MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expghm 21486
Description: Exponentiation is a group homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
expghm.m 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
expghm.u 𝑈 = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
Assertion
Ref Expression
expghm ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem expghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expclzlem 14124 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
213expa 1119 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
32fmpttd 7135 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}))
4 expaddz 14147 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
5 zaddcl 12657 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ)
65adantl 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ)
7 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝐴𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
8 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))
9 ovex 7464 . . . . . 6 (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 7016 . . . . 5 ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
116, 10syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
13 ovex 7464 . . . . . . 7 (𝐴𝑦) ∈ V
1412, 8, 13fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) = (𝐴𝑦))
15 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑧))
16 ovex 7464 . . . . . . 7 (𝐴𝑧) ∈ V
1715, 8, 16fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧) = (𝐴𝑧))
1814, 17oveqan12d 7450 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
1918adantl 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
204, 11, 193eqtr4d 2787 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)))
2120ralrimivva 3202 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)))
22 zringgrp 21463 . . . 4 ring ∈ Grp
23 cnring 21403 . . . . 5 fld ∈ Ring
24 cnfldbas 21368 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
25 cnfld0 21405 . . . . . . 7 0 = (0g‘ℂfld)
26 cndrng 21411 . . . . . . 7 fld ∈ DivRing
2724, 25, 26drngui 20735 . . . . . 6 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
28 expghm.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
29 expghm.m . . . . . . . 8 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
3029oveq1i 7441 . . . . . . 7 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
3128, 30eqtri 2765 . . . . . 6 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
3227, 31unitgrp 20383 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → 𝑈 ∈ Grp)
3323, 32ax-mp 5 . . . 4 𝑈 ∈ Grp
3422, 33pm3.2i 470 . . 3 (ℤring ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp)
35 zringbas 21464 . . . 4 ℤ = (Base‘ℤring)
36 difss 4136 . . . . 5 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
3729, 24mgpbas 20142 . . . . . 6 ℂ = (Base‘𝑀)
3828, 37ressbas2 17283 . . . . 5 ((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ → (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑈))
3936, 38ax-mp 5 . . . 4 (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑈)
40 zringplusg 21465 . . . 4 + = (+g‘ℤring)
4127fvexi 6920 . . . . 5 (ℂ ∖ {0}) ∈ V
42 cnfldmul 21372 . . . . . . 7 · = (.r‘ℂfld)
4329, 42mgpplusg 20141 . . . . . 6 · = (+g𝑀)
4428, 43ressplusg 17334 . . . . 5 ((ℂ ∖ {0}) ∈ V → · = (+g𝑈))
4541, 44ax-mp 5 . . . 4 · = (+g𝑈)
4635, 39, 40, 45isghm 19233 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈) ↔ ((ℤring ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)))))
4734, 46mpbiran 709 . 2 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧))))
483, 21, 47sylanbrc 583 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  {csn 4626  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160  cz 12613  cexp 14102  Basecbs 17247  s cress 17274  +gcplusg 17297  Grpcgrp 18951   GrpHom cghm 19230  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  Unitcui 20355  fldccnfld 21364  ringczring 21457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-cnfld 21365  df-zring 21458
This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  27422
  Copyright terms: Public domain W3C validator