+g‘𝑈))
45	41, 44	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑈)
46	35, 39, 40, 45	isghm 19282	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈) ↔ ((ℤring ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))))
47	34, 46	mpbiran 721	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧))))
48	3, 21, 47	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  {csn 4591   ↦ cmpt 5193  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  0cc0 11096   + caddc 11099   · cmul 11101  ℤcz 12587  ↑cexp 14093  Basecbs 17265   ↾_s cress 17286  +_gcplusg 17306  Grpcgrp 18996   GrpHom cghm 19279  mulGrpcmgp 20212  Ringcrg 20311  Unitcui 20433  ℂ_fldccnfld 21487  ℤ_ringczring 21561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-addf 11175  ax-mulf 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-seq 14034  df-exp 14094  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-subg 19185  df-ghm 19280  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-cring 20314  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-subrng 20627  df-subrg 20651  df-drng 20811  df-cnfld 21488  df-zring 21562

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  27504