Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cusgredgex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgredgex 34112
Description: Any two (distinct) vertices in a complete simple graph are connected to each other by an edge. (Contributed by BTernaryTau, 3-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgredgex.1 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgredgex.2 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cusgredgex (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem cusgredgex
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cusgrcplgr 28677 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ ComplGraph)
2 cusgredgex.1 . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 cusgredgex.2 . . . . . . . . 9 𝐸 = (Edg‘𝐺)
42, 3cplgredgex 34111 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ComplGraph → ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → ∃𝑒𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
51, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → ∃𝑒𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
65imp 408 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒)
7 df-rex 3072 . . . . . 6 (∃𝑒𝐸 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
86, 7sylib 217 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒))
9 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) → 𝐵𝐴)
109necomd 2997 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) → 𝐴𝐵)
1110adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → 𝐴𝐵)
12 hashprg 14355 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → (𝐴𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
1311, 12mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
1413adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
15 cusgrusgr 28676 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
163usgredgppr 28453 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑒𝐸) → (♯‘𝑒) = 2)
1715, 16sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) → (♯‘𝑒) = 2)
1817adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (♯‘𝑒) = 2)
1914, 18eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒))
20 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸))
21 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑒 ∈ V
22 2nn0 12489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ0
23 hashvnfin 14320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑒) = 2 → 𝑒 ∈ Fin))
2421, 22, 23mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑒) = 2 → 𝑒 ∈ Fin)
2517, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) → 𝑒 ∈ Fin)
26 fisshasheq 34104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒)) → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)
2725, 26syl3an1 1164 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒)) → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)
28273comr 1126 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒) ∧ (𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒) → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)
29283exp 1120 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘𝑒) → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
3019, 20, 29sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸) ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
31303impa 1111 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑒𝐸 ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
32313com23 1127 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) ∧ 𝑒𝐸) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
33323expia 1122 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (𝑒𝐸 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒 → {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
3433imdistand 572 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ((𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒) → (𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
3534eximdv 1921 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → (∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑒) → ∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒)))
368, 35mpd 15 . . . 4 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒))
37 pm3.22 461 . . . . . 6 ((𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒) → ({𝐴, 𝐵} = 𝑒𝑒𝐸))
38 eqcom 2740 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} = 𝑒𝑒 = {𝐴, 𝐵})
3938anbi1i 625 . . . . . 6 (({𝐴, 𝐵} = 𝑒𝑒𝐸) ↔ (𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒𝐸))
4037, 39sylib 217 . . . . 5 ((𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒) → (𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒𝐸))
4140eximi 1838 . . . 4 (∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} = 𝑒) → ∃𝑒(𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒𝐸))
4236, 41syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → ∃𝑒(𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒𝐸))
43 prex 5433 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ∈ V
44 eleq1 2822 . . . 4 (𝑒 = {𝐴, 𝐵} → (𝑒𝐸 ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))
4543, 44ceqsexv 3526 . . 3 (∃𝑒(𝑒 = {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑒𝐸) ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
4642, 45sylib 217 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
4746ex 414 1 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2941  wrex 3071  Vcvv 3475  cdif 3946  wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631  cfv 6544  Fincfn 8939  2c2 12267  0cn0 12472  chash 14290  Vtxcvtx 28256  Edgcedg 28307  USGraphcusgr 28409  ComplGraphccplgr 28666  ComplUSGraphccusgr 28667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-hash 14291  df-edg 28308  df-usgr 28411  df-nbgr 28590  df-uvtx 28643  df-cplgr 28668  df-cusgr 28669
This theorem is referenced by:  cusgredgex2  34113
  Copyright terms: Public domain W3C validator