Theorem fsuppmapnn0fz 13049

Description: If a function over the nonnegative integers is finitely supported, then there is an upper bound for a finite set of sequential integers containing the support of the function. (Contributed by AV, 30-Sep-2019.) (Proof shortened by AV, 6-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0fz	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹   𝑚,𝑍   𝑅,𝑚   𝑚,𝑉

Proof of Theorem fsuppmapnn0fz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppmapnn0ub 13048	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)))
2		simpllr 794	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑉)
3		simplll 792	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0))
4		simplr 786	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
5		simpr 478	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
6	2, 3, 4, 5	suppssfz 13047	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚))
7	6	ex 402	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚)))
8	7	reximdva 3198	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚)))
9	1, 8	syld 47	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3090  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3770   class class class wbr 4844  ‘cfv 6102  (class class class)co 6879   supp csupp 7533   ↑_𝑚 cmap 8096   finSupp cfsupp 8518  0cc0 10225   < clt 10364  ℕ₀cn0 11579  ...cfz 12579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-supp 7534  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-er 7983  df-map 8098  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-fsupp 8519  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-fz 12580

This theorem is referenced by: (None)