Theorem expnngt1b 14007

Description: An integer power with an integer base greater than 1 is greater than 1 iff the exponent is positive. (Contributed by AV, 28-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
expnngt1b	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (1 < (𝐴↑𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ))

Proof of Theorem expnngt1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12674	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℕ)
3	2	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 1 < (𝐴↑𝐵)) → 𝐴 ∈ ℕ)
4		simplr 767	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 1 < (𝐴↑𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
5		simpr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 1 < (𝐴↑𝐵)) → 1 < (𝐴↑𝐵))
6		expnngt1 14006	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴↑𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 1 < (𝐴↑𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
8	2	nnred 12038	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		simpr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
11		eluz2gt1 12710	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
12	11	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 < 𝐴)
13	12	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 < 𝐴)
14		expgt1 13871	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < (𝐴↑𝐵))
15	9, 10, 13, 14	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 < (𝐴↑𝐵))
16	7, 15	impbida 799	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (1 < (𝐴↑𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5081  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  ℝcr 10920  1c1 10922   < clt 11059  ℕcn 12023  2c2 12078  ℤcz 12369  ℤ_≥cuz 12632  ↑cexp 13832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3331  df-reu 3332  df-rab 3333  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-rp 12781  df-seq 13772  df-exp 13833

This theorem is referenced by: (None)