Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege97 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege97 40494
Description: The property of following 𝑋 in the 𝑅-sequence is hereditary in the 𝑅-sequence. Proposition 97 of [Frege1879] p. 71.

Here we introduce the image of a singleton under a relation as class which stands for the property of following 𝑋 in the 𝑅 -sequence. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 7-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses
Ref Expression
frege97.x 𝑋𝑈
frege97.r 𝑅𝑊
Assertion
Ref Expression
frege97 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋})

Proof of Theorem frege97
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frege75 40472 . 2 (∀𝑏(𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → ∀𝑎(𝑏𝑅𝑎𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))) → 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))
2 frege97.x . . . . 5 𝑋𝑈
3 vex 3482 . . . . 5 𝑏 ∈ V
4 vex 3482 . . . . 5 𝑎 ∈ V
5 frege97.r . . . . 5 𝑅𝑊
62, 3, 4, 5frege96 40493 . . . 4 (𝑋(t+‘𝑅)𝑏 → (𝑏𝑅𝑎𝑋(t+‘𝑅)𝑎))
7 df-br 5048 . . . . 5 (𝑋(t+‘𝑅)𝑏 ↔ ⟨𝑋, 𝑏⟩ ∈ (t+‘𝑅))
82elexi 3498 . . . . . 6 𝑋 ∈ V
98, 3elimasn 5935 . . . . 5 (𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑏⟩ ∈ (t+‘𝑅))
107, 9bitr4i 281 . . . 4 (𝑋(t+‘𝑅)𝑏𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))
11 df-br 5048 . . . . . 6 (𝑋(t+‘𝑅)𝑎 ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ (t+‘𝑅))
128, 4elimasn 5935 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ (t+‘𝑅))
1311, 12bitr4i 281 . . . . 5 (𝑋(t+‘𝑅)𝑎𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))
1413imbi2i 339 . . . 4 ((𝑏𝑅𝑎𝑋(t+‘𝑅)𝑎) ↔ (𝑏𝑅𝑎𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
156, 10, 143imtr3i 294 . . 3 (𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑏𝑅𝑎𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
1615alrimiv 1929 . 2 (𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → ∀𝑎(𝑏𝑅𝑎𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
171, 16mpg 1799 1 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wal 1536  wcel 2115  Vcvv 3479  {csn 4548  cop 4554   class class class wbr 5047  cima 5539  cfv 6336  t+ctcl 14334   hereditary whe 40306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-frege1 40324  ax-frege2 40325  ax-frege8 40343  ax-frege52a 40391  ax-frege58b 40435
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-seq 13363  df-trcl 14336  df-relexp 14369  df-he 40307
This theorem is referenced by:  frege98  40495
  Copyright terms: Public domain W3C validator