Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cusgredgex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgredgex 32796
Description: Any two (distinct) vertices in a complete simple graph are connected to each other by an edge. (Contributed by BTernaryTau, 3-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgredgex.1 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgredgex.2 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cusgredgex (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem cusgredgex
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cusgrcplgr 27508 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ ComplGraph)
2 cusgredgex.1 . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 cusgredgex.2 . . . . . . . . 9 𝐸 = (Edg‘𝐺)
42, 3cplgredgex 32795 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ComplGraph → ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → ∃𝑒𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
51, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → ∃𝑒𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
65imp 410 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒)
7 df-rex 3067 . . . . . 6 (∃𝑒𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
86, 7sylib 221 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
9 eldifsni 4703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) → 𝐵𝐴)
109necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) → 𝐴𝐵)
1110adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → 𝐴𝐵)
12 hashprg 13962 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → (𝐴𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
1311, 12mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
1413adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
15 cusgrusgr 27507 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
163usgredgppr 27284 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑒𝐸) → (♯‘𝑒) = 2)
1715, 16sylan 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) → (♯‘𝑒) = 2)
1817adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (♯‘𝑒) = 2)
1914, 18eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒))
20 simpl 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸))
21 vex 3412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑒 ∈ V
22 2nn0 12107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ0
23 hashvnfin 13927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑒) = 2 → 𝑒 ∈ Fin))
2421, 22, 23mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑒) = 2 → 𝑒 ∈ Fin)
2517, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) → 𝑒 ∈ Fin)
26 fisshasheq 32786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒)) → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)
2725, 26syl3an1 1165 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒)) → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)
28273comr 1127 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒) ∧ (𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒) → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)
29283exp 1121 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒) → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
3019, 20, 29sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
31303impa 1112 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸 ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
32313com23 1128 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) ∧ 𝑒𝐸) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
33323expia 1123 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (𝑒𝐸 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
3433imdistand 574 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ((𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒) → (𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
3534eximdv 1925 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒) → ∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
368, 35mpd 15 . . . 4 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
37 pm3.22 463 . . . . . 6 ((𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒) → ({𝐴, 𝐵} = 𝑒𝑒𝐸))
38 eqcom 2744 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} = 𝑒𝑒 = {𝐴, 𝐵})
3938anbi1i 627 . . . . . 6 (({𝐴, 𝐵} = 𝑒𝑒𝐸) ↔ (𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒𝐸))
4037, 39sylib 221 . . . . 5 ((𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒) → (𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒𝐸))
4140eximi 1842 . . . 4 (∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒) → ∃𝑒(𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒𝐸))
4236, 41syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒(𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒𝐸))
43 prex 5325 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ∈ V
44 eleq1 2825 . . . 4 (𝑒 = {𝐴, 𝐵} → (𝑒𝐸 ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))
4543, 44ceqsexv 3455 . . 3 (∃𝑒(𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒𝐸) ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
4642, 45sylib 221 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
4746ex 416 1 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wex 1787  wcel 2110  wne 2940  wrex 3062  Vcvv 3408  cdif 3863  wss 3866  {csn 4541  {cpr 4543  cfv 6380  Fincfn 8626  2c2 11885  0cn0 12090  chash 13896  Vtxcvtx 27087  Edgcedg 27138  USGraphcusgr 27240  ComplGraphccplgr 27497  ComplUSGraphccusgr 27498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-hash 13897  df-edg 27139  df-usgr 27242  df-nbgr 27421  df-uvtx 27474  df-cplgr 27499  df-cusgr 27500
This theorem is referenced by:  cusgredgex2  32797
  Copyright terms: Public domain W3C validator