MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnngt1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnngt1b 13955
Description: An integer power with an integer base greater than 1 is greater than 1 iff the exponent is positive. (Contributed by AV, 28-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
expnngt1b ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (1 < (𝐴𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ))

Proof of Theorem expnngt1b
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12623 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
21adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℕ)
32adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 1 < (𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℕ)
4 simplr 766 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 1 < (𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
5 simpr 485 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 1 < (𝐴𝐵)) → 1 < (𝐴𝐵))
6 expnngt1 13954 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
73, 4, 5, 6syl3anc 1370 . 2 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 1 < (𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
82nnred 11988 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
98adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 simpr 485 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
11 eluz2gt1 12659 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐴)
1211adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 < 𝐴)
1312adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 < 𝐴)
14 expgt1 13819 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < (𝐴𝐵))
159, 10, 13, 14syl3anc 1370 . 2 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 < (𝐴𝐵))
167, 15impbida 798 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (1 < (𝐴𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2110   class class class wbr 5079  cfv 6432  (class class class)co 7271  cr 10871  1c1 10873   < clt 11010  cn 11973  2c2 12028  cz 12319  cuz 12581  cexp 13780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-seq 13720  df-exp 13781
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator