MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expghm 20919
Description: Exponentiation is a group homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
expghm.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
expghm.u π‘ˆ = (𝑀 β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
Assertion
Ref Expression
expghm ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (β„€ring GrpHom π‘ˆ))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯)   𝑀(π‘₯)

Proof of Theorem expghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expclzlem 13998 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0 ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ (𝐴↑π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
213expa 1119 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ (𝐴↑π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
32fmpttd 7067 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)):β„€βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}))
4 expaddz 14021 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€)) β†’ (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) Β· (𝐴↑𝑧)))
5 zaddcl 12551 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€) β†’ (𝑦 + 𝑧) ∈ β„€)
65adantl 483 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€)) β†’ (𝑦 + 𝑧) ∈ β„€)
7 oveq2 7369 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 + 𝑧) β†’ (𝐴↑π‘₯) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
8 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))
9 ovex 7394 . . . . . 6 (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 6952 . . . . 5 ((𝑦 + 𝑧) ∈ β„€ β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
116, 10syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12 oveq2 7369 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴↑π‘₯) = (𝐴↑𝑦))
13 ovex 7394 . . . . . . 7 (𝐴↑𝑦) ∈ V
1412, 8, 13fvmpt 6952 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) = (𝐴↑𝑦))
15 oveq2 7369 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝐴↑π‘₯) = (𝐴↑𝑧))
16 ovex 7394 . . . . . . 7 (𝐴↑𝑧) ∈ V
1715, 8, 16fvmpt 6952 . . . . . 6 (𝑧 ∈ β„€ β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§) = (𝐴↑𝑧))
1814, 17oveqan12d 7380 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€) β†’ (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)) = ((𝐴↑𝑦) Β· (𝐴↑𝑧)))
1918adantl 483 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€)) β†’ (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)) = ((𝐴↑𝑦) Β· (𝐴↑𝑧)))
204, 11, 193eqtr4d 2783 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)))
2120ralrimivva 3194 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ β„€ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)))
22 zringgrp 20897 . . . 4 β„€ring ∈ Grp
23 cnring 20842 . . . . 5 β„‚fld ∈ Ring
24 cnfldbas 20823 . . . . . . 7 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
25 cnfld0 20844 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
26 cndrng 20849 . . . . . . 7 β„‚fld ∈ DivRing
2724, 25, 26drngui 20225 . . . . . 6 (β„‚ βˆ– {0}) = (Unitβ€˜β„‚fld)
28 expghm.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (𝑀 β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
29 expghm.m . . . . . . . 8 𝑀 = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
3029oveq1i 7371 . . . . . . 7 (𝑀 β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
3128, 30eqtri 2761 . . . . . 6 π‘ˆ = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
3227, 31unitgrp 20104 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ Grp)
3323, 32ax-mp 5 . . . 4 π‘ˆ ∈ Grp
3422, 33pm3.2i 472 . . 3 (β„€ring ∈ Grp ∧ π‘ˆ ∈ Grp)
35 zringbas 20898 . . . 4 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
36 difss 4095 . . . . 5 (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚
3729, 24mgpbas 19910 . . . . . 6 β„‚ = (Baseβ€˜π‘€)
3828, 37ressbas2 17128 . . . . 5 ((β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚ β†’ (β„‚ βˆ– {0}) = (Baseβ€˜π‘ˆ))
3936, 38ax-mp 5 . . . 4 (β„‚ βˆ– {0}) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
40 zringplusg 20899 . . . 4 + = (+gβ€˜β„€ring)
4127fvexi 6860 . . . . 5 (β„‚ βˆ– {0}) ∈ V
42 cnfldmul 20825 . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
4329, 42mgpplusg 19908 . . . . . 6 Β· = (+gβ€˜π‘€)
4428, 43ressplusg 17179 . . . . 5 ((β„‚ βˆ– {0}) ∈ V β†’ Β· = (+gβ€˜π‘ˆ))
4541, 44ax-mp 5 . . . 4 Β· = (+gβ€˜π‘ˆ)
4635, 39, 40, 45isghm 19016 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (β„€ring GrpHom π‘ˆ) ↔ ((β„€ring ∈ Grp ∧ π‘ˆ ∈ Grp) ∧ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)):β„€βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ β„€ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)))))
4734, 46mpbiran 708 . 2 ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (β„€ring GrpHom π‘ˆ) ↔ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)):β„€βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ β„€ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§))))
483, 21, 47sylanbrc 584 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (β„€ring GrpHom π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  {csn 4590   ↦ cmpt 5192  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  0cc0 11059   + caddc 11062   Β· cmul 11064  β„€cz 12507  β†‘cexp 13976  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  +gcplusg 17141  Grpcgrp 18756   GrpHom cghm 19013  mulGrpcmgp 19904  Ringcrg 19972  Unitcui 20076  β„‚fldccnfld 20819  β„€ringczring 20892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-cnfld 20820  df-zring 20893
This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  26749
  Copyright terms: Public domain W3C validator