Theorem expgt1 14141

Description: A real greater than 1 raised to a positive integer is greater than 1. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expgt1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem expgt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11261	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
3		simp1 1137	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		reexpcl 14119	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
7	3, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
8		simp3 1139	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
9		nnm1nn0 12567	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
10	4, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
11		ltle 11349	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 < 𝐴 → 1 ≤ 𝐴))
12	1, 3, 11	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (1 < 𝐴 → 1 ≤ 𝐴))
13	8, 12	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ≤ 𝐴)
14		expge1 14140	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (𝐴↑(𝑁 − 1)))
15	3, 10, 13, 14	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ≤ (𝐴↑(𝑁 − 1)))
16		reexpcl 14119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
17	3, 10, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
18		0red 11264	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
19		0lt1 11785	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
21	18, 2, 3, 20, 8	lttrd 11422	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
22		lemul1 12119	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐴↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 ≤ (𝐴↑(𝑁 − 1)) ↔ (1 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴)))
23	2, 17, 3, 21, 22	syl112anc 1376	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (1 ≤ (𝐴↑(𝑁 − 1)) ↔ (1 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴)))
24	15, 23	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (1 · 𝐴) ≤ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴))
25		recn 11245	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
27	26	mullidd 11279	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
28	27	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 = (1 · 𝐴))
29		expm1t 14131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴))
30	26, 4, 29	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴↑𝑁) = ((𝐴↑(𝑁 − 1)) · 𝐴))
31	24, 28, 30	3brtr4d 5175	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑁))
32	2, 3, 7, 8, 31	ltletrd 11421	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < (𝐴↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  ltexp2a  14206  expnngt1b  14281  dvdsprmpweqle  16924  perfectlem1  27273  perfectlem2  27274  dchrisum0flblem2  27553  stirlinglem10  46098  fmtno4prm  47562  perfectALTVlem1  47708  perfectALTVlem2  47709  fllog2  48489  dignn0flhalflem1  48536