Theorem expgt1 14132

Description: A real greater than 1 raised to a positive integer is greater than 1. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expgt1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem expgt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11203	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
3		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12560	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		reexpcl 14110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
7	3, 5, 6	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
8		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
9		nnm1nn0 12540	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
10	4, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
11		ltle 11293	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 < 𝐴 → 1 ≤ 𝐴))
12	1, 3, 11	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (1 < 𝐴 → 1 ≤ 𝐴))
13	8, 12	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ≤ 𝐴)
14		expge1 14131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (𝐴↑(𝑁 − 1)))
15	3, 10, 13, 14	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ≤ (𝐴↑(𝑁 − 1)))
16		reexpcl 14110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
17	3, 10, 16	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
18		0red 11206	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
19		0lt1 11731	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
21	18, 2, 3, 20, 8	lttrd 11366	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
22		lemul1 12062	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 ≤ (𝐴↑(𝑁 − 1)) ↔ (1 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴)))
23	2, 17, 3, 21, 22	syl112anc 1401	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (1 ≤ (𝐴↑(𝑁 − 1)) ↔ (1 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴)))
24	15, 23	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (1 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴))
25		recn 11185	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
27	26	mullidd 11222	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
28	27	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 = (1 · 𝐴))
29		expm1t 14122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴))
30	26, 4, 29	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴↑𝑁) = ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴))
31	24, 28, 30	3brtr4d 5143	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑁))
32	2, 3, 7, 8, 31	ltletrd 11365	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < (𝐴↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   · cmul 11100   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12499  ↑cexp 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-seq 14034  df-exp 14094

This theorem is referenced by:  ltexp2a  14198  expnngt1b  14274  dvdsprmpweqle  16941  perfectlem1  27393  perfectlem2  27394  dchrisum0flblem2  27673  stirlinglem10  46797  fmtno4prm  48327  perfectALTVlem1  48486  perfectALTVlem2  48487  fllog2  49348  dignn0flhalflem1  49395