Theorem cusgredgex 32983

Description: Any two (distinct) vertices in a complete simple graph are connected to each other by an edge. (Contributed by BTernaryTau, 3-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cusgredgex.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgredgex.2	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgredgex	⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem cusgredgex

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusgrcplgr 27690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ ComplGraph)
2		cusgredgex.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		cusgredgex.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	cplgredgex 32982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ComplGraph → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
5	1, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
6	5	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒)
7		df-rex 3069	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
8	6, 7	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
9		eldifsni 4720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) → 𝐵 ≠ 𝐴)
10	9	necomd 2998	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) → 𝐴 ≠ 𝐵)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → 𝐴 ≠ 𝐵)
12		hashprg 14038	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
13	11, 12	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
15		cusgrusgr 27689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
16	3	usgredgppr 27466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (♯‘𝑒) = 2)
17	15, 16	sylan 579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (♯‘𝑒) = 2)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (♯‘𝑒) = 2)
19	14, 18	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒))
20		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
21		vex 3426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑒 ∈ V
22		2nn0 12180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		hashvnfin 14003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑒 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑒) = 2 → 𝑒 ∈ Fin))
24	21, 22, 23	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑒) = 2 → 𝑒 ∈ Fin)
25	17, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ Fin)
26		fisshasheq 32973	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒)) → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)
27	25, 26	syl3an1 1161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒)) → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)
28	27	3comr 1123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒) ∧ (𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒) → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)
29	28	3exp 1117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒) → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
30	19, 20, 29	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
31	30	3impa 1108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
32	31	3com23 1124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
33	32	3expia 1119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (𝑒 ∈ 𝐸 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
34	33	imdistand 570	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ((𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒) → (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
35	34	eximdv 1921	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒) → ∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
36	8, 35	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
37		pm3.22 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒) → ({𝐴, 𝐵} = 𝑒 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
38		eqcom 2745	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} = 𝑒 ↔ 𝑒 = {𝐴, 𝐵})
39	38	anbi1i 623	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵} = 𝑒 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ↔ (𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
40	37, 39	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒) → (𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
41	40	eximi 1838	. . . 4 ⊢ (∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒) → ∃𝑒(𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
42	36, 41	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒(𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
43		prex 5350	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
44		eleq1 2826	. . . 4 ⊢ (𝑒 = {𝐴, 𝐵} → (𝑒 ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))
45	43, 44	ceqsexv 3469	. . 3 ⊢ (∃𝑒(𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
46	42, 45	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
47	46	ex 412	1 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4558  {cpr 4560  ‘cfv 6418  Fincfn 8691  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ♯chash 13972  Vtxcvtx 27269  Edgcedg 27320  USGraphcusgr 27422  ComplGraphccplgr 27679  ComplUSGraphccusgr 27680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973  df-edg 27321  df-usgr 27424  df-nbgr 27603  df-uvtx 27656  df-cplgr 27681  df-cusgr 27682

This theorem is referenced by:  cusgredgex2  32984