Theorem cusgredgex 35707

Description: Any two (distinct) vertices in a complete simple graph are connected to each other by an edge. (Contributed by BTernaryTau, 3-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cusgredgex.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgredgex.2	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgredgex	⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem cusgredgex

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusgrcplgr 29866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ ComplGraph)
2		cusgredgex.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		cusgredgex.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	cplgredgex 35706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ComplGraph → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
5	1, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
6	5	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒)
7		df-rex 3089	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑒 ∈ 𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
8	6, 7	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
9		eldifsni 4756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) → 𝐵 ≠ 𝐴)
10	9	necomd 3012	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) → 𝐴 ≠ 𝐵)
11	10	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → 𝐴 ≠ 𝐵)
12		hashprg 14461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
13	11, 12	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
14	13	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
15		cusgrusgr 29865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
16	3	usgredgppr 29642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (♯‘𝑒) = 2)
17	15, 16	sylan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (♯‘𝑒) = 2)
18	17	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (♯‘𝑒) = 2)
19	14, 18	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒))
20		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
21		vex 3457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑒 ∈ V
22		2nn0 12548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ0
23		hashvnfin 14426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑒 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑒) = 2 → 𝑒 ∈ Fin))
24	21, 22, 23	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑒) = 2 → 𝑒 ∈ Fin)
25	17, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ Fin)
26		fisshasheq 35704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒)) → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)
27	25, 26	syl3an1 1181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒)) → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)
28	27	3comr 1143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒) ∧ (𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒) → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)
29	28	3exp 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒) → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
30	19, 20, 29	sylc 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
31	30	3impa 1127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒 ∈ 𝐸 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
32	31	3com23 1144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
33	32	3expia 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (𝑒 ∈ 𝐸 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
34	33	imdistand 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ((𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒) → (𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
35	34	eximdv 1950	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒) → ∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
36	8, 35	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
37		pm3.22 465	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒) → ({𝐴, 𝐵} = 𝑒 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
38		eqcom 2769	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} = 𝑒 ↔ 𝑒 = {𝐴, 𝐵})
39	38	anbi1i 636	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵} = 𝑒 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ↔ (𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
40	37, 39	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒) → (𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
41	40	eximi 1868	. . . 4 ⊢ (∃𝑒(𝑒 ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒) → ∃𝑒(𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
42	36, 41	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒(𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
43		prex 5407	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
44		eleq1 2850	. . . 4 ⊢ (𝑒 = {𝐴, 𝐵} → (𝑒 ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))
45	43, 44	ceqsexv 3501	. . 3 ⊢ (∃𝑒(𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
46	42, 45	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
47	46	ex 418	1 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4587  {cpr 4589  ‘cfv 6537  Fincfn 8955  2c2 12322  ℕ₀cn0 12531  ♯chash 14396  Vtxcvtx 29439  Edgcedg 29490  USGraphcusgr 29595  ComplGraphccplgr 29855  ComplUSGraphccusgr 29856

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-hash 14397  df-edg 29491  df-usgr 29597  df-nbgr 29779  df-uvtx 29832  df-cplgr 29857  df-cusgr 29858

This theorem is used by:  cusgredgex2  35708