Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege97 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege97 43013
Description: The property of following 𝑋 in the 𝑅-sequence is hereditary in the 𝑅-sequence. Proposition 97 of [Frege1879] p. 71.

Here we introduce the image of a singleton under a relation as class which stands for the property of following 𝑋 in the 𝑅 -sequence. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 7-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses
Ref Expression
frege97.x 𝑋𝑈
frege97.r 𝑅𝑊
Assertion
Ref Expression
frege97 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋})

Proof of Theorem frege97
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frege75 42991 . 2 (∀𝑏(𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → ∀𝑎(𝑏𝑅𝑎𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))) → 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))
2 frege97.x . . . . 5 𝑋𝑈
3 vex 3478 . . . . 5 𝑏 ∈ V
4 vex 3478 . . . . 5 𝑎 ∈ V
5 frege97.r . . . . 5 𝑅𝑊
62, 3, 4, 5frege96 43012 . . . 4 (𝑋(t+‘𝑅)𝑏 → (𝑏𝑅𝑎𝑋(t+‘𝑅)𝑎))
7 df-br 5149 . . . . 5 (𝑋(t+‘𝑅)𝑏 ↔ ⟨𝑋, 𝑏⟩ ∈ (t+‘𝑅))
82elexi 3493 . . . . . 6 𝑋 ∈ V
98, 3elimasn 6088 . . . . 5 (𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑏⟩ ∈ (t+‘𝑅))
107, 9bitr4i 277 . . . 4 (𝑋(t+‘𝑅)𝑏𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))
11 df-br 5149 . . . . . 6 (𝑋(t+‘𝑅)𝑎 ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ (t+‘𝑅))
128, 4elimasn 6088 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑎⟩ ∈ (t+‘𝑅))
1311, 12bitr4i 277 . . . . 5 (𝑋(t+‘𝑅)𝑎𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))
1413imbi2i 335 . . . 4 ((𝑏𝑅𝑎𝑋(t+‘𝑅)𝑎) ↔ (𝑏𝑅𝑎𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
156, 10, 143imtr3i 290 . . 3 (𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑏𝑅𝑎𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
1615alrimiv 1930 . 2 (𝑏 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → ∀𝑎(𝑏𝑅𝑎𝑎 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
171, 16mpg 1799 1 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wal 1539  wcel 2106  Vcvv 3474  {csn 4628  cop 4634   class class class wbr 5148  cima 5679  cfv 6543  t+ctcl 14936   hereditary whe 42825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-frege1 42843  ax-frege2 42844  ax-frege8 42862  ax-frege52a 42910  ax-frege58b 42954
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13971  df-trcl 14938  df-relexp 14971  df-he 42826
This theorem is referenced by:  frege98  43014
  Copyright terms: Public domain W3C validator