Theorem cusgredgex 33218

Description: Any two (distinct) vertices in a complete simple graph are connected to each other by an edge. (Contributed by BTernaryTau, 3-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cusgredgex.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgredgex.2	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgredgex	⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem cusgredgex

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusgrcplgr 27920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ ComplGraph)
2		cusgredgex.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		cusgredgex.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	cplgredgex 33217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ComplGraph → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
5	1, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
6	5	imp 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒)
7		df-rex 3071	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
8	6, 7	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
9		eldifsni 4734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) → 𝐵 ≠ 𝐴)
10	9	necomd 2996	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) → 𝐴 ≠ 𝐵)
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → 𝐴 ≠ 𝐵)
12		hashprg 14188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
13	11, 12	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
15		cusgrusgr 27919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
16	3	usgredgppr 27696	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (♯‘𝑒) = 2)
17	15, 16	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (♯‘𝑒) = 2)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (♯‘𝑒) = 2)
19	14, 18	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒))
20		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
21		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑒 ∈ V
22		2nn0 12329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		hashvnfin 14153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑒 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑒) = 2 → 𝑒 ∈ Fin))
24	21, 22, 23	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑒) = 2 → 𝑒 ∈ Fin)
25	17, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ Fin)
26		fisshasheq 33208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒)) → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)
27	25, 26	syl3an1 1162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒)) → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)
28	27	3comr 1124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒) ∧ (𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒) → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)
29	28	3exp 1118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒) → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
30	19, 20, 29	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
31	30	3impa 1109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
32	31	3com23 1125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
33	32	3expia 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (𝑒 ∈ 𝐸 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
34	33	imdistand 571	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ((𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒) → (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
35	34	eximdv 1919	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒) → ∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
36	8, 35	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
37		pm3.22 460	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒) → ({𝐴, 𝐵} = 𝑒 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
38		eqcom 2743	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} = 𝑒 ↔ 𝑒 = {𝐴, 𝐵})
39	38	anbi1i 624	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵} = 𝑒 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ↔ (𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
40	37, 39	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒) → (𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
41	40	eximi 1836	. . . 4 ⊢ (∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒) → ∃𝑒(𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
42	36, 41	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒(𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
43		prex 5369	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
44		eleq1 2824	. . . 4 ⊢ (𝑒 = {𝐴, 𝐵} → (𝑒 ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))
45	43, 44	ceqsexv 3487	. . 3 ⊢ (∃𝑒(𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
46	42, 45	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
47	46	ex 413	1 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  Vcvv 3440   ∖ cdif 3893   ⊆ wss 3896  {csn 4570  {cpr 4572  ‘cfv 6465  Fincfn 8782  2c2 12107  ℕ₀cn0 12312  ♯chash 14123  Vtxcvtx 27499  Edgcedg 27550  USGraphcusgr 27652  ComplGraphccplgr 27909  ComplUSGraphccusgr 27910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-oadd 8349  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-dju 9736  df-card 9774  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-nn 12053  df-2 12115  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-fz 13319  df-hash 14124  df-edg 27551  df-usgr 27654  df-nbgr 27833  df-uvtx 27886  df-cplgr 27911  df-cusgr 27912

This theorem is referenced by:  cusgredgex2  33219