Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege111 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege111 40690
 Description: If 𝑌 belongs to the 𝑅-sequence beginning with 𝑍, then every result of an application of the procedure 𝑅 to 𝑌 belongs to the 𝑅-sequence beginning with 𝑍 or precedes 𝑍 in the 𝑅-sequence. Proposition 111 of [Frege1879] p. 75. (Contributed by RP, 7-Jul-2020.) (Revised by RP, 8-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege111.z 𝑍𝐴
frege111.y 𝑌𝐵
frege111.v 𝑉𝐶
frege111.r 𝑅𝐷
Assertion
Ref Expression
frege111 (𝑍((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌 → (𝑌𝑅𝑉 → (¬ 𝑉(t+‘𝑅)𝑍𝑍((t+‘𝑅) ∪ I )𝑉)))

Proof of Theorem frege111
StepHypRef Expression
1 frege111.z . . 3 𝑍𝐴
2 frege111.y . . 3 𝑌𝐵
3 frege111.v . . 3 𝑉𝐶
4 frege111.r . . 3 𝑅𝐷
51, 2, 3, 4frege108 40687 . 2 (𝑍((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌 → (𝑌𝑅𝑉𝑍((t+‘𝑅) ∪ I )𝑉))
6 frege25 40533 . 2 ((𝑍((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌 → (𝑌𝑅𝑉𝑍((t+‘𝑅) ∪ I )𝑉)) → (𝑍((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌 → (𝑌𝑅𝑉 → (¬ 𝑉(t+‘𝑅)𝑍𝑍((t+‘𝑅) ∪ I )𝑉))))
75, 6ax-mp 5 1 (𝑍((t+‘𝑅) ∪ I )𝑌 → (𝑌𝑅𝑉 → (¬ 𝑉(t+‘𝑅)𝑍𝑍((t+‘𝑅) ∪ I )𝑉)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3879   class class class wbr 5030   I cid 5424  ‘cfv 6324  t+ctcl 14338 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-frege1 40506  ax-frege2 40507  ax-frege8 40525  ax-frege28 40546  ax-frege31 40550  ax-frege41 40561  ax-frege52a 40573  ax-frege52c 40604  ax-frege58b 40617 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-seq 13367  df-trcl 14340  df-relexp 14373  df-he 40489 This theorem is referenced by:  frege129  40708
 Copyright terms: Public domain W3C validator