Theorem frege97 44666

Description: The property of following 𝑋 in the 𝑅-sequence is hereditary in the 𝑅-sequence. Proposition 97 of [Frege1879] p. 71.

Here we introduce the image of a singleton under a relation as class which stands for the property of following 𝑋 in the 𝑅 -sequence. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 7-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege97.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege97.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑊

Assertion

Ref	Expression
frege97	⊢ 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋})

Proof of Theorem frege97

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege75 44644	. 2 ⊢ (∀𝑏(𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → ∀𝑎(𝑏𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))) → 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))
2		frege97.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
3		vex 3459	. . . . 5 ⊢ 𝑏 ∈ V
4		vex 3459	. . . . 5 ⊢ 𝑎 ∈ V
5		frege97.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
6	2, 3, 4, 5	frege96 44665	. . . 4 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑏 → (𝑏𝑅𝑎 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑎))
7		df-br 5111	. . . . 5 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑏 ↔ ⟨𝑋, 𝑏⟩ ∈ (t+‘𝑅))
8	2	elexi 3477	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ V
9	8, 3	elimasn 6094	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑏⟩ ∈ (t+‘𝑅))
10	7, 9	bitr4i 281	. . . 4 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑏 ↔ 𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))
11		df-br 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑎 ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ (t+‘𝑅))
12	8, 4	elimasn 6094	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ (t+‘𝑅))
13	11, 12	bitr4i 281	. . . . 5 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑎 ↔ 𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))
14	13	imbi2i 339	. . . 4 ⊢ ((𝑏𝑅𝑎 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑎) ↔ (𝑏𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
15	6, 10, 14	3imtr3i 294	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑏𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
16	15	alrimiv 1957	. 2 ⊢ (𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → ∀𝑎(𝑏𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
17	1, 16	mpg 1827	1 ⊢ 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋})

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1568   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  {csn 4590  ⟨cop 4596   class class class wbr 5110   “ cima 5666  ‘cfv 6538  t+ctcl 15024   hereditary whe 44478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-frege1 44496  ax-frege2 44497  ax-frege8 44515  ax-frege52a 44563  ax-frege58b 44607

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-seq 14040  df-trcl 15026  df-relexp 15059  df-he 44479

This theorem is referenced by:  frege98  44667