Theorem expghm 20896

Description: Exponentiation is a group homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
expghm.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
expghm.u	⊢ 𝑈 = (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))

Assertion

Ref	Expression
expghm	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem expghm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expclzlem 13989	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
2	1	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
3	2	fmpttd 7063	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}))
4		expaddz 14012	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
5		zaddcl 12543	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ)
6	5	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ)
7		oveq2 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))
9		ovex 7390	. . . . . 6 ⊢ (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 6948	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
11	6, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12		oveq2 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑦))
13		ovex 7390	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝑦) ∈ V
14	12, 8, 13	fvmpt 6948	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) = (𝐴↑𝑦))
15		oveq2 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑧))
16		ovex 7390	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝑧) ∈ V
17	15, 8, 16	fvmpt 6948	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧) = (𝐴↑𝑧))
18	14, 17	oveqan12d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
19	18	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
20	4, 11, 19	3eqtr4d 2786	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))
21	20	ralrimivva 3197	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))
22		zringgrp 20874	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Grp
23		cnring 20819	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
24		cnfldbas 20800	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
25		cnfld0 20821	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
26		cndrng 20826	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
27	24, 25, 26	drngui 20191	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
28		expghm.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))
29		expghm.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
30	29	oveq1i 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
31	28, 30	eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
32	27, 31	unitgrp 20096	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝑈 ∈ Grp)
33	23, 32	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ Grp
34	22, 33	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ (ℤring ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp)
35		zringbas 20875	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
36		difss 4091	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
37	29, 24	mgpbas 19902	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘𝑀)
38	28, 37	ressbas2 17120	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ → (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑈))
39	36, 38	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑈)
40		zringplusg 20876	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℤring)
41	27	fvexi 6856	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ V
42		cnfldmul 20802	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
43	29, 42	mgpplusg 19900	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘𝑀)
44	28, 43	ressplusg 17171	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ V → · = (+g‘𝑈))
45	41, 44	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑈)
46	35, 39, 40, 45	isghm 19008	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈) ↔ ((ℤring ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))))
47	34, 46	mpbiran 707	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧))))
48	3, 21, 47	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  Vcvv 3445   ∖ cdif 3907   ⊆ wss 3910  {csn 4586   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056  ℤcz 12499  ↑cexp 13967  Basecbs 17083   ↾_s cress 17112  +_gcplusg 17133  Grpcgrp 18748   GrpHom cghm 19005  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  Unitcui 20068  ℂ_fldccnfld 20796  ℤ_ringczring 20869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-cnfld 20797  df-zring 20870

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  26726