Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege97 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege97 42582
Description: The property of following 𝑋 in the 𝑅-sequence is hereditary in the 𝑅-sequence. Proposition 97 of [Frege1879] p. 71.

Here we introduce the image of a singleton under a relation as class which stands for the property of following 𝑋 in the 𝑅 -sequence. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 7-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses
Ref Expression
frege97.x 𝑋𝑈
frege97.r 𝑅𝑊
Assertion
Ref Expression
frege97 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋})

Proof of Theorem frege97
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frege75 42560 . 2 (∀𝑏(𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → ∀𝑎(𝑏𝑅𝑎𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))) → 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))
2 frege97.x . . . . 5 𝑋𝑈
3 vex 3479 . . . . 5 𝑏 ∈ V
4 vex 3479 . . . . 5 𝑎 ∈ V
5 frege97.r . . . . 5 𝑅𝑊
62, 3, 4, 5frege96 42581 . . . 4 (𝑋(t+‘𝑅)𝑏 → (𝑏𝑅𝑎𝑋(t+‘𝑅)𝑎))
7 df-br 5145 . . . . 5 (𝑋(t+‘𝑅)𝑏 ↔ ⟨𝑋, 𝑏⟩ ∈ (t+‘𝑅))
82elexi 3494 . . . . . 6 𝑋 ∈ V
98, 3elimasn 6080 . . . . 5 (𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑏⟩ ∈ (t+‘𝑅))
107, 9bitr4i 278 . . . 4 (𝑋(t+‘𝑅)𝑏𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))
11 df-br 5145 . . . . . 6 (𝑋(t+‘𝑅)𝑎 ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ (t+‘𝑅))
128, 4elimasn 6080 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ (t+‘𝑅))
1311, 12bitr4i 278 . . . . 5 (𝑋(t+‘𝑅)𝑎𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))
1413imbi2i 336 . . . 4 ((𝑏𝑅𝑎𝑋(t+‘𝑅)𝑎) ↔ (𝑏𝑅𝑎𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
156, 10, 143imtr3i 291 . . 3 (𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑏𝑅𝑎𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
1615alrimiv 1931 . 2 (𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → ∀𝑎(𝑏𝑅𝑎𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
171, 16mpg 1800 1 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wal 1540  wcel 2107  Vcvv 3475  {csn 4624  cop 4630   class class class wbr 5144  cima 5675  cfv 6535  t+ctcl 14919   hereditary whe 42394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-frege1 42412  ax-frege2 42413  ax-frege8 42431  ax-frege52a 42479  ax-frege58b 42523
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-seq 13954  df-trcl 14921  df-relexp 14954  df-he 42395
This theorem is referenced by:  frege98  42583
  Copyright terms: Public domain W3C validator