MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expghm 21395
Description: Exponentiation is a group homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
expghm.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
expghm.u π‘ˆ = (𝑀 β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
Assertion
Ref Expression
expghm ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (β„€ring GrpHom π‘ˆ))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯)   𝑀(π‘₯)

Proof of Theorem expghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expclzlem 14075 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0 ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ (𝐴↑π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
213expa 1116 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ (𝐴↑π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
32fmpttd 7120 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)):β„€βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}))
4 expaddz 14098 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€)) β†’ (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) Β· (𝐴↑𝑧)))
5 zaddcl 12627 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€) β†’ (𝑦 + 𝑧) ∈ β„€)
65adantl 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€)) β†’ (𝑦 + 𝑧) ∈ β„€)
7 oveq2 7423 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 + 𝑧) β†’ (𝐴↑π‘₯) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
8 eqid 2728 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))
9 ovex 7448 . . . . . 6 (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 7000 . . . . 5 ((𝑦 + 𝑧) ∈ β„€ β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
116, 10syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12 oveq2 7423 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴↑π‘₯) = (𝐴↑𝑦))
13 ovex 7448 . . . . . . 7 (𝐴↑𝑦) ∈ V
1412, 8, 13fvmpt 7000 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„€ β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) = (𝐴↑𝑦))
15 oveq2 7423 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝐴↑π‘₯) = (𝐴↑𝑧))
16 ovex 7448 . . . . . . 7 (𝐴↑𝑧) ∈ V
1715, 8, 16fvmpt 7000 . . . . . 6 (𝑧 ∈ β„€ β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§) = (𝐴↑𝑧))
1814, 17oveqan12d 7434 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€) β†’ (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)) = ((𝐴↑𝑦) Β· (𝐴↑𝑧)))
1918adantl 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€)) β†’ (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)) = ((𝐴↑𝑦) Β· (𝐴↑𝑧)))
204, 11, 193eqtr4d 2778 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑦 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ β„€)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)))
2120ralrimivva 3196 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ β„€ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)))
22 zringgrp 21372 . . . 4 β„€ring ∈ Grp
23 cnring 21312 . . . . 5 β„‚fld ∈ Ring
24 cnfldbas 21277 . . . . . . 7 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
25 cnfld0 21314 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
26 cndrng 21320 . . . . . . 7 β„‚fld ∈ DivRing
2724, 25, 26drngui 20624 . . . . . 6 (β„‚ βˆ– {0}) = (Unitβ€˜β„‚fld)
28 expghm.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (𝑀 β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
29 expghm.m . . . . . . . 8 𝑀 = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
3029oveq1i 7425 . . . . . . 7 (𝑀 β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
3128, 30eqtri 2756 . . . . . 6 π‘ˆ = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
3227, 31unitgrp 20316 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ Grp)
3323, 32ax-mp 5 . . . 4 π‘ˆ ∈ Grp
3422, 33pm3.2i 470 . . 3 (β„€ring ∈ Grp ∧ π‘ˆ ∈ Grp)
35 zringbas 21373 . . . 4 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
36 difss 4128 . . . . 5 (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚
3729, 24mgpbas 20074 . . . . . 6 β„‚ = (Baseβ€˜π‘€)
3828, 37ressbas2 17212 . . . . 5 ((β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚ β†’ (β„‚ βˆ– {0}) = (Baseβ€˜π‘ˆ))
3936, 38ax-mp 5 . . . 4 (β„‚ βˆ– {0}) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
40 zringplusg 21374 . . . 4 + = (+gβ€˜β„€ring)
4127fvexi 6906 . . . . 5 (β„‚ βˆ– {0}) ∈ V
42 cnfldmul 21281 . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
4329, 42mgpplusg 20072 . . . . . 6 Β· = (+gβ€˜π‘€)
4428, 43ressplusg 17265 . . . . 5 ((β„‚ βˆ– {0}) ∈ V β†’ Β· = (+gβ€˜π‘ˆ))
4541, 44ax-mp 5 . . . 4 Β· = (+gβ€˜π‘ˆ)
4635, 39, 40, 45isghm 19164 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (β„€ring GrpHom π‘ˆ) ↔ ((β„€ring ∈ Grp ∧ π‘ˆ ∈ Grp) ∧ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)):β„€βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ β„€ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§)))))
4734, 46mpbiran 708 . 2 ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (β„€ring GrpHom π‘ˆ) ↔ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)):β„€βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ β„€ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜(𝑦 + 𝑧)) = (((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘¦) Β· ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯))β€˜π‘§))))
483, 21, 47sylanbrc 582 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (𝐴↑π‘₯)) ∈ (β„€ring GrpHom π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2936  βˆ€wral 3057  Vcvv 3470   βˆ– cdif 3942   βŠ† wss 3945  {csn 4625   ↦ cmpt 5226  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7415  β„‚cc 11131  0cc0 11133   + caddc 11136   Β· cmul 11138  β„€cz 12583  β†‘cexp 14053  Basecbs 17174   β†Ύs cress 17203  +gcplusg 17227  Grpcgrp 18884   GrpHom cghm 19161  mulGrpcmgp 20068  Ringcrg 20167  Unitcui 20288  β„‚fldccnfld 21273  β„€ringczring 21366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-addf 11212  ax-mulf 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8226  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-seq 13994  df-exp 14054  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-subg 19072  df-ghm 19162  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-ring 20169  df-cring 20170  df-oppr 20267  df-dvdsr 20290  df-unit 20291  df-invr 20321  df-dvr 20334  df-subrng 20477  df-subrg 20502  df-drng 20620  df-cnfld 21274  df-zring 21367
This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  27305
  Copyright terms: Public domain W3C validator