Theorem frege97 44058

Description: The property of following 𝑋 in the 𝑅-sequence is hereditary in the 𝑅-sequence. Proposition 97 of [Frege1879] p. 71.

Here we introduce the image of a singleton under a relation as class which stands for the property of following 𝑋 in the 𝑅 -sequence. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 7-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege97.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege97.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑊

Assertion

Ref	Expression
frege97	⊢ 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋})

Proof of Theorem frege97

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege75 44036	. 2 ⊢ (∀𝑏(𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → ∀𝑎(𝑏𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))) → 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))
2		frege97.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
3		vex 3440	. . . . 5 ⊢ 𝑏 ∈ V
4		vex 3440	. . . . 5 ⊢ 𝑎 ∈ V
5		frege97.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
6	2, 3, 4, 5	frege96 44057	. . . 4 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑏 → (𝑏𝑅𝑎 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑎))
7		df-br 5094	. . . . 5 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑏 ↔ ⟨𝑋, 𝑏⟩ ∈ (t+‘𝑅))
8	2	elexi 3459	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ V
9	8, 3	elimasn 6044	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑏⟩ ∈ (t+‘𝑅))
10	7, 9	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑏 ↔ 𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))
11		df-br 5094	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑎 ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ (t+‘𝑅))
12	8, 4	elimasn 6044	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ (t+‘𝑅))
13	11, 12	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑎 ↔ 𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))
14	13	imbi2i 336	. . . 4 ⊢ ((𝑏𝑅𝑎 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑎) ↔ (𝑏𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
15	6, 10, 14	3imtr3i 291	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑏𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
16	15	alrimiv 1928	. 2 ⊢ (𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → ∀𝑎(𝑏𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
17	1, 16	mpg 1798	1 ⊢ 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋})

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1539   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  {csn 4575  ⟨cop 4581   class class class wbr 5093   “ cima 5622  ‘cfv 6487  t+ctcl 14898   hereditary whe 43870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-frege1 43888  ax-frege2 43889  ax-frege8 43907  ax-frege52a 43955  ax-frege58b 43999

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-seq 13915  df-trcl 14900  df-relexp 14933  df-he 43871

This theorem is referenced by:  frege98  44059