Theorem expghm 21442

Description: Exponentiation is a group homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
expghm.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
expghm.u	⊢ 𝑈 = (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))

Assertion

Ref	Expression
expghm	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem expghm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expclzlem 14018	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
2	1	3expa 1119	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
3	2	fmpttd 7069	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}))
4		expaddz 14041	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
5		zaddcl 12543	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ)
7		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))
9		ovex 7401	. . . . . 6 ⊢ (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 6949	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
11	6, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12		oveq2 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑦))
13		ovex 7401	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝑦) ∈ V
14	12, 8, 13	fvmpt 6949	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) = (𝐴↑𝑦))
15		oveq2 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑧))
16		ovex 7401	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴↑𝑧) ∈ V
17	15, 8, 16	fvmpt 6949	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧) = (𝐴↑𝑧))
18	14, 17	oveqan12d 7387	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴↑𝑦) · (𝐴↑𝑧)))
20	4, 11, 19	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))
21	20	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))
22		zringgrp 21419	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Grp
23		cnring 21357	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
24		cnfldbas 21325	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
25		cnfld0 21359	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
26		cndrng 21365	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
27	24, 25, 26	drngui 20680	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
28		expghm.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))
29		expghm.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
30	29	oveq1i 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
31	28, 30	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
32	27, 31	unitgrp 20331	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝑈 ∈ Grp)
33	23, 32	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ Grp
34	22, 33	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (ℤring ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp)
35		zringbas 21420	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
36		difss 4090	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
37	29, 24	mgpbas 20092	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘𝑀)
38	28, 37	ressbas2 17177	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ → (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑈))
39	36, 38	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑈)
40		zringplusg 21421	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℤring)
41	27	fvexi 6856	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ V
42		cnfldmul 21329	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
43	29, 42	mgpplusg 20091	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘𝑀)
44	28, 43	ressplusg 17223	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ V → · = (+g‘𝑈))
45	41, 44	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑈)
46	35, 39, 40, 45	isghm 19156	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈) ↔ ((ℤring ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp) ∧ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧)))))
47	34, 46	mpbiran 710	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)):ℤ⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥))‘𝑧))))
48	3, 21, 47	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐴↑𝑥)) ∈ (ℤring GrpHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  {csn 4582   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038   + caddc 11041   · cmul 11043  ℤcz 12500  ↑cexp 13996  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  +_gcplusg 17189  Grpcgrp 18875   GrpHom cghm 19153  mulGrpcmgp 20087  Ringcrg 20180  Unitcui 20303  ℂ_fldccnfld 21321  ℤ_ringczring 21413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-dvr 20349  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-drng 20676  df-cnfld 21322  df-zring 21414

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  27357