Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cusgredgex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgredgex 32493
 Description: Any two (distinct) vertices in a complete simple graph are connected to each other by an edge. (Contributed by BTernaryTau, 3-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgredgex.1 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgredgex.2 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cusgredgex (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem cusgredgex
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cusgrcplgr 27217 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ ComplGraph)
2 cusgredgex.1 . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 cusgredgex.2 . . . . . . . . 9 𝐸 = (Edg‘𝐺)
42, 3cplgredgex 32492 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ComplGraph → ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → ∃𝑒𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
51, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → ∃𝑒𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
65imp 410 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒)
7 df-rex 3112 . . . . . 6 (∃𝑒𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
86, 7sylib 221 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
9 eldifsni 4683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) → 𝐵𝐴)
109necomd 3042 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) → 𝐴𝐵)
1110adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → 𝐴𝐵)
12 hashprg 13754 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → (𝐴𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
1311, 12mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
1413adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
15 cusgrusgr 27216 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
163usgredgppr 26993 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑒𝐸) → (♯‘𝑒) = 2)
1715, 16sylan 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) → (♯‘𝑒) = 2)
1817adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (♯‘𝑒) = 2)
1914, 18eqtr4d 2836 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒))
20 simpl 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸))
21 vex 3444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑒 ∈ V
22 2nn0 11904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ0
23 hashvnfin 13719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑒) = 2 → 𝑒 ∈ Fin))
2421, 22, 23mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑒) = 2 → 𝑒 ∈ Fin)
2517, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) → 𝑒 ∈ Fin)
26 fisshasheq 32474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒)) → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)
2725, 26syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒)) → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)
28273comr 1122 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒) ∧ (𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒) → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)
29283exp 1116 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒) → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
3019, 20, 29sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
31303impa 1107 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸 ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
32313com23 1123 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) ∧ 𝑒𝐸) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
33323expia 1118 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (𝑒𝐸 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
3433imdistand 574 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ((𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒) → (𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
3534eximdv 1918 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒) → ∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
368, 35mpd 15 . . . 4 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
37 pm3.22 463 . . . . . 6 ((𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒) → ({𝐴, 𝐵} = 𝑒𝑒𝐸))
38 eqcom 2805 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} = 𝑒𝑒 = {𝐴, 𝐵})
3938anbi1i 626 . . . . . 6 (({𝐴, 𝐵} = 𝑒𝑒𝐸) ↔ (𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒𝐸))
4037, 39sylib 221 . . . . 5 ((𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒) → (𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒𝐸))
4140eximi 1836 . . . 4 (∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒) → ∃𝑒(𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒𝐸))
4236, 41syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒(𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒𝐸))
43 prex 5298 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ∈ V
44 eleq1 2877 . . . 4 (𝑒 = {𝐴, 𝐵} → (𝑒𝐸 ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))
4543, 44ceqsexv 3489 . . 3 (∃𝑒(𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒𝐸) ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
4642, 45sylib 221 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
4746ex 416 1 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  {csn 4525  {cpr 4527  ‘cfv 6324  Fincfn 8494  2c2 11682  ℕ0cn0 11887  ♯chash 13688  Vtxcvtx 26796  Edgcedg 26847  USGraphcusgr 26949  ComplGraphccplgr 27206  ComplUSGraphccusgr 27207 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-dju 9316  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-fz 12888  df-hash 13689  df-edg 26848  df-usgr 26951  df-nbgr 27130  df-uvtx 27183  df-cplgr 27208  df-cusgr 27209 This theorem is referenced by:  cusgredgex2  32494
 Copyright terms: Public domain W3C validator