Theorem expnngt1b 14255

Description: An integer power with an integer base greater than 1 is greater than 1 iff the exponent is positive. (Contributed by AV, 28-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
expnngt1b	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (1 < (𝐴↑𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ))

Proof of Theorem expnngt1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12889	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℕ)
3	2	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 1 < (𝐴↑𝐵)) → 𝐴 ∈ ℕ)
4		simplr 778	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 1 < (𝐴↑𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
5		simpr 488	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 1 < (𝐴↑𝐵)) → 1 < (𝐴↑𝐵))
6		expnngt1 14254	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴↑𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1390	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 1 < (𝐴↑𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
8	2	nnred 12225	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		simpr 488	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
11		eluz2gt1 12921	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
12	11	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 < 𝐴)
13	12	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 < 𝐴)
14		expgt1 14113	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < (𝐴↑𝐵))
15	9, 10, 13, 14	syl3anc 1390	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 < (𝐴↑𝐵))
16	7, 15	impbida 810	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (1 < (𝐴↑𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  1c1 11074   < clt 11216  ℕcn 12210  2c2 12272  ℤcz 12568  ℤ_≥cuz 12839  ↑cexp 14074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-seq 14015  df-exp 14075

This theorem is referenced by: (None)