Theorem expgt1 14236

Description: A real greater than 1 raised to a positive integer is greater than 1. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expgt1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem expgt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11301	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
3		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12660	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		reexpcl 14214	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
7	3, 5, 6	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
8		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
9		nnm1nn0 12640	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
10	4, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
11		ltle 11391	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 < 𝐴 → 1 ≤ 𝐴))
12	1, 3, 11	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (1 < 𝐴 → 1 ≤ 𝐴))
13	8, 12	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ≤ 𝐴)
14		expge1 14235	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (𝐴↑(𝑁 − 1)))
15	3, 10, 13, 14	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ≤ (𝐴↑(𝑁 − 1)))
16		reexpcl 14214	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
17	3, 10, 16	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
18		0red 11304	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
19		0lt1 11831	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
21	18, 2, 3, 20, 8	lttrd 11464	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
22		lemul1 12162	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 ≤ (𝐴↑(𝑁 − 1)) ↔ (1 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴)))
23	2, 17, 3, 21, 22	syl112anc 1401	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (1 ≤ (𝐴↑(𝑁 − 1)) ↔ (1 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴)))
24	15, 23	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (1 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴))
25		recn 11283	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
27	26	mullidd 11320	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
28	27	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 = (1 · 𝐴))
29		expm1t 14226	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴))
30	26, 4, 29	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴↑𝑁) = ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴))
31	24, 28, 30	3brtr4d 5137	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑁))
32	2, 3, 7, 8, 31	ltletrd 11463	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < (𝐴↑𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   · cmul 11198   < clt 11336   ≤ cle 11337   − cmin 11534  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  ↑cexp 14197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-seq 14138  df-exp 14198

This theorem is used by:  ltexp2a  14302  expnngt1b  14379  dvdsprmpweqle  17057  perfectlem1  27549  perfectlem2  27550  dchrisum0flblem2  27829  stirlinglem10  47062  fmtno4prm  48629  perfectALTVlem1  48788  perfectALTVlem2  48789  fllog2  49649  dignn0flhalflem1  49696